重庆市九龙坡区育才中学校2022-2023学年九年级上学期期末数学试题(含答案)

重庆育才中学教育集团初2023届初三（上）期末

自主作业数学试卷

（全卷共四个大题，满分150分，考试时间120分钟）

注意事项：

1．试题的答案书写在答题卷上，不得在试卷上直接作答；

2．作答前认真阅读答题卷上的注意事项；

3．作图（包括作辅助线）请一律用2B铅笔完成；

4．考试结束，由监考人员将试题和答题卷一并收回．

参考公式：

抛物线的点坐标为，对称轴为直线．

一、选择题（本大题12个小题，每小题4分，共48分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卷上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑。

1．下列各数中的无理数是（    ）

A． B．π C．0.3 D．0

2．下列图形中，是轴对称图形的是（    ）

A．B．C．D．

3．计算的结果是（    ）

A． B． C． D．

4．如图，在平面直角坐标系中，△ABC顶点A的坐标为（0，1）。若以原点O为位似中心，画△ABC的位似图形，且的坐标为（0，2），则△ABC与的相似比为（    ）

A．1：2 B．2：1 C．1：3 D．3：1

5．估计的值应在（    ）

A．4和5之间 B．5和6之间 C．6和7之间 D．7和8之间

6．下列说法中正确的是（    ）

A．有一个角是直角的四边形是矩形 B．四边相等的四边形是矩形

C．对角线互相垂直的平行四边形是矩形 D．对角线相等的平行四边形是矩形

7．如图，AB是的直径，点C、D在上，若，则的度数是（    ）

A．35° B．30° C．25° D．20°

8．我国古代《四元玉鉴》中记载“二果问价”问题，其内容如下：九十七文钱，甜果苦果买九十九个，甜果一个三文钱，苦果三个一文钱，试问甜苦果几个，又问各该几个钱？若设买甜果x个，买苦果y个，则下列关于x、y的二元一次方程组中符合题意的是（    ）

A．  B．

C．  D．

9．在一条笔直的公路上A、B两地相120km，甲车从A地开往B地，乙车从B地开往A地，甲比乙先出发。设甲、乙两车距A地的路程为y千米，甲车行驶的时间为x小时，y与x之间的关系如图所示，下列说法错误的是（    ）

A．甲车的速度比乙的速度慢

B．甲车出发1小时后乙才出发

C．甲车行驶了2.8h或3.2h时，甲、乙两车相距10km

D．乙车达到A地时，甲车离A地90km

10．如图，正方形ABCD的边长为4，E为AB边上一点，，G为线段CE上一点，连接BG并延长交AD边于点F，且，则=（    ）

A．6 B． C． D．12

11．若关于x的一元一次不等式组的解集为，且关于y的分式方程的解是正整数，则所有满足条件的整数a的值之和是（    ）

A．－15 B．－14 C．－8 D．－7

12．已知代数式，，，下列结论：

①若则；

②若，则；

③若，b为关于x的方程的一个解，则；

④若，则；其中正确的个数是（    ）．

A．1 B．2 C．3 D．4

二、填空题：（本大题4个小题，每小题4分，共16分）在每个小题中，请将正硧答案书写在答题卡（卷）中对应的位置上．

13．______．

14．盒子中有3白1黑1黄五个除颜色外其余完全相同的球，从中任取2个球，则取出的两个球均为白球的概率为______．

15．如图，矩形ABCD中，以C为圆心，CD的长为半径画圆，交AB于点E，再以B为圆心，BC的长为半径画圆，恰好经过点E．已知，，则图中阴影部分的面积为______．

16．现在正是脐橙销售旺季，重庆奉节脐橙更是享誉全国。奉节某科研团队对A，B，C三个脐橙品种进行种植对比研究。去年，种植的A，B，C三个品种面积相同，平均亩产量不同。收获后A，B，C三个品种每千克的售价之比为3：2：4，全部售出后，三个品种的总销售额是其中B品种销售额的4倍。今年，科研团队对种植方法进行了改良，在A，B，C种植面积不变的情况下，使得A，B，C三个品种平均亩产量在去年的基础上分别增加、和．今年A品种每千克的售价不变，B品种市场认可度不高，每千克的售价在去年的基础上下降20%，C品种深受市场的欢迎，每千克的售价在去年的基础上上涨50%．所有脐橙全部售完。已知B，C两个品种今年销售额之比是1：2．则今年A，C两个品种的产量之比是______．

三、解答题（本大题7个小题，其中17题和18题8分，其余每小题10分，共66分）

17．计算：（1） （2）

18．如图，在平行四边形ABCD中，连接对角线BD，AE平分∠BAD分别交BC、BD于点E、F．

（1）尺规作图：作∠BCD的角平分线，交AD于点H，交BD的于点G．（保留作图痕迹，不写作法）

（2）在（1）问的条件下，求证：．

证明：四边形ABCD是平行四边形

∴，  ① 

∴

∵AE平分∠BAD，CH平分∠BCD

∴  ②  ，

∵四边形ABCD为平行四边形

∴  ③ 

∴

在△ABF和△CDG中

∴．

∴

19．2022年12月17－2022年12月27日，为展现育才青年的活跃思维与良好风貌，进一步培养德智体美劳全面发展的新时代青年，重庆市育才中学校举办了“新岁序开，大展宏“兔””迎新创意汇活动，为了解参加活动一“喜迎新年云端海报设计大赛”的情况，现从七年级和八年级参与设计大赛的学生中各随机选出20名同学的成绩进行分析（单位：分，满分100分），将学生比赛成绩分为A，B，C，D四个等级，分别是：A：，B：，C：，D：．

其中，七年级学生的比赛成绩为：68，76，78，78，79，82，83，83，85，86，

86，88，88，88，91，92，93，95，95，96：

八年级等级C的学生成绩为：81，82，83，86，87，88，89．

两组数据的平均数、中位数、众数、方差如下表所示：

八年级学生比赛成绩扇形统计图

（1）填空：a=______，b=______，m=______；

（2）根据以上数据，你认为在活动一设计大赛中，哪个年级的成绩更好？请说明理由（一条理由即可）

（3）若七年级有900名学生参赛，八年级有600名学生参赛，请估计两个年级参赛学生中成绩优秀（大于或等于90分）的学生共有多少人？

20．一次函数与反比例函数交于A（4，m），B（－1，4）两点。

（1）求一次函数和反比例函数的解析式，并在网格中画出一次函数的图象；

（2）根据图象，当时，直接写出自变量x的取值范围；

（3）若与x轴交于点C，点A关于x轴的对称点为点D，求△BCD的面积。

21．12月29日，重庆市长生桥垃圾镇埋场生态修复工程全面竣工验收，全国最大垃圾镇埋场摇身变为环境优美、空气宜人的生态绿地，实现了城市土地的循环再利用。修复之初，一期工程共有7000吨垃圾要运走，计划由甲、乙两个工程队运走垃圾。已知甲、乙两个工程队，原计划甲平均每天运走的垃圾比乙平均每天运走的垃圾多，这样甲运走4000吨垃圾的时间比乙运走剩下垃圾的时间少两天。

（1）求原计划甲平均每天运垃圾多少吨？

（2）实际施工时，甲平均每天运走的垃圾比原计划增加了a吨，乙平均每天运走的垃圾比原计划增加了，甲、乙合作7天后，甲临时有其他任务，剩下的垃圾由乙再单独工作2天完成。若运走每吨垃圾的运输费用为40元，请求出甲工程队的运输费用．

22．如图所示，为学校旁边一座小山的截面图。已知AB是水平线，经测量米，BC、CD、AD是斜坡，斜坡BC的坡角为37°，坡长为1000米，CD⊥BC，斜坡AD的坡比为，过点C做CE⊥AB垂足为E．（参考数据：）

（1）求坡顶C到水平线AB的距离；

（2）某徒步爱好者小明沿着这个截面按照B→C→D→A的路线走完全程，求小明所走的总路程．

23．一个四位正整数A，若千位数字与百位数字之和为7，十位数字与个位数字之和为8，且十位数字不为0，则称A为“七上八下数”，如果把A的前两位数字和后两位数字整体交换得到新的四位正整数B，规定．例如：

，∵，

∴3462为“七上八下数”，

（1）若C为最小的“七上八下数”，则C为______，并求出其对应的F（C）的值；

（2）某“七上八下数”A，若A与其对应的F（A）之和能被51整除，求这个“七上八下数”A。

四、解答题（本大题2个小题，每题10分共20分）请把答案写在答题卷上对应的空白处，解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤．

24．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴分别交于A，B两点，与y轴交于C点，其中B（4，0），C（0，2）．

（1）求该抛物线的函数表达式；

（2）点P为直线BC上方抛物线上的任意一点，过P作交直线BC于D，作轴交直线BC于E，求的最大值，并求此时P的坐标；

（3）如图2，在（2）中取得最大值的条件下，将该拋物线沿着水平方向右平移2个单位长度，点F为点P的对应点，M为平移后的抛物线的对称轴上一点．在平移后的拋物线上确定一点N，使得以点C，F，M，N为顶点的四边形是平行四边形，写出所有符合条件的点N的坐标，并写出求解点N的坐标的其中一种情况的过程．

25．已知△CDE与△ABC有公共顶点C，△CDE为等边三角形，在△ABC中，．

（1）如图1，当点E与点B重合时，连接AD，已知四边形ABDC的面积为，求的值；

（2）如图2，，A、E、D三点共线，连接AE、BE，取BE中点M，连接AM，求证：；

（3）如图3，，，将△CDE以C为旋转中心旋转，取DE中点F，当的值最小时，求的值．

重庆育才中学教育集团初2023届初三（上）期末自主作业

答案以及评分标准

一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分）。

二、填空题（本大题共4个小题，每小题4分，共16分）。

13．  14．  15．8  16．7：3

三、解答题（本大题共7个小题，共66分）。

17．计算：（每小题4分，共8分）

（1）

解：原式

（2）

解：原式

18．（本小题8分）

①

②

③

④

19．（本小题10分）

（1）填空：，，

（2）八年级的中位数为88分大于七年级的中位数87.5分，八年级成绩更好．

（注意一条理由即可，如果比较方差必须首先说明平均所相同）

（3）解：

答：两个年级参赛学生中成绩优秀的学生共有510人．

20．（本小题10分）

解：（1）∵过点，

∴∴，

∵过，

∴∴∴

图象如图所示：

（2）或

（3）∵D（4，1），∴

∴

21．（本小题10分）

解：（1）设原计划乙平均每天运走垃圾x吨，则甲平均每天运走垃圾吨由题意得：

解得：

经检验为原方程得解

∴

答：原计划甲平均每天运走垃圾500吨．

（2）由题意得：

解得：

∴甲工程队总运输费用为：元

答：甲工程队总运输费用为154000元．

22．（本小题10分）

解：（1）∵CE⊥AB垂足为E，斜坡BC的坡角为37°，坡长为1000米

∴，，

∴Rt△CEB中，

∴设，

∴；

解得：

∴

答：求坡顶C到水平面AB的距离为600m．

（2）过D做DM⊥AB于M，DN⊥CE于N

∴

∵CD⊥BC

∴

∴

∴Rt△CND中，

∴设，，则

∵DM⊥AB，DN⊥CE，AB⊥CE

∴

∴四边形NEMD是矩形

∴，

∵斜坡AD的坡比为

∴Rt△ADM中，

∴

∵，

∴

∴

∴

∴

∴，

∴

答：小明所走的总路程是2128m．

23．（本小题10分）

解：（1），

（2）：设

∴

∵为整数

∵，

∴

∴即

∴

∴A为7035，5226，3417．

24．（本小题10分）

解：（1）将点，代入

得：，解得：，

∴该抛物线的函数表达式为：；

（2）如图，过点作轴交BC于，过作交轴于

∴，

∵，，

∴，，

∴，，

∴，

∴当PQ取得最大值时，有最大值

设直线CB的解析式为，

则，解得：，

∴直线CB的解析式为，

设，则，

∴，

∵，开口向下

∴当时，PQ取得最大值1，此时；

∴的最大值为，此时．

（3）由题意得：平移后抛物线解析式为，∴，

∵抛物线的对称轴为直线，

∴设，

分情况讨论：

①当CF为对角线时，则，

解得：，∴；

②当CM为对角线时，∴

③当CN为对角线时，∴，

综上所述，点的坐标为：，，．

25．（本小题10分）

（1）解：延长AC到T，使得连接DT，过点D做DN⊥AT于N

∵△CDE为等边三角形，

∴，

四边形ABDC中，

∴

∴

在△ABD和△TCD中

∴

∴，

∴

∴△DAT为等边三角形

∵四边形ABDC的面积为

∴∵∴，设

∴

∴

∴∴

（2）证明：延长BA到使得，连接EH、CH．

∵，

∴

∵

∴为等边三角形

∴，

∵△CDE为等边三角形

∴，

∴

∴

在△ACD和AHCE中

∴

∴

．A为AH中点，M为BE中点

∴AM为△BHE的中位线

∴

∴

（3）