2021-2022学年山东省威海市文登区文登第一中学高一上学期期末数学试题（解析版）

2021-2022学年山东省威海市文登区文登第一中学高一上学期期末数学试题

一、单选题

1．已知集合，，则中元素的个数为（    ）

A．4 B．5 C．6 D．无数个

【答案】A

【解析】根据分式不等式的解法求出集合，再利用集合的交运算即可求解.

【详解】由，，

所以，

所以中元素的个数为.

故选：A

2．已知函数的定义域为，则函数的定义域是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】根据抽象函数和具体函数的定义域可得出关于的不等式组，由此可解得函数的定义域.

【详解】因为函数的定义域为，对于函数，

则有，解得或.

因此，函数的定义域为.

故选：D.

3．已知，且，则的最小值为（    ）

A．3 B．4 C．6 D．9

【答案】A

【解析】将变形为，再将变形为，整理后利用基本不等式可求最小值.

【详解】因为，故，

故，

当且仅当时等号成立，

故的最小值为3.

故选：A.

【点睛】方法点睛：应用基本不等式求最值时，需遵循“一正二定三相等”，如果原代数式中没有积为定值或和为定值，则需要对给定的代数变形以产生和为定值或积为定值的局部结构.求最值时要关注取等条件的验证.

4．如图，在平行四边形中，是的中点，与交于点，设，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】依题意可得，即可得到，再根据平面向量线性运算法则计算可得；

【详解】解：依题意在平行四边形中，，

又是的中点，与交于点，所以，所以，

所以，

所以

故选：A

5．供电部门对某社区1000位居民2017年12月份人均用电情况进行统计后，按人均用电量分为[0，10），[10，20），[20，30），[30，40），[40，50]五组，整理得到如下的频率分布直方图，则下列说法错误的是（    ）

A．12月份人均用电量人数最多的一组有400人

B．12月份人均用电量不低于20度的有500人

C．12月份人均用电量为25度

D．在这1000位居民中任选1位协助收费，选到的居民用电量在[30，40）一组的概率为

【答案】C

【分析】根据频率分布直方图逐一计算分析，求出12月份人数最多的一组，判断选项A正确；计算12月份用电不低于20度的频率与频数，判断选项B正确；计算12月份人均用电，判断选项C错误；求出用电量在的频数，再根据概率计算，求出选到的居民用电量在[30，40）一组的概率，即可判断选项D正确；

【详解】解：对于A：根据频率分布直方图知，人数最多的一组是，

有（人），故选项A正确；

对于B：12月份用电量不低于20度的频率是，

有（人），故选项B正确；

对于C：12月份人均用电量为：

（度），故选项C错误；

对于D，用电量在的有：人，

所以1000位居民中任选1位，选到的居民用电量在[30，40）一组的概率为，故选项D正确.

故选：C.

6．已知函数是定义域为上的偶函数，若在上是减函数，且，则不等式的解集为

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】先结合题意画出函数的简图，结合图像可得.

【详解】根据题意作出函数的简图如下：

结合图像可得或者，解之得或者,故选C.

【点睛】本题主要考查函数性质的综合应用，数形结合是求解这类问题的“灵丹妙药”.

7．设函数，若互不相等的实数、、满足，则的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】作出函数的图象，设，，求出的取值范围，利用对称性求得，由此可得出的取值范围.

【详解】因为，即，

设，，作出函数的图象如下图所示：

由图象可知，点、关于直线对称，则，

由图可知，，因此，.

故选：B.

二、多选题

8．方程解集为单元素集，那么该方程的解集可以是（   ）

A． B． C． D．

【答案】ABC

【分析】将所求方程化为，由分类讨论求出的值，再解原方程即可.

【详解】由题意可知且，则原方程可化为，得，

若方程有一根为0，则，此时原方程的解为，（舍去），符合题意；

若方程有一根为，则，此时原方程的解为，（舍去），符合题意；

若，解得，故原方程为，解得.

故选：ABC.

9．下列结果为1的是（   ）

A． B． C． D．

【答案】BCD

【分析】由对数运算及指数运算的性质化简即可.

【详解】对于选项A，，故A错误；

对于选项B，，故B正确；

对于选项C，，故C正确；

对于选项D，，故D正确.

故选：BCD.

10．下列说法错误的是（    ）

A．若，则

B．若，，则

C．若，，则

D．若，，则

【答案】ABD

【分析】通过反例可说明A BD错误；根据不等式的性质可证明C正确.

【详解】对于A，若，则，故A错误；

对于B，若，，则，故B错误；

对于C，，，又，，故C正确；

对于D，若，，，，则，，，故D错误.

故选：ABD.

11．已知向量，，则下列结论正确的是（    ）

A． B．与可以作为一组基底

C． D．与方向相同

【答案】AC

【分析】A.利用共线向量定理判断；B. 利用基底的定义判断；C. 利用向量的线性运算求解判断； D. 利用共线向量定理判断；

【详解】A. 因为向量，，所以，则，故正确；

B. 由A知：，所以与不可以作为一组基底，故错误；

C. 因为向量，，所以，故正确；

 D. 因为向量，，所以，则，所以与方向相反，故错误；

故选：AC

12．若函数则下列说法正确的是（    ）

A．是奇函数

B．若在定义域上单调递减，则

C．当时，若，则

D．若函数有2个零点，则

【答案】ACD

【分析】根据函数解析式，结合选项逐项分析即可求出结果.

【详解】函数的定义域为，定义域关于原点对称，

当时，，则，

当时，，则，

即，故是奇函数，A正确．

因为在定义域上单调递减，所以，得或，B错误．

当时，在定义域上单调递减，由得且，C正确．

的零点个数等于的图象与直线的交点个数，由题意得，解得，D正确．

故选：ACD.

【点睛】函数零点的求解与判断方法：

（1）直接求零点：令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．

（2）零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．

（3）利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．

三、填空题

13．“”是“”的______条件．（填“充分不必要”或“必要不充分”或“充分必要”或“既不充分又不必要”）

【答案】必要不充分

【分析】由可得，然后根据充分条件必要条件的定义即得.

【详解】由，可得，

由可推出，而由推不出，

所以“”是“”的必要不充分条件.

故答案为：必要不充分.

14．已知是奇函数，且当时，.若，则__________.

【答案】-3

【分析】当时，代入条件即可得解.

【详解】因为是奇函数，且当时，．

又因为，，

所以，两边取以为底的对数得，所以，即．

【点睛】本题主要考查函数奇偶性，对数的计算．渗透了数学运算、直观想象素养．使用转化思想得出答案．

15．某公司16个销售店某月销售产品数量单位：台的茎叶图如图所示，已知数据落在中的频率为，分位数为 __________.

【答案】

【分析】将数据从小到达排列，然后得到分位数为第12个数和第13个数的平均数，计算即可.

【详解】数据落在中的频率为，即数据落在的数据有个，

则将数据从小到大排列得

又，

故分位数为第12个数和第13个数的平均数，

即

故答案为：

四、双空题

16．已知正数满足 ，当时，的最小值为_______；当时，的最小值为_______

【答案】         

【解析】当时，则，则，利用基本不等式即可求出；

当时，，则可得，利用基本不等式即可求出．

【详解】解：当时，，则，

，当且仅当，，

故的最小值为，

当时，，当时，等式不成立，当则，

则，

，当且仅当时取等号，

的最小值为7，

故答案为：，7．

【点睛】在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．

五、解答题

17．已知集合，集合.

（1）若，且，求实数的取值范围.

（2），若是的必要不充分条件，判断实数是否存在，若存在求的范围.

【答案】（1）；（2）存在，.

【解析】（1）解一元二次不等式以及分式不等式，求出，讨论或，利用集合的包含关系即可求解

（2）由题意可得且，由集合的包含关系可得且等号不同时取，解不等式即可求解.

【详解】（1）由题意可得或，，

∴.

当时，有，即；

当时，有，解得.

综上所述，.

（2）由题意可得，且，

∵，

∴且等号不同时取，解得，∴.

18．已知关于的不等式的解集为．

(1)求，的值；

(2)当，且满足时，有恒成立，求的取值范围．

【答案】(1)，

(2)

【分析】（1）首先根据题意得到，为方程的根，且，再利用根系关系求解即可.

（2）首先根据题意得到，再利用基本不等式求出的最小值即可.

【详解】（1）因为关于的不等式的解集为，

所以，为方程的根，且.

所以，解得，.

（2）因为恒成立，

所以即可.

因为，所以，

当且仅当，即时取等号.

所以，解得.

19．如图，在梯形中，，且，设.

(1)试用和表示；

(2)若点满足，且三点共线，求实数的值.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用向量三角形法则可得：，，，化简整理即可得出；

（2）由，，三点共线，可得存在实数使得，又，，可得，又，可得，再利用向量基本定理即可得出．

【详解】（1）解：，，，

，

则整理得：．

（2）解：，，三点共线，

．

，，

，

又．

．

，解得，．

．

20．函数f(x)的定义域为D＝{x|x≠0}，且满足对任意x1，x2∈D，有f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)．

(1)求f(1)的值；

(2)判断f(x)的奇偶性并证明你的结论；

(3)如果f(4)＝1，f(x－1)<2，且f(x)在(0，＋∞)上是增函数，求x的取值范围．

【答案】（1）0；（2）见解析；（3）

【详解】试题分析：（1）抽象函数求具体指，用赋值法；（2）根据定义求证函数的奇偶性找f(－x)和f(x)的关系；（3）先利用f(4×4)＝f(4)＋f(4)＝2得到f(x－1)<2⇔f(|x－1|)<f(16).再根据单调性列出不等式求解即可.

(1)∵对于任意x1，x2∈D，有f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)，

∴令x1＝x2＝1，得f(1)＝2f(1)，∴f(1)＝0.

(2)令x1＝x2＝－1，有f(1)＝f(－1)＋f(－1)，∴f(－1)＝f(1)＝0.

令x1＝－1，x2＝x有f(－x)＝f(－1)＋f(x)，∴f(－x)＝f(x)，∴f(x)为偶函数．

(3)依题设有f(4×4)＝f(4)＋f(4)＝2，

由(2)知，f(x)是偶函数，∴f(x－1)<2⇔f(|x－1|)<f(16)．又f(x)在(0，＋∞)上是增函数．∴0<|x－1|<16，解之得－15<x<17且x≠1.

∴x的取值范围是{x|－15<x<17且x≠1}．

21．某重点中学100位学生在市统考中的理科综合分数，以，，，，，，分组的频率分布直方图如图.

（1）求直方图中的值；

（2）求理科综合分数的众数和中位数；

（3）在理科综合分数为，的2组学生中，用分层抽样的方法抽取4名学生，从这4名学生中随机抽取2人，求这2人理科综合分数都在区间上的概率.

【答案】（1）；（2）众数为230，中位数为224；（3）.

【分析】（1）根据频率和为1计算出的值；

（2）根据频率分布直方图中小矩形的高度可直接判断出众数，计算频率之和为时对应的数据即为中位数；

（3）根据分层抽样的定义，结合古典概型的运算公式用列举法进行求解即可.

【详解】（1）因为，

解得，

所以直方图中的值为；

（2）理科综合分数的众数是，

∵，

∴理科综合分数的中位数在内，设中位数为，

则，

解得，即中位数为224；

（3）在理科综合分数为，的2组学生中，它们的频率分别为：

、，它们的比为：，因为进行分层抽样，所以理科综合分数在区间的人数为3，设他们为，在区间的人数为1，设为，

4名学生中随机抽取2人有以下抽取方式：

，共有6种不同的抽取方式，

这2人理科综合分数都在区间的方式如下：

，共有3种不同的抽取方式，

因此这2人理科综合分数都在区间上的概率为：.

22．已知函数.

(1)若函数的定义域为，求的取值范围；

(2)设函数.若对任意，总有，求的取值范围.

【答案】（1）；（2）

【详解】试题分析：（1）等价于在上恒成立.解得的取值范围是；（2）等价于在上恒成立，所以的取值范围是.

试题解析：

(1)函数的定义域为，即在上恒成立.

当时，恒成立，符合题意；

当时，必有.

综上，的取值范围是.

(2)∵，

∴.

对任意，总有，等价于

在上恒成立

在上恒成立.

设，则（当且仅当时取等号）.

，在上恒成立.

当时，显然成立.

当时，在上恒成立.

令，.只需.

∵在区间上单调递增，

∴.

令 .只需.

而，且∴.故.

综上，的取值范围是.