押第22题 圆的相关证明与计算-备战2022年中考数学临考题号押题（广东专用）

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押第22题 圆的相关证明与计算

中考对圆的相关证明知识的考查要求较高，均是以8分~10分题的简答形式进行考查，一般难度较高，要求考生熟练掌握与圆有关的基础知识，三角形相似，直角三角形等知识．纵观近3年的高考试题，主要考查以下两个方面：一是考查圆的切线与角度、平行四边形等证明．二是考查线段长度，面积，弧长等计算．

1．（2021广东）如题22图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠DAB=90°，AB是⊙O的直径，CO平分∠BCD．
（1）求证：直线CD与⊙O相切；
（2）如题22﹣2图，记（1）中的切点为E，P为优弧上一点，AD=1，BC=2，求tan∠APE的值．


【解答】
（1） 证明：过点O作OE⊥CD交于点E
∵AD∥BC，∠DAB=90°
∴∠OBC=90°即OB⊥BC
∵OE⊥CD，OB⊥BC，CO平分∠BCD
∴OB=OE
∵AB是⊙O的直径
∴OE是⊙O的半径
∴直线CD与⊙O相切
（2）连接OD、OE
∵由（1）得，直线CD、AD、BC与⊙O相切
∴由切线长定理可得AD=DE=1，BC=CE=3，
∠ADO=∠EDO，∠BCO=∠ECO
∴∠AOD=∠EOD，CD=3
∵=
∴∠APE=∠AOE=∠AOD
∵AD∥BC
∴∠ADE+∠BCE=180°
∴∠EDO+∠ECO=90°即∠DOC=90°
∵OE⊥DC，∠ODE=∠CDO
∴△ODE∽△CDO
∴即
∴OD=
∵在Rt△AOD中，AO=
∴tan∠AOD==
∴tan∠APE=
2．（2021深圳）如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，AD与过点C的切线互相垂直，垂足为D.连接BC并延长，交AD的延长线于点E
（1）求证：AE=AB
（2）若AB=10，BC=6，求CD的长
【解答】
解：（1）证：连接OC
∵CD与相切于C点
∴OC⊥CD
又∵CD⊥AE
∴OC//AE
∴
∵OC=OB
∴
∴
∴AE=AB
（2）连接AC
∵AB为的直径
∴
∴
∵AB=AE，AC⊥BE
∴EC=BC=6
∵,
∴△EDC∽△ECA
∴
∴
3．（2019广东）如图1，在△ABC中，AB＝AC，⊙O是△ABC的外接圆，过点C作∠BCD＝∠ACB交⊙O于点D，连接AD交BC于点E，延长DC至点F，使CF＝AC，连接AF．
（1）求证：ED＝EC；
（2）求证：AF是⊙O的切线；
（3）如图2，若点G是△ACD的内心，BC•BE＝25，求BG的长．

【解答】解：（1）∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
又∵∠ACB＝∠BCD，∠ABC＝∠ADC，
∴∠BCD＝∠ADC，
∴ED＝EC；

（2）如图1，连接OA，

∵AB＝AC，
∴＝，
∴OA⊥BC，
∵CA＝CF，
∴∠CAF＝∠CFA，
∴∠ACD＝∠CAF+∠CFA＝2∠CAF，
∵∠ACB＝∠BCD，
∴∠ACD＝2∠ACB，
∴∠CAF＝∠ACB，
∴AF∥BC，
∴OA⊥AF，
∴AF为⊙O的切线；

（3）∵∠ABE＝∠CBA，∠BAD＝∠BCD＝∠ACB，
∴△ABE∽△CBA，
∴＝，
∴AB2＝BC•BE，
∴BC•BE＝25，
∴AB＝5，
如图2，连接AG，

∴∠BAG＝∠BAD+∠DAG，∠BGA＝∠GAC+∠ACB，
∵点G为内心，
∴∠DAG＝∠GAC，
又∵∠BAD+∠DAG＝∠GDC+∠ACB，
∴∠BAG＝∠BGA，
∴BG＝AB＝5．
4．（2019广州）如图，⊙O的直径AB＝10，弦AC＝8，连接BC．
（1）尺规作图：作弦CD，使CD＝BC（点D不与B重合），连接AD；（保留作图痕迹，不写作法）
（2）在（1）所作的图中，求四边形ABCD的周长．

【分析】（1）以C为圆心，CB为半径画弧，交⊙O于D，线段CD即为所求．
（2）连接BD，OC交于点E，设OE＝x，构建方程求出x即可解决问题．
【解答】解：（1）如图，线段CD即为所求．


（2）连接BD，OC交于点E，设OE＝x．
∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
∴BC＝＝＝6，
∵BC＝CD，
∴＝，
∴OC⊥BD于E．
∴BE＝DE，
∵BE2＝BC2﹣EC2＝OB2﹣OE2，
∴62﹣（5﹣x）2＝52﹣x2，
解得x＝，
∵BE＝DE，BO＝OA，
∴AD＝2OE＝，
∴四边形ABCD的周长＝6+6+10+＝．
5．（2019深圳）已知在平面直角坐标系中，点，，，以线段为直径作圆，圆心为，直线交于点，连接．
（1）求证：直线是的切线；
（2）点为轴上任意一动点，连接交于点，连接；
①当时，求所有点的坐标　 　（直接写出）；
②求的最大值．

【分析】（1）连接，证明即可，可通过半径相等得到，根据直角三角形斜边上中线等于斜边一半得，，得证；
（2）①分两种情况：位于线段上，位于的延长线上；过作的垂线，构造相似三角形，应用相似三角形性质可求得点坐标；
②应用相似三角形性质和三角函数值表示出，令，应用二次函数最值可得到结论．
【解答】解：（1）证明：如图1，连接，为圆的直径，
，







即：
轴


点在上
直线为的切线．
（2）①如图2，当位于上时，过作于，




，，
，即
设，则，

，解得：


即，
如图3，当位于的延长线上时，过作于，

设，则，


解得：


即
故答案为：，，．
②如图4，为直径





，



令
当时，
此时
．



6．（2018广东）如图，四边形ABCD中，AB=AD=CD，以AB为直径的⊙O经过点C，连接AC，OD交于点E．
（1）证明：OD∥BC；
（2）若tan∠ABC=2，证明：DA与⊙O相切；
（3）在（2）条件下，连接BD交于⊙O于点F，连接EF，若BC=1，求EF的长．

【分析】（1）连接OC，证△OAD≌△OCD得∠ADO=∠CDO，由AD=CD知DE⊥AC，再由AB为直径知BC⊥AC，从而得OD∥BC；
（2）根据tan∠ABC=2可设BC=a、则AC=2a、AD=AB==，证OE为中位线知OE=a、AE=CE=AC=a，进一步求得DE==2a，再△AOD中利用勾股定理逆定理证∠OAD=90°即可得；
（3）先证△AFD∽△BAD得DF•BD=AD2①，再证△AED∽△OAD得OD•DE=AD2②，由①②得DF•BD=OD•DE，即=，结合∠EDF=∠BDO知△EDF∽△BDO，据此可得=，结合（2）可得相关线段的长，代入计算可得．
【解答】解：（1）连接OC，

在△OAD和△OCD中，
∵，
∴△OAD≌△OCD（SSS），
∴∠ADO=∠CDO，
又AD=CD，
∴DE⊥AC，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠ACB=90°，即BC⊥AC，
∴OD∥BC；

（2）∵tan∠ABC==2，
∴设BC=a、则AC=2a，
∴AD=AB==，
∵OE∥BC，且AO=BO，
∴OE=BC=a，AE=CE=AC=a，
在△AED中，DE==2a，
在△AOD中，AO2+AD2=（）2+（a）2=a2，OD2=（OF+DF）2=（a+2a）2=a2，
∴AO2+AD2=OD2，
∴∠OAD=90°，
则DA与⊙O相切；

（3）连接AF，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AFD=∠BAD=90°，
∵∠ADF=∠BDA，
∴△AFD∽△BAD，
∴=，即DF•BD=AD2①，
又∵∠AED=∠OAD=90°，∠ADE=∠ODA，
∴△AED∽△OAD，
∴=，即OD•DE=AD2②，
由①②可得DF•BD=OD•DE，即=，
又∵∠EDF=∠BDO，
∴△EDF∽△BDO，
∵BC=1，
∴AB=AD=、OD=、ED=2、BD=、OB=，
∴=，即=，
解得：EF=．

1．（2021汕头市金平区一模）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D．DE⊥AC，垂足为E．CF∥AB交AD延长线于点F．连接BF交⊙O于点G，连接DG．
（1）求证：DE为⊙O的切线；
（2）求证：四边形ABFC为菱形；
（3）若OA＝5，DG＝2，求线段GF的长．

【分析】（1）连接OD，证明∠ODB＝∠ACB，则OD∥AC，而DE⊥AC，故DE⊥OD，即可求解；
（2）证明四边形ABFC为平行四边形，而AB＝AC，即可求解；
（3）证明四边形ABFC为菱形，得到DA＝DG＝2，AF＝2AD＝．证明△FGD∽△FAB，则，即可求解．
【解答】（1）证明：连接OD，∵OB＝OD，

∴∠OBD＝∠ODB．
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB．
∴∠ODB＝∠ACB．
∴OD∥AC．
∵DE⊥AC，
∴DE⊥OD．
∴DE为⊙O的切线；

（2）证明：由（1）得，OD∥AC．
又∵OA＝OB，
∴DB＝DC．
∵CF∥AB，
∴∠BAD＝∠CFD，∠ABD＝∠FCD．
∴△ABD≌△FCD（AAS）．
∴AB＝CF．
∴四边形ABFC为平行四边形．
∵AB＝AC，
∴平行四边形ABFC为菱形；

（3）解：∵AB为⊙O的直径，OA＝5，
∴AB＝10．
∵四边形ABFC为菱形，
∴∠ABD＝∠FBD，AF＝2AD．
∴DA＝DG＝2．
∴AF＝2AD＝．
∵四边形ABGD内接于⊙O，
∴∠ABG+∠ADG＝180°．
∵∠GDF+∠ADG＝180°，
∴∠GDF＝∠ABG．
∵∠GFD＝∠BFA，
∴△FGD∽△FAB．
∴．
∴．
2．（2021佛山市大沥镇一模）如图，已知△ABC中，以AB为直径的⊙O交AC于点D，∠CBD＝∠A．
（1）求证：BC为⊙O的切线；
（2）若E为中点，BD＝12，sin∠BED＝，求BE的长．

【分析】（1）由圆周角定理和已知条件证出∠CBD+∠ABD＝90°．得出∠ABC＝90°，即可得出结论．
（2）连接AE．由圆周角定理得出∠BAD＝∠BED，由三角函数定义求出直径AB＝20．证出AE＝BE．得出△AEB是等腰直角三角形．得出∠BAE＝45°，由三角函数即可得出结果．
【详解】（1）证明：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°．
∴∠A+∠ABD＝90°．
又∵∠A＝∠CBD，
∴∠CBD+∠ABD＝90°．
∴∠ABC＝90°．
∴AB⊥BC．
又∵AB是⊙O的直径，
∴BC为⊙O的切线．
（2）解：连接AE．如图所示：

∵AB是⊙O的直径，
∴∠AEB＝∠ADB＝90°．
∵∠BAD＝∠BED，
∴sin∠BAD＝sin∠BED＝．
∴在Rt△ABD中，sin∠BAD＝，
∵BD＝12，
∴AB＝20．
∵E为的中点，
∴AE＝BE．
∴△AEB是等腰直角三角形．
∴∠BAE＝45°．
∴BE＝AB×sin∠BAE＝20×＝．
3．（2021惠州市一模）如图，是的外接圆，点在边上，的平分线交于点，连接、，过点作的平行线与的延长线相交于点．
（1）求证：是的切线；
（2）求证：；
（3）当，时，求线段的长．

【分析】（1）先判断出，进而判断出，得出即可得出结论；
（2）先判断出，再判断出，即可得出结论；
（3）先求出，再判断出，利用勾股定理求出，最后用得出比例式求解即可得出结论．
【解答】解：（1）如图，连接，
是的直径，
，
平分，
，
，
，
，
，
，
是半径，
是的切线；

（2），
，
，
，
，，
，
，

（3）是的直径，
，
在中，，
平分，
，
，
，
在中，，
，
，
，
，
．


4．（2021佛山市禅城区一模）如图，PA为⊙O的切线，A为切点，过A作OP的垂线AB，垂足为点C，交⊙O于点B．延长BO与⊙O交于点B，延长BO与⊙O交于点D，与PA的延长线交于点E，
（1）求证：PB为⊙O的切线；
（2）若OC：BC＝2：3，求sinE的值．

【分析】（1）连接OA，由SSS证明△PBO≌△PAO，得出∠PBO＝∠PAO＝90°即可；
（2）连接AD，证明△ADE∽△POE，得到＝，证出OC是△ABD的中位线，由三角形中位线定理得出AD＝2OC，由已知设OC＝2t，则BC＝3t，AD＝4t．由△PBC∽△BOC，可求出sin∠E的值．
【解答】（1）证明：连接OA，如图1所示：
∵PA为⊙O的切线，
∴∠PAO＝90°，
∵OA＝OB，OP⊥AB于C，
∴BC＝CA，PB＝PA，
在△PBO和△PAO中，，
∴△PBO≌△PAO（SSS），
∴∠PBO＝∠PAO＝90°，
∴PB为⊙O的切线；
（2）解：连接AD，如图2所示：
∵BD是直径，∠BAD＝90°
由（1）知∠BCO＝90°
∴AD∥OP，
∴△ADE∽△POE，
∴＝，
∵BC＝AC，OB＝OD，
∴OC是△ABD的中位线，
∴AD＝2OC，
∵OC：BC＝2：3，
设OC＝2t，则BC＝3t，AD＝4t．
∵∠OBC+∠PBC＝90°，∠BOC+∠OBC＝90°，
∴∠BOC＝∠PBC，
∵∠OCB＝∠BCP，
∴△PBC∽△BOC，
∴，即，
∴PC＝t，OP＝t．
∴＝＝，
设EA＝8m，EP＝13m，则PA＝5m．
∵PA＝PB，
∴PB＝5m，
∴sinE＝＝．


（限时：50分钟）
1．（2021•铜仁市）如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，连接AC，CE⊥AB于点E，D是直径AB延长线上一点，且∠BCE＝∠BCD．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若AD＝8，，求CD的长．

【分析】（1）连接OC，根据圆周角定理得到∠ACB＝90°，根据余角的性质得到∠A＝∠ECB，求得∠A＝∠BCD，根据等腰三角形的性质得到∠A＝∠ACO，等量代换得到∠ACO＝∠BCD，求得∠DCO＝90°，于是得到结论；
（2）设BC＝k，AC＝2k，根据相似三角形的性质即可得到结论．
【解析】（1）证明：连接OC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵CE⊥AB，
∴∠CEB＝90°，
∴∠ECB+∠ABC＝∠ABC+∠CAB＝90°，
∴∠A＝∠ECB，
∵∠BCE＝∠BCD，
∴∠A＝∠BCD，
∵OC＝OA，
∴∠A＝∠ACO，
∴∠ACO＝∠BCD，
∴∠ACO+∠BCO＝∠BCO+∠BCD＝90°，
∴∠DCO＝90°，
∴CD是⊙O的切线；
（2）解：∵∠A＝∠BCE，
∴tanAtan∠BCE，
设BC＝k，AC＝2k，
∵∠D＝∠D，∠A＝∠BCD，
∴△ACD∽△CBD，
∴，
∵AD＝8，
∴CD＝4．

2．（2021•温州）如图，C，D为⊙O上两点，且在直径AB两侧，连结CD交AB于点E，G是上一点，∠ADC＝∠G．
（1）求证：∠1＝∠2．
（2）点C关于DG的对称点为F，连结CF．当点F落在直径AB上时，CF＝10，tan∠1=，求⊙O的半径．

【分析】（1）根据圆周角定理和AB为⊙O的直径，即可证明∠1＝∠2；
（2）连接DF，根据垂径定理可得FD＝FC＝10，再根据对称性可得DC＝DF，进而可得DE的长，再根据锐角三角函数即可求出⊙O的半径．
【解析】（1）∵∠ADC＝∠G，
∴，
∵AB为⊙O的直径，
∴，
∴∠1＝∠2；
（2）如图，连接DF，

∵，AB是⊙O的直径，
∴AB⊥CD，CE＝DE，
∴FD＝FC＝10，
∵点C，F关于DG对称，
∴DC＝DF＝10，
∴DE＝5，
∵tan∠1，
∴EB＝DE•tan∠1＝2，
∵∠1＝∠2，
∴tan∠2，
∴AE，
∴AB＝AE+EB，
∴⊙O的半径为．
3．（2021•衢州）如图，△ABC内接于⊙O，AB为⊙O的直径，AB＝10，AC＝6，连结OC，弦AD分别交OC，BC于点E，F，其中点E是AD的中点．
（1）求证：∠CAD＝∠CBA．
（2）求OE的长．

【分析】（1）利用垂径定理以及圆周角定理解决问题即可．
（2）证明△AEC∽△BCA，推出，求出EC即可解决问题．
【解析】（1）证明：∵AE＝DE，OC是半径，
∴，
∴∠CAD＝∠CBA．

（2）解：∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
∵AE＝DE，
∴OC⊥AD，
∴∠AEC＝90°，
∴∠AEC＝∠ACB，
∴△AEC∽△BCA，
∴，
∴，
∴CE＝3.6，
∵OCAB＝5，
∴OE＝OC﹣EC＝5﹣3.6＝1.4．

4．（2021•湖州）如图，已知△ABC是⊙O的内接三角形，AD是⊙O的直径，连结BD，BC平分∠ABD．
（1）求证：∠CAD＝∠ABC；
（2）若AD＝6，求的长．

【分析】（1）由角平分线的性质和圆周角定理可得∠DBC＝∠ABC＝∠CAD；
（2）由圆周角定理可得，由弧长公式可求解．
【解析】（1）∵BC平分∠ABD，
∴∠DBC＝∠ABC，
∵∠CAD＝∠DBC，
∴∠CAD＝∠ABC；
（2）∵∠CAD＝∠ABC，
∴，
∵AD是⊙O的直径，AD＝6，
∴的长π×6π．
5．（2021•遵义）如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，∠CAB的平分线AD交于点D，过点D作DE∥BC交AC的延长线于点E．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）过点D作DF⊥AB于点F，连接BD．若OF＝1，BF＝2，求BD的长度．

【分析】（1）连接OD，由等腰三角形的性质及角平分线的性质得出∠ADO＝∠DAE，从而OD∥AE，由DE∥BC得∠E＝90°，由两直线平行，同旁内角互补得出∠ODE＝90°，由切线的判定定理得出答案；
（2）先由直径所对的圆周角是直角得出∠ADB＝90°，再由OF＝1，BF＝2得出OB的值，进而得出AF和BA的值，然后证明△DBF∽△ABD，由相似三角形的性质得比例式，从而求得BD2的值，求算术平方根即可得出BD的值．
【解析】（1）连接OD，如图：

∵OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ADO，
∵AD平分∠CAB，
∴∠DAE＝∠OAD，
∴∠ADO＝∠DAE，
∴OD∥AE，
∵DE∥BC，
∴∠E＝90°，
∴∠ODE＝180°﹣∠E＝90°，
∴DE是⊙O的切线；
（2）∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∵OF＝1，BF＝2，
∴OB＝3，
∴AF＝4，BA＝6．
∵DF⊥AB，
∴∠DFB＝90°，
∴∠ADB＝∠DFB，
又∵∠DBF＝∠ABD，
∴△DBF∽△ABD，
∴，
∴BD2＝BF•BA＝2×6＝12．
∴BD＝2．
6．（2019•陕西）如图，⊙O的半径OA＝6，过点A作⊙O的切线AP，且AP＝8，连接PO并延长，与⊙O交于点B、D，过点B作BC∥OA，并与⊙O交于点C，连接AC、CD．
（1）求证：DC∥AP；
（2）求AC的长．

【分析】（1）根据切线的性质得到∠OAP＝90°，根据圆周角定理得到∠BCD＝90°，根据平行线的性质和判定定理即可得到结论；
（2）根据勾股定理和相似三角形的判定和性质定理即可得到结论．
【解析】（1）证明：∵AP是⊙O的切线，
∴∠OAP＝90°，
∵BD是⊙O的直径，
∴∠BCD＝90°，
∵OA∥CB，
∴∠AOP＝∠DBC，
∴∠BDC＝∠APO，
∴DC∥AP；
（2）解：∵AO∥BC，OD＝OB，
∴延长AO交DC于点E，
则AE⊥DC，OEBC，CECD，
在Rt△AOP中，OP10，
由（1）知，△AOP∽△CBD，
∴，
即，
∴BC，DC，
∴OE，CE，
在Rt△AEC中，AC．

7．（2021•聊城）如图，在△ABC中，AB＝BC，以△ABC的边AB为直径作⊙O，交AC于点D，过点D作DE⊥BC，垂足为点E．
（1）试证明DE是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为5，AC＝6，求此时DE的长．

【分析】（1）连接OD、BD，求出BD⊥AC，瑞成AD＝DC，根据三角形的中位线得出OD∥BC，推出OD⊥DE，根据切线的判定推出即可；
（2）根据题意求得AD，根据勾股定理求得BD，然后证得△CDE∽△ABD，根据相似三角形的性质即可求得DE．
【解析】（1）证明：连接OD、BD，
∵AB是⊙O直径，
∴∠ADB＝90°，
∴BD⊥AC，
∵AB＝BC，
∴D为AC中点，
∵OA＝OB，
∴OD∥BC，
∵DE⊥BC，
∴DE⊥OD，
∵OD为半径，
∴DE是⊙O的切线；
（2）由（1）知BD是AC的中线，
∴AD＝CD3，
∵O的半径为5，
∴AB＝6，
∴BD，
∵AB＝AC，
∴∠A＝∠C，
∵∠ADB＝∠CED＝90°，
∴△CDE∽△ABD，
∴，即，
∴DE＝3．

8．（2021•上海）如图，△ABC中，AB＝AC，⊙O是△ABC的外接圆，BO的延长线交边AC于点D．
（1）求证：∠BAC＝2∠ABD；
（2）当△BCD是等腰三角形时，求∠BCD的大小；
（3）当AD＝2，CD＝3时，求边BC的长．

【分析】（1）连接OA．利用垂径定理以及等腰三角形的性质解决问题即可．
（2）分三种情形：①若BD＝CB，则∠C＝∠BDC＝∠ABD+∠BAC＝3∠ABD．②若CD＝CB，则∠CBD＝∠CDB＝3∠ABD．③若DB＝DC，则D与A重合，这种情形不存在．分别利用三角形内角和定理构建方程求解即可．
（3）如图3中，作AE∥BC交BD的延长线于E．则，推出，设OB＝OA＝4a，OH＝3a，根据BH2＝AB2﹣AH2＝OB2﹣OH2，构建方程求出a即可解决问题．
【解析】（1）证明：连接OA．
A
∵AB＝AC，
∴，
∴OA⊥BC，
∴∠BAO＝∠CAO，
∵OA＝OB，
∴∠ABD＝∠BAO，
∴∠BAC＝2∠BAD．

（2）解：如图2中，延长AO交BC于H．

①若BD＝CB，则∠C＝∠BDC＝∠ABD+∠BAC＝3∠ABD，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C，
∴∠DBC＝2∠ABD，
∵∠DBC+∠C+∠BDC＝180°，
∴8∠ABD＝180°，
∴∠C＝3∠ABD＝67.5°．
②若CD＝CB，则∠CBD＝∠CDB＝3∠ABD，
∴∠C＝4∠ABD，
∵∠DBC+∠C+∠CDB＝180°，
∴10∠ABD＝180°，
∴∠BCD＝4∠ABD＝72°．
③若DB＝DC，则D与A重合，这种情形不存在．
综上所述，∠C的值为67.5°或72°．

（3）如图3中，作AE∥BC交BD的延长线于E．

则，
∴，设OB＝OA＝4a，OH＝3a，
∵BH2＝AB2﹣AH2＝OB2﹣OH2，
∴25﹣49a2＝16a2﹣9a2，
∴a2，
∴BH，
∴BC＝2BH．
9．（2021•金华）如图，的半径OA＝2，OC⊥AB于点C，∠AOC＝60°．
（1）求弦AB的长．
（2）求的长．

【分析】（1）根据题意和垂径定理，可以求得AC的长，然后即可得到AB的长；
（2）根据∠AOC＝60°，可以得到∠AOB的度数，然后根据弧长公式计算即可．
【解析】（1）∵的半径OA＝2，OC⊥AB于点C，∠AOC＝60°，
∴AC＝OA•sin60°＝2，
∴AB＝2AC＝2；
（2）∵OC⊥AB，∠AOC＝60°，
∴∠AOB＝120°，
∵OA＝2，
∴的长是：．
10．（2021•齐齐哈尔）如图，AB为⊙O的直径，C、D为⊙O上的两个点，，连接AD，过点D作DE⊥AC交AC的延长线于点E．
（1）求证：DE是⊙O的切线．
（2）若直径AB＝6，求AD的长．

【分析】（1）连接OD，根据已知条件得到∠BOD180°＝60°，根据等腰三角形的性质得到∠ADO＝∠DAB＝30°，得到∠EDA＝60°，求得OD⊥DE，于是得到结论；
（2）连接BD，根据圆周角定理得到∠ADB＝90°，解直角三角形即可得到结论．
【解析】（1）证明：连接OD，
∵，
∴∠BOD180°＝60°，
∵，
∴∠EAD＝∠DABBOD＝30°，
∵OA＝OD，
∴∠ADO＝∠DAB＝30°，
∵DE⊥AC，
∴∠E＝90°，
∴∠EAD+∠EDA＝90°，
∴∠EDA＝60°，
∴∠EDO＝∠EDA+∠ADO＝90°，
∴OD⊥DE，
∴DE是⊙O的切线；
（2）解：连接BD，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∵∠DAB＝30°，AB＝6，
∴BDAB＝3，
∴AD3．