2024届山东省文登第一中学高三上学期12月阶段测试数学试题含答案

这是一份2024届山东省文登第一中学高三上学期12月阶段测试数学试题含答案，共21页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．设集合A={x|x2–4≤0}，B={x|2x+a≤0}，且A∩B={x|–2≤x≤1}，则a=（ ）
A．–4B．–2C．2D．4
【答案】B
【分析】由题意首先求得集合A,B，然后结合交集的结果得到关于a的方程，求解方程即可确定实数a的值.
【详解】求解二次不等式可得：，
求解一次不等式可得：.
由于，故：，解得：.
故选：B.
【点睛】本题主要考查交集的运算，不等式的解法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
2．已知复数，则=（ ）
A．B．2C．D．3
【答案】A
【分析】利用复数的除法运算法则求出复数，再利用复数模的公式求解即可.
【详解】，则.
故选：A.
3．已知首项为2的等比数列的前项和为，且，，则的值为（ ）
A．6B．14C．30D．62
【答案】B
【分析】设数列的公比为，根据已知结合等比数列前相和公式得出，由等比数列定义得出，结合与的图象得出的值，即可计算得出答案.
【详解】设数列的公比为，
若，则，与题中条件矛盾，故．
，解得，
则．
由在定义域上单调递增，在上单调递减，
根据与在上的图象，结合，
可得有唯一解，
，
故选：B．
4．已知，，，若不等式恒成立，则m的最大值为（ ）
A．1B．2C．3D．7
【答案】C
【分析】根据基本不等式中“”的代换求出的最小值，即可得到的最大值．
【详解】因为，
所以，
又，，
所以，
当且仅当时取等号，
所以，即，的最大值为3．
故选：C．
5．如图，在正方体中，点E是的中点，点F在线段AE上，且，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】应用空间向量基本定理即可.
【详解】由题意知，，，
，，，
所以．
故选：D
6．已知抛物线（）的焦点为F，过点F且倾斜角为30°的直线交抛物线于A，B两点，若，则焦点F的坐标为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】已知焦点弦的弦长与斜率，求解抛物线方程，确定交点坐标. 第一步表示焦点坐标写出直线AB的方程，第二步与抛物线联立方程得：，可得焦点F的坐标
【详解】法一：（）的方程的标准形式为，则，所以直线AB的方程为，与（）联立，消去x，得．设，，则，由，解得，所以焦点F的坐标为．
法二：设直线AB的倾斜角为，则，得，所以焦点F的坐标为．
故选：B.
7．某社区通过公益讲座以普及社区居民的垃圾分类知识．为了解讲座效果，随机抽取10位社区居民，让他们在讲座前和讲座后各回答一份垃圾分类知识问卷，这10位社区居民在讲座前和讲座后问卷答题的正确率如下图：
则（ ）
A．讲座前问卷答题的正确率的中位数小于
B．讲座后问卷答题的正确率的平均数大于
C．讲座前问卷答题的正确率的标准差小于讲座后正确率的标准差
D．讲座后问卷答题的正确率的极差大于讲座前正确率的极差
【答案】B
【分析】由图表信息，结合中位数、平均数、标准差、极差的概念，逐项判断即可得解.
【详解】讲座前中位数为,所以错；
讲座后问卷答题的正确率只有一个是个,剩下全部大于等于,所以讲座后问卷答题的正确率的平均数大于,所以B对；
讲座前问卷答题的正确率更加分散,所以讲座前问卷答题的正确率的标准差大于讲座后正确率的标准差,所以C错；
讲座后问卷答题的正确率的极差为，
讲座前问卷答题的正确率的极差为,所以错.
故选:B.
8．已知，其导函数的图像如图所示，则在内的极值点个数为（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】B
【分析】易得，再根据图象求得，进而得到，然后得到，再利用导数法求解.
【详解】解：因为，
所以，
由图象知：，
则，，
所以，
又，
则，
即，
因为，
所以，
所以，则，
所以，
则，
令，即，
因为，所以，
所以，解得，
所以当时，，当时，，
所以当时，取得极大值，
所以在内的极值点个数为1，
故选：B
二、多选题
9．已知是的导函数，且，则（ ）
A．B．
C．的图象在处的切线的斜率为0D．在上的最小值为1
【答案】BC
【分析】由题意，利用方程思想，求导赋值，建立方程，求得的值，可得函数与导函数解析式，
对于A、B，直接代值，可得答案；对于C，利用导数的几何意义，可得答案；对于D，根据导数与单调性关系，可得答案.
【详解】∵，∴，令，则，故B正确；则，，
，故A错误；
的图象在处的切线的斜率为，故C正确；
，当时，，单调递减，当时，，单调递增，∴在上的最小值为，故D错误．
故选：BC．
10．某杂志以每册元的价格发行时，发行量为万册.经过调查，若单册价格每提高元，则发行量就减少册.要该杂志销售收入不少于万元，每册杂志可以定价为（ ）
A．元B．元
C．元D．元
【答案】BC
【分析】设每册杂志定价为元，根据题意由，解得的范围，可得答案.
【详解】依题意可知，要使该杂志销售收入不少于万元，只能提高销售价，
设每册杂志定价为元，则发行量为万册，
则该杂志销售收入为万元，
所以，化简得，解得，
故选：BC
【点睛】关键点点睛：理解题意并求出每册杂志定价为元时的发行量是解题关键.
11．对于函数，，下列说法正确的是（ ）
A．在处取得极大值B．有两个不同的零点
C．D．在上是单调函数
【答案】ABC
【分析】求得，得出函数的单调区间，求得函数的极大值，可判定A正确，D错误；再由，结合函数的单调性得到在上必有一个零点，结合，可判定B正确；根据函数的单调性，结合作差比较，可判定C正确.
【详解】由函数，可得，其中，
当时，；当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以在处取得极大值，故A正确，D错误；
因为，可得，
又因为在上单调，所以在上必有一个零点，
由，所以为的一个零点，又由在上单调，
所以在上无零点，所以恰有两个不同的零点，故B正确；
因为，，
可得，所以，
又在上单调递减，所以，
所以，所以C正确.
故选：ABC.
12．已知函数有两个极值点，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．曲线在点处的切线可能与直线垂直
C．
D．
【答案】ACD
【分析】根据函数有两个极值点，得到导函数有两个变号零点，从而可求参数的取值范围，即可判断A选项；
假设满足条件的切线存在，利用导数的几何意义求出切线的科率，得到的值，结合A项结果推出矛盾，可得B不正确；
由，利用整体替换思想得到，最后根据的范围和二次函数的性质得到，可得C正确；
由，利用整体替换思想可知若D正确，则只需，令，构造函数，利用导数可求得的单调性和最值，由此可证得结论，从而判断D选项．
【详解】对于A，，令，则，令，解得：，
当时，；当时，；
在上单调递增，在上单调递减，；
有两个极值点，有两个变号零点，，
即，，A正确；
对于B，曲线在点处的切线斜率，
若该切线与直线垂直，则，即，与矛盾，B错误；
对于C，由题意知：，即，
则，由A知：，
由二次函数性质知：，C正确；
对于D，由题意知：，即，又，
，即；
要证，只需证，即证，
即证，
设，则只需证，
令，则，
在上单调递增，，，
则，D正确.
故选：ACD．
【点睛】关键点点睛：对于D项，求解这类极值点偏移问题的关键：一是消参，把极值点转化为导函数零点之后，需要利用两个变量把参数表示出来，再巧妙地把两个极值点通过消参向求证的结论逐渐靠近；二是消“变”，即减少变量的个数，只有把不等式转化为只含有一个“变量”的式子后，才能建立与之相应的函数，转化为函数问题进行求解．
三、填空题
13．若函数 为偶函数，则实数 .
【答案】
【分析】根据偶函数的定义，列出等式，用待定系数法求解即可.
【详解】因为函数为偶函数，
所以，即，
整理的，即，所以
故答案为：
14．已知命题，，命题q：存在集合，，使得，若p，q都是真命题，则实数a的取值范围为 ．
【答案】
【分析】先根据p和q是真命题，分别求出的范围，进而可得出答案.
【详解】因为，，
所以在上恒成立，
即在上恒成立，
又，所以，
因为集合，
所以，即．，
由，得或，
所以或，
因为p，q都是真命题，
所以，解得，
所以实数a的取值范围是．
故答案为：.
15．函数的零点个数为 .
【答案】3
【分析】作出函数图象，根据函数零点与函数图象的关系，直接判断零点个数.
【详解】作出函数图象，如下，
由图象可知，函数有3个零点（3个零点分别为，0，2）.
故答案为：3
16．如图，已知边长为1的正方形与正方形所在平面互相垂直，为的中点，为线段上的动点，当三棱锥的体积最大时，三棱锥的外接球的表面积为 .
【答案】
【解析】由题意知三棱锥的体积最大时，点与点重合，问题转化为求三棱锥外接球的表面积，然后，利用勾股定理求出外接球半径，进而可求解
【详解】
如图，由题意知三棱锥的体积最大时，点与点重合，即求三棱锥外接球的表面积，因为正方形与正方形的边长均为1，点为的中点，所以，，.过点作，垂足为，由正方形与正方形所在平面互相垂直，得平面.设三棱锥外接球的球心为，的中点为，连接，则平面.延长到点，使.连接，设，则，，解得，设三棱锥外接球的半径为，则.故所求表面积
故答案为：
【点睛】关键点睛：三棱锥的体积与底面积和高有关，若底面面积不变，高增大时，体积增大；若高不变，底面面积增大时，体积增大，本题中，点到平面的距离不变，当三角形的面积最大时，三棱锥的体积取最大值，另外求球的半径，可以根据题意先确定出球心的位置，然后可在直角三角形中表示球的半径，此类问题考查空间想象能力和运算求解能力，难度比较大.
四、解答题
17．记为数列的前n项和．已知．
(1)证明：是等差数列；
(2)若成等比数列，求的最小值．
【答案】(1)证明见解析；
(2)．
【分析】（1）依题意可得，根据，作差即可得到，从而得证；
（2）法一：由（1）及等比中项的性质求出，即可得到的通项公式与前项和，再根据二次函数的性质计算可得．
【详解】（1）因为，即①，
当时，②，
①②得，，
即，
即，所以，且，
所以是以为公差的等差数列．
（2）[方法一]：二次函数的性质
由（1）可得，，，
又，，成等比数列，所以，
即，解得，
所以，所以，
所以，当或时，．
[方法二]：【最优解】邻项变号法
由（1）可得，，，
又，，成等比数列，所以，
即，解得，
所以，即有.
则当或时，．
【整体点评】（2）法一：根据二次函数的性质求出的最小值，适用于可以求出的表达式；
法二：根据邻项变号法求最值，计算量小，是该题的最优解．
18．在①，②，③，．这三个条件中任进一个，补充在下面问题中并作答．
已知中，内角所对的边分别为，且________．
(1)求的值;
(2)若，求的周长与面积．
【答案】(1)
(2)周长为11，面积为
【分析】（1）若选①，利用正弦定理边化角及诱导公式求出，再求出，由正切的二倍角公式即可求出的值；若选②，由诱导公式化简，再结合三角函数的平方和，可求出，，再由正切的二倍角公式可求出的值；若选③，由余弦的二倍角公式代入化简求出，再求出，由正切的二倍角公式可求出的值；
（2）由，求出，由正弦定理求出，最后根据三角形的面积公式和周长即可得出答案.
【详解】（1）若选①:由正弦定理得，
故，
而在中，，
故，又，
所以，则，
则，
故．
若选②:由，化简得，代入中，整理得，
即，
因为，所以，所以，
则，
故．
若选③:因为，
所以，即，则．
因为，所以，
则，
故．
（2）因为，且，
所以．
由（1）得，则
，
由正弦定理得，则．
故的周长为，
的面积为．
19．已知分别是椭圆的左、右焦点，A是C的右顶点，，P是椭圆C上一点，M，N分别为线段的中点，O是坐标原点，四边形OMPN的周长为4．
(1)求椭圆C的标准方程
(2)若不过点A的直线l与椭圆C交于D，E两点，且，判断直线l是否过定点，若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由．
【答案】(1)标准方程为．
(2)直线l过定点
【分析】（1）由三角形的中位线性质可得四边形OMPN的周长即为2a，椭圆的右顶点到右焦点的距离为a－c， 联立即可得椭圆方程；
（2）分类讨论斜率存在与斜率不存在，当斜率存在时设出直线方程，联立直线与椭圆方程，由韦达定理可得，再由可得k与m的关系式，将其代入直线方程可得定点，当斜率不存在时，代入计算即可.
【详解】（1）M，N分别为线段的中点，O是坐标原点，
，
四边形OMPN的周长为，
，
，
，
椭圆C的标准方程为．
（2）设，
当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为，
代入，整理得，
则，
．
易知，
，
化简得，
或(舍去)，
直线l的方程为，即，直线l过定点．
当直线l的斜率不存在时，设，
代入，解得，
由得，
，解得或(舍去)，
此时直线l过点．
综上，直线l过定点．
【点睛】求解直线或曲线过定点问题的基本思路
(1)把直线或曲线方程中的变量x，y当作常数看待，把方程一端化为零，既然是过定点，那么这个方程就要对任意参数都成立，这时参数的系数就要全部等于零，这样就得到一个关于x，y的方程组，这个方程组的解所确定的点就是直线或曲线所过的定点．
(2)由直线方程确定其过定点时，若得到了直线方程的点斜式y－y0＝k(x－x0)，则直线必过定点(x0，y0)；若得到了直线方程的斜截式y＝kx＋m，则直线必过定点(0，m)．
20．已知几何体，如图所示，其中四边形、四边形、四边形均为正方形，且边长为1，点在棱上.

(1)求证：.
(2)是否存在点，使得直线与平面所成的角为?若存在，确定点的位置；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)证明见解析
(2)当点在上，且时，直线与平面所成的角为
【分析】（1）由题意建立空间直角坐标系，由证明.
（2）设点坐标，根据线面角的向量求法即得.
【详解】（1）因为四边形、四边形、四边形均为正方形，
所以，，.
以D为原点，如图建立空间直角坐标系，

则，，.
又点M在棱DG上，故可设，
，，
，.
（2）当点在上，且时，直线与平面所成的角为
理由如下：假设存在点，直线与平面所成的角为.
设平面的一个法向量为，
由（1）知，，
，令，得
.
因为直线与平面所成的角为，
，解得.
又，，存在点满足题意.
所以当点在上，且时，直线与平面所成的角为
21．学校举行定点投篮比赛，规定每人投篮4次，投中一球得2分，没有投中得0分，假设每次投篮投中与否是相互独立的.已知小明每次投篮投中的概率都是，小强每次投篮投中的概率都是p(0（1）求小明在投篮过程中直到第三次才投中的概率；
（2）求小明在4次投篮后的总得分ξ的分布列和期望；
（3）小强投篮4次，投中的次数为X，若期望E(X)=1，求p和X的方差D(X).
【答案】（1）；（2）分布列答案见解析，数学期望：；（3），.
【分析】（1）小明在投篮过程中直到第三次才投中，说明小明前两次未投中，第三次投中，再由小明每次投篮投中的概率都是，可求得所求概率；
（2）由题意可知小明在4次投篮后总得分ξ的可能取值为0，2，4，6，8，然后求出每个所对应的概率，进而可列出分布列；
（3）随机变量X~B(4，p)，，而由E(X)=1，可求出p=，进而可求出D(X)
【详解】解：（1）设“小明在投篮过程中直到第三次才投中”为事件A，
事件A说明小明前两次未投中，第三次投中，
所以P(A)=.
故小明在投篮过程中直到第三次才投中的概率为.
（2）小明在4次投篮后总得分ξ的可能取值为0，2，4，6，8.
P(ξ=0)=，
P(ξ=2)=，
P(ξ=4)=，
P(ξ=6)=，
P(ξ=8)=.
所以总得分ξ的分布列为
所以E(ξ)=0×+2×+4×+6×+8×.
（3）因为随机变量X~B(4，p)，
所以E(X)=4p=1.所以p=.
所以随机变量X的方差D(X)=np(1p)=4×.
22．已知函数，曲线在点处的切线也是曲线的切线．
(1)若，求a；
(2)求a的取值范围．
【答案】(1)3
(2)
【分析】（1）先由上的切点求出切线方程，设出上的切点坐标，由斜率求出切点坐标，再由函数值求出即可；
（2）设出上的切点坐标，分别由和及切点表示出切线方程，由切线重合表示出，构造函数，求导求出函数值域，即可求得的取值范围.
【详解】（1）由题意知，，，，则在点处的切线方程为，
即，设该切线与切于点，，则，解得，则，解得；
（2），则在点处的切线方程为，整理得，
设该切线与切于点，，则，则切线方程为，整理得，
则，整理得，
令，则，令，解得或，
令，解得或，则变化时，的变化情况如下表：
则的值域为，故的取值范围为.
ξ
0
2
4
6
8
P
0
1
0
0
0