新高考数学二轮复习专题一第4讲函数的极值、最值学案

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考点一 利用导数研究函数的极值
核心提炼
判断函数的极值点，主要有两点
(1)导函数f′(x)的变号零点，即为函数f(x)的极值点．
(2)利用函数f′(x)的单调性可得函数的极值点．
例1 (2022·百师联盟联考)已知函数f(x)＝eq \f(a,2)x2－(2a2－a＋1)x＋(2a－1)ln x＋2，其中a≠0.
(1)当a＝1时，求f(x)的单调区间；
(2)当a>0且a≠1时，f(x)存在一个极小值点x0，若x0>3.求实数a的取值范围．
解 (1)f(x)的定义域为(0，＋∞)，
当a＝1时，f(x)＝eq \f(1,2)x2－2x＋ln x＋2，
f′(x)＝x－2＋eq \f(1,x)＝eq \f(x2－2x＋1,x)＝eq \f(x－12,x)≥0，
当且仅当x＝1时，f′(x)＝0，
所以当a＝1时，f(x)的单调递增区间为(0，＋∞)，无单调递减区间．
(2)f(x)＝eq \f(a,2)x2－(2a2－a＋1)x＋(2a－1)ln x＋2，
f′(x)＝ax－(2a2－a＋1)＋eq \f(2a－1,x)
＝eq \f(ax2－2a2－a＋1x＋2a－1,x)
＝eq \f(ax－1[x－2a－1],x)，
由f′(x)＝0，解得x＝eq \f(1,a)或x＝2a－1，
①若03，解得00时，g′(x)0，
所以h(x)在(0，＋∞)上单调递增，又h(1)＝0，
所以当00)，
得f′(x)＝2ax－2＋eq \f(1,x)＝eq \f(2ax2－2x＋1,x)(x>0)，
若函数f(x)＝ax2－2x＋ln x有两个不同的极值点x1，x2，
则方程2ax2－2x＋1＝0有两个不相等的正实根，
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(Δ＝4－8a>0，,x1＋x2＝\f(1,a)>0，,x1x2＝\f(1,2a)>0，))
解得0