高中数学必修一 山东省威海市文登区-2020学年高一上学期期末数学试题（含答案）

高一数学试题

一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.下列集合与集合相等的是(    )

A.  B.

C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】

根据集合的含义，对选项进行逐一分析即可.

【详解】对：集合中的元素代表点，与集合不同；

对：集合中的元素代表点，与集合不同；

对：，解得或，与集合元素相同；

对：表示两个代数式的集合，与集合不同.

故选：C.

【点睛】本题考查集合相等的判断，属基础题.

2.已知，则“”是“”的

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件

C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】

【详解】由，

而推不出，

“”是“充分不必要条件

3.已知集合，，则(    )

A. ， B. ，

C. ， D. ，

【答案】C

【解析】

【分析】

先求得集合，再判断两个集合之间的关系.

【详解】对集合，

故存在集合A中的元素-1或2，使得其不属于集合.

故选：C.

【点睛】本题考查集合之间的关系，属基础题.

4.下表为国家统计局对2012-2018年的农产品生产价格指数进行的统计数据，则下列四个类别的产品生产价格一直在增长的是，生产价格指数最不稳定的是(    )

A. 畜牧产品，种植业产品 B. 渔业产品，畜牧产品

C. 渔业产品，林业产品 D. 畜牧产品，渔业产品

【答案】B

【解析】

【分析】

根据图表中价格指数的增长情况以及波动情况，即可容易选择.

【详解】根据图表可知：

渔业产品每一年的价格指数均超过，故都在增长；

又畜牧产品的价格指数增长波动最大.

故选：B.

【点睛】本题考查数据分析，属基础题.

5.某班有男生28人，女生16人，用分层抽样的方式从中抽取容量为的样本，若男生抽取了7人，则的值为(    )

A. 10 B. 11 C. 12 D. 14

【答案】B

【解析】

【分析】

根据分层抽样等比例抽取的性质，即可容易判断.

【详解】根据题意可得，解得.

故选：B.

【点睛】本题考查分层抽样等比例抽取的性质，属基础题.

6.从甲地到乙地要经过3个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别为，，.则某人从甲地到乙地至少遇到2次红灯的概率为(    )

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】

先计算至多1次遇到红灯的概率，再用1减去所求概率，即可求得结果.

【详解】若从甲地到乙地，遇到1次红灯，则概率为，

没有遇到红灯的概率为，

故某人从甲地到乙地至少遇到2次红灯的概率为.

故选：B.

【点睛】本题考查独立事件的概率计算，属基础题.

7.下列大小关系正确的是(    )

A  B.

C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】

根据指数函数的单调性，即可判断大小.

【详解】因为，

故.

故选：D.

【点睛】本题考查利用指数函数的单调性比较大小，属基础题.

8.已知关于的不等式（且）的解集为，则(    )

A.  B.  C.  D. 2

【答案】A

【解析】

【分析】

对进行分类讨论，结合临界情况的取值，即可容易求得.

【详解】当时，显然恒成立，不符合题意；

当时，是单调减函数，是单调增函数，

根据不等式的解集可知：，解得.

故选：A.

【点睛】本题考查指数函数和对数函数的单调性，属基础题.

二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分.

9.从装有2个红球和2个黑球的口袋中任取2个小球，则下列结论正确的是(    )

A. “至少一个红球”和“都是红球”是互斥事件

B. “恰有一个黑球”和“都是黑球”是互斥事件

C. “至少一个黑球”和“都是红球”是对立事件

D. “恰有一个红球”和“都是红球”是对立事件

【答案】BC

【解析】

【分析】

根据题意，写出所有的基本事件，根据互斥事件和对立事件的定义进行判断即可.

【详解】不妨记两个黑球为，两个红球为，从中取出2个球，则所有基本事件如下：

，

恰有一个黑球包括基本事件：，都是黑球包括基本事件，

两个事件没有共同的基本事件，故互斥；

至少一个黑球包括基本事件：，都是红球包括基本事件，

两个事件没有共同的基本事件，且两者包括的基本事件的并集为全部基本事件，故对立.

故选：BC

【点睛】本题考查对立事件和互斥事件的判断，属基础题.

10.年度国内生产总值为该年度第一、二、三产业增加值之和，观察下列两个图表，则(    )

A. 2014~2018年，国内生产总值增长率连续下滑

B. 2014~2018年，第三产业对国内生产总值增长起到拉动作用

C. 第三产业增长率与国内生产总值增长率的变化趋势保持一致

D. 2018年第三产业增加值在国内生产总值的占比超过50%

【答案】BD

【解析】

【分析】

根据表格中数据，结合选项进行逐一分析即可.

【详解】对：年国内生产总之增长率相对年上涨，故错误；

对：从图表中可知，随着第三产业增加值的增长，国内生产总值的在不断增长，故正确；

对：年第三产业的增长率相对年在增大，而国内生产总值的增长率在下降，故错误；

对：年第三产业的增加值超过万亿元，而当年的国内生产总值有90万亿元，故占比超过，故正确；

故选：BD.

【点睛】本题考图表数据的分析，属基础题.

11.已知函数有且只有一个零点，则(    )

A.

B.

C. 若不等式的解集为，则

D. 若不等式的解集为，且，则

【答案】ABD

【解析】

【分析】

根据二次函数零点的分布，以及三个二次之间的关系，韦达定理的应用，即可容易求得.

【详解】因为有且只有一个零点，

故可得，即可.

对：等价于，显然，故正确；

对：，故正确；

对：因为不等式的解集为，

故可得，故错误；

对：因为不等式的解集为，且，

则方程两根为，

故可得，

故可得，故正确.

故选：ABD.

【点睛】本题考查二次不等式和二次方程，以及二次函数之间的关系，属基础题.

12.已知是定义在上奇函数，且为偶函数，若，则(    )

A.  B.

C.  D.

【答案】AD

【解析】

【分析】

根据函数性质，赋值即可求得函数值以及函数的周期性.

【详解】因为是定义在上的奇函数，且为偶函数，

故可得，

则，故选项正确；

由上述推导可知，故错误；

又因为，故选项正确.

又因为，故错误.

故选：AD.

【点睛】本题考查抽象函数函数值的求解以及周期性的求解，属综合基础题.

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13.一组数据2，3，4，5，7，10，12，14，16的25%分位数为________.

【答案】

【解析】

【分析】

先求数据的中位数，再求前一组数据的中位数即可.

【详解】因为有9个数据，故可得其25%分位数为第个数

即其25%分位数为第个数字4

故答案为：.

【点睛】本题考查四分位数的求解，属基础题.

14.________.

【答案】

【解析】

【分析】

根据对数和指数的运算即可容易求得.

【详解】原式.

故答案为：.

【点睛】本题考查对数和指数的运算，属基础题.

15.三国时代数学家赵爽在注释《周髀算经》时，用几何的方法讨论一元二次方程的解：将四个长为，宽为的矩形围成如图所示正方形，于是中间小正方形的面积为________，且大正方形的面积为________，从而得到一元二次方程的根.（用，表示）

【答案】    (1).     (2).

【解析】

【分析】

根据题意，用整体代入的思想，即可容易求得结果.

【详解】由题可知，小正方形的边长为，则小正方形的面积为；

又四个小长方形的面积为，

故可得大正方形的面积为：，

又因为，故可得代入上式

可得大正方形的面积为.

故答案为：；

【点睛】本题考查一元二次方程根的求解，属基础题.

16.若，使不等式成立，则实数的取值范围为________.

【答案】

【解析】

【分析】

令，将问题转化为二次函数在区间上恒成立问题，即可求得参数范围.

【详解】令，由可得，

则问题等价于存在，，

分离参数可得

若满足题意，则只需，

令，令，

则，容易知，

则只需，整理得，

解得.

故答案为：.

【点睛】本题考查由存在性问题求参数值，属中档题.

四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

17.设集合，，若，，写出符合条件的所有集合.

【答案】，，，，，，，

【解析】

【分析】

求得二次函数的值域和二次不等式，再写出集合的子集即可.

【详解】由题意知，，.

若，，所以，

所以，，，，，，，.

【点睛】本题考查集合子集的求解，属基础题.

18.空气质量指数（Air Quality Index，简称AQI）是定量描述空气质量状况的指数，空气质量按照AOI大小分为六级.某地区一监测站记录自2019年9月起连续天空气质量状况，得如下频数统计表及频率分布直方图.

（Ⅰ）求，的值，并完成频率分布直方图；

（Ⅱ）由频率分布直方图，求该组数据的平均数与中位数；

（Ⅲ）在空气质量指数分别为和的监测数据中，用分层抽样的方法抽取6天，再从中任意选取2天，求事件“两天空气质量等级不同”发生的概率.

【答案】（Ⅰ），，直方图见解析；（Ⅱ）90，81.25；（Ⅲ）.

【解析】

【分析】

（Ⅰ）由频率的计算公式，即可求得参数，根据表格中数据，即可补全直方图；

（Ⅱ）根据频率分布直方图中平均数和中位数的求解方法，即可容易求得；

（Ⅲ）先用分层抽样求得天中在区间和的天数，列举出所有任取天的可能性，找出满足题意的可能性，根据古典概型的概率求解公式即可求得结果.

【详解】（Ⅰ）由题知，解得，所以.

频率分布直方图如图：

（Ⅱ）平均数为

；

中位数为 ；

（Ⅲ）按分层抽样在和中抽取分别抽取4天和2天，

在所抽取的6天中，将空气质量指数为的4天分别记为，，，，

空气质量指数为的2天分别记为，，

从中任取2天的基本事件为

共15个，

其中事件“两天空气质量等级不同”发生基本事件包括8个，

所以概率.

【点睛】本题考查频率的计算，频率分布直方图的绘制，以及由频率分布直方图计算中位数和平均数，古典概型的概率计算，涉及分层抽样，属综合中档题.

19.已知命题，，，.试判断“为真命题”与“为真命题”的充分必要关系.

【答案】“为真命题”是“为真命题”的充分不必要条件.

【解析】

【分析】

由恒成立问题求得“为真命题”与“为真命题”对应的参数范围，结合集合之间的关系，判断充分性和必要性.

【详解】若为真命题，则， 

令，在单调递减，

所以，∴，.

，，

若为真命题，则

由.，可得，

所以

因为，

所以“为真命题”是“为真命题”的充分不必要条件.

【点睛】本题考查命题充分性和必要性的判断，涉及由恒成立问题求参数的范围，属综合中档题.

20.已知偶函数，且.

（Ⅰ）求，的值；

（Ⅱ）设函数，若的值域为，求实数的取值范围.

【答案】（Ⅰ）， ；（Ⅱ）.

【解析】

【分析】

（Ⅰ）由函数定义域关于原点对称，以及函数值，待定系数即可求得结果；

（Ⅱ）根据对数型复合函数的值域以及的值域，即可求得参数的范围.

【详解】（Ⅰ）函数的定义域为，

对于，因为，所以

因为为偶函数，所以其定义域关于原点对称

所以对于，一定有，则

且有，可得

所以

解得， 

因为，

所以，从而.

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，，

当时，可得，所以，即；

当时，，所以， 

因为的值域为，所以，

故.

【点睛】本题考查由对数型复合函数的奇偶性求参数值，以及对数型符合函数值域的求解，属中档题.

21.2019年是我国脱贫攻坚关键年.在扶贫工作中，为帮助尚有90万元无息贷款没有偿还的某小微企业尽快脱贫，市政府继续为其提供30万元无息贷款，用以购买某种生产设备.已知该设备每生产1万件产品需再投入4万元的生产资料费，已知一年内生产该产品万件的销售收入为万元，且，企业在经营过程中每月还要支付给职工3万元最低工资保障.

（Ⅰ）写出该企业的年利润（万元）关于年产量（万件）的函数解析式；

（Ⅱ）当年产量为多少万件时，企业获得的年利润最大？并求出最大利润；

（Ⅲ）企业只依靠生产并销售该产品，最早在几年后能偿还所有贷款？

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）年产量为9万件时，企业获得的年利润最大为24万元；（Ⅲ）5年.

【解析】

【分析】

（Ⅰ）根据，分段求得利润，将其写成分段函数即可；

（Ⅱ）根据（Ⅰ）中所求，求分段函数的最值；

（Ⅲ）根据（Ⅱ）中所求，解简单不等式即可求得.

【详解】（Ⅰ）当时，

年利润；

时，.

所以；

（Ⅱ）由（Ⅰ）知当时，，

所以当万件时，企业获得的利润最大为14万元；

时，，

当且仅当万件时，乙获得的利润最大为24万元.

综上可知，年产量为9万件时，企业获得的年利润最大为24万元.

（Ⅲ）由题意，设最早年后还清所有贷款，

则有，解得，

所以企业最早5年后还清所有贷款.

【点睛】本题考查分段函数模型的实际应用，属综合基础题.

22.已知函数（且）.

（Ⅰ）若，求的值；

（Ⅱ）用定义证明在单调递增；

（Ⅲ）若，成立，求的取值范围.

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）证明见解析；（Ⅲ）或.

【解析】

【分析】

（Ⅰ）先求得，再根据对数的运算性质，即可求得结果；

（Ⅱ）对进行分类讨论，根据单调性定义，作差比较大小即可证明；

（Ⅲ）利用（Ⅱ）中所证，根据函数单调性求解不等式即可

【详解】（Ⅰ），因为，

所以.

（Ⅱ）设且，那么

当时，，则，

又，，则，

所以，从而；

当时，，则，

又，，则，

所以，从而，

综上可知在单调递增.

（Ⅲ）由题意可知的定义域为，且，

所以为偶函数.

所以等价于，

又因为在单调递增，

所以，即，

所以有：，，

令，

则，，

，且，或或，

所以或.

【点睛】本题考查对数的运算性质，以及利用函数单调性的定义求证指数型函数的单调性，涉及利用函数单调性求解不等式，属综合中档题.