高考数学科学创新复习方案提升版第18讲导数与函数的极值、最值学案（Word版附解析）

这是一份高考数学科学创新复习方案提升版第18讲导数与函数的极值、最值学案（Word版附解析），共26页。

1．导数与函数的极值
2.导数与函数的最值
(1)函数f(x)在[a，b]上有最值的条件
如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条eq \x(\s\up1(09))连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值．
(2)求y＝f(x)在[a，b]上的最大(小)值的步骤
①求函数y＝f(x)在(a，b)上的eq \x(\s\up1(10))极值；
②将函数y＝f(x)的各极值与eq \x(\s\up1(11))端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中eq \x(\s\up1(12))最大的一个是最大值，eq \x(\s\up1(13))最小的一个是最小值．
1．对于可导函数f(x)，f′(x0)＝0是函数f(x)在x＝x0处有极值的必要不充分条件．
2．若函数f(x)在开区间(a，b)内只有一个极值点，则该极值点一定是函数的最值点．
3．极值有可能是最值，但最值只要不在区间端点处取得，其必定是极值．
1．(2023·衡水模拟)下列四个函数中，在x＝0处取得极值的是( )
①y＝x3；②y＝x2＋1；③y＝|x|；④y＝2x.
A．①② B．②③
C．③④ D．①③
答案 B
解析 ①y′＝3x2≥0恒成立，所以函数在R上单调递增，无极值点．②y′＝2x，当x>0时，函数单调递增；当x0；当x∈(1，e]时，f′(x)0，则函数y＝f(x)在区间(－2，2)上单调递增，故C正确；对于D，当x＝3时，f′(x)≠0，故D不正确．
4．若函数f(x)＝eq \f(1,3)x3－4x＋m在[0，3]上的最大值为4，则m＝________．
答案 4
解析 f′(x)＝x2－4，x∈[0，3]，当x∈[0，2)时，f′(x)0，所以f(x)在[0，2)上是减函数，在(2，3]上是增函数．又f(0)＝m，f(3)＝－3＋m，所以在[0，3]上，f(x)max＝f(0)＝4，所以m＝4.
5．(人教B选择性必修第三册6.2.2练习A T3改编)若函数f(x)＝ex＋ax在x＝2处取得极值，则a＝________．
答案 －e2
解析 ∵f(x)＝ex＋ax在x＝2处取得极值，∴f′(2)＝e2＋a＝0，解得a＝－e2，经检验，符合题意．
多角度探究突破
角度 知图判断函数极值情况
例1 (2024·重庆渝中区月考)设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数y＝(x－1)3f′(x)的图象如图所示，则下列结论中正确的是( )
A．函数f(x)有极大值f(－3)和f(3)
B．函数f(x)有极小值f(－3)和f(3)
C．函数f(x)有极小值f(3)和极大值f(－3)
D．函数f(x)有极小值f(－3)和极大值f(3)
答案 D
解析 当x＜－3时，(x－1)3f′(x)＞0且x－1＜0，可得f′(x)＜0，则f(x)单调递减；当x＝－3时，(x－1)3f′(x)＝0，可得f′(x)＝0；当－3＜x＜1时，(x－1)3f′(x)＜0且x－1＜0，可得f′(x)＞0，则f(x)单调递增；当x＝1时，(x－1)3f′(x)＝0，但是f′(x)是否等于0，不能确定；当1＜x＜3时，(x－1)3f′(x)＞0且x－1＞0，可得f′(x)＞0，则f(x)单调递增；当x＝3时，(x－1)3f′(x)＝0，可得f′(x)＝0；当x＞3时，(x－1)3f′(x)＜0且x－1＞0，可得f′(x)＜0，则f(x)单调递减．故f(x)有极小值f(－3)和极大值f(3)．故选D.
由图象判断函数y＝f(x)的极值要抓住的两点
(1)由y＝f′(x)的图象与x轴的交点，可得函数y＝f(x)的可能极值点．
(2)由导函数y＝f′(x)的图象可以看出y＝f′(x)的值的正负，从而可得函数y＝f(x)的单调性．两者结合可得极值点．
(多选)(2023·石家庄检测)函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则( )
A．－3是函数y＝f(x)的极值点
B．－1是函数y＝f(x)的极小值点
C．y＝f(x)在区间(－3，1)上单调递增
D．－2是函数y＝f(x)的极大值点
答案 AC
解析 由函数y＝f′(x)的图象可知，f′(－3)＝0，当x∈(－∞，－3)时，f′(x)1时，f′(x)0，得0