2022-2023学年河南省洛阳市宜阳县第一高级中学高一上学期第五次月考数学试题（解析版）

这是一份2022-2023学年河南省洛阳市宜阳县第一高级中学高一上学期第五次月考数学试题（解析版），共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．已知向量在正方形网格中的位置，若网格纸上小正方形的边长为1，如图所示．则（ ）
A．12B．4C．6D．3
【答案】C
【分析】建立平面直角坐标系，可得出，，，再结合平面向量坐标的线性运算性质即可求解.
【详解】网格纸上小正方形的边长为1，
如图，在平面直角坐标系中，，，
，
.
故选：C．
2．已知向量，是两个单位向量，则“”为锐角是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】根据充分不必要条件的概念，平面向量数量积的定义与性质即可判断．
【详解】向量，是两个单位向量，
由为锐角可得，
，
反过来，由两边平方可得，
，，
，不一定为锐角，
故“为锐角”是“”的充分不必要条件，
故选：A．
3．已知向量与不共线，且，，若，，三点共线，则实数，应该满足的条件是
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】试题分析：依题意，，∴，即，求得，故选A.
【解析】共线向量定理.
4．已知，，函数，当时，f（x）有最小值，则在上的投影向量为（ ）
A．B．C．－D．－
【答案】C
【分析】根据题意写出的表达式，结合二次函数知识求得，根据投影向量的定义即可求得答案.
【详解】由题意得，,
，
当时，有最小值，
即，
则在上的投影向量为 ，
故选：C
5．已知平面向量与的夹角为，则的最大值为（ ）
A．B．2C．4D．8
【答案】C
【分析】在三角形中利用数形结合构造关于不等式，解之即可求得的最大值
【详解】以向量与为两边作△，，，
则
则在△中，即，
则，当且仅当即时等号成立.
故选：C
6．在 中，点 满足 ，则（ ）
A．点 不在直线 上B．点 在 的延长线上
C．点 在线段 上D．点 在 的延长线上
【答案】B
【分析】由已知条件可得，从而可得与共线，进而可得结论
【详解】因为，得，
所以，
所以三点共线，且点 在 的延长线上，
故选：B
7．已知向量，且 与方向相同，则的取值范围是（ ）
A．（1，+∞）B．（-1，1）
C．（-1，+∞）D．（-∞，1）
【答案】C
【分析】与同向，用共线基本定理得到关系，表示依据的范围去求.
【详解】因为与同向，所以可设
则有，又因为，，
所以
所以的取值范围是(-1，+∞)，
故选：C.
8．如图所示，已知点是的重心，过点作直线分别交，两边于，两点，且，，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由平面向量的线性运算可得，由，，三点共线，知，再根据基本不等式中的“乘1法”，即可得解．
【详解】因为点是的重心，且，，
所以，
因为，，三点共线，所以，即，
所以，
当且仅当，即时，等号成立，
所以的最小值为．
故选：．
二、多选题
9．下列说法正确的是（ ）
A．已知平面上的任意两个向量，，不等式成立
B．若是平面上不共线的四点，则“”是“四边形为平行四边形”的充要条件
C．若非零向量，满足，则，夹角为
D．已知平面向量，是单位向量，与夹角为，则向量在向量上的投影向量为3
【答案】BC
【分析】利用向量的定义判断A；利用共线向量的定义判断B；求出判断C；求出投影向量判断D作答.
【详解】对于A，向量是既有大小又有方向的量，不能比较大小，A不正确；
对于B，因是平面上不共线的四点，，有，且，则四边形为平行四边形，
反之，四边形为平行四边形，即有，，与方向相同，则有，
所以当是不共线的四点时，“”是“四边形为平行四边形”的充要条件，B正确；
对于C，由两边平方得，即，而，为非零向量，有，，夹角为，C正确；
对于D，依题意，向量在向量上的投影向量为，D不正确.
故选：BC
10．已知点O为所在平面内一点，且则下列选项正确的有（ ）
A．B．直线过边的中点
C．D．若，则
【答案】ACD
【分析】根据向量间的线性关系及向量数量积的运算律化简求值判断A、D；若得到是△的重心，根据与不平行、相关三角形面积关系判断B、C.
【详解】，则，A正确；
若，则，
所以是△的重心，
直线过中点，而与不平行，
所以直线不过边的中点，B错误；
又，而，，
所以，C正确；
若，且，
所以，
而，D正确.
故选：ACD
【点睛】关键点点睛：注意向量之间的线性关系，结合向量数量积的运算律化简求值；根据重心的性质求三角形的面积关系.
11．已知非零平面向量，，，则下列结论正确的是（ ）
A．存在唯一的实数对，使
B．若，则
C．若且，则
D．若，则
【答案】BCD
【分析】对A，举反例，共线判断即可；对B，根据可得垂直，再根据平行四边形法则判断即可；对C，根据数量积的运算结合垂直的数量积公式判断即可；对D，根据数量积的性质判断即可.
【详解】对A，若，共线，不与，共线，则不存在实数对，使得，故A错误；
对B，因为非零平面向量，，且，则垂直，由向量加减法的平行四边形法则可得，故B正确；
对C，若且，则，即，又非零平面向量，，，则成立，故C正确；
对D，结果为向量，且与共线，同时与共线，故若，则，故D正确；
故选：BCD
12．点是所在平面内一点，且，下列说法正确的是（ ）
A．若，则点是边的中点
B．若点是边靠近点的三等分点，则
C．若点在边的中线上且，则点是的重心
D．若，则与的面积相等
【答案】AD
【分析】A选项转化为，即可判断；B选项转化为，即可判断；C选项，分析可得点为边的中线的中点，即可判断；D选项，可得点在直线上，点与点到边的距离相等即可判断
【详解】A若，，即点是边的中点，故正确；
B当时，，点是边靠近点的三等分点，故错误；
C点在边的中线上且，点为边的中线的中点，故不是重心；
D设，，则，，故点在直线上，点与点到边的距离相等，故与的面积相等.
故选：AD
三、填空题
13．已知非零向量，满足：，作，，则___________.
【答案】
【分析】构造平行四边形，可得为正三角形，根据图形可得答案.
【详解】构造如图所示的平行四边形，，,
则，，
则为正三角形，
故，
则平行四边形为菱形，
故OB平分，
则.
故答案为：
14．在平行四边形中，，则___________.
【答案】##0.75
【分析】根据向量的加法法则以及共线关系即可求解.
【详解】由得：,
在平行四边形中，由加法的平行四边形法则可得：，
故,
故
故答案为：
15．已知在中，，，，为的中点，，交于，则_______
【答案】##
【分析】根据向量的线性运算化简后求值即可.
【详解】解：由题意得：
，即
故答案为：
16．已知等边的边长为2，为边的中点，点是边上的动点，则的最小值为___________.
【答案】
【分析】设，由向量线性运算有，再由数量积的定义可得的函数，从而求得最小值.
【详解】设，
，
所以时，取得最小值，
故答案为：.
四、解答题
17．已知平面向量，满足，，．
(1)求的值；
(2)设在上的投影向量为，求实数的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据向量计算的相关公式解方程；
（2）根据向量的投影的概念及公式直接计算.
【详解】（1）由，即，
解得；
（2）在上的投影向量为，
故.
18．已知向量满足.
(1)当与的夹角为时，求；
(2)当实数为何值时，向量与垂直；
(3)若，求的值.
【答案】(1)
(2)或
(3)或
【分析】（1）首先求出，再根据数量积的定义计算可得；
（2）依题意可得，根据数量积的运算律得到方程，解得即可；
（3）依题意可得，即可求出；
【详解】（1）解：由知，.
因为与的夹角为，
所以
（2）解：由向量与垂直知，
所以，
所以，
所以，
所以或.
（3）解：由知，，即，
所以或.
19．已知不共线的向量，，其中.
(1)若向量与反向，求实数的值；
(2)若，求.
【答案】(1)
(2)2
【分析】（1）依据向量共线充要条件列方程去求实数的值；
（2）利用向量数量积去求.
【详解】（1）由与反向，可知存在唯一负实数k使得成立.
则有，解之得或（舍），则
（2）
又，则
则
20．已知空间向量与夹角的余弦值为，且，，令，．
(1)求，为邻边的平行四边形的面积S；
(2)求，夹角的余弦值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用算出答案即可；
（2）分别求出、、的值即可.
【详解】（1）根据条件，，∴；
∴；
（2）
；
，
；
∴.
21．设G为的重心，过点G作直线分别交AB､AC于P，Q.已知，，求的值.
【答案】3
【分析】连接AG并延长交BC于M，，化简得到，根据三点共线得到答案.
【详解】连接AG并延长交BC于M，因为G是重心，所以M为BC的中点.
，，
因为，，所以，
又因为P，G，Q三点共线，所以，所以.
22．如图，已知是边长为2的正三角形，点P在边BC上，且，点Q为线段AP上一点.
(1)若，求实数的值；
(2)求·的最小值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由平面向量基本定理可得，再由向量相等即可求解；
（2）由平面向量基本定理可得，再结合两项数量积的运算性质与二次函数的性质求解即可
【详解】（1）由题意，
即，故，
因为Q为线段AP上一点，
设，又不共线，
所以，解得
所以；
（2），
由（1）知，，
，
所以
，
当时，，
所以的最小值为