2022年中考数学分类汇编22讲专题22 与二次函数相关的压轴题

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专题22 与二次函数相关的压轴题
解答题
1．（2022·湖北鄂州）某数学兴趣小组运用《几何画板》软件探究y＝ax2（a＞0）型抛物线图象．发现：如图1所示，该类型图象上任意一点M到定点 F（0，）的距离MF，始终等于它到定直线l：y＝﹣上的距离MN（该结论不需要证明），他们称：定点F为图象的焦点，定直线l为图象的准线，y＝﹣叫做抛物线的准线方程．其中原点O为FH的中点，FH=2OF= ，例如，抛物线y＝x2，其焦点坐标为F（0，），准线方程为l：y＝﹣．其中MF=MN，FH=2OH=1．   

(1)【基础训练】请分别直接写出抛物线y＝2x2的焦点坐标和准线l的方程：　 　，　 　．
(2)【技能训练】如图2所示，已知抛物线y＝x2上一点P到准线l的距离为6，求点P的坐标；
(3)【能力提升】如图3所示，已知过抛物线y＝ax2（a＞0）的焦点F的直线依次交抛物线及准线l于点A、B、C．若BC＝2BF，AF＝4，求a的值；
(4)【拓展升华】古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：点C将一条线段AB分为两段AC和CB，使得其中较长一段AC是全线段AB与另一段CB的比例中项，即满足：＝＝．后人把这个数称为“黄金分割”把点C称为线段AB的黄金分割点．
如图4所示，抛物线y＝x2的焦点F（0，1），准线l与y轴交于点H（0，﹣1），E为线段HF的黄金分割点，点M为y轴左侧的抛物线上一点．当＝时，请直接写出△HME的面积值．
【答案】(1)（0，），，
(2)，4）或（，4 ）
(3)
(4)或
【分析】（1）根据交点和准线方程的定义求解即可；
（2）先求出点P的纵坐标为4，然后代入到抛物线解析式中求解即可；
（3）如图所示，过点B作BD⊥y轴于D，过点A作AE⊥y轴于E，证明△FDB∽△FHC，推出，则，点B的纵坐标为，从而求出，证明△AEF∽△BDF，即可求出点A的坐标为（，），再把点A的坐标代入抛物线解析式中求解即可；
（4）如图，当E为靠近点F的黄金分割点的时候，过点M作MN⊥l于N，则MN=MF，
先证明△MNH是等腰直角三角形，得到NH=MN，设点M的坐标为（m，），则，求出，然后根据黄金分割点的定义求出，则；同理可求当点E是靠近H的黄金分割点时△HME的面积．
(1)
解：由题意得抛物线y＝2x2的焦点坐标和准线l的方程分别为（0，），，
故答案为：（0，），，
(2)
解：由题意得抛物线y＝x2的准线方程为，
∵点P到准线l的距离为6，
∴点P的纵坐标为4，
∴当时，，
解得，
∴点P的坐标为（，4）或（，4 ）；
(3)
解：如图所示，过点B作BD⊥y轴于D，过点A作AE⊥y轴于E，
由题意得点F的坐标为F（0，）直线l的解析式为：y＝﹣，
∴，，
∴△FDB∽△FHC，
∴，
∵BC=2BF，
∴CF=3BF，
∴，
∴，
∴，
∴点B的纵坐标为，
∴，
解得（负值舍去），
∴，
∵，
∴△AEF∽△BDF，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴EF=2，
∴，
∴点A的坐标为（，），
∴，
∴，
∴，
解得（负值舍去）；

(4)
解：如图，当E为靠近点F的黄金分割点的时候，过点M作MN⊥l于N，则MN=MF，
∵在Rt△MNH中，，
∴∠MHN=45°，
∴△MNH是等腰直角三角形，
∴NH=MN，
设点M的坐标为（m，），
∴，
∴，
∴HN=2，
∵点E是靠近点F的黄金分割点，
∴，
∴；
同理当E时靠近H的黄金分割点点，，
∴，
∴，
综上所述，或

【点睛】本题主要考查了二次函数综合，相似三角形的性质与判定，解直角三角形，等腰直角三角形的性质与判定，黄金分割等，正确理解题意是解题的关键．
2．（2022·江苏无锡）已知二次函数图像的对称轴与x轴交于点A（1，0），图像与y轴交于点B（0，3），C、D为该二次函数图像上的两个动点（点C在点D的左侧），且．
(1)求该二次函数的表达式；(2)若点C与点B重合，求tan∠CDA的值；(3)点C是否存在其他的位置，使得tan∠CDA的值与（2）中所求的值相等？若存在，请求出点C的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】(1)(2)1(3)，，
【分析】（1）二次函数与y轴交于点，判断，根据，即二次函数对称轴为，求出b的值，即可得到二次函数的表达式；
（2）证明，得到，即，设，点D在第一象限，根据点的坐标写出长度，利用求出t的值，即可，的值，进一步得出tan∠CDA的值；
（3）根据题目要求，找出符合条件的点C的位置，在利用集合图形的性质，求出对应点C的坐标即可。
(1)解：∵二次函数与y轴交于点，
∴，即，
∵，即二次函数对称轴为，
∴，
∴，
∴二次函数的表达式为．
(2)解：如图，过点D作x轴的垂线，垂足为E，连接BD，


∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∵，，
∴，，
设：，点D在第一象限，
∴，，，
∴，
解得：（舍），（舍），
当时，，
∴，，
∴，

∵在中，
∴
(3)解：存在，
如图，（2）图中关于对称轴对称时，，


∵点D的坐标为，
∴此时，点C的坐标为，
如图，当点C、D关于对称轴对称时，此时AC与AD长度相等，即，
当点C在x轴上方时，


过点C作CE垂直于x轴，垂足为E，
∵，点C、D关于对称轴对称，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴，
设点C的坐标为，
∴，，
∴
解得：，（舍），
此时，点C的坐标为，
当点C在x轴下方时，


过点C作CF垂直于x轴，垂足为F，
∵，点C、D关于对称轴对称，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴，
设点C的坐标为，
∴，，
∴
解得：（舍），，
此时，点C的坐标为，
综上：点C的坐标为，，．
【点睛】本题考查二次函数的综合问题，运用数形结合、分类讨论及方程思想是解题的关键．
3．（2022·山西）综合与探究
如图，二次函数的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点P是第一象限内二次函数图象上的一个动点，设点P的横坐标为m．过点P作直线轴于点D，作直线BC交PD于点E


(1)求A，B，C三点的坐标，并直接写出直线BC的函数表达式；
(2)当是以PE为底边的等腰三角形时，求点P的坐标；
(3)连接AC，过点P作直线，交y轴于点F，连接DF．试探究：在点P运动的过程中，是否存在点P，使得，若存在，请直接写出m的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)，点C的坐标为；
(2)
(3)存在；m的值为4或
【解析】
【分析】
（1）令中y和x分别为0，即可求出A，B，C三点的坐标，利用待定系数法求直线BC的函数表达式；
（2）过点C作于点G，易证四边形CODG是矩形，推出，，，再证明，推出，由等腰三角形三线合一的性质可以得出， 则，由P点在抛物线上可得，联立解出m，代入二次函数解析式即可求出点P的坐标；
（3）分点F在y轴的负半轴上和点F在y轴的正半轴上两种情况，画出大致图形，当时，，由（2）知，用含m的代数式分别表示出OF，列等式计算即可．
(1)
解：由得，
当时，，
∴点C的坐标为．
当时，，
解得．
∵点A在点B的左侧，
∴点A，B的坐标分别为．
设直线BC的函数表达式为，
将，代入得，
解得，
∴直线BC的函数表达式为﹒
(2)
解：∵点P在第一象限抛物线上，横坐标为m，且轴于点D，
∴点P的坐标为，，
∴．
∵点B的坐标为，点C的坐标为，
∴，．
过点C作于点G，则．
∵，
∴四边形CODG是矩形，
∴，，．
∴．
∵，
∴．
∴，即，   
∴．
在中，
∵，
∴．
∴，
∴
解得（舍去），
∴．
当时，﹒
∴点P的坐标为．


(3)
解：存在；m的值为4或．
分两种情况，①当点F在y轴的负半轴上时，如下图所示，过点P作直线轴于点H，


∵过点P作直线，交y轴于点F，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
∵，
∴，
由（2）知，．   
根据勾股定理，在中，，
在中，，
当时，，
∵，
∴，
∴，
解得或，
∵点P是第一象限内二次函数图象上的一个动点，
∴；
②当点F在y轴的正半轴上时，如下图所示，


同理可得，，，，，
∴
∴，
解得或，
∵点P是第一象限内二次函数图象上的一个动点，
∴；
综上，m的值为4或
【点睛】
本题属于二次函数综合题，考查了二次函数、一次函数、等腰三角形、矩形、勾股定理、相似三角形等知识点，第三问难度较大，需要分情况讨论，画出大致图形，用含m的代数式表示出OF是解题的关键．
4．（2022·四川宜宾）如图，抛物线与x轴交于、两点，与y轴交于点，其顶点为点D，连结AC．


(1)求这条抛物线所对应的二次函数的表达式及顶点D的坐标；
(2)在抛物线的对称轴上取一点E，点F为抛物线上一动点，使得以点A、C、E、F为顶点、AC为边的四边形为平行四边形，求点F的坐标；
(3)在（2）的条件下，将点D向下平移5个单位得到点M，点P为抛物线的对称轴上一动点，求的最小值．
【答案】(1)，顶点D的坐标为
(2)或
(3)
【解析】
【分析】
（1）用待定系数法求解二次函数解析式，再化成顶点式即可得出顶点坐标；
（2）先用待定系数法求直线AC解析式为，再过点F作于点G，证，得，设F点的坐标为，则G点的坐标为，所以，即可求出或，从而求得点F坐标；
（3），是平移得得点M的坐标为，则（2）知点与点关于对称轴对称，连结，对称轴于点H，连结、，过点作于点N，交对称轴于点P，则，，．在中，，则在中，，所以，所以为最小值，根据，所以，即可求出．
(1)
解：∵抛物线经过点，，，
∴，解得：，
∴抛物线的解析式为：=-(x-1)2+4，
∴顶点D的坐标为；
(2)
解：设直线AC的解析式为：，
把点，代入得：，，
∴直线AC解析式为：，
过点F作于点G，


∵以A、C、E、F四点为顶点的四边形是以AC为边的平行四边形，
∴，AC=EF，
又∵，
∴
∴，
∴，
设F点的坐标为，
则G点的坐标为，
∴，
∴或，当时，，
∴，
当时，
∴，
∴或；
(3)
解：由题意，得点M的坐标为，
由题意知：点与点关于对称轴对称，
连结，对称轴于点H，连结、，过点作于点N，交对称轴于点P，则，，．


在中，，则在中，
∴，
又∵
∴为最小值，
又∵，
∴，
∴求得的最小值为．
【点睛】
本题考查用待定系数法求函数解析式，二次函数图象性质，平行四边形的性质，解直角三角形，利用轴对称求最小值，本题属二次函数综合题目，掌握二交次函数图象性质和灵活运用是解题的关键．
5．（2022·湖北恩施）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线与y轴交于点．

(1)直接写出抛物线的解析式．
(2)如图，将抛物线向左平移1个单位长度，记平移后的抛物线顶点为Q，平移后的抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的右侧），与y轴交于点C．判断以B、C、Q三点为顶点的三角形是否为直角三角形，并说明理由．
(3)直线BC与抛物线交于M、N两点（点N在点M的右侧），请探究在x轴上是否存在点T，使得以B、N、T三点为顶点的三角形与相似，若存在，请求出点T的坐标；若不存在，请说明理由．
(4)若将抛物线进行适当的平移，当平移后的抛物线与直线BC最多只有一个公共点时，请直接写出拋物线平移的最短距离并求出此时抛物线的顶点坐标．
【答案】(1)
(2)以B、C、Q三点为顶点的三角形是直角三角形，理由见解析
(3)存在，或，
(4)最短距离为，平移后的顶点坐标为
【分析】（1）待定系数法求二次函数解析式；
（2）分别求得B、C、Q的坐标，勾股定理的逆定理验证即可求解；
（3）由，故分两种情况讨论，根据相似三角形的性质与判定即可求解；
（4）如图，作且与抛物线只有1个交点，交轴于点，过点作于点，则是等腰直角三角形，作于，进而求得直线与的距离，即为所求最短距离，进而求得平移方式，将顶点坐标平移即可求解．
(1)
解：∵抛物线与y轴交于点
∴
抛物线解析式为
(2)
以B、C、Q三点为顶点的三角形是直角三角形，理由如下：
的顶点坐标为
依题意得，
平移后的抛物线解析式为
令，解
得

令，则，即


以B、C、Q三点为顶点的三角形是直角三角形
(3)
存在，或，理由如下，
，，

是等腰直角三角形
设直线的解析式为，
则，
解得，
直线的解析式为，
联立
解得，

，，是等腰直角三角形
，
设直线的解析式为,


直线的解析式为
当时，


设的解析式为，由NT过点
则
解得
的解析式为，
令
解得


，



②当时，则
即
解得


综上所述，或
(4)
如图，作，交轴于点，过点作于点，则是等腰直角三角形，作于


直线的解析式为
设与平行的且与只有一个公共点的直线解析式为
则
整理得：
则
解得
直线的解析式为
，

即拋物线平移的最短距离为，方向为方向


∴把点P先向右平移EF的长度，再向下平移FC的长度即得到平移后的坐标
平移后的顶点坐标为，即
【点睛】本题是二次函数综合，考查了相似三角形的性质，求二次函数与一次函数解析式，二次函数图象的平移，勾股定理的逆定理，正确的添加辅助线以及正确的计算是解题的关键．
6．（2022·广西玉林）如图，已知抛物线：与x轴交于点A，（A在B的左侧），与y轴交于点C，对称轴是直线，P是第一象限内抛物线上的任一点．


(1)求抛物线的解析式；
(2)若点D为线段的中点，则能否是等边三角形？请说明理由；
(3)过点P作x轴的垂线与线段交于点M，垂足为点H，若以P，M，C为顶点的三角形与相似，求点P的坐标．
【答案】(1)
(2)不能，理由过程见详解
(3)(1,4)或者()
【分析】（1）根据抛物线对称轴即可求出b，再根据抛物线过B点即可求出C，则问题得解；
（2）假设△POD是等边三角形，过P点作PN⊥OD于N点，根据等边三角形的性质即可求出P点坐标，再验证P点是否在抛物线上即可求证；
（3）先根据PH⊥BO，求得∠MHB=90°，根据（2）中的结果求得OC=4，根据B点(2,0)，可得OB=2，则有tan∠CBO=2，分类讨论：第一种情况：△BMH∽△CMP，即可得，即P点纵坐标等于C点纵坐标则可求出此时P点坐标为(1,4)；第二种情况：△BMH∽△PMC，过P点作PG⊥y轴于点G，先证明∠GCP=∠OBC，即有tan∠GCP=2，即有2GC=GP，设GP=a，则GC=，即可得PH=OG=+4，则有P点坐标为(a,+4)，代入到抛物线即可求出a值，则此时P点坐标可求．
(1)
∵的对称轴为，
∴，即b=2，
∵过B点(2,0)，
∴，
∴结合b=2可得c=4，
即抛物线解析式为：；
(2)
△POD不可能是等边三角形，
理由如下：
假设△POD是等边三角形，过P点作PN⊥OD于N点，如图，


∵当x=0时，，
∴C点坐标为(0,4)，
∴OC=4，
∵D点是OC的中点，
∴DO=2，
∵在等边△POD中，PN⊥OD，
∴DN=NO=DO=1，
∵在等边△POD中，∠NOP=60°，
∴在Rt△NOP中，NP=NO×tan∠NOP=1×tan60°=，
∴P点坐标为(,1)，
经验证P点不在抛物线上，
故假设不成立，
即△POD不可能是等边三角形；
(3)
∵PH⊥BO，
∴∠MHB=90°，
根据（2）中的结果可知C点坐标为(0,4)，
即OC=4，
∵B点(2,0)，
∴OB=2，
∴tan∠CBO=2，
分类讨论
第一种情况：△BMH∽△CMP，
∴∠MHB=∠MPC=90°，
∴，
∴即P点纵坐标等于C点纵坐标，也为4，
当y=4时，，
解得：x=1或者0，
∵P点在第一象限，
∴此时P点坐标为(1,4)，
第二种情况：△BMH∽△PMC，
过P点作PG⊥y轴于点G，如图，


∵△BMH∽△PMC，
∴∠MHB=∠MCP=90°，
∴∠GCP+∠OCB=90°，
∵∠OCB+∠OBC=90°，
∴∠GCP=∠OBC，
∴tan∠GCP=tan∠OBC=2，
∵PG⊥OG，
∴在Rt△PGC中，2GC=GP，
设GP=a，
∴GC=，
∴GO=+OC=+4，
∵PG⊥OG，PH⊥OH，
∴可知四边形PGOH是矩形，
∴PH=OG=+4，
∴P点坐标为(a,+4)，
∴，
解得：a=或者0，
∵P点在第一象限，
∴a=，
∴，
此时P点坐标为()；
∵△BMH与△PCM中，有∠BMH=∠PMC恒相等，
∴△PCM中，当∠CPM为直角时，若∠PCM=∠BMH，则可证△PCM是等腰直角三角形，
通过相似可知△BMH也是等腰直角三角形，这与tan∠CBO=2相矛盾，故不存在当∠CPM为直角时，∠PCM=∠BMH相等的情况；
同理不存在当∠PCM为直角时，∠CPM=∠BMH相等的情况，
综上所述：P点坐标为：(1,4)或者()．
【点睛】本题考查了求解抛物线解析式、二次函数的图像与性质、等边三角形的判定、相似三角形的性质、解直角三角形等知识，掌握二次函数的图像与性质是解答本题的关键．
7．（2022·广西）已知抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧）．


(1)求点A，点B的坐标；
(2)如图，过点A的直线与抛物线的另一个交点为C，点P为抛物线对称轴上的一点，连接，设点P的纵坐标为m，当时，求m的值；
(3)将线段AB先向右平移1个单位长度，再向上平移5个单位长度，得到线段MN，若抛物线与线段MN只有一个交点，请直接写出a的取值范围．
【答案】(1)A（-1，0），B（3，0）
(2)-3
(3)或或
【分析】（1）令，由抛物线解析式可得，解方程即可确定点A，点B的坐标；
（2）由抛物线解析式确定其对称轴为，可知点P（1，m），再将直线l与抛物线解析式联立，解方程组可确定点C坐标，由列方程求解即可；
（3）根据题意先确定点M（0，5）、N（4，5），令，整理可得，根据一元二次方程的根的判别式为可知，然后分情况讨论时以及结合图像分析a的取值范围．
(1)
解：抛物线解析式，令，
可得，
解得，，
故点A、B的坐标分别为A（-1，0），B（3，0）；
(2)
对于抛物线，其对称轴为，
∵点P为抛物线对称轴上的一点，且点P的纵坐标为m，
∴P（1，m），
将直线l与抛物线解析式联立，可得
，可解得 或，
故点C坐标为（4，-5），
∴，
，
当时，可得，
解得；
(3)
将线段AB先向右平移1个单位长度，再向上平移5个单位长度，得到线段MN，
结合（1），可知M（0，5）、N（4，5），
令，整理可得，
其判别式为，
①当时，解得，此时抛物线与线段MN只有一个交点；
②当即时，解方程，
可得，
即，，
若时，如图1，
由，可解得，


此时有，且，
解得；
②当时，如图2，
由，可解得，


此时有，且，
解得；
综上所述，当抛物线与线段MN只有一个交点时，a的取值范围为或或．
【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，包括求二次函数与x轴的交点、利用二次函数解决图形问题等知识，解题关键是熟练运用数形结合和分类讨论的思想分析问题．
8．（2022·福建）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线经过A（4，0），B（1，4）两点．P是抛物线上一点，且在直线AB的上方．

(1)求抛物线的解析式；(2)若△OAB面积是△PAB面积的2倍，求点P的坐标；
(3)如图，OP交AB于点C，交AB于点D．记△CDP，△CPB，△CBO的面积分别为，，．判断是否存在最大值．若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)存在，或（3，4）
(3)存在，
【分析】（1）待定系数法求解析式即可求解；
（2）待定系数法求得直线AB的解析式为，过点P作PM⊥x轴，垂足为M，PM交AB于点N．过点B作BE⊥PM，垂足为E．可得，设，则．由，解方程求得的值，进而即可求解；
（3）由已知条件可得，进而可得，过点分别作轴的垂线，垂足分别，交于点，过作的平行线，交于点，可得，设，，则，根据可得，根据，根据二次函数的性质即可求的最大值．
(1)
解：（1）将A（4，0），B（1，4）代入，
得，
解得．
所以抛物线的解析式为．
(2)
设直线AB的解析式为，
将A（4，0），B（1，4）代入，
得，
解得．
所以直线AB的解析式为．
过点P作PM⊥x轴，垂足为M，PM交AB于点N．
过点B作BE⊥PM，垂足为E．

所以


．
因为A（4，0），B（1，4），所以．
因为△OAB的面积是△PAB面积的2倍，
所以，．
设，则．
所以，
即，
解得，．
所以点P的坐标为或（3，4）．
(3)



记△CDP，△CPB，△CBO的面积分别为，，．则
如图，过点分别作轴的垂线，垂足分别，交于点，过作的平行线，交于点

，




，
设
直线AB的解析式为．
设，则




整理得






时，取得最大值，最大值为
【点睛】本题考查了二次函数综合，待定系数法求解析式，面积问题，相似三角形的性质与判定，第三问中转化为线段的比是解题的关键．
9．（2022·贵州黔东南）如图，抛物线的对称轴是直线，与轴交于点，，与轴交于点，连接．


(1)求此抛物线的解析式；
(2)已知点是第一象限内抛物线上的一个动点，过点作轴，垂足为点，交直线于点，是否存在这样的点，使得以，，为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由；
(3)已知点是抛物线对称轴上的点，在坐标平面内是否存在点，使以点、、、为顶点的四边形为矩形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)存在这样的点（2，1）或或，使得以，，为顶点的三角形是等腰三角形
(3)存在点的坐标为（4，1）或（-2，1）或或．
【分析】（1）根据抛物线的对称轴是直线，可得a=-1，再把点代入，即可求解；
（2）先求出，设点N（m，-m+3），可得，，再分三种情况讨论：当AC=AN时，当AC=CN时，当AN=CN时，即可求解；
（3）设点E（1，n），点F（s，t），然后分两种情况讨论：当BC为边时，当BC为对角线时，即可求解．
(1)
解：∵抛物线的对称轴是直线，
∴，解得：a=-1，
∵抛物线过点，
∴，解得：c=3，
∴抛物线解析式为；
(2)
解：存在这样的点，使得以，，为顶点的三角形是等腰三角形．理由如下：
令y=0，则，
解得：，
∴点A的坐标为（-1，0），
∴OA=1，
当x=0时，y=3，
∴点C的坐标为（0，3），即OC=3，
∴，
设直线BC的解析式为，
把点B（3，0），C（0，3）代入得：
，解得：，
∴直线BC的解析式为，
设点N（m，-m+3），
∴MN=-m+3，AM=m+1，
∴，，
当AC=AN时，，
解得：m=2或0（舍去），
∴此时点N（2，1）；
当AC=CN时，，
解得：或（舍去），
∴此时点N；
当AN=CN时，，
解得：，
∴此时点N；
综上所述，存在这样的点（2，1）或或，使得以，，为顶点的三角形是等腰三角形；
(3)
解：存在，理由如下：
∵点B（3，0），C（0，3），
∴OB=OC，
∴BC，
设点E（1，n），点F（s，t），
当BC为边时，点C向右平移3个单位向下平移3个单位得到点B，同样E（F）向右平移3个单位向下平移3个单位得到点F（E），且BE=CF（CE=BF），如图，


∴或，
解得：或，
∴此时点F的坐标为（4，1）或（-2，1）；
当BC为对角线时，BC=EF，且EF与BC的中点重合，如图，


，解得：或，
∴此时点F的坐标为或；
综上所述，存在点的坐标为（4，1）或（-2，1）或或．
【点睛】本题主要考查了二次函数的综合题，熟练掌握二次函数的图象和性质，等腰三角形的性质，矩形的性质，并利用分类讨论思想解答是解题的关键是解题的关键．
10．（2022·湖南长沙）若关于x的函数y，当时，函数y的最大值为M，最小值为N，令函数，我们不妨把函数h称之为函数y的“共同体函数”．
(1)①若函数，当时，求函数y的“共同体函数”h的值；
②若函数（，k，b为常数），求函数y的“共同体函数”h的解析式；
(2)若函数，求函数y的“共同体函数”h的最大值；
(3)若函数，是否存在实数k，使得函数y的最大值等于函数y的“共同体函数”h的最小值．若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)①；②时，，时，
(2)
(3)时，存在
【分析】（1）①根据新定义结合正比例函数的性质即可求解；
②根据新定义结合一次函数的性质即可求解；
（2）根据新定义结合反比例函数的性质列出，根据二次函数的性质即可求解；
（3）根据新定义结合二次函数的性质即可求解．
(1)
解：①当时，则，即，
，，随的增大而增大，
，
②若函数，当时，，
，
，
当时，则，
，
综上所述，时，，时，，
(2)
解：对于函数，
，，函数在第一象限内，随的增大而减小，
，
解得，
当时，
，
，
∵当时，随的增大而增大，
当时，取得最小值，此时取得最大值，
最大值为；
(3)
对于函数，
，抛物线开口向下，
时，随的增大而增大，
时，随的增大而减小，
当时，函数y的最大值等于，
在时，
①当时，即时，，，
，
的最小值为（当时），
若，
解得，
但，故不合题意，故舍去；
②当时，即时，，，
，
的最小值为（当时），
若，
解得，
但，故不合题意，故舍去
③当时，即时，，
i)当时，即时


对称轴为，，抛物线开口向上，在上，
当2时，有最小值，

解得
i i)当 时，即时，，
，
，
对称轴为，，抛物线开口向上，在上，
当2时，有最小值，

解得
综上所述，时，存在．
【点睛】本题考查了函数新定义，要掌握一次函数，反比例数，二次函数的性质，难点在于分类讨论时，的取值范围的取舍．
11．（2022·湖北武汉）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线的顶点为A，与y轴交于点C，线段轴，交该抛物线于另一点B．


(1)求点B的坐标及直线的解析式：(2)当二次函数的自变量x满足时，此函数的最大值为p，最小值为q，且．求m的值：
(3)平移抛物线，使其顶点始终在直线上移动，当平移后的抛物线与射线BA只有一个公共点时，设此时抛物线的顶点的横坐标为n，请直接写出n的取值范围．
【答案】(1)B（2，-3），直线AC为：y=-x-3；
(2)m=或m=；
(3)n=或1＜n≤4；
【分析】（1）求得抛物线与y轴交点C，再由对称轴x=1求得点B坐标，由点A、C坐标待定系数法求直线AC解析式即可；
（2）利用二次函数的对称性分情况讨论：①当m+2≤1时，x=m时取最大值，x=m+2时取最小值，②当m+2＞1且m＜1，1-m＞m+2-1时，x=m时取最大值，x=1时取最小值，③当m+2＞1且m＜1，1-m＜m+2-1时，x=m+2时取最大值，x=1时取最小值，④当m≥1时，x=m+2时取最大值，x=m时取最小值；根据列方程求解即可；
（3）过点A作直线AE⊥BC于E，作直线AF⊥y轴于F，根据坐标特征求得AECF是正方形，于是点A沿直线AC平移时，横纵坐标平移距离相等；结合图形可得设抛物线向左平移到与直线AB只有1个交点时与射线BA也只有一个交点，由平移后的抛物线与直线BA联立求值即可；当抛物线由点A向右平移至左半部分过点B时，与射线BA也只有一个交点，将B点坐标代入平移后的抛物线计算求值即可；
(1)
解：，
∴顶点坐标A（1，-4），对称轴x=1，
当x=0时y=-3，即C（0，-3），
点B、C关于对称轴x=1对称，则B（2，-3），
设直线AC：y=kx+b，由A（1，-4），C（0，-3），可得
，解得：
∴直线AC为：y=-x-3；
(2)
解：①当m+2≤1时，即m≤-1时，
x=m时取最大值，x=m+2时取最小值，
∴，
解得：，不符合题意；
②当m+2＞1且m＜1，1-m＞m+2-1时，即-1＜m＜0时，
x=m时取最大值，x=1时取最小值，
∴，
解得：m=，或m=（舍去），
③当m+2＞1且m＜1，1-m＜m+2-1时，即0＜m＜1时，
x=m+2时取最大值，x=1时取最小值，
∴，
解得：m=，m=（舍去），
④当m≥1时，
x=m+2时取最大值，x=m时取最小值，
∴，
解得：，不符合题意；
m=0时，二次函数在0≤x≤2上最大值-3，最小值-4，-3-（-4）=1不符合题意；
综上所述：m=或m=；
(3)
解：由题意作图如下，过点A作直线AE⊥BC于E，作直线AF⊥y轴于F，


由A（1，-4）、B（2，-3）可得
直线AB解析式为：y=x-5，
∵C（0，-3），
∴F（0，-4），E（1，-3），
∵AF=1，AE=1，CF=1，CE=1，∠AEC=90°，
∴四边形AECF是正方形，
∴∠CAE=∠CAF=45°，
根据对顶角相等，可得当点A沿直线AC平移m长度时，横坐标平移m•cos45°，纵坐标平移m•cos45°，
即点A沿直线AC平移时，横纵坐标平移距离相等，
设抛物线向左平移m单位后，与直线AB只有1个交点，则


令△=0，解得：m=，
∴n=1-=，
由图象可得当抛物线由点A向右平移至左半部分过点B时，与射线BA只有一个交点，
设抛物线向右平移m单位后，左半部分过点B，则
B（2，-3）在抛物线上，
，
解得：m=0（舍去）或m=3，
∴1＜n≤4，
综上所述n=或1＜n≤4；
【点睛】本题考查了一次函数和二次函数的综合，根据二次函数的对称性求最值，二次函数的平移，三角函数等知识；数形结合，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题关键．
12．（2022·内蒙古通辽）如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，直线方程为．

(1)求抛物线的解析式；
(2)点为抛物线上一点，若，请直接写出点的坐标；
(3)点是抛物线上一点，若，求点的坐标．
【答案】(1)y=-x2+4x-3
(2)(,)或(,)或（,）或(,)
(3)(,)
【分析】（1）先根据一次函数解析式求出点B、C坐标；再代入，求出b、c 即可求解；
（2）过点A作AN⊥BC于N，过点P作PM⊥BC于M，过点P作PEBC，交y轴于E,交抛物线于p1,p2，过点E作EF⊥BC于F，先求出AN=，再根据两三角形面积关系，求得PM=，从而求得CE=1，则点P是将直线BC向上或向下平移1个单位与抛物线的交点，联立解析式即可求出交点坐标；
（3）过点Q作AD⊥CQ于D，过点D作DF⊥x轴于F财富点C作CE⊥DF于E，证△CDE≌△DAD（AAS），得DE=AF，CE=DF，再证四边形OCEF是矩形，得OF=CE，EF=OC=3，然后设DE=AF=n，则CE=DF=OF=n+1， DF=3-n，则n+1=3-n，解得：n=1，即可求出D(2,-2),用待定系数法求直线CQ解析式为y=x-3，最后联立直线与抛物线解析式，求出交点坐标即可求解．
(1)
解：对于直线BC解析式y=x-3，
令x=0时，y=-3，
则C(0,-3)，
令y=0时，x=3，
则B(3,0)，
把B(3,0)，C(0,-3)，分别代入，得
，解得：，
∴求抛物线的解析式为：y=-x2+4x-3；
(2)
解：对于抛物线y=-x2+4x-3，
令y=0，则-x2+4x-3=0，解得：x1=1,x2=3,
∴A(1,0)，B(3,0)，
∴OA=1，OB=3，AB=2，
过点A作AN⊥BC于N，过点P作PM⊥BC于M，如图，

∵A(1,0)，B(3,0)，C(0,-3)，
∴OB=OC=3，AB=2，
∴∠ABC=∠OCB=45°，
∴AN=，
∵，
∴PM=，
过点P作PEBC，交y轴于E，过点E作EF⊥BC于F，
则EF= PM=，
∴CE=1
∴点P是将直线BC向上或向下平移1个单位，与抛物线的交点，如图P1，P2，P3，P4，
∵B(3,0)，C(0,-3)，
∴直线BC解析式为：y=x-3，
∴平移后的解析式为y=x-2或y=x-4,
联立直线与抛物线解析式，得
或，
解得：，，，，
∴P点的坐标为(,)或(,)或（,）或(,)．
(3)
解：如图，点Q在抛物线上，且∠ACQ=45°，过点Q作AD⊥CQ于D，过点D作DF⊥x轴于F，过点C作CE⊥DF于E，

∵∠ADC=90°，
∴∠ACD=∠CAD=45°，
∴CD=AD，
∵∠E=∠AFD=90°，
∴∠ADF=90°-∠CDE=∠DCE，
∴△CDE≌△DAD（AAS），
∴DE=AF，CE=DF，
∵∠COF=∠E=∠AFD=90°，
∴四边形OCEF是矩形，
∴OF=CE，EF=OC=3，
设DE=AF=n，
∵OA=1，
∴CE=DF=OF=n+1
∴DF=3-n，
∴n+1=3-n
解得：n=1，
∴DE=AF=1，
∴CE=DF=OF=2，
∴D(2,-2),
设直线CQ解析式为y=px-3，
把D(2,-2)代入，得p=,
∴直线CQ解析式为y=x-3，
联立直线与抛物线解析式，得

解得：，（不符合题意，舍去），
∴点Q坐标为(,).
【点睛】本题属二次函数与一次函数综合题目，考查了用待定系数法求函数解析式，一次函数图象平行，全等三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，熟练掌握一次函数与二次函数的图象性质是解题的关键．
13．（2022·山东烟台）如图，已知直线y＝x+4与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线y＝ax2+bx+c经过A，C两点，且与x轴的另一个交点为B，对称轴为直线x＝﹣1．

(1)求抛物线的表达式；(2)D是第二象限内抛物线上的动点，设点D的横坐标为m，求四边形ABCD面积S的最大值及此时D点的坐标；(3)若点P在抛物线对称轴上，是否存在点P，Q，使以点A，C，P，Q为顶点的四边形是以AC为对角线的菱形？若存在，请求出P，Q两点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)y＝﹣x2﹣x+4
(2)S最大＝，D（﹣，5）
(3)存在，Q（﹣2，）
【分析】（1）先求得A，C，B三点的坐标，将抛物线设为交点式，进一步求得结果；
（2）作DF⊥AB于F，交AC于E，根据点D和点E坐标可表示出DE的长，进而表示出三角形ADC的面积，进而表示出S的函数关系式，进一步求得结果；
（3）根据菱形性质可得PA＝PC，进而求得点P的坐标，根据菱形性质，进一步求得点Q坐标．
(1)
解：当x＝0时，y＝4，
∴C （0，4），
当y＝0时，x+4＝0，
∴x＝﹣3，
∴A （﹣3，0），
∵对称轴为直线x＝﹣1，
∴B（1，0），
∴设抛物线的表达式：y＝a（x﹣1）•（x+3），
∴4＝﹣3a，
∴a＝﹣，
∴抛物线的表达式为：y＝﹣（x﹣1）•（x+3）＝﹣x2﹣x+4；
(2)
如图1，

作DF⊥AB于F，交AC于E，
∴D（m，﹣﹣m+4），E（m，﹣m+4），
∴DE＝﹣﹣m+4﹣（m+4）＝﹣m2﹣4m，
∴S△ADC＝OA＝•（﹣m2﹣4m）＝﹣2m2﹣6m，
∵S△ABC＝＝＝6，
∴S＝﹣2m2﹣6m+6＝﹣2（m+）2+，
∴当m＝﹣时，S最大＝，
当m＝﹣时，y＝﹣＝5，
∴D（﹣，5）；
(3)
设P（﹣1，n），
∵以A，C，P，Q为顶点的四边形是以AC为对角线的菱形，
∴PA＝PC，
即：PA2＝PC2，
∴（﹣1+3）2+n2＝1+（n﹣4）2，
∴n＝，
∴P（﹣1，），
∵xP+xQ＝xA+xC，yP+yQ＝yA+yC
∴xQ＝﹣3﹣（﹣1）＝﹣2，yQ＝4﹣＝，
∴Q（﹣2，）．
【点睛】本题考查了二次函数及其图象性质，勾股定理，菱形性质等知识，解决问题的关键是熟练掌握相关二次函数和菱形性质
14．（2022·山东聊城）如图，在直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点，对称轴为直线，顶点为点D．

(1)求二次函数的表达式；
(2)连接DA，DC，CB，CA，如图①所示，求证：；
(3)如图②，延长DC交x轴于点M，平移二次函数的图象，使顶点D沿着射线DM方向平移到点且，得到新抛物线，交y轴于点N．如果在的对称轴和上分别取点P，Q，使以MN为一边，点M，N，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，求此时点Q的坐标．
【答案】(1)
(2)见解析
(3)点或(5，-8)
【分析】（1）根据抛物线对称轴和点C坐标分别确定b和c的值，进而求得结果；
（2）根据点A，D，C坐标可得出AD，AC，CD的长，从而推出三角形ADC为直角三角形，进而得出∠DAC和∠BCO的正切值相等，从而得出结论；
（3）先得出y1的顶点，进而得出先抛物线的表达式，从而求得M和N的坐标，点M，N，P，Q为顶点的四边形是平行四边形分为▱MNQP和▱MNPQ，根据M，N和点P的横坐标可以得出Q点的横坐标，进而求得结果．
(1)
解：由题意得，
，
∴，
∴二次函数的表达式为：；
(2)
证明：∵当时，，
∴，
由得，
，，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
(3)
解：如图，

作轴于E，作轴于F，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴的关系式为：，
由得，
或，
∴，
当时，，
∴，
设，
当四边形是平行四边形时，
∴，，
∴Q点的横坐标为，
当时，，
∴，
当四边形是平行四边形时，
同理可得：点Q横坐标为：5，
当时，，
∴，
综上所述：点或（5，）．
【点睛】本题考查了求二次函数的表达式，勾股定理的逆定理，相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质和分类等知识，解决问题的关键熟练掌握有关基础知识．
15．（2022·黑龙江齐齐哈尔）综合与探究
如图，某一次函数与二次函数的图象交点为A（-1，0），B（4，5）．


(1)求抛物线的解析式；
(2)点C为抛物线对称轴上一动点，当AC与BC的和最小时，点C的坐标为 ；
(3)点D为抛物线位于线段AB下方图象上一动点，过点D作DE⊥x轴，交线段AB于点E，求线段DE长度的最大值；
(4)在（2）条件下，点M为y轴上一点，点F为直线AB上一点，点N为平面直角坐标系内一点，若以点C，M，F，N为顶点的四边形是正方形，请直接写出点N的坐标．
【答案】(1)
(2)（1，2）
(3)
(4)
【分析】（1）将A（-1，0），B（4，5）代入得到关于m，n的二元一次方程组求解即可；
（2）抛物线的对称轴为，求出直线AB与对称轴的交点即可求解；
（3）设，则，则，根据二次函数的性质求解即可；
（4）根据题意画出图形，分情况求解即可．
(1)
解：将A（-1，0），B（4，5）代入得， ，
解这个方程组得，
抛物线的解析式为：；
(2)
解：如图，设直线AB的解析式为：，
把点 A（-1，0），B（4，5）代入，
得，
解得 ，
直线AB的解析式为： ，
由（1）知抛物线的对称轴为，
点C为抛物线对称轴上一动点，，
当点C在AB上时，最小，
把x=1代入，得y=2，
点C的坐标为（1，2）；


(3)
解：如图，由（2）知 直线AB的解析式为y=x+1
设，则，
则，
当时，DE有最大值为，


(4)
解：如图，直线AB的解析式为：y=x+1，
直线与y轴的交点为D（0，1），
，
，
若以点C，M，F，N为顶点的四边形是正方形，分情况讨论：
①过点C作轴于点，则为等腰直角三角形，过点C作 ，则四边形 为正方形，
依题意，知D与F重合，点 的坐标为（1，1）；


②以为中心分别作点F，点C点的对称点 ，连接，则四边形是正方形，则点的坐标为（-1，2）；


③延长到使，作于点，则四边形是正方形，则的坐标为（1，4）；


④取的中点，的中点，则为正方形，则的坐标为，


综上所述，点N的坐标为：
【点睛】本题考查了用待定系数法求一次函数和二次函数的解析式，二次函数的性质，正方形的判定，根据题意正确画图是解本题的关键．
16．（2022·湖南）如图，已知抛物线的图像与轴交于，两点，与轴交于点，点为抛物线的顶点．

(1)求抛物线的函数表达式及点的坐标；
(2)若四边形为矩形，．点以每秒1个单位的速度从点沿向点运动，同时点以每秒2个单位的速度从点沿向点运动，一点到达终点，另一点随之停止．当以、、为顶点的三角形与相似时，求运动时间的值；
(3)抛物线的对称轴与轴交于点，点是点关于点的对称点，点是轴下方抛物线图像上的动点．若过点的直线与抛物线只有一个公共点，且分别与线段、相交于点、，求证：为定值．
【答案】(1)；顶点为
(2)或
(3)见解析
【分析】（1）设二次函数表达式为：，将、代入，进行计算即可得，根据二次函数的性质即可得；
（2）依题意，秒后点的运动距离为，则，点的运动距离为，分情况讨论：①当时，②当时，进行解答即可得；
（3）根据对称的性质得，根据直线与抛物线图像只有一个公共点，即可得，利用待定系数法可得直线的解析式为：，直线的解析式为：，联立，结合已知，解得：，同理可得：，运用三角函数求出GH，GK即可得．
(1)
解：设二次函数表达式为：，
将、代入得：
，
解得，，
抛物线的函数表达式为：，
又，，
顶点为；
(2)
解：依题意，秒后点的运动距离为，则，点的运动距离为．
①当时，
，
解得；
②当时，
，
解得；
综上得，当或时，以、、为顶点的三角形与相似；
(3)
解：点关于点的对称点为点，
，
直线与抛物线图像只有一个公共点，
只有一个实数解，
△，
即：，
解得：，
利用待定系数法可得直线的解析式为：，直线的解析式为：，
联立，结合已知，
解得：，
同理可得：，
则：，，
，
的值为．
【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式，相似三角形的判定与性质，函数与方程的关系，一元二次方程根的判别式等知识，联立两函数关系求出点和的横坐标是解题的关键．
17．（2022·内蒙古包头）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点，点B的坐标是，顶点C的坐标是，M是抛物线上一动点，且位于第一象限，直线与y轴交于点G．

(1)求该抛物线的解析式；
(2)如图1，N是抛物线上一点，且位于第二象限，连接，记的面积分别为．当，且直线时，求证：点N与点M关于y轴对称；
(3)如图2，直线与y轴交于点H，是否存在点M，使得．若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)见解析
(3)存在，
【分析】（1）利用待定系数法求解抛物线的解析式即可；
（2）如图．过点M作轴，垂足为D．当与都以为底时，可得．再求解，，直线的解析式为．直线的解析式为，可得 ．从而可得答案；
（3）过点M作轴，垂足为E．设，则．由， 可得．同理可得．再利用，建立方程方程即可．
(1)
解：∵抛物线与x轴交于点，顶点为，
∴解得
∴该抛物线的解析式为．
(2)
证明：如图．过点M作轴，垂足为D．

当与都以为底时，
∵，∴．
当时，则，
解得．
∵，∴，
∴．设点M的坐标为，
∵点M在第一象限，∴，
∴，∴．
设直线的解析式为，
∴解得
∴直线的解析式为．
设直线的解析式为，
∵直线，∴，
∴，∵，∴．
∴直线的解析式为，将其代入中，
得，∴，解得．
∵点N在第二象限，∴点N的横坐标为，
∴，∴．
∵，
∴点N与点M关于y轴对称．
(3)
如图．

存在点M，使得．理由如下：
过点M作轴，垂足为E．
∵，
∴．
∵，∴，∴．
在和中，
∵，∴，
∴．
∵，∴，
在和中，∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴．
当时，，
∴．
∴存在点，使得．
【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解抛物线的解析式，一次函数的解析式，二次函数的性质，二次函数与一次函数的交点坐标问题，锐角三角函数的应用，作出适当的辅助线构建直角三角形是解本题的关键．
18．（2022·广西梧州）如图，在平面直角坐标系中，直线分别与x，y轴交于点A，B，抛物线恰好经过这两点．

(1)求此抛物线的解析式；
(2)若点C的坐标是，将绕着点C逆时针旋转90°得到，点A的对应点是点E．
①写出点E的坐标，并判断点E是否在此抛物线上；
②若点P是y轴上的任一点，求取最小值时，点P的坐标．
【答案】(1)
(2)①点E在抛物线上；②（0，）
【分析】（1）先求出A、B坐标，然后根据待定系数法求解即可；
（2）①根据旋转的性质求出EF=AO=3，CF=CO=6，从而可求E的坐标，然后把E的坐标代入（1）的函数解析式中，从而判断出点E是否在抛物线上；
②过点P作PQ⊥AB于Q，证明△ABO∽△PBQ，从而求出，则可判断当P，E，Q三点共线，且EP⊥AB时，取最小值，然后根据待定系数法求直线EP解析式，即可求出点P的坐标．
(1)
解：当x=0时，y=-4，
当y=0时，，
∴x=-3，
∴A（-3，0），B（0，-4），
把A、B代入抛物线，
得，
∴，
∴抛物线解析式为；
(2)
①∵A（-3，0），C（0，6），
∴AO=3，CO=6，
由旋转知：EF=AO=3，CF=CO=6，∠FCO=90°
∴E到x轴的距离为6-3=3，
∴点E的坐标为（6，3），
当x=3时，，
∴点E在抛物线上；
②过点P作PQ⊥AB于Q，


又∠AOB=90°，
∴∠AOB=∠PQB，
在Rt△ABO中，AO=3，BO=4，
∴由勾股定理得：AB=5，
∵∠AOB=∠PQB，∠ABO=∠PBQ，
∴△ABO∽△PBQ，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴当P，E，Q三点共线，且EP⊥AB时，取最小值，
∵EP⊥AB，
∴设直线EP解析式为，
又E（6，0），
∴，
∴，
∴直线EP解析式为，
当x=0时，y=，
∴点P坐标为（0，）．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数函数解析式，相似三角形的判定与性质等，解第（2）题第②问的关键是正确作出点P的位置．
19．（2022·辽宁锦州）如图，抛物线与x轴交于两点（A在B的左侧），与y轴交于点，点P在抛物线上，连接．


(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，若点P在第四象限，点D在线段上，连接并延长交x轴于点E，连接，记的面积为，的面积为，当时，求点P的坐标；
(3)如图2，若点P在第二象限，点F为抛物线的顶点，抛物线的对称轴l与线段交于点G，当时，求点P的横坐标．
【答案】(1)
(2)
(3)点P的横坐标为
【分析】（1）将将、两点代入即可求解；
（2）设点，由，可得即可求解；
（3）作CE⊥l，PQ⊥BC，PN⊥x轴，连接PC交x轴于点H，设，PC的表达式为：，由P，C代入得，PC的表达式，由可表示PQ、PB，分别求EF、CF，由，PQ⊥BC，CE⊥l，证即可求解；
(1)
解：将、两点代入得，
，解得：
∴抛物线的解析式为：
(2)
由可得，
设点
则

∵，
∴
∴
解得：（舍去）
∴
(3)
如图，作CE⊥l，PQ⊥BC，PN⊥x轴，连接PC交x轴于点H，


设，PC的表达式为：，
将P，C代入得，
解得：
PC的表达式为：，
将y=0代入得，，即，
∴
∵
∴
∵
∴
∵
由题可知，
∴
将代入得，，
∴
∴
∵，PQ⊥BC，CE⊥l，
∴
∴
∴
解得：（舍去）．
【点睛】本题主要考查二次函数的综合应用，一次函数的应用，三角形的相似，勾股定理，掌握相关知识正确构造辅助线是解题的关键．
20．（2022·辽宁）如图，抛物线交x轴于点和，交y轴于点C．


(1)求抛物线的表达式；
(2)D是直线上方抛物线上一动点，连接交于点N，当的值最大时，求点D的坐标；
(3)P为抛物线上一点，连接，过点P作交抛物线对称轴于点Q，当时，请直接写出点P的横坐标．
【答案】(1)
(2)
(3)点P的横坐标为或或或
【分析】（1）把点和代入解析式求解即可；
（2）过点D作DH∥y轴，交AC于点H，由（1）设，直线AC的解析式为，然后可求出直线AC的解析式，则有，进而可得，最后根据可进行求解；
（3）由题意可作出图象，设，然后根据题意及k型相似可进行求解．
(1)
解：把点和代入得：
，解得：，
∴抛物线的解析式为；
(2)
解：过点D作DH∥y轴，交AC于点H，如图所示：


设，直线AC的解析式为，
由（1）可得：，
∴，解得：，
∴直线AC的解析式为，
∴，
∴，
∵DH∥y轴，
∴，
∴，
∵，
∴当时，的值最大，
∴；
(3)
解：由题意可得如图所示：


分别过点C、Q作垂线，交过点P作y轴的平行线于点G、H，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
设点，由题意可知：抛物线的对称轴为直线，，
∴，
∴，
当时，解得：，
当时，解得：
综上：点P的横坐标为或或或．
【点睛】本题主要考查二次函数的综合、三角函数及相似三角形的性质与判定，熟练掌握二次函数的综合、三角函数及相似三角形的性质与判定是解题的关键．
21．（2022·辽宁营口）在平面直角坐标系中，抛物线经过点和点，与y轴交于点C，点P为抛物线上一动点．


(1)求抛物线和直线的解析式；
(2)如图，点P为第一象限内抛物线上的点，过点P作，垂足为D，作轴，垂足为E，交于点F，设的面积为，的面积为，当时，求点P坐标；
(3)点N为抛物线对称轴上的动点，是否存在点N，使得直线垂直平分线段？若存在，请直接写出点N坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)抛物线解析式为，直线的解析式为，
(2)
(3)存在
【分析】（1）待定系数法求解析式即可求解；
（2）设，则，中，，证明，根据相似三角形的性质以及建立方程，解方程即可求解；
（3）设直线交轴于点，设交于点，连接，，，证明是等腰直角三角形，则设，则，，根据列出方程，即可求解．
(1)
解：抛物线经过点和点，
，
解得，
抛物线解析式为，
设直线的解析式为，
，
解得，
直线的解析式为，
(2)
如图，设直线与轴交于点，
由，令,得，则，


，
，
设，则，
，
，
，
，
，
，
中，，
设的面积为，的面积为，
，
，
，
即，
设，则，
，
解得或（舍），
当时，，

(3)
设直线交轴于点，设交于点，连接，，，如图，


由，令，得，则

设过直线的解析式为，

解得
过直线的解析式为，

是等腰直角三角形

是等腰直角三角形


直线垂直平分线段

是等腰直角三角形，
，
设，则，
，

解得（舍）
即
【点睛】本题考查了二次函数综合，解直角三角形，相似三角形的性质与判定，二次函数线段问题，掌握以上知识是解题的关键．
22．（2022·四川广安）如图，在平面直角坐标系中，抛物线（a≠0）的图象与x轴交于A、C两点，与y轴交于点B，其中点B坐标为（0，－4），点C坐标为（2，0）．


(1)求此抛物线的函数解析式．
(2)点D是直线AB下方抛物线上一个动点，连接AD、BD，探究是否存在点D，使得△ABD的面积最大？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
(3)点P为该抛物线对称轴上的动点，使得△PAB为直角三角形，请求出点P的坐标．
【答案】(1)
(2)（-2，-4）
(3)P点坐标为：（-1，3），（-1，-5），，
【分析】（1）直接将B（0，-4），C（2，0）代入，即可求出解析式；
（2）先求出直线AB关系式为：，直线AB平移后的关系式为：，当其与抛物线只有一个交点时，此时点D距AB最大，此时△ABD的面积最大，由此即可求得D点坐标；
（3）分三种情况讨论，①当∠PAB=90°时，即PA⊥AB，则设PA所在直线解析式为：，将A（-4,0）代入得，解得：，此时P点坐标为：（-1,3）；②当∠PBA=90°时，即PB⊥AB，则设PB所在直线解析式为：，将B（0，-4）代入得，，此时P点坐标为：（-1,-5）；③当∠APB=90°时，设P点坐标为：，由于PA所在直线斜率为：，PB在直线斜率为：，=-1，则此时P点坐标为：，．
(1)
解：将B（0，-4），C（2，0）代入，
得：，
解得：，
∴抛物线的函数解析式为：．
(2)
向下平移直线AB，使平移后的直线与抛物线只有唯一公共点D时，此时点D到直线AB的距离最大，此时△ABD的面积最大，
∵时，，，
∴A点坐标为：（-4,0），
设直线AB关系式为：，
将A（-4,0），B（0，-4），代入，
得：，
解得：，
∴直线AB关系式为：，
设直线AB平移后的关系式为：，
则方程有两个相等的实数根，
即有两个相等的实数根，
∴，
即的解为：x=-2，
将x=-2代入抛物线解析式得，，
∴点D的坐标为：（-2，-4）时，△ABD的面积最大；
(3)
①当∠PAB=90°时，
即PA⊥AB，则设PA所在直线解析式为：，
将A（-4,0）代入得，，
解得：，
∴PA所在直线解析式为：，
∵抛物线对称轴为：x=-1，
∴当x=-1时，，
∴P点坐标为：（-1，3）；
②当∠PBA=90°时，
即PB⊥AB，则设PB所在直线解析式为：，
将B（0，-4）代入得，，
∴PA所在直线解析式为：，
∴当x=-1时，，
∴P点坐标为：（-1，-5）；
③当∠APB=90°时，设P点坐标为：，
∴PA所在直线斜率为：，PB在直线斜率为：，
∵PA⊥PB，
∴=-1，
解得：，，
∴P点坐标为：，
综上所述，P点坐标为：（-1，3），（-1，-5），，时，△PAB为直角三角形．
【点睛】本题主要考查的是二次函数图象与一次函数、三角形的综合，灵活运用所学知识是解题的关键．
23．（2022·海南）如图1，抛物线经过点，并交x轴于另一点B，点在第一象限的抛物线上，交直线于点D．

(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)当点P的坐标为时，求四边形的面积；
(3)点Q在抛物线上，当的值最大且是直角三角形时，求点Q的横坐标；
(4)如图2，作交x轴于点，点H在射线上，且，过的中点K作轴，交抛物线于点I，连接，以为边作出如图所示正方形，当顶点M恰好落在y轴上时，请直接写出点G的坐标．
【答案】(1)
(2)
(3)点Q的横坐标为，，，1．
(4)G(-4 +，0)．
【分析】（1）将A、C两点坐标代入解析式求解即可；
（2）如图，连接，令，求得点B的坐标，再根据各点的坐标确定OC、OB的长，然后再根据求解即可；
（3）如图，作轴，交直线于点F，可得，即，进一步说明当最大时，最大．设，则，根据线段的核查运算求得PF的最大值；设点，若是直角三角形，则点Q不能与点P、A重合，
∴，再分、、三种情况解答即可．
(4)作GL//y轴，作RC⊥GL于L，作MT⊥KI于K，作HW⊥IK于点W，则△GLC≌CRH，△ITM≌△HWI.根据∆GLC≌∆CRH可表示出H点坐标，从而表示出点K坐标，进而表示出I坐标，根据MT= IW，构建方程求得n的值．
(1)
解：∵抛物线经过点，
∴解得
∴该抛物线的函数表达式为．
(2)
解：如图，连接，令，
∴．
∴
∵，
∴．
∴．
∴．

(3)
解：如图1所示，作轴，交直线于点F，
则．
∴．
∵是定值，
∴当最大时，最大．
设，
∵，
∴．
设，则．
∴．
∴当时，取得最大值，此时．
设点，若是直角三角形，则点Q不能与点P、A重合，
∴，下面分三类情况讨论：
若，如图2所示，
过点P作轴于点，作交的延长线于点，则．
∴．
∴．
∵，
∴．
∴．
若，如图3所示，过点P作直线轴于点，过点Q作轴于点，．
∴．
∴．
∵，
∴．
∴．
若，如图4所示，过点Q作轴于点，作交的延长线于点，则．
∴．
∴．
∵，
∴．
∴．
综上所述，当的值最大且是直角三角形时，点Q的横坐标为，，，1．

图1                                             图2                                           图3                                          图4
(4)
如图，作GL//y轴，作RC⊥GL于L，作MT⊥KI于K，作HW⊥IK于点W，则△GLC≌∆CRH，△ITM≌△HWI.
RH = OG= -n，
CR= GL= OC= 3，
MT= IW，
G(n，0)，H(3，3+ n)，

+n+3+3)
∵TM=IM
∴ (n+3)2+ 2(n+3)- 12= 0，
∴n1 = -4+ ，
n2 =-4- (舍去)
∴G(-4 +， 0)．

【点睛】本题属于二次函数综合题，主要考查了运用待定系数法求函数解析式、二次函数与几何图形的综合、相似三角形的判定与性质、直角三角形的性质以及分类讨论思想，灵活应用相关知识以及分类讨论思想成为解答本题的关键．
24．（2022·内蒙古呼和浩特）如图，抛物线经过点和点，与轴的另一个交点为，连接、．

(1)求抛物线的解析式及点的坐标；
(2)如图1，若点是线段的中点，连接，在轴上是否存在点，使得是以为斜边的直角三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)如图2，点是第一象限内抛物线上的动点，过点作轴，分别交、轴于点、，当中有某个角的度数等于度数的2倍时，请求出满足条件的点的横坐标．
【答案】(1)；A（-1，0）；
(2)存在E（0，3）或（0，-1），使得是以为斜边的直角三角形；
(3)2或
【分析】（1）利用待定系数法解答，即可求解；
（2）先根据中点坐标公式可得点，设点E（0，m），再根据两点坐标公式可得，，，再由勾股定理，即可求解；
（3）先求出，再求出直线BC的解析式，然后设点，则，CF=a，可得，再分三种情况讨论：若∠PCM=2∠OBC，过点C作CF∥x轴交PM于点F；若∠PMC=2∠OBC；若∠CPM=2∠OBC，过点P作PG平分∠CPM，则∠MPG=∠OBC，即可求解．
(1)
解：把点和点代入，得：
，解得：，
∴抛物线的解析式为，
令y=0，则，
解得：，
∴点A（-1，0）；
(2)
解：存在，理由如下：
∵点A（-1，0），点，点是线段的中点，
∴点，
设点E（0，m），
∴，
，
，
∵是以为斜边的直角三角形，
∴，
整理得：，
解得：或-1，
∴点E的坐标为（0，3）或（0，-1）；
(3)
解：∵点B（4，0），C（0，2），
∴OB=4，OC=2，
∴，
设直线BC的解析式为，
把点B（4，0），C（0，2）代入得：
，解得：，
∴直线BC的解析式为，
设点，则，CF=a，
∴，
若∠PCM=2∠OBC，过点C作CF∥x轴交PM于点F，如图甲所示，
∴∠FCM=∠OBC，即，
∴∠PCF=∠FCM，
∵轴，
∴CF⊥PQ，
∴PM=2FM，
∴，
∴，解得：解得：a=2或0（舍去），
∴点P的横坐标为2；
若∠PMC=2∠OBC，
∵∠PMC=∠BMN，
∴∠BMN=2∠OBC，
∵∠OBC+∠BMN=90°，
∴∠OBC=30°，与相矛盾，不合题意，舍去；
若∠CPM=2∠OBC，如图乙所示，过点P作PG平分∠CPM，则∠MPG=∠OBC，
∵∠PMG=∠BMN，
∴△PMG∽△BMN，
∴∠PGM=∠BNM=90°，
∴∠PGC=90°，
∵PG平分∠CPM，即∠MPG=∠CPG，
∴∠PCM=∠PMC，
∴PC=PM，
∴，
解得：或0（舍去），
∴点P的横坐标为；
综上所述，点P的横坐标为2或．
          
图甲                                               图乙
【点睛】本题主要考查了二次函数的综合题，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，熟练掌握二次函数的综合题，直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质，利用数形结合思想和分类讨论思想解答是解题的关键．
25．（2022·吉林）如图，在平面直角坐标系中，抛物线（，是常数）经过点，点．点在此抛物线上，其横坐标为．

(1)求此抛物线的解析式；
(2)当点在轴上方时，结合图象，直接写出的取值范围；
(3)若此抛物线在点左侧部分（包括点）的最低点的纵坐标为．
①求的值；
②以为边作等腰直角三角形，当点在此抛物线的对称轴上时，直接写出点的坐标．
【答案】(1)
(2)或
(3)①或3；②或或
【分析】（1）根据点的坐标，利用待定系数法即可得；
（2）先根据抛物线的解析式求出此抛物线与轴的另一个交点坐标为，再画出函数图象，由此即可得；
（3）①先求出抛物线的对称轴和顶点坐标、以及点的坐标，再分和两种情况，分别画出函数图象，利用函数的增减性求解即可得；
②设点的坐标为，分和两种情况，分别根据等腰直角三角形的定义建立方程组，解方程组即可得．
(1)
解：将点代入得：，
解得，
则此抛物线的解析式为．
(2)
解：对于二次函数，
当时，，解得或，
则此抛物线与轴的另一个交点坐标为，
画出函数图象如下：

则当点在轴上方时，的取值范围为或．
(3)
解：①二次函数的对称轴为直线，顶点坐标为，
当时，，
即，
（Ⅰ）如图，当时，

当时，随的增大而减小，
则此时点即为最低点，
所以，
解得或（不符题设，舍去）；
（Ⅱ）如图，当时，

当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大，
则此时抛物线的顶点即为最低点，
所以，
解得，符合题设，
综上，的值为或3；
②设点的坐标为，
由题意，分以下两种情况：
（Ⅰ）如图，当时，设对称轴直线与轴的交点为点，

则在等腰中，只能是，
垂直平分，且，
（等腰三角形的三线合一），
，
解得，
则此时点的坐标为或；
（Ⅱ）当时，
由（3）①可知，此时，
则点，
，
，
，
当时，是等腰直角三角形，
则，即，
方程组无解，
所以此时不存在符合条件的点；
当时，是等腰直角三角形，
则，即，
解得，
所以此时点的坐标为；
当时，是等腰直角三角形，
则，即，
方程组无解，
所以此时不存在符合条件的点；
综上，点的坐标为或或．
【点睛】本题考查了二次函数的几何应用、等腰直角三角形、一元二次方程的应用等知识点，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键．
26．（2022·黑龙江哈尔滨）在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线经过点，点，与y轴交于点C．

(1)求a，b的值；
(2)如图1，点D在该抛物线上，点D的横坐标为，过点D向y轴作垂线，垂足为点E．点P为y轴负半轴上的一个动点，连接、设点P的纵坐标为t，的面积为S，求S关于t的函数解析式（不要求写出自变量t的取值范围）；
(3)如图2，在（2）的条件下，连接，点F在上，过点F向y轴作垂线，垂足为点H，连接交y轴于点G，点G为的中点，过点A作y轴的平行线与过点P所作的x轴的平行线相交于点N，连接，，延长交于点M，点R在上，连接，若，，求直线的解析式．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）将，代入抛物线中，进行计算即可得；
（2）由（1）得，根据轴得，，根据点P的纵坐标为t，得，即可得；
（3）过点C作，交NR的延长线于点K，过点K作轴于点T，根据二次函数的性质得，则，根据轴，轴得，根据点G为的中点得，根据AAS得，得，，再运用待定系数法求得直线OA的解析式为，得出，可得，再由得出，，再运用待定系数法求得直线BP的解析式为，进而推出，证得，进而得出，由得，用AAS可证明，求得
，设直线RN的解析式为：，再运用待定系数法即可得．
(1)
解：∵抛物线经过，，
∴，
解得，
(2)
解：由（1）得，点D的横坐标为
∴点D纵坐标为
∴，
∵轴
∴，
∵点P的纵坐标为t，
∴，
∴；
(3)
解：如图所示，过点C作，交NR的延长线于点K，过点K作轴于点T，

∵，当时，，
∴，
∴，
∵轴，轴，
∴，
∵点G为的中点，
∴，
在和中，

∴（AAS），
∴，，
设直线OA的解析式为：，将点代入得，
，
解得，，
∴直线OA的解析式：，
当x=2时，，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵轴，轴，
∴，
∴，
∵，
∴，
设直线BP的解析式为，则
，
解得，，
∴直线BP的解析式为：，
当时，，
∴点M的坐标为，
∴，
∵，,
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵
∴，
∵，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴CK=CN，
∵，
∴，
∵，
∴，
在和中，

∴（AAS），
∴，，
∴，
∴，
设直线RN的解析式为：，将点，得，
，
解得，，
∴直线RN的解析式为：．
【点睛】本题考查了二次函数，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定于性质，等腰直角三角形的判定与性质，解题的关键是掌握这些知识点，能够添加辅助线构造相似三角形或全等三角形．
27．（2022·湖北宜昌）已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．直线由直线平移得到，与轴交于点．四边形的四个顶点的坐标分别为，，，．


(1)填空：______，______；
(2)若点在第二象限，直线与经过点的双曲线有且只有一个交点，求的最大值；
(3)当直线与四边形、抛物线都有交点时，存在直线，对于同一条直线上的交点，直线与四边形的交点的纵坐标都不大于它与抛物线的交点的纵坐标．
①当时，直接写出的取值范围；
②求的取值范围．
【答案】(1)，
(2)当时，可以取得最大值，最大值为2
(3)①的取值范围为：或；②的取值范围：
【分析】（1）将点，代入函数解析式得，解之即可；
（2）设直线的解析式为，将点和代入得，求出直线的解析式；再求出直线的解析式为，根据反比例函数图象上点的坐标特征得，再由直线与双曲线有公共点，由直线与双曲线有且只有一个交点得，进而可求得；
（3）当直线与抛物线有交点时，联立直线与抛物线的解析式，得，可求得；当时，直线与抛物线有且只有一个交点；①当时，四边形的顶点分别为，，，．第一种情况：如第24题图2，时，直线与四边形，抛物线都有交点，且满足直线与矩形的交点的纵坐标都不大于与抛物线的交点的纵坐标．第二种情况：当直线经过点时，如24题图3所示，，解得，，当直线经过点时，如24题图4所示得，，最终可得的取值范围为：或．
②（Ⅰ）当的值逐渐增大到使矩形的顶点在直线上时，直线与四边形、抛物线同时有交点，且同一直线与四边形的交点的纵坐标都小于它与抛物线的交点的纵坐标，得解得，．
（Ⅱ）如图24题图5，当的值逐渐增大到使矩形的顶点在这条开口向上的抛物线上（对称轴左侧）时，存在直线（即经过此时点的直线）与四边形、抛物线同时有交点，且同一直线与四边形的交点的纵坐标都不大于它与抛物线的交点的纵坐标，，解之可求出m；综合（Ⅰ）到（Ⅱ），得的取值范围：．
(1)
将点，代入函数解析式得

解得
故答案为：，；
(2)
设直线的解析式为，
∵直线经过和，
∴，解得，
∴直线：．
∵直线平移得到直线，且直线与轴交于点，
∴直线：，
∵双曲线经过点，
∴，
∴．
∵直线与双曲线有公共点，
联立解析式得：，
∴，
整理得：，
∵直线与双曲线有且只有一个交点，
∴，
即，
整理得：，
化简得：，
∴，【注：或得到】
∵点在第二象限，
∴，
解得，．
∴当时，可以取得最大值，最大值为2．
(3)
如24题图1，当直线与抛物线有交点时，联立直线与抛物线的解析式.
得：，
得：，
整理得：，
∴，
即，
∴，
当时，直线：与抛物线有且只有一个交点．


①当时，四边形的顶点分别为，，，．
第一种情况：如第24题图2，当直线经过时，此时与重合.
∴时，直线与四边形，抛物线都有交点，且满足直线与矩形的交点的纵坐标都不大于与抛物线的交点的纵坐标．


第二种情况：当直线经过点时，如24题图3所示.
，解得，，
当直线经过点时，如24题图4所示
，解得，，
∴，
综上所述，的取值范围为：或．


②（Ⅰ）当的值逐渐增大到使矩形的顶点在直线上时，直线与四边形、抛物线同时有交点，且同一直线与四边形的交点的纵坐标都小于它与抛物线的交点的纵坐标．
，
解得，．
（Ⅱ）如图24题图5，当的值逐渐增大到使矩形的顶点在这条开口向上的抛物线上（对称轴左侧）时，存在直线（即经过此时点的直线）与四边形、抛物线同时有交点，且同一直线与四边形的交点的纵坐标都不大于它与抛物线的交点的纵坐标．
，
化简，得：．
解得，（舍），，
从（Ⅰ）到（Ⅱ），在的值逐渐增大的过程中，均存在直线，同时与矩形、抛物线相交，且对于同一条直线上的交点，直线与矩形的交点的纵坐标都不大于它与抛物线的交点的纵坐标．
综上所述，的取值范围：．


【点睛】本题考查二次函数与反比例函数、一次函数的综合题，属中考压轴题，难度大，根据题中条件正确分类是解题关键．
28．（2022·四川达州）如图1，在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象经过点，，与y轴交于点C．


(1)求该二次函数的表达式；
(2)连接，在该二次函数图象上是否存在点P，使？若存在，请求出点P的坐标：若不存在，请说明理由；
(3)如图2，直线l为该二次函数图象的对称轴，交x轴于点E．若点Q为x轴上方二次函数图象上一动点，过点Q作直线，分别交直线l于点M，N，在点Q的运动过程中，的值是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．
【答案】(1)
(2)或
(3)
【分析】（1）待定系数法求解析式即可求解；
（2）根据题意，分情况讨论，①过点作关于的对称点，即可求P的坐标，②轴上取一点，使得，则，设，根据勾股定理求得，建列方程，解方程求解即可；
（3）设，，过点作轴于点，则，证明，根据相似三角形的性质列出比例式求得，即可求解．
【解析】(1)解：∵由二次函数，令，则，
，
过点，，
设二次函数的表达式为，
将点代入得，
，
解得，
，
(2)二次函数的图象经过点，，
抛物线的对称轴为，
①如图，过点作关于的对称点，
，
，
，
，
②轴上取一点，使得，则，设，
则，
，
解得，
即，
设直线CD的解析式为，
，
解得，
直线CD的解析式为，
联立，
解得或，
，
综上所述，或，


(3)的值是定值，
设，，
过点作轴于点，则，

，
，
，
，
，
即，
，，
，
，


．
即的值是定值
【点睛】本题考查了二次函数综合，待定系数法求解析式，角度问题，相似三角形的性质与判定，掌握二次函数的性质是解题的关键．
29．（2022·重庆）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与直线交于点，．

(1)求该抛物线的函数表达式；(2)点是直线下方拋物线上的一动点，过点作轴的平行线交于点，过点作轴的平行线交轴于点，求的最大值及此时点的坐标；
(3)在（2）中取得最大值的条件下，将该抛物线沿水平方向向左平移5个单位，点为点的对应点，平移后的抛物线与轴交于点，为平移后的抛物线的对称轴上一点．在平移后的抛物线上确定一点，使得以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，写出所有符合条件的点的坐标，并写出求解点的坐标的其中一种情况的过程．
【答案】(1)
(2)，
(3)；；
【分析】（1）将点A，B的坐标代入抛物线中求出b，c即可；
（2）设交于，可得，求出直线AB的解析式，设，则，，表示出，然后根据二次函数的性质求出最值即可；
（3）根据平移的性质可得平移后抛物线解析式及点E、F坐标，设，，分情况讨论：①当为对角线时，②当为对角线时，③当为对角线时，分别根据对角线交点的横坐标相同列式计算即可．
【解析】(1)解：将点，代入得：，
解得：，
∴该抛物线的函数表达式为：；
(2)如图，设交于，
∵，，
∴OA＝OB＝4，
∴，
∵PC∥OB，PD∥OA，
∴，，
∴，
设直线AB的解析式为，
则，解得：，
∴直线AB的解析式为，
设，则，，
∴，
∴当时，取得最大值，此时；

(3)由题意得：平移后抛物线解析式为，，
∴，
∵抛物线的对称轴为，
∴设，，
分情况讨论：
①当为对角线时，
则，
解得：，此时，
∴；
②当为对角线时，
则，即，
此时，
∴；
③当为对角线时，
则，即，
此时，
∴，
综上所述，点的坐标为：，，．
【点睛】本题考查了二次函数的综合应用，待定系数法，二次函数的图象和性质，一次函数的性质，二次函数的最值，二次函数图象的平移，平行四边形的性质等知识，解题的关键是学会用待定系数法求二次函数解析式，根据二次函数解析式求最大值以及利用平行四边形的性质列方程．
30．（2022·江苏苏州）如图，在二次函数（m是常数，且）的图像与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为D．其对称轴与线段BC交于点E，与x轴交于点F．连接AC，BD．

(1)求A，B，C三点的坐标（用数字或含m的式子表示），并求的度数；
(2)若，求m的值；(3)若在第四象限内二次函数（m是常数，且）的图像上，始终存在一点P，使得，请结合函数的图像，直接写出m的取值范围．
【答案】(1)A（-1，0）；B（2m+1，0）；C（0，2m+1）；(2) (3)
【分析】（1）分别令等于0，即可求得的坐标，根据，即可求得；（2）方法一：如图1，连接AE．由解析式分别求得，，．根据轴对称的性质，可得，由，建立方程，解方程即可求解．方法二：如图2，过点D作交BC于点H．由方法一，得，．证明，根据相似三角形的性质建立方程，解方程即可求解；
（3）设PC与x轴交于点Q，当P在第四象限时，点Q总在点B的左侧，此时，即．
【解析】(1)当时，．解方程，得，．
∵点A在点B的左侧，且，∴，．
当时，．∴．∴．
∵，∴．
(2)方法一：如图1，连接AE．
∵，
∴，．∴，，．
∵点A，点B关于对称轴对称，∴．
∴．∴．
∵，，
∴，即．
∵，∴．∴．
∵，∴解方程，得．

方法二：如图2，过点D作交BC于点H．
由方法一，得，．∴．
∵，∴，．
∴．
∵，，∴．
∴．∴，即．
∵，∴解方程，得．

(3)．
设PC与x轴交于点Q，当P在第四象限时，点Q总在点B的左侧，此时，即．
∵，∴．，
，∴．解得，
又，∴．
【点睛】本题考查了二次函数综合，求二次函数与坐标轴的交点，角度问题，解直角三角形，相似三角形的性质，三角形内角和定理，综合运用以上知识是解题的关键．