初中人教版16.1 二次根式第1课时教案

16.1  二次根式
第1课时

一、教学目标

【知识与技能】

1.了解二次根式的概念,理解二次根式有意义的条件.

2.掌握二次根式的性质,并能将二次根式的性质运用于化简.

3.了解最简二次根式的概念,会判断一个二次根式是不是最简二次根式.

【过程与方法】

经历观察、比较,总结二次根式概念和被开方数取值范围的过程,发展学生的归纳概括能力.

【情感态度与价值观】

经历观察、比较和应用等数学活动,感受数学活动充满了探索性和创造性,体验发现的快乐,并提高应用的意识.

二、课型

新授课

三、课时

第1课时 共2课时

四、教学重难点

【教学重点】

会求二次根式中字母的取值范围,理解和掌握二次根式的性质,熟练化简二次根式.

【教学难点】 

运用二次根式的双重非负性解决问题,二次根式性质的综合运用.

五、课前准备 

教师：课件、三角尺、直尺、平方根、立方根知识等.

学生：三角尺、铅笔、立方根、平方根知识.

六、教学过程

（一）导入新课（出示课件2）

电视塔越高，从塔顶发射的电磁波传播得越远，从而能收看到电视节目的区域越广，电视塔高h（单位：km）与电视节目信号的传播半径 r（单位：km）之间存在近似关系r=，其中地球半径R≈6 400 km．如果两个电视塔的高分别是h1  km、h2  km，那么它们的传播半径之比是.

教师问：式子表示什么?公式r=中的表示什么意义？

（二）探索新知

1.师生共同探究二次根式的定义和有意义的条件（出示课件4-6）

用带根号的式子填空，看一看写出的结果有何特点:(教师依次出示问题)

（1）面积为3 的正方形的边长为_______，面积为S 的正方形
的边长为_______．

（2）一个长方形围栏，长是宽的2 倍，面积为130m2，则它的宽为______m．

（3）一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间 t（单位：s）与开始落下时离地面的高度h（单位：m）满足关系 h =5t2， 如果用含有h 的式子表示 t ，则t 为_____．

教师问：上边问题的答案是什么呢？

学生1答：（1）  ，.

学生2答：（2） .

学生3答：（3）   ．

教师问： 这些式子分别表示什么意义？

学生讨论后并回答.

学生1答：分别表示3，S，65，的算术平方根．

教师问：这些式子有什么共同特征？

师生总结：①根指数都为2; ②被开方数为非负数.

教师问：你能用语言描述一下它们的特征吗？

师生共同讨论后解答如下：都表示一个非负数(包括字母或式子表示的非负数)的算术平方根.

教师问：根据你的理解，猜想一下二次根式的定义应该有哪些条件？

师生共同讨论如下：一个正数有两个平方根；0的平方根为0；在实数范围内，负数没有平方根. 在实数范围内开平方的时候，被开方数只能是正数或0.

（出示课件7）定义：一般地，我们把形如的式子叫做二次根式. “ ”称为二次根号.

教师强调：

（1）a可以是数，也可以是式.

（2）两个必备特征：①外貌特征：含有“ ”； ②内在特征：被开方数a ≥0

考点1：利用二次根式的定义识别二次根式

例：下列各式中，哪些是二次根式？哪些不是？（出示课件8）

（1）；  （2）81；  （3） ；（4）

（5）  ;（6） ；（7） .

师生共同分析过程见课件：

解答如下：

解： (1)(4)(6)均是二次根式，其中x2+4属于“非负数+正数”的形式一定大于零.(3)(5)(7)均不是二次根式.

出示课件9，学生自主练习，教师订正。

考点2：利用二次根式有意义的条件求字母的取值范围

教师依次出示问题：

当x是怎样的实数时, 在实数范围内有意义? （出示课件10）

教师问：二次根式有意义的条件是什么？

学生答：被开方数是非负数.

学生独立思考后，师生共同解答.

解：由x-2≥0，得x≥2.

当x≥2时，在实数范围内有意义.

【思考】1.当x是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？

（1）；（2）

教师问：分式的分母有何要求？

学生答：分母不为0.

学生独立思考后，教师找两位学生解答.

解：（1）由题意得x-1＞0，∴x＞1.

（2）∵被开方数需大于或等于零，

∴x+3≥0，∴x≥-3.

∵分母不能等于零，

∴x-1≠0，∴x≠1.

∴x≥-3 且x≠1.

总结点拨：（出示课件11）

要使二次根式在实数范围内有意义，即需满足被开方数≥0，列不等式求解即可.若二次根式为分式的分母时，应同时考虑分母不为零.

【思考】2.当x是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？

（1）（2）

学生独立思考后，教师分别找两位学生解答.

解：(1)∵无论x为任何实数，-x2+2x-1=-(x-1)2

∴当x=1时，在实数范围内有意义.

(2)∵无论x为任何实数，-x2-2x-3=-(x+1)2-2＜0，

∴无论x为任何实数，在实数范围内都无意义.

总结点拨：（出示课件12）

被开方数是多项式时，需要对组成多项式的项进行恰当分组凑成含完全平方的形式，再进行分析讨论.

教师问：对于二次根如何确定字母的取值范围呢？

学生1答：被开方数是非负数.

学生2答：分式的分母不为0.

教师总结：（出示课件13）

二次根式有意义的条件应用的不同类型：

(1)单个二次根式如 有意义的条件：A≥0；

(2)二次根式作为分式的分母如  有意义的条件：A＞0；

(3)多个二次根式相加如 有意义的条件：

(4)二次根式与分式的和如 有意义的条件：

A≥0且B≠0.

出示课件14，学生自主练习后口答，教师订正.

2.师生共同探究二次根式的双重非负性

教师问：二次根式 的被开方数a的取值范围是什么？

学生回答：a的取值范围是非负数.

教师问：本身的取值范围又是什么？

学生答：的取值范围是非负数.

师生共同总结如下：当a＞0时， 表示a的算术平方根，因此 ；当a=0时，表示0的算术平方根，因此.这就是说，当a≥0时， .

教师问：当x 是怎样的实数时， 在实数范围内有意义？

学生答：因为x² ≥0，所以x可以为任意实数.

教师问： 呢？

学生答：要使x³ ≥0，必须x ≥0 .

教师总结：（出示课件16）

二次根式的实质是表示一个非负数（或式）的算术平方根.对于任意一个二次根式 ，必须满足以下两条：

（1）a为被开方数，为保证其有意义，可知a≥0；

（2）表示一个数或式的算术平方根，可知≥0. 

二次根式的双重非负性：①二次根式的被开方数非负；②二次根式的值非负.

考点1：利用二次根式的双重非负性求字母的值

若 ，求2a -b+3c的值.（出示课件17）

教师问：二次根式的值是什么数？

学生回答：是非负数.

教师问：绝对值的结果是什么数？

学生回答：是非负数.

教师问：一个数的平方是什么数？

学生答：非负数.

分析后，师生共同解答如下：

解：由题意可知a+3=0,b-2=0,c-1=0,解得a=-3,b=2,c=1.

所以2a-b+3c= -3×2-2+3×1= -5.

师生共同归纳：多个非负数的和为零，则可得每个非负数均为零.初中阶段学过的非负数主要有绝对值、偶次幂及二次根式.

出示课件18，学生自主练习后口答，教师订正.

考点2：二次根式的双重非负性和不等式求字母的值

已知实数x、y满足等式 ，求x2-2xy+y2的值. （出示课件19）

教师问：二次根式的被开方数（3-x）和（x-3）有何特点？

学生回答：（3-x）和（x-3）互为相反数.

师生共同解答如下： 

解： 由题意得   解得：x=3.

把x=3,代入得y=-5.

所以x2-2xy+y2=(x-y)2=(3+5)2=64.

师生共同归纳：若 ，则根据被开方数大于等于0，可得a=0.

出示课件20，学生自主练习，教师给出答案。

教师：学了前面的知识，接下来做几道练习题看看你掌握的怎么样吧。

（三）课堂练习（出示课件21-28）

练习课件第21-28页题目，约用时20分钟

（四）课堂小结（出示课件29）

（五）课前预习

预习下节课（16.1第2课时）的相关内容.

知道算术平方根的意义、代数式的定义和=a，=a(a)

七、课后作业

教材第3页练习第1、2题.

八、板书设计

1．二次根式的定义

一般地，我们把形如 (a≥0)的式子叫做二次根式．

2．二次根式有意义的条件

被开方数(式)为非负数；有意义⇔a≥0.

九、教学反思

成功之处： 我们经常说过程比结果更重要.我对整节课的设计力求符合学生的认知特点,想方设法创设生动活泼的教学情境,使学生始终处在好奇、好学的高亢的学习情绪当中,同时,整节课争取做到先有框架,中有深化,后有突破.学生学有情趣,学有所获,并由衷感到:学习是快乐的事,学会了更是幸福的事.在教学中,我增加了有拓展性的练习,层层递进,想使不同的学生得到不同程度的发展和提高.

不足之处：受到教材中练习题的局限,就当a是非负数时,本身也是一个非负数的练习没有落实到位.