2022-2023学年重庆市渝北区两江育才中学八年级（上）期中数学试卷（含解析）

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2022-2023学年重庆市渝北区两江育才中学八年级（上）期中数学试卷  第I卷（选择题） 一、选择题（本大题共12小题，共48.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）如图中是轴对称图形的是(    )A.  B.  C.  D. 下面四个图形中，线段是的高的图是(    )A.  B.
C.  D. 下列运算正确的是(    )A.  B.  C.  D. 在中，，，则是(    )A. 锐角三角 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 等边三角形一个三角形的两边长分别为和，则此三角形的第三边的长可能是(    )A.  B.  C.  D. 如图，，，，四点在一条直线上，，，下列条件不能判定与全等的是(    )
A.  B.  C.  D. 如图，在边长为的正方形中挖去一个边长为的小正方形，再把剩余的部分剪拼成一个矩形，通过计算图形阴影部分的面积，验证了一个等式是(    )
A.  B.
C.  D. 如图，，和平分和，过点且与直线垂直．若，则点到的距离是(    )A.
B.
C.
D. 若是完全平方式，则的值是(    )A.  B.  C.  D. 如图，已知，用尺规在上确定一点，使，则符合要求的作图痕迹是(    )
 A.
B.
C.
D. 如图，在中，，，于点，平分交于点，交于点，过点作于点，交于点，下列结论：；；；其中正确的有(    )A.  B.  C.  D. 对多项式任意加一个或者两个括号后仍然只含减法运算并将所得式子化简，称之为“加算操作”，例如：，，，给出下列说法：
至少存在一种“加算操作”，使其结果与原多项式相等；
不存在任何“加算操作”，使其结果与原多项式之和为；
所有的“加算操作”共有种不同的结果．
以上说法中正确的个数为(    )A.  B.  C.  D. 第II卷（非选择题） 二、填空题（本大题共4小题，共16.0分）五边形的内角和为______．如图，小明与小红玩跷跷板游戏，如果跷跷板的支点即跷跷板的中点至地面的距离是，当小红从水平位置下降时，这时小明离地面的高度是______．已知，，则______．如图，在中，，为等边三角形，于点，若，，则的长为______．
   三、解答题（本大题共9小题，共86.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）本小题分
计算：
；
．本小题分
如图，、、、在同一直线上，，，，求证：≌．
本小题分
如图，在坐标系中，，，．
在图中作出关于轴的对称图形，并写出的坐标；
求面积；
一只蚂蚁从点出发，先沿适当的路径运动到轴上的点处，再沿适当的路径运动到点处停止，请画出蚂蚁运动的最短路径，并写出点的坐标．
本小题分
如图，为平分线上一点，于，于．
求证：；
求证：垂直平分．
本小题分
如图，在和中，，，，、相交于点．
求证：；
若，，求的度数．
本小题分
先化简再求值：，其中，满足．本小题分
如图，在中，平分，于点，为上一点，且．
求证：；
若，求证：．
本小题分
对任意一个四位数，如果千位与十位上的数字之和为，百位与个位上的数字之和也为，则称为“极数”．
请任意写出两个“极数”______，______；
猜想任意一个“极数”是否是的倍数，请说明理由；
如果一个正整数是另一个正整数的平方，则称正整数是完全平方数．若四位数为“极数”，记，则满足是完全平方数的所有的值是______．本小题分
如图，与为等腰直角三角形，，，，，，连接、．
如图，若，，则的度数为______度；
如图，若、、三点共线，与交于点，且，，求的面积；
如图，与的延长线交于点，若，延长与交于点，在上有一点且，连接，请猜想、、之间的数量关系并证明你的猜想．

答案和解析 1.【答案】 【解析】解：，，选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
故选：．
根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
 2.【答案】 【解析】解：选项中，与不垂直；
选项中，与不垂直；
选项中，与不垂直；
线段是的高的图是选项．
故选：．
根据三角形高的画法知，过点作边上的高，垂足为，其中线段是的高，再结合图形进行判断．
本题主要考查了三角形的高，三角形的高是指从三角形的一个顶点向对边作垂线，连接顶点与垂足之间的线段．
 3.【答案】 【解析】解：、，故A不符合题意；
B、，故B符合题意；
C、，故C不符合题意；
D、，故D不符合题意；
故选：．
利用同底数幂的除法的法则，同底数幂的乘法的法则，幂的乘方与积的乘方的法则对各项进行运算即可．
本题主要考查幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法，同底数幂的除法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
 4.【答案】 【解析】解：在中，，，
，
是直角三角形，
故选：．
根据三角形内角和定理可知的度数，即可判定的形状．
本题考查了直角三角形的判定，三角形内角和定理，熟练掌握这些知识是解题的关键．
 5.【答案】 【解析】解：设第三边长为，根据三角形的三边关系可得：
，
解得：，
故选：．
首先设第三边长为，根据三角形的三边关系可得，再解不等式即可．
此题主要考查了三角形的三边关系，关键是掌握第三边的范围是：大于已知的两边的差，而小于两边的和．
 6.【答案】 【解析】解：，
，
A、添加可得，可利用判定与全等；
B、添加不能判定与全等；
C、添加可得，可利用判定与全等；
D、添加可利用判定与全等；
故选：．
根据判定两个三角形全等的一般方法：、、、、分别进行分析即可．
本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：、、、、．
注意：、不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
 7.【答案】 【解析】解：由图可知，大正方形减小正方形剩下的部分面积为；
拼成的长方形的面积：，
所以得出：，
故选：．
这个图形变换可以用来证明平方差公式：已知在左图中，大正方形减小正方形剩下的部分面积为；因为拼成的长方形的长为，宽为，根据“长方形的面积长宽”代入为：，因为面积相等，进而得出结论．
此题主要考查了平方差公式的几何背景，解题的关键是求出第一个图的阴影部分面积，进而根据长方形的面积计算公式求出拼成的长方形的面积，根据面积不变得出结论．
 8.【答案】 【解析】解：过作于，

，，
，
，和平分和，
，，
即，
，
，
即点到的距离是，
故选：．
过作于，求出，根据角平分线的性质得出，根据求出即可．
本题考查了角平分线的性质，能熟记角平分线上的点到角两边的距离相等是解此题的关键．
 9.【答案】 【解析】解：是完全平方式，
，
故选：．
利用完全平方公式的结构特征判断即可求出的值．
此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
 10.【答案】 【解析】解：选项中作的是的中垂线，
，
，

故选：．
要使，必有，所以选项中只有作的中垂线才能满足这个条件，故D正确．
本题主要考查了作图知识，解题的关键是根据中垂线的性质得出．
 11.【答案】 【解析】解：，，
，
，
，，
平分，
，
，
，
，故正确；
，
，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，
，
，
平分，
，
，故错误；
，
，
，
，
，
，
，故正确，
综上所述：正确的有．
故选：．
根据等腰直角三角形的性质可得，，进而可以判断正确；证明≌，可得，根据，可得，由，可得，进而可以判断错误；证明，可得，进而根据线段的和差即可解决问题．
本题考查了直角三角形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，角平分线的性质，全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
 12.【答案】 【解析】解：如，，故符合题意；
的相反数为，不论怎么加括号都得不到这个代数式，故符合题意；
第种：结果与原多项式相等；
第种：；
第种：；
第种：；
第种：；
第种：；
第种：；
第种：；故不符合题意；
正确的个数为，
故选：．
根据括号前是“”，添括号后，各项的符号都不改变判断；根据相反数判断；通过例举判断．
本题考查了整式的加减，解题的关键是注意可以添加个括号，也可以添加个括号．
 13.【答案】 【解析】解：．
故答案为：．
根据多边形的内角和公式计算即可．
本题主要考查了多边形的内角和公式，熟记公式是解题的关键，是基础题．
 14.【答案】 【解析】解：在与中，
，
≌，
，
小明离地面的高度是，
故答案为：．
根据全等三角形的判定和性质即可得到结论．
本题考查了全等三角形的应用，熟练正确全等三角形的判定和性质定理是解题的关键．
 15.【答案】 【解析】解：，，
，
即，
，
，
故答案为：．
根据完全平方公式得出结论即可．
本题主要考查完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．
 16.【答案】 【解析】解：以为边在的上方作等边三角形，连接，如图，

则，
．
为等边三角形，
，，
，
．
在和中，
，
≌，
，，
，
，，三点在一条直线上，
，
，
，
，
，
．
故答案为：．
以为边在的上方作等边三角形，连接，利用等边三角形的性质和全等三角形的判定与性质得到，，三点在一条直线上，，再利用含的直角三角形的性质求得的长度，则．
本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，含角的直角三角形的性质，在的上方作等边三角形是解题的关键．
 17.【答案】解：．



． 【解析】根据同底数幂的乘除法则进行计算即可；
根据幂的乘方与积的乘方法则和同底数幂的乘法法则进行计算即可．
此题考查了同底数幂的乘除法、幂的乘方与积的乘方以及单项式乘单项式，熟练掌握运算法则是解题的关键．
 18.【答案】证明：，
，
在和中，
≌． 【解析】由得出，根据即可证得≌．
此题考查了全等三角形的判定与性质．此题比较简单，熟记全等三角形的判定方法是解决问题的关键．
 19.【答案】解：如图，即为所求；的坐标为；

面积；
蚂蚁运动的最短路径是，点的坐标为． 【解析】根据轴对称的性质即可在图中作出关于轴的对称图形，进而可以写出的坐标；
根据割补法即可求面积；
找到点关于轴的对称点，连接交轴于点，可得蚂蚁运动的最短路径，进而写出点的坐标．
本题考查了作图轴对称变换，轴对称最短路线问题，轨迹，解决本题的关键是掌握轴对称的性质．
 20.【答案】证明：平分，
，
，，
，
在和中，
，
≌，
；
在等腰中，，且平分，
垂直平分三线合一． 【解析】根据角平分线的性质和全等三角形的判定和性质解答即可；
根据等腰三角形的性质解答即可．
本题考查全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用全等三角形的性质解答．
 21.【答案】证明：，
，
，
在和中，
，
≌，
；
解：，
，
由可知，，
． 【解析】由证明≌，即可得结论；
由平行线的性质得，再由可知，，然后由三角形内角和定理即可得出结论．
本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质以及三角形内角和定理等知识，证明三角形全等是解题的关键．
 22.【答案】解：

，
，满足，
，
，，
，，
当，时，原式． 【解析】先根据完全平方公式，平方差公式，单项式乘多项式进行计算，再合并同类项，根据绝对值和偶次方的非负性得出，，求出、的值，最后代入求出答案即可．
本题考查了整式的化简求值和偶次方、绝对值的非负性，能正确根据整式的运算法则进行化简是解此题的关键．
 23.【答案】证明：平分，
，
，，
，
，
，
；
过作，

平分，，，
，，
，
，，
，
在和中，，
≌，
，
．
即． 【解析】易证和，可得，即可证明，即可解题；
过作，可证，，即可证明≌，可得，即可解题．
本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，本题中求证≌是解题的关键．
 24.【答案】    或或或 【解析】解：由“极数”的定义得，，，
故答案为，；

任意一个“极数”都是的倍数，理由如下：
设任意一个“极数”为，且、为整数，
则，
，，且、为整数，
是整数，
任意一个“极数”都是的倍数．

设四位数为，且、为整数，
四位数为“极数”，，
．
是完全平方数，，，且、为整数，
，，，，
或或或，
可以为或或或．
根据“极数”的定义，任意写出两个“极数”即可；
由“极数”的定义可得出，进而可得出任意一个“极数”都是的倍数；
由可得出，由为完全平方数，可得出，，，，解之可得出，的值，进而可得出的值，即可得出结论．
本题考查了完全平方数以及倍数，解题的关键是：根据“极数”的定义，任意写出两个“极数”；根据“极数”的定义，找出；根据是完全平方数，找出的值．
 25.【答案】 【解析】解：如图中，

，都是等腰直角三角形，
，，，
，
在和中，
，
≌，
，
，
，
，
，
．
故答案为：．

如图中，过点作于．

≌，
，，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，，
，
，
．

如图中，结论：．
理由：如图过点作交的延长线于

，
，
≌，
，
，，
，
在和中，
，
≌，
，，
，
，
在和中，
，
≌，
，
．
证明≌，利用全等三角形的性质以及三角形内角和定理即可解决问题．
如图中，过点作于证明≌，推出，，求出，可得结论．
如图中，结论：如图过点作交的延长线于证明≌，≌，利用全等三角形的性质，可得结论．
本题属于三角形综合题，考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的面积等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．