2022-2023学年重庆市江津第五中学校高二上学期期中数学试题（解析版）

这是一份2022-2023学年重庆市江津第五中学校高二上学期期中数学试题（解析版），共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年重庆市江津第五中学校高二上学期期中数学试题 一、单选题1．已知直线过点和点，则直线的斜率为（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据直线斜率公式直接求解即可．【详解】直线的斜率为，故选：A.2．已知向量，，则等于（       ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据题意，结合空间向量的坐标运算，即可求解.【详解】由，，得，因此.故选：C.3．焦点坐标为，（0，4），且长半轴的椭圆方程为（    ）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据题意可知，即可由求出，再根据焦点位置得出椭圆方程．【详解】因为，所以，而焦点在轴上，所以椭圆方程为．故选：B．4．若直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则（    ）A． B． C． D．或【答案】C【分析】推导出，利用空间向量法可得出线面关系.【详解】因为，，则，即，因此，.故选：C.5．直线的倾斜角为（      ）A．30° B．60° C．120° D．150°【答案】C【分析】化成斜截式方程得斜率为，进而根据斜率与倾斜角的关系求解即可.【详解】将直线一般式方程化为斜截式方程得：，所以直线的斜率为，所以根据直线倾斜角与斜率的关系得直线的倾斜角为.故选：C6．点(2，1)到直线l：x－2y＋2＝0的距离为（    ）A． B．C． D．0【答案】B【分析】直接运用点到直线距离公式进行求解即可.【详解】点(2，1)到直线l：x－2y＋2＝0的距离为，故选：B7．已知四棱锥，底面为平行四边形，M，N分别为棱BC，PD上的点，，，设，，，则向量用为基底表示为（    ）A． B．C． D．【答案】D【分析】由图形可得，根据比例关系可得，，再根据向量减法，代入整理并代换为基底向量．【详解】即故选：D．8．已知圆的圆心在x轴上，半径为1，且过点，圆：，则圆，的公共弦长为       A． B．C． D．2【答案】A【解析】根据题意设圆方程为:,代点即可求出,进而求出方程,两圆方程做差即可求得公共弦所在直线方程,再利用垂径定理去求弦长.【详解】设圆的圆心为,则其标准方程为:,将点代入方程,解得,故方程为:,两圆,方程作差得其公共弦所在直线方程为:,圆心到该直线的距离为,因此公共弦长为,故选:A.【点睛】本题综合考查圆的方程及直线与圆,圆与圆位置关系,属于中档题.一般遇见直线与圆相交问题时,常利用垂径定理解决问题. 二、多选题9．已知向量，，则下列结论正确的是（    ）．A． B．C． D．【答案】BC【分析】利用向量线性关系、数量积、模长的坐标运算判断各项正误.【详解】由题设，，A错误；，B正确；，C正确；，D错误.故选：BC10．关于椭圆，以下说法正确的是（    ）A．长轴长为 B．焦距为C．离心率为 D．左顶点的坐标为【答案】BCD【解析】求出、、的值，结合椭圆的方程可判断各选项的正误.【详解】椭圆的焦点在轴上，，.对于A选项，该椭圆的长轴长为，A错误；对于B选项，该椭圆的焦距为，B对；对于C选项，该椭圆的离心率为，C对；对于D选项，该椭圆的左顶点坐标为，D对.故选：BCD.11．已知直线l1：3x+y﹣3＝0，直线l2：6x+my+1＝0，则下列表述正确的有（　　）A．直线l2的斜率为B．若直线l1垂直于直线l2，则实数m＝﹣18C．直线l1倾斜角的正切值为3D．若直线l1平行于直线l2，则实数m＝2【答案】BD【分析】利用直线l1的方程，考虑斜率不存在的情况可判断选项A，利用两条直线垂直的充要条件可判断选项B，利用倾斜角与斜率的关系可判断选项C，利用两条直线平行的充要条件可判断选项D．【详解】解：直线l1：3x+y﹣3＝0，直线l2：6x+my+1＝0，当m＝0时，直线l2的斜率不存在，故选项A错误；当直线l1垂直于直线l2，则有3×6+1×m＝0，解得m＝﹣18，故选项B正确；直线l1的斜率为﹣3，故倾斜角的正切值为﹣3，故选项C错误；当直线l1平行于直线l2，则，解得m＝2，故选项D正确．故选：BD．12．已知圆：和圆：相交于，两点，下列说法正确的是（    ） A．圆与圆有两条公切线；B．圆与圆的相交弦所在的直线方程；C．线段的长为；D．，分别是圆和圆上的点，则的最大值为.【答案】ABD【分析】写出两圆的圆心与半径判断两圆的位置关系可知A，利用圆的方程求直线的方程，由圆心与直线关系可判断B，利用圆的弦的性质可判断C，根据圆上两点最大距离判断D．【详解】圆：的圆心为，半径，圆：，即，其圆心为，半径，所以，两圆相交，对于A，因为圆与圆相交，所以有两条公切线，A正确；对于B，两圆方程相减得，即直线AB的方程为 ，所以B正确；对于C，因为圆心与圆心的中点为满足，，所以圆心与圆心关于直线AB对称，且两圆半径相等，所以，故C错误；对于D，，分别是圆和圆上的点，则的最大值为，故D正确，故选：ABD. 三、填空题13．椭圆两焦点之间的距离为______.【答案】【解析】求出椭圆的焦距即可.【详解】由题得.故答案为：.【点睛】本题主要考查椭圆的简单几何性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.14．直线恒过的定点坐标是______.【答案】【解析】直线方程可化为，从而可得，解方程组即可.【详解】直线方程可化为因为对任意，方程恒成立，所以解得故直线恒过定点故答案为：15．已知两点，直线过点且与线段相交，直线的斜率的取值范围是______________ .【答案】【分析】根据题意，画出图像，所求直线的斜率满足,用直线的斜率公式分别求出的值，即可得出直线的斜率的取值范围．【详解】如下图，直线的斜率为，直线的斜率为.由图可知直线的斜率的取值范围是.          【点睛】本题主要考查过定点的直线斜率范围问题．16．过点且与圆相切的直线的方程是______．【答案】或【分析】当直线斜率不存在时，可得直线，分析可得直线与圆相切，满足题意，当直线斜率存在时，设斜率为k，可得直线l的方程，由题意可得圆心到直线的距离，即可求得k值，综合即可得答案.【详解】当直线l的斜率不存在时，因为过点，所以直线，此时圆心到直线的距离为1=r，此时直线与圆相切，满足题意；当直线l的斜率存在时，设斜率为k，所以，即，因为直线l与圆相切，所以圆心到直线的距离，解得，所以直线l的方程为.综上：直线的方程为或故答案为：或 四、解答题17．已知的三个顶点分别为、、．求：(1)边所在直线的方程；(2)边上的高所在直线的方程；(3)边上的中线所在直线的方程．【答案】(1)(2)(3) 【分析】（1）先用斜率公式求出的斜率，再利用直线方程的点斜式，即可求解；（2）利用两直线垂直得到，即可得到高所在直线的斜率，利用直线方程的点斜式，即可求解.（3）求出边上的中点D坐标，利用两点的坐标，即可求出直线方程；【详解】（1）因为、，故，边AC所在直线的方程为：，即为：，（2）由（1）知，故所以AC边上的高所在直线的斜率为，又，故为：，即；（3）设AC边上的中点为D，则，即，故AC边上的中线BD所在直线的方程的斜率为，故为：，即.18．求过三点的圆C的一般方程，并求直线被圆C截得的弦长．【答案】和【分析】设圆的标准方程，分别代入，解方程可得圆的方程，再利用圆的弦长公式，计算可求解.【详解】设圆的方程为：，分别代入，得，解得，故圆心为，半径，圆的方程为：设圆心到直线的距离为，则，，得到其弦长为：19．如图，已知平面，底面为正方形，，分别为的中点．（1）求证：平面；（2）求与平面所成角的正弦值．【答案】（1）证明见解析；（2）.【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量法证得平面.（2）利用直线的方向向量，平面的法向量，计算线面角的正弦值.【详解】（1）以为原点建立如图所示空间直角坐标系，则.，，所以,由于，所以平面.（2），，设平面的法向量为，则，令，则，所以.设直线与平面所成角为，则.20．已知椭圆的长轴长为，两焦点的坐标分别为和．（1）求椭圆的标准方程；（2）若为椭圆上一点，轴，求的面积．【答案】（1）（2）【解析】（1）根据椭圆的长轴即焦点坐标,可得.由椭圆中满足,即可求得,进而得椭圆的标准方程.（2）根据,可得点坐标,即可求得的面积．【详解】（1）椭圆的长轴长为,两焦点的坐标分别为和则,且解得 所以椭圆的标准方程为（2）为椭圆上一点,轴所以点的横坐标为,代入椭圆方程可求得点的纵坐标为 不妨设点在轴上方,则 所以【点睛】本题考查了椭圆标准方程的求法,椭圆的几何性质简单应用,焦点三角形面积求法,属于基础题.21．如图，在四棱锥中，已知棱，，两两垂直且长度分别为1，2，2，，．（1）若中点为，证明：平面；（2）求点到平面的距离．【答案】（1）证明见解析；（2）．【分析】（1）建立空间直角坐标系，求出所需点的坐标，求出直线的方向向量和平面的法向量，证明即可；（2）利用待定系数法求出平面的法向量，求出的坐标，然后利用点到直线的距离公式求解即可．【详解】解：（1）证明：分别以，，所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系如图所示，因为，，的长度分别为1，2，2，且，则，，，，，又是的中点，所以，所以，由已知可得平面的一个法向量为，则，所以，又平面，所以平面；（2）解：设平面的法向量为，因为，，则有，即，令，则，，故，又，所以点到平面的距离．【点睛】方法点睛：空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.22．已知离心率为的椭圆的一个焦点为，过且与轴垂直的直线与椭圆交于两点，．（1）求此椭圆的方程；（2）已知直线与椭圆交于两点，若以线段为直径的圆过点，求的值．【答案】（1）；（2）．【详解】试题分析：（1）设焦距，从而求解椭圆的标准方程；（2）将代入椭圆的方程，得，由，得到，再由韦达定理得到，，利用平面向量化简，列出方程，即可求解的值．试题解析：（1）设焦距为, 椭圆的方程为 ．（2）将代入椭圆的方程，得, 又直线与椭圆有两个交点，所以, 解得．设, 则, 若以为直径的圆过点，则,即,而, 则, 解得,满足．【解析】椭圆的标准方程；直线与椭圆的位置关系．【方法点晴】本题主要考查了椭圆的标准方程和直线与椭圆的位置关系，其中解答中涉及到椭圆的标准方程及其简单的几何性质的应用，直线与圆锥曲线的位置关系等知识点的综合考查，着重考查学生分析问题和解答问题的能力，此类问题的解答中把直线方程与椭圆的方程联立，利用根与系数的关系、韦达定理化简运算是解答的关键，试题运算量大，思维难度深，属于中档试题．