2022-2023学年福建省宁德市高一上学期第三次月考数学试题

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宁德市 2022-2023 学年度第一学期高一第三次月考

数学

★祝考试顺利★

温馨提示：请将全部答案填写在答题卡上,拍照上传.

本试卷有第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，考试时间120分钟 ，满分150分.

第I卷（选择题 共60分）

一、单项选择题: 本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.

1．设全集，集合，，则（    ）

A． B．

C． D．

2．已知，，下列图形能表示以A为定义域，B为值域的函数的是（    ）

A．B．C．D．

3．如图所示，函数y=cos x|tan x|（且）的图象是（    ）

A．B．C．D．

4．若，，，则、、的大小关系为（    ）

A． B． C． D．

5．不等式的解集为（    ）

A． B．

C． D．

6．若关于x的方程(sin x＋cos x)2＋cos 2x＝m在区间上有两个不同的实数根x1，x2，且|x1－x2|≥，则实数m的取值范围是（    ）

A．[0，2) B．[0，2]

C．[1，＋1] D．[1，＋1)

7．“字节”（Byte，B）常用于表示存储容量或文件的大小.随着网络存储信息量的增大，我们还用千（K，kilo）､兆（M，mega）､吉（G，giga）､太（T，tera）､拍（P，peta）等单位表示存储容量.各单位数量级之间的换算关系如下：1KB=1024B；1MB=1024KB；1GB=1024MB；1TB=1024GB；1PB==1024TB=xB。已知是一个位整数，则（    ）（参考数据：）

A．8 B．9 C．15 D．16

8．函数的定义域为，若对于任意的，当时，都有，则称函数在上为非减函数．设函数在上为非减函数，且满足以下三个条件：①；②；③，则等于（    ）

A． B． C． D．

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分， 共20分. 在每小题给出的选项中有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分

9．已知，，则下列结论正确的是（    ）

A． B． C． D．

10．下列说法正确的是（    ）

A．幂函数是奇函数，则

B．在的展开式中，含的项的系数是

C．的展开式中第6项的系数最大

D．已知函数与函数的值域相同，则实数的取值范围是

11．若，，则下列不等关系正确的有（    ）

A． B． C． D．

12．已知函数，则方程的根的个数可能为（    ）

A．2                                  B．6                        C．5                         D．4

第II卷（非选择题共90分）

三、填空题:本大题共4小题，每小题5分，共20分. 把答案填在答题卡的相应位置

13．方程的解集为______.

14．已知函数在区间上恒有，则实数取值范围____

15．给出下列四个命题：

①的对称轴为；

②函数的最大值为2；

③；              ④函数在区间上单调递增．

其中正确命题的序号为__________．

16．市劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它得名于荷兰数学家鲁伊兹.布劳威尔，简单地讲就是对于满足一定条件的连续函数，存在一个点，使得，那么我们称该函数为“不动点”函数，而称为该函数的一个不动点.现新定义：若满足，则称为的次不动点.有下列结论：

①定义在上的偶函数既不存在不动点，也不存在次不动点

②函数仅有一个不动点

③当时，函数在上仅有一个不动点和次不动点

上述结论正确的是___________.

四、解答题：本大题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.              

17. （本小题满分10分）

已知函数.

(1)判断函数的奇偶性并证明；

(2)判断函数在区间上的单调性，并用单调性的定义证明你的结论.

18. （本小题满分12分）

（1）求值: ；

（2）已知，求的值.

19. （本小题满分12分）

设函数且是定义域为的偶函数，

(1)求的值并用定义法证明在上的单调性；

(2)若，求实数的取值范围；

(3)若在上的最小值为，求的值.

20.（本小题满分12分）

2022年年底，与冬奥会相关的周边产品,因可爱而闻名的冰墩墩为迎接兔年2023，摇身一变,成为了在国内外深受大家追捧的“兔墩墩”.对某商户所售的“兔墩墩”在过去的一个月内（以天计）的销售情况进行调查发现：“兔墩墩”的日销售单价（元/套）与时间（被调查的一个月内的第天）的函数关系近似满足（常数），“兔墩墩”的日销量（套）与时间的部分数据如表所示：

已知第天该商品日销售收入为元，现有以下三种函数模型供选择：

①，②，③

(1)选出你认为最合适的一种函数模型，来描述销售量与时间的关系，并说明理由；

(2)根据你选择的模型，预估该商品的日销售收入（，）在哪天达到最低．

21. (本小题满分12分) 

已知函数，．

(1)若，求函数的值域；

(2)已知，且对任意的，不等式恒成立，求的取值范围．

22.（本小题满分12分）

已知函数的图象过点．

（1）求的值并求函数的值域；

（2）若关于的方程在有实根，求实数的取值范围；

（3）若函数，则是否存在实数，对任意，存在使成立？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由．

参考答案：

1．B

【分析】利用一元二次不等式的解法和对数不等式的解法求解.

【详解】由解得，所以，

由解得，所以，

所以，

故选:B.

2．B

【分析】A.其值域为，故不符合题意；B.符合题意；CD是函数图象，值域为，故不符合题意.

【详解】解：A是函数图象，其值域为，与已知函数的值域为不符，故不符合题意；

B是函数的图象，定义域为，值域为，故符合题意；

C是函数图象，值域为，与已知函数的值域为不符，故不符合题意；

D是函数图象，值域为，故不符合题意.

故选：B

3．C

【分析】根据绝对值的定义化简函数式，然后可判断．

【详解】由已知，对照各选项，C是正确．

故选：C．

（也可以根据函数值在三个区间上的正负判断）

4．D

【分析】利用对数函数的单调性结合中间值法判断可得出结论.

【详解】因为，，，故.

故选：D.

5．B

【分析】根据指数函数单调性解不等式，得到解集.

【详解】不等式，

∴，即．

∴或，

解得：或，

∴解集是．

故选：B．

6．A

【分析】首先化简方程为，通过换元设，若满足条件，利用图象分析可知，求得实数的取值范围.

【详解】关于x的方程(sin x＋cos x)2＋cos 2x＝m可化为sin 2x＋cos 2x＝m－1，即sin＝．

易知sin＝在区间(0，π]上有两个不同的实数根x1，x2，且|x1－x2|≥．

令2x＋＝t，即sin t＝在区间上有两个不同的实数根t1，t2．

作出y＝sin t的图象，如图所示，

由|x1－x2|≥得|t1－t2|≥，

所以，

故0≤m<2.

故选：A

【点睛】本题考查根据三角方程的实数根的个数求参数的取值范围，重点考查转化与化归的思想，数形结合分析问题的能力，属于中档题型，本题的关键是理解条件，并会数形结合分析问题，转化为不等式解集问题.

7．D

【分析】先算得1PB=B，然后利用对数转化为10进制，得出结论.

【详解】1PB=TB=GB=MB=KB=B，，则，因为是一个位整数，则，

故选：D.

8．D

【解析】由③可得，，然后由②可得，，然后结合在上非减函数可得答案.

【详解】由③得，，∴，．

由②得，

．

∵且，．

又在上非减函数，∴，

故选：

【点睛】关键点睛：解答本题的关键是由条件得到，.

9．ABD

【分析】由题意得，可得，根据的范围，可得，的正负，即可判断A的正误；求得的值，即可判断D的正误，联立可求得，的值，即可判断B的正误；根据同角三角函数的关系，可判断C的正误，即可得答案.

【详解】因为，

所以，则，

因为，所以，，

所以，故A正确；

所以，

所以，故D正确；

联立，可得，，故B正确；

所以，故C错误.

故选：ABD.

10．ABC

【分析】选项A，由幂函数的定义可知其系数为1，求得m后再验证奇偶性；选项B，展开式中的项的系数是从其4个括号的3个括号中分别取x，剩余括号中取常数项相乘得到；选项C，展开式中每一项的系数恰好和二项式系数相等，所以只需找到展开式中间一项即可；选项D，分段函数的值域是指每一段函数值域的并集，所以需要判断含有参数的一段函数的单调性以及边界点处的函数值大小关系.

【详解】选项A， 依题意幂函数，则，解得或，

当时，是一个偶函数，不合题意；当时，是一个奇函数，满足题意，故A正确；

选项B，在的展开式中， 的项的系数是从其4个括号的3个括号中分别取x，剩余括号中取常数项相乘得到的， 所以的项的系数为，故B正确；

选项C，的展开式中每一项的系数和二项式系数相等，展开式共11项，中间一项即第6项的二项式系数最大，即系数最大，故C正确；

选项D，函数的值域为R，所以函数的值域为R.

因为是一个增函数，所以当时，，即；

若函数的值域为R，则当时，，

所以满足条件，即，解得，则实数的取值范围是，故D错误.

故选：ABC.

11．BCD

【分析】指对互化后求得，对A、C选项可利用不等式及变形判断结论是否正确；

对B选项可用“1”的代换判断结论是否正确；

对D选项：由换底公式得，分别计算与的范围可判断结论是否正确.

【详解】由，，得，，所以，对于A，由不等式得，，

又，，所以A不正确；

对于B，因为，，，所以，因为，所以等号不成立，所以，所以B正确；

对于C，因为，所以，因为，所以等号不成立，所以，所以C正确；

对于D，因为，，所以，由于，且，因为，所以等号不成立，所以，

所以，所以，所以D正确，

故选：BCD.

12．ACD

【分析】先画出的图象，再讨论方程的根，求得的范围，再数形结合，得到答案.

【详解】画出的图象如图所示：

令，则，则，

当，即时，，此时，由图与的图象有两个交点，

即方程的根的个数为2个，A正确；

当时，即时，，则

故，，

当时，即，则有2解，

当时，若，则有3解；若，则有2解，

故方程的根的个数为5个或4个，CD正确；

故选：ACD

【点睛】本题考查了函数的根的个数问题，函数图象的画法，考查了分类讨论思想和数形结合思想，难度较大.

13．

【分析】对数函数是增函数，方程的解转化为求解即可。

【详解】因为对数函数是增函数，所以方程的解，

即是的解，即，

故答案为：

【点睛】此题考查三角函数方程的解，注意正切值解的写法是加，属于简单题目。

14．

【分析】将对数型函数的底数分类讨论：，然后根据对数式恒大于零列出对应的不等式组并求解出解集，即可得到的取值范围.

【详解】若函数在区间上恒有，

则或，

当时，，解得；

当时，，此时无解.

综上实数的取值范围是.

故答案为：.

【点睛】本题考查对数函数以及不等式恒成立问题，难度一般.

(1)讨论指数型、对数型函数的值域时，若底数是参数形式，一定要注意对底数作分类讨论；

(2)不等式恒成立问题的两种处理方法：分类讨论法、参变分离法.

15．①②

【分析】对①，由正弦型函数的通式求解即可；

对②，结合辅助角公式化简，再进行最值判断；

对③，由特殊函数值可判断错误；

对④，先结合诱导公式将函数化为，由求出的范围，再结合增减性判断即可

【详解】令，故①正确；，故该函数的最大值为2，故②正确；

当时，，故③错误；

由，故在区间上单调递减，故④错误．

故答案为①②

【点睛】本题考查函数基本性质的应用，正弦型函数对称轴的求法，辅助角公式的用法，函数在给定区间增减性的判断，属于中档题

16．②③

【分析】对于①举反例，对于②研究函数的单调性由零点存在性定理可判断，对于③分别研究 与分离参数研究新函数的单调性，再由交点个数确定参数的范围，两者取交集后即可判断.

【详解】对于①，取函数既是的不动点，又是的次不动点，故①错误，

对于②，，

令，易知为上的增函数，

又

由零点存在性定理得在区间存在唯一的零点，故②正确；

对于③，当时，即.

令在区间[1，2]上单调递增，故在上单调递增，满足有唯一解，则.

当时，

，即.

令在区间上单调递增，故在上单调递增，

满足有唯一解，则.

综上.故③正确；

故答案为：②③.

17．(1)函数为奇函数，证明见解析

(2)函数在区间上单调递减，证明见解析

【分析】（1）先求得的定义域，然后利用单调性的定义判断出的奇偶性.

（2）利用单调性的定义，由作出判断.

【详解】（1）因为，即，解得或，

所以函数的定义域为，定义域关于原点对称，

.

因为，所以为奇函数.

（2）在区间上单调递减，

证明：任取且，

，

因为，所以，

可得，所以，

所以，

所以在区间上单调递减.

18．（1）；（2）

【分析】(1)将改写成的形式，然后根据两角差的正余弦公式展开并化简，最后借助两角差的正切公式即可得到结果；

(2)利用以及角的范围完成计算即可.

【详解】（1）

（2）由题意得，则，

因为，

又，则，所以，

所以.

【点睛】本题考查三角函数的化简与计算，难度一般.

(1)计算非特殊角的三角函数值时，可通过非特殊角与特殊角之间的和、差、倍、分关系，转而去计算特殊角的三角函数值；

(2)注意三角恒等式：

19．(1)或者，证明见解析；

(2)；

(3).

【分析】（1）根据偶函数的定义，结合函数单调性的定义、指数函数的单调性进行求解即可；

（2）根据偶函数的性质，结合函数的单调性进行求解即可；

（3）利用换元法，结合对勾函数和二次函数的性质分类讨论进行求解即可.

【详解】（1）由函数是定义域为的偶函数，

满足，

即，

，即，

，

又，即，

化简为：，

解得：或者，

，

设且，则

，

由，得

，

，即，

，

在单调递增；

（2）是上的偶函数，

在单调递增，在单调递减.

，

即，

，

两边平方得：

解得：，

实数的取值范围为：；

（3）由（1）知，

将变形得：

令，因为，由对勾函数的性质得.

则原函数化为：，

由题知，在上的最小值为，

函数的对称轴为：，

①当，即时，，

解得：或，均不符合题意，舍去，

②当，即时，，不符合题意，

③当，即时，，

解得：符合题意，

所以的值为.

【点睛】关键点睛：利用换元法，结合对勾函数和二次函数的性质分类讨论是解题的关键.

20．(1)模型③最合适，理由见解析；

(2)第天达到最低.

【分析】（1）结合表中数据及其增速较慢的特点，分别对指数型、二次函数型、幂函数型三种函数模型进行分析，即可选出最合适的一种函数模型；

（2）由表中数据和第天日销售收入，分别求出第（1）问中选择的模型和中的参数，代入，化简后使用基本不等式求解.

【详解】（1）模型③最合适，理由如下：

对于模型①，为指数型函数模型，表格中对应的数据递增的速度较慢，故模型①不合适；

对于模型②，为二次函数模型，其图象关于直线对称，有，与表中数据不符，故模型②不合适；

对于模型③，幂函数型增长模型满足表格中对应数据较慢的递增速度，将表中数据，代入模型③，有

，解得，

∴，

经验证，均满足表中数据，

因此，使用模型③来描述销售量与时间的关系最合适.

（2）∵第天冰墩墩的日销售单价（元/套），

∴第天的日销售收入为（元），

∴，

∴，

由（1）所选模型③，当且时，

（元）

当且仅当，即时，等号成立，

∴在第天时，该商品的日销售收入达到最低元.

21．(1)；

(2)当时，；当且时，.

【分析】（1）由题设，令则，即可求值域.

（2）令，将问题转化为在上恒成立，再应用对勾函数的性质，讨论、，分别求出的取值范围．

【详解】（1）因为，

设，则，

因为，所以，即．

当时，，当或时，，

所以的值域为.

（2）因为，所以，

又可化成，

因为，所以，

所以，

令，则，，

依题意，时，恒成立，

设，，

当时，当且仅当，，故；

当，时，在上单调递增，

当时，，故，

综上所述：当时，；当且时，.

【点睛】关键点点睛：应用换元法及参变分离，将问题转化为二次函数求值域，及由不等式恒成立、对勾函数的最值求参数范围.

22．（1）；

（2）

（3）存在，或

【分析】（1）因为函数的图象过点，把点代入由即可求解.

（2）关于的方程在有实根，即有实根，

即函数与函数有交点，令，的值域即为实数的取值范围，

（3）对任意，存在使成立，

则，由单调递增，求出，令 ，则 ，

即或者恒成立在上，

分离参数即可求解.

【详解】（1）因为函数的图象过点，

所以，即，所以，

所以，因为单调递增，所以单调递增，

因为，所以，

所以函数的值域为.

（2）因为关于的方程在有实根，即有实根，

即函数与函数有交点，

令，则函数的图像与直线有交点，

又    

任取且，则

所以，所以，

所以

所以

所以在上是减函数，

因为，所以，

所以

所以实数的取值范围为

（3）由题意对任意，存在使成立，

则，由（1）知，当时，单调递增，

所以，

又 ，

令 ，则 ，

所以恒成立，

所以或者恒成立在上，

即或者

令，则在上单调递增，所以

所以，即

令，函数在单调递减，在单调递增，

，

所以

所以

即

综上所述，存在或，对任意，存在使成立.

【点睛】本题主要考查求复合函数的值域、函数与方程的关系、由方程的根求参数的取值范围、绝对值不等式恒成立求参数的取值范围，综合性比较强，属于难题.