人教版七年级下册8.3 实际问题与二元一次方程组第1课时教案及反思

8.3 实际问题与二元一次方程组
第1课时

一、教学目标

【知识与技能】

1.能够根据具体的数量关系，列出二元一次方程组解决简单的实际问题.

2.学会利用二元一次方程组解决几何、行程问题.

3.经历用方程组解决实际图形问题的过程，体会方程组是刻画现实世界的有效数学模型.

【过程与方法】

通过问题探究，使学生进一步使用代数中的方程来反映现实世界的等量关系，体会方程解决问题的优越性.

【情感态度与价值观】

进一步培养学生建模解决实际问题的能力，培养严谨缜密的思维习惯，继续渗透方程的数学思想.

二、课型

新授课

三、课时

第1课时 共2课时

四、教学重难点

【教学重点】 

能够根据题意找出相等关系，根据相等关系列出方程组解决实际问题．

【教学难点】 

 准确找到实际问题中的相等关系，解释结果的合理性．

五、课前准备 

教师：课件、三角尺、直尺等.

学生：三角尺、铅笔、练习本.

六、教学过程

（一）导入新课（出示课件2）

悟空顺风探妖踪，千里只行四分钟.

归时四分行六百，风速多少才称雄？

（二）探索新知

1.出示课件4-6，探究列二元一次方程组解答较简单问题

教师出示问题：养牛场原有30只大牛和15只小牛，1天约用饲料675 kg；一周后又购进12只大牛和5只小牛，这时1天约用饲料940 kg.饲养员李大叔估计每只大牛1天约需饲料18到20 kg，每只小牛1天约需饲料7到8 kg.你认为李大叔估计的准确吗？

教师问：你能找出题目中的数量关系吗？

教师依次展示学生答案：

学生1答：30只大牛和15只小牛一天需用饲料为675kg.

学生2答：(30+12)只大牛和(15+5)只小牛一天需用饲料为940kg.

教师总结如下：(1)30只大牛和15只小牛一天需用饲料为675kg; (2)(30+12)只大牛和(15+5)只小牛一天需用饲料为940kg.

教师问：你能找出题中有哪些未知量吗？

学生答：未知量:每头大牛1天需用的饲料;每头小牛1天需用的饲料.
    教师问：你如何设未知数？

学生答：设未知数：设每头大牛和每头小牛平均1天各需用饲料为xkg和ykg.
   教师问：你能解答上面的问题吗？

师生一起解答：解:设每头大牛和小牛平均1天各需用饲料为xkg和ykg，

根据等量关系，列方程组：

解方程组，得：

答:每头大牛和每头小牛1天各需用饲料为20kg和5kg，饲养员李大叔估计每天大牛需用饲料18到20千克，每头小牛一天需用7到8千克与计算有一定的出入.

教师问：你能总结一下列方程解应用题的步骤吗？

师生一起解答：列方程组解应用题一般都要经历“审、设、找、列、解、答”这六个步骤，其关键在于审清题意，找相等关系．设未知数时，一般是求什么，设什么，并且所列方程的个数与未知数的个数相等．

考点1：列二元一次方程组解答数量问题

医院用甲、乙两种原料为手术后的病人配制营养品,每克甲原料含0.5单位蛋白质和1单位铁质,每克乙原料含0.7单位蛋白质和0.4单位铁质, 若病人每餐需要35单位蛋白质和40单位铁质, 那么每餐甲、乙原料各多少克恰好满足病人的需要?（出示课件7）

师生共同讨论解答如下：（出示课件8-9）

解：设每餐甲、乙原料各x克，y克. 则有下表:

根据题意,得方程组

 化简,得

①     - ②,得   5y=150,

y=30.
把y=30代入①,得x=28.

答：每餐甲原料28克,乙原料30克恰好满足病人的需要.

总结点拨：用二元一次方程组解决实际问题的步骤：（出示课件10）

(1)审题：弄清题意和题目中的数量关系；

(2)设元：用字母表示题目中的未知数；

(3)列方程组：根据2个等量关系列出方程组；

(4)解方程组：利用代入消元法或加减消元法解出未知数的值；

(5)检验并答：检验所求的解是否符合实际意义，然后作答.

出示课件11，学生自主练习后口答，教师订正.

2.出示课件13-18，探究列二元一次方程组解答几何问题

教师出示问题：根据统计资料，甲、乙两种作物的单位面积产量的比1:2．现要把一块长200m、宽100m的长方形土地，分为两块小长方形土地，分别种植这两种作物．怎样划分这块土地，使甲、乙两种作物的总产量的比是3:4？

教师问：你能把上面的问题转化为数学语言吗？

师生一起解答：已知：长方形ABCD， AB=CD=200m，AD=BC=100m，长方形ABCD分割为两个小长方形，长方形1和长方形2分别种甲、乙作物，甲、乙单位面积产量的比是1:2.

教师问：这里研究的实际上是什么问题？

学生答：长方形的面积分割问题.

教师问：把一个长方形分成两个小长方形有哪些分割方式？

师生一起解答：我们可以画出示意图来帮助分析：

教师依次展示学生答案：

学生1答：方法1：竖着画，把长分成两段，则宽不变；

学生2答：方法2：横着画，把宽分成两段，则长不变.

教师问：方法1如何分割长方形呢？

学生答：竖着画，把长分成两段，则宽不变，

教师问：等量关系式有几个？

学生答：1.大长方形的长=200m；2.甲、乙两种作物总产量比=3:4
    教师问：方法1如何解答呢？

学生答：因为宽不变，求出长方形边长比即可.

教师问：如何设未知数呢？

学生答：设AE＝xm，BE＝ym. 则列方程为：x+y=200.

教师问：怎样使甲、乙两种作物总产量比=3:4
师生一起解答：先求出两种作物的面积.
教师问：长方形ADFE和长方形BCFE的面积分别为多少？

学生答：SAEFD=100x，SEFCB=100y.

教师问：总产量如何算出来呢？

学生答：总产量=单位面积产量×面积

教师问：怎么求出两种作物的总产量？

学生答：甲：100x×1；乙：100y×2.

教师问：你能列出方程吗？

学生答：100x:200y=3:4
教师问：你觉得该如何答题比较完整呢？
师生一起解答：解：过点E作EF⊥AB，交CD于点F.
设AE＝xm，BE＝ym.
根据题意列方程组为

解得：

答：将这块土地分为长120m,宽100m和长100m,宽80m的
两个小长方形分别种植甲、乙两种作物.
    教师问：方法2如何解答呢？

师生一起解答：

解：过点E作EF⊥BC，交BC于点F. 设DE＝xm，AE＝ym. 根据题意列方程组为

解得：

答：将这块土地分为长200m,宽60m和长200m,宽40m的两个小长方形分别种植甲、乙两种作物.

考点2：列二元一次方程组解答几何问题

某校现有校舍20000m2计划拆除部分旧校舍，改建新校舍，使校舍总面积增加30%.若建造新校舍的面积为被拆除的旧校舍面积的4倍，那么应该拆除多少旧校舍，建造多少新校舍？（单位为m2 ）（出示课件19）

学生独立思考后，师生共同解答.

解：设应拆除旧校舍xm2，建造新校舍ym2
根据题意列方程组为

解得：

答：应该拆除2000m2旧校舍，建造8000m2新校舍.

出示课件20，学生自主练习后口答，教师订正.

3.出示课件21-24，探究列二元一次方程组解答行程问题.

教师出示问题：小华从家里到学校的路是一段平路和一段下坡路. 假设他始终保持平路每分钟走60m，下坡路每分钟走80m，上坡路每分钟走40m，则他从家里到学校需10min，从学校到家里需15min.问小华家离学校多远？

你能找出题目中的数量关系吗？

教师依次展示学生答案：

学生1答：走平路的时间+走下坡路的时间=__10_.

学生2答：走上坡路的时间+走平路的时间= __15_____．

教师总结如下：走平路的时间+走下坡路的时间=__10______，
走上坡路的时间+走平路的时间= __15_____．

教师问：行程问题中有什么等量关系？

学生答：路程=平均速度×时间.

教师问：你能描述一下小华的行程吗？

学生答：小华到学校的路分成两段，一段为平路，一段为下坡路.（如下图所示）

教师问：你会解答这个问题吗？

师生一起解答：方法一（直接设元法）

解：设小华家到学校平路长x m，下坡路长y m.

根据题意列方程组为

解得：

所以小明家到学校的距离为700m

方法二（间接设元法）

解：设小华下坡路所花时间为xmin,上坡路所花时间为ymin.

根据题意，可列方程组：

解得：

故平路距离：60×（10-5）=300（m）,

坡路距离：80×5=400（m）,

所以小明家到学校的距离为700m.

考点3：列二元一次方程组解答行程问题

张强与李毅二人分别从相距20千米的两地出发，相向而行.若张强比李毅早出发30分钟，那么在李毅出发后2小时，他们相遇；如果他们同时出发，那么1小时后两人还相距11千米.求张强、李毅每小时各走多少千米？（出示课件25）

师生共同分析：

分析：如下图（1）、（2）所示

解：设张强、李毅每小时各走x, y千米，根据题意，可列方程组：

解得：

答：张强、李毅每小时各走4, 5千米.

出示课件27，学生自主练习，教师给出答案.

教师：学了前面的知识，接下来做几道练习题看看你掌握的怎么样吧.

（三）课堂练习（出示课件28-34）

练习课件第28-34页题目，约用时20分钟.

（四）课堂小结（出示课件35）  

（五）课前预习

预习下节课（8.3第2课时）的相关内容.

会利用二元一次方程组解答较复杂的问题.

七、课后作业

教材第101-102页习题8.3第4,5题.

八、板书设计：

1.知识梳理

列方程组,解决问题

2.考点讲解

考点1   考点2   考点3

九、教学反思：

成功之处：通过“古算题”，把同学们带入实际生活中的数学问题情景，学生体会到数学中的“趣”．进一步强调课堂与生活的联系，突出显示数学教学的实际价值，培养学生的人文精神，使学生形成积极参与数学活动、主动与他人合作交流的意识.

不足之处：利用二元一次方程组解答实际问题，找出题目中的数量关系是关键，这是学生解答应用问题的难点，课上学生实际操作有点少，需要课下继续训练，提高学生分析问题的能力.