2020届二轮复习函数的极值和最值（理）学案（全国通用）

函数的极值和最值【考纲要求】1.掌握函数极值的定义。2.了解函数的极值点的必要条件和充分条件. 3.会用导数求不超过三次的多项式函数的极大值和极小值4.会求给定闭区间上函数的最值。【知识网络】     【考点梳理】要点一、函数的极值函数的极值的定义一般地，设函数在点及其附近有定义，（1）若对于附近的所有点，都有，则是函数的一个极大值，记作；（2）若对附近的所有点，都有，则是函数的一个极小值，记作.极大值与极小值统称极值.在定义中，取得极值的点称为极值点，极值点是自变量的值，极值指的是函数值.要点诠释：求函数极值的的基本步骤：①确定函数的定义域；②求导数；③求方程的根；④检查在方程根左右的值的符号，如果左正右负，则f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，则f(x)在这个根处取得极小值.(最好通过列表法)要点二、函数的最值1.函数的最大值与最小值定理若函数在闭区间上连续，则在上必有最大值和最小值；在开区间内连续的函数不一定有最大值与最小值.如.要点诠释：①函数的最值点必在函数的极值点或者区间的端点处取得。②函数的极值可以有多个，但最值只有一个。2.通过导数求函数最值的的基本步骤：若函数在闭区间有定义，在开区间内有导数，则求函数在上的最大值和最小值的步骤如下：（1）求函数在内的导数；（2）求方程在内的根；（3）求在内使的所有点的函数值和在闭区间端点处的函数值，；（4）比较上面所求的值，其中最大者为函数在闭区间上的最大值，最小者为函数在闭区间上的最小值.【典型例题】类型一：利用导数解决函数的极值等问题函数的极值和最值394579 例1.已知函数若函数处取得极值，试求的值，并求在点处的切线方程；【解析】因为处取得极值所以所以。又所以在点处的切线方程即.举一反三：【变式1】设为实数，函数．(1)求的单调区间与极值；(2)求证：当且时，．  【解析】（1）由知．令，得．于是当变化时，的变化情况如下表：－0+单调递减单调递增故的单调递减区间是，单调递增区间是，处取得极小值，极小值为(2)证明：设，于是，由(1)知当时，最小值为于是对任意，都有，所以在R内单调递增．于是当时，对任意，都有．而，从而对任意．即，故．【变式2】函数的定义域为区间（a，b），导函数在（a，b）内的图如图所示，则函数在（a，b）内的极小值有（　　　）A．1个   　　　　 B．2个    　　　C．3个   　　　　 D．4个【答案】由极小值的定义，只有点B是函数的极小值点，故选A。类型二：利用导数解决函数的最值问题函数的极值和最值394579 典型例题三】例2.已知函数其中。     （1）若函数存在零点，求实数的取值范围；     （2）当时，求函数的单调区间；并确定此时是否存在最小值，如果存在，求出最小值，如果存在，请说明理由。【解析】（1）因为函数存在零点，则有实根，，即（2）当时，函数定义域为由，则由，则由，则列表如下：+0-0+增极大值减极小值增所以在，上单调增，在上单调减。又知当时，；时，；而，所以存在最小值.举一反三：【变式】已知函数(),.(1)若曲线与曲线在它们的交点(1,)处具有公共切线,求的值;(2)当时,求函数的单调区间,并求其在区间上的最大值.【解析】(1)由为公共切点可得:,则,, ,则,,① 又,,,即,代入①式可得:. (2),设 则,令,解得:,; ,, 原函数在单调递增,在单调递减,在上单调递增 ①若,即时,最大值为; ②若,即时,最大值为 ③若时,即时,最大值为. 综上所述:当时,最大值为;当时,最大值为. 例3（2017  东城区模拟）已知函数，．(Ⅰ)若在处取得极值，求的值；(Ⅱ)求在区间上的最小值；(Ⅲ)在(Ⅰ)的条件下，若，求证：当时，恒有成立． 【解析】（Ⅰ）由，定义域为，得．因为函数在处取得极值，所以，即，解得．经检验，满足题意，所以．（Ⅱ）由（Ⅰ）得，定义域为．当时，有，在区间上单调递增，最小值为；当，由得，且．当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以在区间上单调递增，最小值为；当时，，
当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以函数在取得最小值．综上当时，在区间上的最小值为；当时，在区间上的最小值为．（Ⅲ）由得．当时，，，欲证，只需证， 即证，即．设，则．当时，，所以在区间上单调递增．所以当时，，即，故．所以当时，恒成立．举一反三：【变式1】设函数求的最小值;【解析】函数f（x）的定义域为（0，1）   令当时，, ∴在区间是减函数；当时，,  ∴在区间是增函数.∴在时取得最小值且最小值为.【变式2】(2018 江苏高考) 已知函数.    (1)试讨论f(x)的单调性；(2)若b＝c-a(实数c是a与无关的常数)，当函数f(x)有三个不同的零点时，a的取值范围恰好是，求c的值.【解析】(1)f′(x)＝3x2+2ax，令f′(x)＝0，解得．当a＝0时，因为f′(x)＝3x2＞0，(x≠0)，所以函数f(x)在(-∞，+∞)上单调递增；当a＞0时，时，f′(x)＞0，时，f′(x) ＜0，所以函数f(x)在，(0，+∞)上单调递增，在上单调递减；当a＜0时，时，时，f′(x)＜0，所以函数f(x)在(-∞，0)，上单调递增，在上单调递减．(2)由(1)知，函数f(x)的两个极值为f(0)＝b，，则函数f(x)有三个零点等价于，从而或．又b＝c-a，所以当a＞0时，或当a＜0时，．设，因为函数f(x)有三个零点时，a的取值范围恰好是，则在(-∞，-3)上g(a)＜0，且在上g(a) ＞0均恒成立，从而g(-3)＝c-1≤0，且，因此c＝1．此时，，因函数有三个零点，则有两个异于-1的不等实根，所以，且，解得．综上c＝1．类型三：导数在研究实际问题中最值问题的应用例4.某企业拟建造如图所示的容器(不计厚度，长度单位：米)，其中容器的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，按照设计要求容器的体积为立方米，且．假设该容器的建造费用仅与其表面积有关．已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元，半球形部分每平方米建造费用为千元．设该容器的建造费用为千元．        (1)写出关于的函数表达式，并求该函数的定义域；(2)求该容器的建造费用最小时的．【解析】(1)设容器的容积为V，    由题意知，又，    故．    由于，因此．    所以建造费用，因此，．(2)由(1)得，．    由于，所以，    当时，．    令，则m＞0，所以．①当即时，    当时，；    当时，；    当时，，所以是函数y的极小值点，也是最小值点．②当即时，当时，函数单调递减，    所以r=2是函数y的最小值点，    综上所述，当时，建造费用最小时，当时，建造费用最小时．