2022-2023学年山东省威海市乳山市第一中学高二上学期12月月考数学试题（解析版）

2022-2023学年山东省威海市乳山市第一中学高二上学期12月月考数学试题

一、单选题

1．过与的交点，且平行于向量的直线方程为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】首先求出两直线的交点坐标，然后再根据所求直线平行于向量，从而可求出答案.

【详解】由，得，所以交点坐标为，

又因为直线平行于向量，所以所求直线方程为，

即.

故选：C.

2．已知数列是等比数列，满足，数列是等差数列，且，则等于（    ）

A．24 B．16 C．8 D．4

【答案】C

【解析】利用等比数列和等差数列的性质计算．

【详解】∵数列是等比数列，∴，又，∴，

又是等差数列，∴．

故选：C．

【点睛】关键点点睛：本题考查等差数列与等比数列的性质，掌握等差数列与等比数列的性质是解题关键．对正整数，若，是等差数列，则，若是等比数列，则，特别地若，是等差数列，则，若是等比数列，则．

3．设B是椭圆的上顶点，点P在C上，则的最大值为（    ）

A． B． C． D．2

【答案】A

【分析】设点，由依题意可知，，，再根据两点间的距离公式得到，然后消元，即可利用二次函数的性质求出最大值．

【详解】设点，因为，，所以

，

而，所以当时，的最大值为．

故选：A．

【点睛】本题解题关键是熟悉椭圆的简单几何性质，由两点间的距离公式，并利用消元思想以及二次函数的性质即可解出．易错点是容易误认为短轴的相对端点是椭圆上到上定点B最远的点，或者认为是椭圆的长轴的端点到短轴的端点距离最大，这些认识是错误的，要注意将距离的平方表示为二次函数后，自变量的取值范围是一个闭区间，而不是全体实数上求最值.．

4．在平面直角坐标系中，，，点满足，，点为曲线上的动点，则的最小值为（    ）．

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】首先确定点和的轨迹方程，以及画出两个轨迹图象，根据数形结合分析的最小值.

【详解】，所以直线的方程是

点满足，，点在直线上，

点在曲线上，

如图，的最小值是点到直线的距离．

故选：C

【点睛】关键点点睛：本题的关键是能观察，变形出点的轨迹方程是以为圆心，半径为1的半圆，才能数形结合分析两点间距离的最小值.

5．已知直三棱柱中，，，，则异面直线与所成角的余弦值为（    ）．

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】建立空间直角坐标系，利用向量方法求解即可.

【详解】如图，以为空间直角坐标系原点建立如图空间直角坐标系，

因为，，

故，.

设与所成角为，

则.

故选：B

6．已知数列的前项和满足，则（    ）

A．72 B．96 C．108 D．126

【答案】B

【分析】利用与的关系，结合题意可得数列是以3为首项，公比为的等比数列，利用等比数列的通项公式即可得解.

【详解】当时，，解得，

当时，即，

所以数列是以3为首项，公比为的等比数列，

所以.

故选：B.

7．已知F1、F2分别为双曲线C：（a＞0，b＞0）的左、右焦点，点A在双曲线上，且∠F1AF2＝60°，若∠F1AF2的角平分线经过线段OF2（O为坐标原点）的中点，则双曲线的离心率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】首先根据角平分线定理和双曲线的定义求得和的值，再结合余弦定理计算离心率.

【详解】不妨设点在第一象限，的角平分线交轴于点，因为点是线段的中点，所以，根据角平分线定理可知，又因为，所以，，由余弦定理可得，所以，所以.

故选：B

【点睛】本题考查双曲线的离心率，双曲线的定义，三角形角平分线定理，重点考查转化思想，计算能力，属于中档题型.

8．过抛物线焦点F的直线交抛物线于A，B两点，交x轴于C点，，则（    ）

A． B． C．3 D．

【答案】C

【分析】设，由求得，再设出直线方程，代入抛物线方程后应用韦达定理得，求得，由焦半径公式求得焦半径比值．

【详解】由题意，设，

由，得，所以，，

设直线方程为，由得，

所以，所以，

．

故选：C．

【点睛】结论点睛：本题考查直线与抛物线相交，考查焦点弦性质．设是抛物线的焦点弦的端点，则，，如果抛物线方程是，则有，．

二、多选题

9．已知为虚数单位，则下列选项中正确的是（     ）

A．复数的模为5；

B．复数，则在复平面上的点在第四象限

C．复数是纯虚数，则或

D．若，则的最大值为

【答案】ABD

【分析】对于A，直接求复数的模判断；对于B，先求出再判断；对于C，由实部为零虚部不为零求解；对于D，利用复数的几何意义求解

【详解】解：对于A，因为，所以，所以A正确；

对于B，由，得，则在复平面上的点在第四象限，所以B正确；

对于C，因为复数是纯虚数，所以，解得，所以C错误；

对于D，由，可知在复平面上表示的点在单位圆上，表示在复平面上单位圆上的点到点的距离，所以的最大值为，所以D正确，

故选：ABD

10．（多选）如图，在棱长为的正方体中，分别为的中点，则（    ）

A．直线与的夹角为 B．平面平面

C．点到平面的距离为 D．若正方体每条棱所在直线与平面所成的角相等，则截此正方体所得截面只能是三角形和六边形

【答案】ABD

【分析】作平行直线求出异面直线夹角判断A；利用线面垂直、面面垂直的判定推理判断B；利用等体积法计算判断C；分析截面形状判断D作答.

【详解】在棱长为的正方体中，连接，如图，

对角面是矩形，有，即为直线与所成角或其补角，

而，则，即直线与的夹角为，A正确；

在正方体中，取AB中点G，连接，如图，

因F为CD中点，有，又平面，平面，则，

在正方形中，，即，

则，即有，而平面，

于是得平面，又平面，因此平面平面，B正确；

在棱长为的正方体中，连接，如图，

显然是中点，于是得点到平面的距离等于点到平面的距离h，

由得：，，解得，C不正确；

在正方体中，，，，

三棱锥为正三棱锥，有与平面所成角都相等，则平面与正方体的每条棱所成角都相等，

由正方体的结构特征不妨令平面与直线垂直，而平面与垂直，依题意平面与平面平行或重合，

如图，连接，，平面，平面，有平面，

同理平面，而平面，则有平面平面，

当平面从点向移动（含不含）或从点D向C移动（含D不含C）过程中，平面截此正方体所得截面是三角形，

当平面在平面与平面之间时，平面与正方体的六个面都相交，截面为六边形，D正确.

故选：ABD

11．已知数列的前n项和为，，则（    ）

A．是等差数列

B．不是等差数列

C．若是递增数列，则a的取值范围是

D．若是递增数列，则a的取值范围是

【答案】BD

【分析】利用等差数列的前n项和为一元二次函数且没有常数项，可判断不是等差数列; 利用是递增数列对于恒成立，可解出的取值范围.

【详解】对于AB:等差数列的前n项和为对应的函数为为一元二次函数且没有常数项,因为，有常数项.所以不是等差数列.故B正确.

对于CD: 因为，所以.若是递增数列，则

则.故D正确.

故选：BD.

【点睛】本题考查等差数列的前n项和公式性质与递增数列的性质.属于基础题.

12．如图，，是双曲线：与椭圆的公共焦点，点是，在第一象限内的公共点，设方程为，则下列说法正确的是（    ）

A．

B．的内切圆与轴相切于点

C．若，则的离心率为

D．若，则的方程为

【答案】BCD

【分析】对于A，根据题意可得，从而可进行判断，对于B，根据双曲线的性质和内切圆的性质分析计算，对于C，由已知结合双曲线的定义可求出，再利用椭圆的定义可求出，从而可求出离心率，对于D，利用勾股定理和双曲线的性质列方程可求出，从而可求出，进而可求出椭圆方程.

【详解】由双曲线的方程，可知，所以，故A不正确；

由双曲线的定义，可知，设切点为，由内切圆的性质，可得，又，所以，故的内切圆与轴相切于点，（双曲线的焦点三角形的内切圆与轴相切于点）．故B正确；

因为，，所以，所以，即，所以的离心率为，故C正确．

因为，所以，又，所以，即，

所以，所以，

所以，又，所以，椭圆的方程为．故D正确．

故选：BCD

三、填空题

13．在如图所示实验装置中，正方形框架的边长都是1，且平面平面，活动弹子分别在正方形对角线，上移动，则长度的最小值是___________．

【答案】

【分析】将问题转化为异面直线与之间距离的求解问题，以为原点建立空间直角坐标系，根据异面直线间距离的空间向量求法可求得结果.

【详解】是异面直线，上两点，的最小值即为两条异面直线间距离.

平面平面，，平面平面，

平面，又，则以为坐标原点可建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，，

，，，

设异面直线，的公垂向量，

则，令，则，，，

，即的最小值为.

故答案为：.

【点睛】本题考查空间向量法求解异面直线间距离的问题，关键是能够将两异面直线上点的连线的最小值问题转化为异面直线间距离的求解问题.

14．已知等比数列满足，，则使得取得最小值的为______．

【答案】3或4

【分析】根据等比数列的通项公式求出，从而求出，再利用等比数列的通项公式即可求解.

【详解】设公比为，则，

∴，

∴，，，，…，

∴或4时，取得最小值．

故答案为：3或4

15．在公差为的等差数列中, ,且成等比数列, 则______________

【答案】3

【解析】根据等差数列的通项公式，用表示出，再根据成等比数列，列式即可求解．

【详解】因为，所以，

而成等比数列，所以，解得或(舍去)．

故答案为：3．

【点睛】本题主要考查等差数列的性质以及等比数列的定义的应用，属于基础题．

四、双空题

16．已知椭圆，焦点，，若过的直线和圆相切，与椭圆在第一象限交于点P，且轴，则该直线的斜率是___________，椭圆的离心率是___________.

【答案】         

【分析】不妨假设，根据图形可知，，再根据同角三角函数基本关系即可求出；再根据椭圆的定义求出，即可求得离心率．

【详解】

如图所示：不妨假设，设切点为，

，

所以, 由，所以，，

于是，即，所以．

故答案为：；．

五、解答题

17．已知是等差数列，是等比数列，且.

(1)求的通项公式；

(2)设，求数列的前n项和.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，列方程组求得，得到，根据，求得，，得到.

（2）由（1）得到，结合等差、等比数列的求和公式，即可求解.

【详解】（1）解：设等差数列的公差为，等比数列的公比为，

由，解得，所以，

又由，可得，所以，

所以.

（2）解：由（1）知，，所以，

设数列的前n项和为，

可得.

18．已知正方形的边长为，沿将三角形折起到位置(如图)，为三角形的重心，点在边上，平面.

（1）若，求的值；

（2）若，求平面与平面所成锐二面角的余弦值.

【答案】(1)2；(2).

【分析】(1)连接CG并延长交PA于F，连BF，证得EG//BF再借助三角形重心即可得解；

(2)取AC中点O，连接OP，OB，证得OB，OC，OP两两垂直，再建立空间直角坐标系，利用空间向量即可作答.

【详解】(1)连接CG并延长交PA于F，连BF，如图：

因平面，且平面，平面平面，则EG//BF，

而为的重心，于是有，

所以的值为2；

(2)由(1)知EG//BF，而，则，又F是PA中点，于是得，

取AC中点O，连接OP，OB，因都是以AC为斜边的等腰直角三角形，

，

即是直角三角形，，而，，

分别以射线OB，OC，OP为x，y，z轴非负半轴建立空间直角坐标系，如图：

点，则，

，

设平面CBF的法向量，

，

令，则，即，

而平面，即平面的法向量为，

又OB⊥平面PAC，即平面的法向量，

平面与平面所成锐二面角为，

则，

所以平面与平面所成锐二面角的余弦值为.

19．已知圆，动点，线段与圆交于点，轴，垂足为，.

（1）求动点的轨迹的方程；

（2）设为曲线上的一点，过点作圆的两条切线，分别为两切线的斜率，若，求点的坐标.

【答案】（1）（2）

【分析】利用抛物线的概念及标准方程直接得结论

设过点P的切线方程为，即，

则圆心到切线的距离为，化简后利用根与系数的关系即可求解．

【详解】圆F的圆心为，半径为1，

，

又轴，垂足为H，，

动点到点等于到直线的距离．

故动点的轨迹是以为焦点的抛物线，

则，

，

则动点M的轨迹C的方程是；

设过点P的切线方程为，即，

则圆心到切线的距离为，

化简得，，

两切线斜率分别为，，

，

由题设知，，又为曲线C上的一点，

由知，，

，即，

解得，或，

，

，则，

点P的坐标为．

【点睛】本题考查了抛物线的概念及标准方程和定点与定值问题．属于中档题.

20．已知椭圆的右顶点为A，上顶点为B，O为坐标原点，点O到直线AB的距离为，的面积为1.

(1)求椭圆的标准方程；

(2)直线l与椭圆交于C，D两点，若直线l∥直线AB，设直线AC，BD的斜率分别为，证明：为定值．

【答案】(1)

(2)证明见解析

【分析】（1）用a，b表示出直线AB的方程，根据点O到直线AB的距离及的面积，求得a，b，即可得解；

（2）设直线l的方程为，C(x1，y1)，D(x2，y2)，与椭圆方程联立，利用根与系数的关系，得利用斜率公式得，化简可得定值.

【详解】（1）解：直线AB的方程为，

即bx＋ay－ab＝0，则＝，

因为的面积为1，所以，即ab＝2.

解得a＝2，b＝1，

所以椭圆的标准方程为.

（2）证明：直线AB的斜率为，设直线l的方程为，C(x1，y1)，D(x2，y2)，

代入，得2y2－2ty＋t2－1＝0，

依题意得，Δ>0，

则，

所以，

因为

所以为定值．

【点睛】求定值问题常见的方法有两种：

（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．

（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．

21．已知数列的前项和为，且，，．

（1）求，的值；

（2）求数列的通项公式；

（3）若数列为单调递增数列，求实数的取值范围．

【答案】（1）；；（2）；（3）.

【分析】（1）令代入已知等式计算；

（2）在中由得的递推关系，在此关系中用替换后两式相减（消去常数项），得数列是等差数列，从而可得通项公式；

（3）求出，由恒成立，得参数范围．

【详解】解：（1）令得，故；

令得，故．

（2），

当时，，

相减得，

将用代入得，

相减得，，

故数列为等差数列，．

（3）由数列为单调递增数列得：

恒成立，，

令，，

…，

的最大值为，

故实数的取值范围为．

22．如图，在三棱柱中，，，，.

（Ⅰ）求证：平面；

（Ⅱ）若是棱的中点，求直线与平面所成角的正弦值.

【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）

【分析】（Ⅰ）根据题中的条件，利用线面垂直的判定定理，可证得平面，进而证得，利用勾股定理，可证得，利用线面垂直的判定定理，可证得平面，证得结果；

（Ⅱ）利用（Ⅰ）的结论，建立空间直角坐标系，利用空间向量，求得线面角的正弦值，得到结果.

【详解】（Ⅰ）证明：∵在三棱柱中，，，又，

∴平面，又平面，∴，

∵，∴，

∵，∴，∴，

又，∴平面.

（Ⅱ）解法一：由（Ⅰ）知，直线，，两两互相垂直，如图，以为原点，分别以，，所在直线为，，轴，建立空间直角坐标系，

则，，，

，，

设平面的法向量，

则，所以，，

取，则，

又，设直线与平面所成角为，

则 .

∴直线平面所成角的正弦值.

解法二：由（Ⅰ）知，直线，，两两互相垂直，以为原点，分别以、、所在直线为，，轴，建立如图所示空间直角坐标系，

则，，，，，

，，

设平面的法向量，

则，所以，，

取，则，

又，设直线与平面所成角为，

则 .

∴直线平面所成角的正弦值.

【点睛】该题考查的是有关立体几何的问题，涉及到的知识点有线面垂直的判定，应用向量法求线面角的正弦值，在解题的过程中，需要对定理的条件和结论要熟记，再者就是正确建立空间坐标系.