2022-2023学年重庆市江津第五中学校高一上学期期中数学试题（解析版）

2022-2023学年重庆市江津第五中学校高一上学期期中数学试题

一、单选题

1．设集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】利用交集的定义可求.

【详解】由题设有，

故选：B .

2．命题“”的否定是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】由命题的否定的定义判断．

【详解】全称命题蝗否定是特称命题．

命题“”的否定是．

故选：B．

3．如图，可以表示函数的图象的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】根据函数的概念判断

【详解】根据函数的定义，对于一个，只能有唯一的与之对应，只有D满足要求

故选：D

4．下列函数中，与 是同一个函数的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】根据函数的概念，结合函数的定义域与对应法则，逐项分析即得.

【详解】对于A，函数，与函数的定义域不同，不是同一个函数；

对于 B，函数，与函数的定义域相同，对应关系也相同，是同一个函数；

对于 C，函数，与函数的对应关系不同，不是同一个函数；

对于 D，函数，与函数的定义域不同，不是同一个函数.

故选：B.

5．若幂函数的图象过点，则的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】先求出幂函数的解析式，从而可求出的值

【详解】解：设幂函数，

因为幂函数的图象过点，

所以，解得，

所以，

所以，

故选：D

6．函数的单调递减区间是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据反比例函数的图像及性质得解单调区间.

【详解】因为函数是反比例函数，函数图像为一三象限双曲线，定义域为，

函数在和上单调递减，故函数的单调递减区间为和.

故选：A

7．已知是定义在上的单调递减函数，且 ，则实数的取值范围是（     ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据函数自变量的定义域以及函数单调递减列式，求出a的取值范围.

【详解】∵是定义在上的单调递减函数，且，

则，解得

故选：D..

8．若函数，且，则实数的值为（    ）

A． B．或 C． D．3

【答案】B

【分析】令，配凑可得，再根据求解即可

【详解】令（或），，，，.

故选；B

二、多选题

9．以下四个选项表述正确的有（    ）

A． B． C． D．

【答案】BC

【解析】利用元素集合的关系判断得错误，正确.

【详解】，所以该选项错误；

空集是任何集合的子集，所以该选项正确；

由子集的定义得，所以该选项正确；

是一个集合，它和之间不能用连接，所以该选项错误.

故选：BC

10．设，则下列不等式一定成立的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】AC

【分析】A选项，由不等式的基本性质求解；

BD选项，可举出反例；

C选项，作差法比较大小.

【详解】因为，为分母，所以，由不等式的基本性质可知：，A正确；

不妨设，满足，但，B错误；

，

因为，所以，且恒成立，

所以，故，C正确；

当时，，D错误.

故选：AC

11．若函数同时满足：

①对于定义域上的任意，恒有；

②对于定义域上的任意，，当时，恒有，

则称函数为“理想函数”.下列函数中的“理想函数”有（    ）

A． B． C． D．

【答案】CD

【解析】由定义知：“理想函数”为奇函数，且在定义域上单调递减；判断各函数的奇偶性、单调性即可知正确选项.

【详解】由题设知：“理想函数”为奇函数，且在定义域上单调递减，

A：的定义域为(−∞,0)∪(0,+∞)，关于原点对称，又，所以该函数为奇函数，而，不符合在定义域上递减要求，故不是“理想函数”；

B：由函数的性质在定义域上不单调，故不是“理想函数”；

C：由，有，故为奇函数，由对应区间二次函数的性质知连续函数在，都单调递减，即在定义域上单调减，故为“理想函数”；

D：根据函数性质，为奇函数且在定义域上单调减，故为“理想函数”

故选：CD

12．下列说法不正确的是（    ）

A．函数在定义域内是减函数

B．若是奇函数，则一定有

C．已知函数在上是增函数，则实数的取值范围是

D．若的定义域为，则的定义域为

【答案】ABC

【分析】A选项，单调区间不能用号连接，即在定义域不是单调递减函数，A错误；

B选项，可举出反例；

C选项，分段函数单调递增，则在每段上函数均单调递增，且在端点处，左边函数值小于等于右边函数的值；

D选项，利用抽象函数求定义域的方法进行求解.

【详解】函数在和上都是减函数，但在定义域上不是减函数，故A不正确；

当是奇函数时，可能无意义，比如，故B不正确；

因为是增函数，所以，解得，故C不正确；

因为的定义域为，所以，

解得，即的定义域为，故D正确.

故选：ABC.

三、填空题

13．集合且的子集有___个．

【答案】16

【分析】求出集合且的元素个数，利用子集个数公式可得结果．

【详解】解：集合且，

因此，该集合的子集为

则子集共有16个．

故答案为：16．

14．已知正实数x，y满足，则最小值为______．

【答案】9

【分析】利用基本不等式的性质直接求解即可.

【详解】正数，满足：，

，

当且仅当，即，时 “”成立，

故答案为：.

15．设（、为常数），若，则______

【答案】40

【分析】根据题意，求解相应函数值，利用等量代还，可得答案.

【详解】由题意，则，即，

由，

故答案为：40.

四、双空题

16．已知关于x的不等式，若，则该不等式的解集是___________，若该不等式对任意的均成立，则实数a的取值范围是_________．

【答案】         

【分析】当时，结合一元二次不等式的解法即可求解；若不等式对任意的均成立，则需分类讨论参数的大小，进一步确定图像两零点与定区间的关系，进而求解.

【详解】当时，，解得：.

故解集为.

令，.

当时，，为减函数，

所以当时，取得最大值，即恒成立.

当时，，如图所示：

要满足，恒成立，只需满足：.

当时，，如图所示：

要满足，恒成立，只需满足：

.

综上：.

故答案为：，

五、解答题

17．已知函数的定义域为集合A，函数，的值域为B．

(1)求集合A、集合B

(2)求函数的单调区间．

【答案】(1)，.

(2)单调减区间为,单调增区间为.

【分析】（1）根据根号下大于等于0和分母不为0即可解出集合，根据二次函数性质即可得到集合；

（2）根据二次函数的开口方向和对称轴即可得到其单调区间.

【详解】（1），，解得且，

即集合，

，

，，则其值域为，

即值域为，则.

（2），根据二次函数开口向上，对称轴为，

故其单调减区间为，单调增区间为.

18．已知函数的解析式，

(1)求；

(2)若，求a的值；

【答案】(1)5；

(2)0或.

【分析】（1）根据自变量的范围选择相应的解析式可求得结果;

（2）按照三种情况,选择相应的解析式代入解方程可得结果.

【详解】（1），

,

故.

（2）当时,,解得,成立;

当时,,解得或(舍);

当时,,解得,不成立，

的值为0或.

19．已知集合，， 或.

(1)求， ；

(2)若 ，求a的取值范围.

【答案】(1)，

(2)或

【分析】（1）根据集合运算的定义分别计算即可；

（2）运用数轴法，由 即可确定a的范围.

【详解】（1）因为，，

所以 .

因为，所以 或 ，

；

（2）因为，且 ，

所以或，所以a的取值范围是或.

综上，，，a的取值范围是或.

20．已知．

(1)用定义证明在区间上是增函数；

(2)求该函数在区间上的最大值．

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）利用函数的大小定义进行证明即可；

（2）根据（1）的结论，利用单调性得到最值．

【详解】（1）证明：任取，,，且，

所以

，，所以，，即，

所以函数在,上是增函数；

（2）解：由（1）知，在上是增函数．

所以最大值为.

21．某产品生产厂家根据以往的生产销售经验得到下面有关生产销售的统计规律：每生产产品x万件，其总成本为万元，其中固定成本为3万元，并且每生产1万件的生产成本为1万元（总成本=固定成本+生产成本），销售收入满足，假定该产品产销平衡（即生产的产品都能卖掉），根据上述统计规律，请完成下列问题：

(1)写出利润函数的解析式（利润=销售收入−总成本）；

(2)工厂生产多少万件产品时，可使盈利最多？

【答案】(1)

(2)4万件

【分析】（1）由题意，总成本，由即可得利润函数解析式；

（2）根据反比例函数及二次函数的单调性，求出分段函数的最大值即可求解.

【详解】（1）解：由题意，总成本，

因为销售收入满足，

所以利润函数；

（2）解：当时，因为函数单调递减，所以万元；

当时，函数，

所以当时，有最大值为13 (万元) .

所以当工厂生产4万件产品时，可使盈利最多为13万元.

22．定义在上的奇函数是单调函数，满足，且，（，）．

(1)求，；

(2)若对于任意，都有成立，求实数的取值范围．

【答案】(1)，；

(2)

【分析】（1）利用赋值法结合已知即可分别求解；

（2）结合已知奇函数且单调把原不等式进行转化为求解最值问题，即可求解.

【详解】（1）解：定义在上的奇函数，满足，且，（，）．

令可得，，，

令，，可得，

令，可得，

所以；

（2）解：是奇函数，且在上恒成立，

在上恒成立，

又定义在上的奇函数是单调函数，且；

在上是增函数，

在上恒成立，

在上恒成立，

令．

由于，．

，

，即实数k的取值范围为．