2022-2023学年广东省广州市越秀区九年级（上）期末数学试卷

这是一份2022-2023学年广东省广州市越秀区九年级（上）期末数学试卷，共29页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年广东省广州市越秀区九年级（上）期末数学试卷
一、单选题（30分）
1．（3分）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是　　
A． B．
C． D．
2．（3分）不解方程，判断方程的根的情况是　　
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．没有实数根 D．无法确定
3．（3分）已知半径为，圆心到点的距离为，则点与的位置关系是　　
A．相切 B．圆外 C．圆上 D．圆内
4．（3分）将二次函数的图象向下平移3个单位长度，再向右平移3个单位长度，得到的抛物线的解析式为　　
A． B． C． D．
5．（3分）用配方法解方程时，原方程应变形为　　
A． B． C． D．
6．（3分）反比例函数的图象在第一、三象限，则的取值范围是　　
A． B． C． D．
7．（3分）设，是抛物线上的两点，则、的大小关系为　　
A． B． C． D．
8．（3分）如图，的内切圆圆与，，分别相切于点，，，若，则的度数是　　

A． B． C． D．
9．（3分）如图，四边形是平行四边形，点在边上，，连接交于点，则　　

A． B． C． D．
10．（3分）如图，抛物线与轴负半轴交于点，点为线段上一动点，点的坐标为，连接，以为底边向右侧作等腰直角，若点恰好在抛物线上，则长为　　

A．4 B．4.5 C．5 D．5.5
二、填空题（每题3分，共18分）
11．（3分）已知点，在反比例函数上，则　　．
12．（3分）在平面直角坐标系中，已知点与点关于原点对称，则　　．
13．（3分）如图，将绕点按逆时针方向旋转后得到△，若，则的度数是 　　．

14．（3分）已知圆锥的底面半径为，母线长为，则圆锥的侧面积为 　　．
15．（3分）如图，一抛物线形拱桥，当拱顶到水面的距离为2米时，水面宽度为4米；那么当水位上升0.5米后，水面的宽度为 　　米．（结果可带根号）

16．（3分）如图，矩形和矩形，，，，，矩形绕点旋转，给出下列结论：①；②；③当时，；④，其中正确的结论 　　．

三、解答题
17．（4分）解方程：．
18．（4分）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点都在格点上．
（1）画出绕原点顺时针旋转后的△．
（2）求线段在旋转过程中所扫过的图形面积．

19．（6分）已知二次函数，函数与自变量的部分对应值如下表：




0
1
2



5
0




（1）求该二次函数的表达式；
（2）根据二次函数图象，直接写出不等式的的取值范围．
20．（6分）某校准备从2名男生、和3名女生、、五人中选拔学生，代表学校参加区中学生“党史知识竞赛”．
（1）如果确定只需要一名女生参加，则女生被选中的概率是 　　（直接填写答案）；
（2）如果确定只需要两名学生参加，请用画树状图或列表法求恰好选中2名女生的概率．
21．（8分）已知关于的一元二次方程有两个实数根．
（1）求实数的取值范围；
（2）若，是该方程的两个根，且满足，求的值．
22．（10分）（1）据统计，三月份的全天包车数为36次，在租金不变的基础上，四、五月的全天包车数持续走高，五月份的全天包车数达到81次．若从三月份到五月份的全天包车数月平均增长率不变，求全天包车数的月平均增长率；
（2）一段时间后，当全天包车的租金为每辆120元时，每月的全天包车数为60次，该公司决定降低租金，经调查发现，租金每降价1元，平均每月全天包车数增加2次，尽可能的减少租车次数．当租金降价多少元时，公司每月获得的租金总额为8800元？
23．（10分）如图，在中，，平分交于点，是上一点，经过、两点的分别交、于点、．
（1）用尺规补全图形（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）求证：与相切；
（3）当，时，求劣弧的长．

24．（12分）给出如下定义：若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称该四边形为勾股四边形．
（1）以下四边形中，是勾股四边形的为 　　（填序号即可）；
①平行四边形；②矩形；③有一个角为直角的任意凸四边形；④有一个角为的菱形．
（2）如图1，将绕顶点按顺时针方向旋转得到．
①连接，当，时，求证：四边形是勾股四边形．
②如图2，将绕点顺时针方向旋转得到，连接，与交于点，连接，若，，，求的长度．


25．（12分）已知：抛物线．
（1）求证：抛物线与轴有两个交点．
（2）设抛物线与轴的两个交点的横坐标分别为，（其中．若是关于的函数、且，求这个函数的表达式；
（3）若，将抛物线向上平移一个单位后与轴交于点、．平移后如图所示，过作直线，分别交的正半轴于点和抛物线于点，且．是线段上一动点，求的最小值．


2022-2023学年广东省广州市越秀区九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、单选题（30分）
1．（3分）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是　　
A． B．
C． D．
【分析】把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，由此即可判断．
【解答】解：．该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项符合题意；
．该图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；
．该图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；
．该图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意．
故选：．
【点评】本题考查轴对称图形，中心对称图形，关键是掌握轴对称图形，中心对称图形的定义．
2．（3分）不解方程，判断方程的根的情况是　　
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．没有实数根 D．无法确定
【分析】利用根的判别式△进行求解并判断即可．
【解答】解：，
，
原方程中，，，，
△，
原方程有两个不相等的实数根，
故选：．
【点评】此题考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握根的判别式△是解答此题的关键，当判别式△时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当判别式△时，一元二次方程有两个相等的实数根；当判别式△时，一元二次方程没有实数根．
3．（3分）已知半径为，圆心到点的距离为，则点与的位置关系是　　
A．相切 B．圆外 C．圆上 D．圆内
【分析】要确定点与圆的位置关系，主要确定点与圆心的距离与半径的大小关系；利用时，点在圆外；当时，点在圆上；当时，点在圆内判断出即可．
【解答】解：的半径为，点到圆心的距离为，
，
点与的位置关系是：点在圆上，
故选：．
【点评】此题主要考查了对点与圆的位置关系的判断．关键要记住若半径为，点到圆心的距离为，则有：当时，点在圆外；当时，点在圆上，当时，点在圆内．
4．（3分）将二次函数的图象向下平移3个单位长度，再向右平移3个单位长度，得到的抛物线的解析式为　　
A． B． C． D．
【分析】根据二次函数平移规律左加右减，上加下减，得出平移后解析式即可．
【解答】解：将二次函数的图象向下平移3个单位长度，再向右平移3个单位长度，得到的抛物线的解析式为：，即，
故选：．
【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键．
5．（3分）用配方法解方程时，原方程应变形为　　
A． B． C． D．
【分析】利用解一元二次方程配方法，进行计算即可解答．
【解答】解：，
，
，
，
故选：．
【点评】本题考查了解一元二次方程配方法，熟练掌握解一元二次方程配方法是解题的关键．
6．（3分）反比例函数的图象在第一、三象限，则的取值范围是　　
A． B． C． D．
【分析】根据反比例函数，（1），反比例函数图象在一、三象限；（2），反比例函数图象在第二、四象限内，可解的答案．
【解答】解：图象在第一、三象限，
，
解得．
故选：．
【点评】此题主要考查了反比例函数的性质，正确把握好中与其所在象限的关系即可．
7．（3分）设，是抛物线上的两点，则、的大小关系为　　
A． B． C． D．
【分析】先根据已知条件求出二次函数的图象开口方向和对称轴，再根据点、的横坐标的大小即可判断出与的大小关系．
【解答】解：，
抛物线的开口向下，的对称轴是直线，
离对称轴越近越大，
，
．
故选：．
【点评】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，在解题时要能灵活应用二次函数的图象和性质以及点的坐标特征是本题的关键．
8．（3分）如图，的内切圆圆与，，分别相切于点，，，若，则的度数是　　

A． B． C． D．
【分析】连接、，由切线的性质得，再根据圆周角定理求得，则，于是得到问题的答案．
【解答】解：连接、，
分别与、相切于点、点，
，，
，
，
，
，
故选：．

【点评】此题重点考查三角形的内切圆、切线的性质、圆周角定理、多边形的内角和等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
9．（3分）如图，四边形是平行四边形，点在边上，，连接交于点，则　　

A． B． C． D．
【分析】由得到，由得出，从而可以解决问题．
【解答】解：四边形是平行四边形，
，，

，
，
，
，
，
，
故选：．
【点评】本题考查平行四边形的性质，相似三角形的性质和判定，关键是掌握并熟练应用以上知识点．
10．（3分）如图，抛物线与轴负半轴交于点，点为线段上一动点，点的坐标为，连接，以为底边向右侧作等腰直角，若点恰好在抛物线上，则长为　　

A．4 B．4.5 C．5 D．5.5
【分析】过点作轴，垂足为，过点作，交延长线于点，设点，然后证明，则，，即可求出点的坐标，再求出点的坐标，从而求出的长度．
【解答】解：，
令，则，，
点的坐标为：，
过点作轴，垂足为，过点作，交延长线于点，设点，如图：

是等腰直角三角形，
，，
轴，
，
，
，
，
，，
，，
，
，
解得：，；
，
，
点的坐标为，
，
点的横坐标为，
的长度为；
故选：．
【点评】本题考查了二次函数的图像和性质，掌握二次函数的图像和性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，坐标与图形是解题的关键．
二、填空题（每题3分，共18分）
11．（3分）已知点，在反比例函数上，则　　．
【分析】利用待定系数法求出的值，代入点的横坐标计算即可．
【解答】解：点在反比例函数上，
，
则反比例函数的解析式为：，
当时，，
故答案为：．
【点评】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特征，掌握反比例函数图象上的点的坐标满足函数解析式是解题的关键．
12．（3分）在平面直角坐标系中，已知点与点关于原点对称，则　　．
【分析】直接利用关于原点对称点的性质得出，的值，即可得出答案．
【解答】解：点与点关于原点对称，
，，
则．
故答案为：．
【点评】此题主要考查了关于原点对称点的性质，正确得出，的值是解题关键．
13．（3分）如图，将绕点按逆时针方向旋转后得到△，若，则的度数是 　　．

【分析】根据旋转的性质可知，旋转角等于，从而可以得到的度数，由可以得到的度数．
【解答】解：绕点按逆时针方向旋转后得到△，
．
，
．
故答案为：．
【点评】本题考查旋转的性质，解题的关键明确旋转角是什么，对应边旋转前后的夹角是旋转角．
14．（3分）已知圆锥的底面半径为，母线长为，则圆锥的侧面积为 　　．
【分析】圆锥的侧面积底面周长母线长．
【解答】解：底面半径是，则底面周长，
圆锥的侧面积．
故答案为：．
【点评】本题考查圆锥的侧面积，解题的关键是记住圆锥是侧面积公式．
15．（3分）如图，一抛物线形拱桥，当拱顶到水面的距离为2米时，水面宽度为4米；那么当水位上升0.5米后，水面的宽度为 　　米．（结果可带根号）

【分析】根据题意设抛物线解析式，求出解析式确定出水面的宽度即可．
【解答】解：建立如图所示的直角坐标系，

设抛物线解析式为，
把和代入得，
，
解得，
抛物线解析式为，
把代入得：，
则水面的宽度是米．
故答案为：．
【点评】此题考查了二次函数的应用，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．
16．（3分）如图，矩形和矩形，，，，，矩形绕点旋转，给出下列结论：①；②；③当时，；④，其中正确的结论 　②③　．

【分析】通过证明，由相似三角形的性质可求，可以判断①错误；由相似三角形的性质可得，由余角的性质可证，可以判断②正确；由勾股定理可求，可以判断④错误；分别求出，，即可判断③，即可求解．
【解答】解：矩形和矩形，，，，，
，，，
，，
，
，
，故①错误；
如图：设与交于点，

，
，
又，
，
，故②正确；
如图，连接，，，，

，，，，
，，
，
，，，，
，
，故④错误；
如图，过点作于，直线于，

，
四边形是矩形，
，，
，
，
，，
，，
．故③正确；
综上所述：正确的结论是②③．
故答案为：②③．
【点评】本题是四边形综合题，考查了矩形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，直角三角形的性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
三、解答题
17．（4分）解方程：．
【分析】先分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．
【解答】解：，
，
或，
，．
【点评】本题考查了解一元一次方程和解一元二次方程的应用，关键是能把解一元二次方程转化成解一元一次方程．
18．（4分）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点都在格点上．
（1）画出绕原点顺时针旋转后的△．
（2）求线段在旋转过程中所扫过的图形面积．

【分析】（1）根据关于原点对称的点的坐标特征写出、、的坐标，然后描点，连线组成三角形即可；
（2）根据扇形面积公式可得答案．
【解答】解：（1）如图：

△即为所求三角形；
（2），
线段在旋转过程中所扫过的图形面积为．
【点评】本题考查作图旋转变换，涉及扇形的面积，解题的关键是掌握关于原点对称的点的坐标特征．
19．（6分）已知二次函数，函数与自变量的部分对应值如下表：




0
1
2



5
0




（1）求该二次函数的表达式；
（2）根据二次函数图象，直接写出不等式的的取值范围．
【分析】（1）利用待定系数法确定函数关系式；
（2）根据函数的图象和性质求的取值范围即可．
【解答】解：（1）由表格可知抛物线的顶点坐标为．
设抛物线的解析式为，
抛物线过点，
，
，
二次函数的表达式为（或；
（2）抛物线开口向上，对称轴为直线，
点的对称点为，
不等式的的取值范围是或．
【点评】本题考查了二次函数与不等式（组，待定系数法求函数解析式，关键是求出函数的解析式．
20．（6分）某校准备从2名男生、和3名女生、、五人中选拔学生，代表学校参加区中学生“党史知识竞赛”．
（1）如果确定只需要一名女生参加，则女生被选中的概率是 　　（直接填写答案）；
（2）如果确定只需要两名学生参加，请用画树状图或列表法求恰好选中2名女生的概率．
【分析】（1）直接由概率公式求解即可；
（2）画树状图，共有20种等可能的结果，其中恰好选中2名女生的结果有6种，再由概率公式求解即可．
【解答】解：（1）如果确定只需要一名女生参加，则女生被选中的概率是，
故答案为：；
（2）画树状图如下：

共有20种等可能的结果，其中恰好选中2名女生的结果有6种，
恰好选中2名女生的概率为．
【点评】此题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
21．（8分）已知关于的一元二次方程有两个实数根．
（1）求实数的取值范围；
（2）若，是该方程的两个根，且满足，求的值．
【分析】（1）利用根的判别式△，即可求出答案；
（2）先将足转化成，再运用根与系数的关系即可求出答案．
【解答】解：（1）有两个不相等的实数根，
△，
，
；
（2），是该方程的两个根，
，，
，
，
或1．
【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式以及根与系数的关系，掌握根的判别式以及根与系数的关系的公式是解题关键．
22．（10分）（1）据统计，三月份的全天包车数为36次，在租金不变的基础上，四、五月的全天包车数持续走高，五月份的全天包车数达到81次．若从三月份到五月份的全天包车数月平均增长率不变，求全天包车数的月平均增长率；
（2）一段时间后，当全天包车的租金为每辆120元时，每月的全天包车数为60次，该公司决定降低租金，经调查发现，租金每降价1元，平均每月全天包车数增加2次，尽可能的减少租车次数．当租金降价多少元时，公司每月获得的租金总额为8800元？
【分析】（1）设全天包车数的月平均增长率为，利用五月份的全天包车数三月份的全天包车数全天包车数的月平均增长率），可得出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论；
（2）当租金降价元时，全天包车的租金为每辆元，每月的全天包车数为次，根据公司每月获得的租金总额为8800元，可得出关于的一元二次方程，解之即可得出值，再结合要尽可能的减少租车次数，即可得出租金需降价10元．
【解答】解：（1）设全天包车数的月平均增长率为，
根据题意得：，
解得：，（不符合题意，舍去）．
答：全天包车数的月平均增长率为；
（2）当租金降价元时，全天包车的租金为每辆元，每月的全天包车数为次，
根据题意得：，
整理得：，
解得：，，
又要尽可能的减少租车次数，
．
答：当租金降价10元时，公司每月获得的租金总额为8800元．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
23．（10分）如图，在中，，平分交于点，是上一点，经过、两点的分别交、于点、．
（1）用尺规补全图形（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）求证：与相切；
（3）当，时，求劣弧的长．

【分析】（1）线段的垂直平分线与的交点即为圆心；
（2）连接，根据角平分线的定义，可得，从而证明，得到，即可与相切；
（3）求出，设的中点为，则，在中求出，即可求劣弧的长．
【解答】（1）解：如图：

（2）证明：连接，
，
，
是的平分线，
，
，
，
，
，
，
点在圆上，
与相切；
（3）解：，
由（2）可知，
，
，
，
设的中点为，则，
在中，，，
，
劣弧的长．

【点评】本题考查圆的综合应用，熟练掌握圆的切线的判定及性质，平行线的性质，直角三角形的性质是解题的关键．
24．（12分）给出如下定义：若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称该四边形为勾股四边形．
（1）以下四边形中，是勾股四边形的为 　②③　（填序号即可）；
①平行四边形；②矩形；③有一个角为直角的任意凸四边形；④有一个角为的菱形．
（2）如图1，将绕顶点按顺时针方向旋转得到．
①连接，当，时，求证：四边形是勾股四边形．
②如图2，将绕点顺时针方向旋转得到，连接，与交于点，连接，若，，，求的长度．


【分析】（1）由勾股四边形的定义得出至少有一个内角是直角四边形必是勾股四边形，即可得出答案；
（2）①只要证明是直角三角形，再利用勾股定理旋转的性质即可解决问题．
②如图2中，延长交的延长线于．由，推出，由，推出，推出，根据计算即可．
【解答】（1）解：一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，
此四边形的内角中至少有一个角为直角，
①平行四边形的内角不一定有直角，
平行四边形不一定是勾股四边形；
②矩形的四个角都为直角，
矩形是勾股四边形；
③有一个角为直角的任意凸四边形，
此四边形为勾股四边形；
④有一个角为的菱形，
菱形的四个内角分别为，，，，
有一个角为的菱形不是勾股四边形，
故答案为：②③；

（2）①证明：如图1中，连接．

绕点顺时针旋转了到，
，，
是等边三角形．
，，
，
，
，
，
在中，，
，，
，
四边形是勾股四边形；

②解：如图2中，延长交的延长线于．

，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
．
【点评】本题是四边形综合题，主要考查了勾股定理，旋转的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质、平行线的判定和性质等知识，解本题的关键是理解勾股四边形的定义，学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．
25．（12分）已知：抛物线．
（1）求证：抛物线与轴有两个交点．
（2）设抛物线与轴的两个交点的横坐标分别为，（其中．若是关于的函数、且，求这个函数的表达式；
（3）若，将抛物线向上平移一个单位后与轴交于点、．平移后如图所示，过作直线，分别交的正半轴于点和抛物线于点，且．是线段上一动点，求的最小值．

【分析】（1）可求出根的判别式的值，由根的判别式的值直接判断；
（2）令，求出含的两个交点的横坐标，代入即可；
（3）求出平移后抛物线的解析式及，的坐标，求出直线的解析式及点的坐标，过作轴，过作于，过作轴于，证，推出，，而的最小值即到最小距离，即可写出的最小值．
【解答】（1）证明：△，
，
，
抛物线与轴有两个交点；

（2）解：令，则，
或，
，
且，
，，
，
；

（3）解：当时，则，
向上平移一个单位得，
令，则，
得，
，，
，
直线，
联立：，
解得，，，
即，，
，
在中，
，
过作轴，过作于，过作轴于，
轴，
，
又，
，
，
，
到最小距离为，
的最小值为的长度，
的最小值为．

【点评】本题考查了抛物线与坐标轴交点的求法，最短路径问题等，解题关键是能够通过作合适的辅助线，将相关线段的和的最小值转化为垂线段最短的问题等．