高中物理高考 第05讲 几何法-2021年高考物理解题方法大全（原卷版）

第5讲 几何法（原卷版）

—高中物理解题方法28法20讲

江苏省特级教师 学科网特约金牌名师 戴儒京

内容提要：高考物理学科能力有一个是：应用数学知识处理物理问题的能力。本文谈几何知识和方法在物理中的应用，包括在力学和电磁学中的应用。

关键词：物理能力，数学应用，几何知识，几何方法。

高考大纲（物理）中规定，高考物理考查的学科能力有：

1. 理解能力
2. 推理能力
3. 分析综合能力
4. 应用数学知识处理物理问题的能力
5. 实验能力。

数学知识，主要有代数和几何等几个部分，本文谈几何知识和方法在物理中的应用。

有一位教科所的物理老师讲过：解物理题就是画图，会画图就会解题，不会画图就不会解题；画图正确就能解题正确，画图错误一定解题错误。此言虽然不太准确，但也不无道理。

一、相对运动中的几何关系

例1.如图所示，倾角为α的斜面A被固定在水平面上，细线的一端固定于墙面，另一端跨过斜面顶端的小滑轮与物块B相连，B静止在斜面上．滑轮左侧的细线水平，右侧的细线与斜面平行．A、B的质量均为m．撤去固定A的装置后，A、B均做直线运动．不计一切摩擦，重力加速度为g．求：

（1）A固定不动时，A对B支持力的大小N；

（2）A滑动的位移为x时，B的位移大小s；

（3）A滑动的位移为x时的速度大小vA.

二、力做功中的位移问题

例2.如图所示，两个半圆柱A、B紧靠着静置于水平地面上，其上有一光滑圆柱C，三者半径均为R.C的质量为m，A、B的质量都为，与地面的动摩擦因数均为μ.现用水平向右的力拉A，使A缓慢移动，直至C恰好降到地面.整个过程中B保持静止.设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为g.求：

（1）未拉A时，C受到B作用力的大小F；

（2）动摩擦因数的最小值μmin；

（3）A移动的整个过程中，拉力做的功W.

三、力的合成和分解中的角度问题

例3.如图所示，钉子A、B相距5l，处于同一高度．细线的一端系有质量为M的小物块，另一端绕过A固定于B．质量为m的小球固定在细线上C点，B、C间的线长为3l．用手竖直向下拉住小球，使小球和物块都静止，此时BC与水平方向的夹角为53°．松手后，小球运动到与A、B相同高度时的速度恰好为零，然后向下运动．忽略一切摩擦，重力加速度为g，取sin53°=0.8，cos53°=0.6．求：

（1）小球受到手的拉力大小F；

（2）物块和小球的质量之比M:m；

（3）小球向下运动到最低点时，物块M所受的拉力大小T．

四、弹力做功与位移的关系

例4. 如图所示，轻质弹簧一端固定，另一端连接一小物块，O点为弹簧在原长时物块的位置．物块由A点静止释放，沿粗糙程度相同的水平面向右运动，最远到达B点．在从A到B的过程中，物块

（A）加速度先减小后增大

（B）经过O点时的速度最大

（C）所受弹簧弹力始终做正功

（D）所受弹簧弹力做的功等于克服摩擦力做的功

五、电场问题

例1. 空间有一匀强电场，在电场中建立如图所示的直角坐标系O-xyz，M、N、P为电场中的三个点，M点的坐标（0，a，0），N点的坐标为（a,0,0），P点的坐标为（a,,）。已知电场方向平行于直线MN，M点电势为0，N点电势为1V，则P点的电势为

A.V    B.V    C.V    D.V

例2.匀强电场中有a、b、c三点．在以它们为顶点的三角形中，  ∠a＝30°、∠c＝90°,．电场方向与三角形所在平面平行．已知a、b和c点的电势分别为V、V和2 V．该三角形的外接圆上最低、最高电势分别为

   A．V、V      B．0 V、4 V

   C．V、    D．0 V、V

例3. a、b、c、d是匀强电场中的四个点，它们正好是一个矩形的四个顶点。电场线与矩形所在的平面平行。已知a点的电势是20V，b点的电势是24V，d点的电势是4V，如图。由此可知，c点的电势为（    ）

A、4V   B、8V  C、12V    D、24V

例4．匀强电场中的三点A、B、C是一个三角形的三个顶点，AB的长度为1，D为AB的中点，如图所示。已知电场线的方向平行于所在平面，A、B、C三点的电势分别为、和，设场强大小为E，一电量为的正电荷从D点移到C点电场力所做的功为，则（    ）

、 

、 

、 

、 

例5．图中A、B、C、D是匀强电场中一正方形的四个顶点，已知A、B、C三点的电势分别为UA＝15vUB＝3v，UC＝-3V　由此可得D点电势UD＝________V。

例6.（1）静电场可以用电场线和等势面形象描述。

a．请根据电场强度的定义和库仑定律推导出点电荷Q的场强表达式；

b．点电荷的电场线和等势面分布如图所示，等势面S₁、S₂到点电荷的距离分别为r₁、r₂。我们知道，电场线的疏密反映了空间区域电场强度的大小。请计算S₁、S₂上单位面积通过的电场线条数之比N1/N2。

（2）观测宇宙中辐射电磁波的天体，距离越远单位面积接收的电磁波功率越小，观测越困难。为了收集足够强的来自天体的电磁波，增大望远镜口径是提高天文观测能力的一条重要路径。2016年9月25日，世界上最大的单口径球面射电望远镜FAST在我国贵州落成启用，被誉为“中国天眼”。FAST直径为500 m，有效提高了人类观测宇宙的精度和范围。

a．设直径为100 m的望远镜能够接收到的来自某天体的电磁波功率为P₁，计算FAST能够接收到的来自该天体的电磁波功率P₂；

b．在宇宙大尺度上，天体的空间分布是均匀的，仅以辐射功率为P的同类天体为观测对象，设直径为100 m望远镜能够观测到的此类天体数目是N0，计算FAST能够观测到的此类天体数目N。

电场问题小结：

1. 已知某些点的电势，求另一些（个）点的电势，可考虑用几何方法，主要是平面几何方法。

2. 用几何方法解物理问题的关键是作辅助线。

3. 在用几何方法解物理问题中要重视几何图形的物理意义，如电场线和等势线或等势面。

4. 沿电场线电势降落最陡。

5. 同一条等势线上各点电势相等。

6. 电场线与等势线垂直。

7. 匀强电场的电场线相互平行并距离相等，在电场线上，距离相等，电势差也相等；匀强电场的等势线也相互平行并距离相等的等势线间电势差相等。

六．带电粒子在磁场中运动问题

例1.（16分）一台质谱仪的工作原理如图所示.大量的甲、乙两种离子飘入电压力为U0的加速电场，其初速度几乎为0，经过加速后，通过宽为L的狭缝MN沿着与磁场垂直的方向进入磁感应强度为B的匀强磁场中，最后打到照相底片上。已知甲、乙两种离子的电荷量均为+q，质量分别为2m和m，图中虚线为经过狭缝左、右边界M、N的甲种离子的运动轨迹.不考虑离子间的相互作用.

（1）求甲种离子打在底片上的位置到N点的最小距离x；

（2）在答题卡的图中用斜线标出磁场中甲种离子经过的区域，并求该区域最窄处的宽度d；

（3）若考虑加速电压有波动，在（）到（）之间变化，要使甲、乙两种离子在底片上没有重叠，求狭缝宽度L满足的条件.

例2.如图所示，真空中四个相同的矩形匀强磁场区域，高为4d，宽为d，中间两个磁场区域间隔为2d，中轴线与磁场区域两侧相交于O、O′点，各区域磁感应强度大小相等．某粒子质量为m、电荷量为+q，从O沿轴线射入磁场．当入射速度为v0时，粒子从O上方处射出磁场．取sin53°=0.8，cos53°=0.6．

（1）求磁感应强度大小B；

（2）入射速度为5v0时，求粒子从O运动到O′的时间t；

（3）入射速度仍为5v0，通过沿轴线OO′平移中间两个磁场（磁场不重叠），可使粒子从O运动到O′的时间增加Δt，求Δt的最大值．

例3.如图，在y>0的区域存在方向沿y轴负方向的匀强电场，场强大小为E，在y<0的区域存在方向垂直于xOy平面向外的匀强磁场。一个氕核11H和一个氘核21H先后从y轴上y=h点以相同的动能射出，速度方向沿x轴正方向。已知11H进入磁场时，速度方向与x轴正方向的夹角为60°，并从坐标原点O处第一次射出磁场。11H的质量为m，电荷量为q不计重力。求

（1）11H第一次进入磁场的位置到原点O的距离

（2）磁场的磁感应强度大小

（3）12H第一次离开磁场的位置到原点O的距离

例4.一足够长的条状区域内存在匀强电场和匀强磁场，其在平面内的截面如图所示：中间是磁场区域，其边界与y轴垂直，宽度为l，磁感应强度的大小为B，方向垂直于平面；磁场的上、下两侧为电场区域，宽度均为，电场强度的大小均为E，方向均沿x轴正方向；M、N为条形区域边界上的两点，它们的连线与y轴平行。一带正电的粒子以某一速度从M点沿y轴正方向射入电场，经过一段时间后恰好以从M点入射的速度从N点沿y轴正方向射出。不计重力。

（1）定性画出该粒子在电磁场中运动的轨迹；

（2）求该粒子从M点射入时速度的大小；

（3）若该粒子进入磁场时的速度方向恰好与x轴正方向的夹角为，求该粒子的比荷及其从M点运动到N点的时间。

例5.如图，从离子源产生的甲、乙两种离子，由静止经加速电压U加速后在纸面内水平向右运动，自M点垂直于磁场边界射入匀强磁场，磁场方向垂直于纸面向里，磁场左边界竖直。已知甲种离子射入磁场的速度大小为v1，并在磁场边界的N点射出；乙种离子在MN的中点射出；MN长为l。不计重力影响和离子间的相互作用。求：

（1）磁场的磁感应强度大小；

（2）甲、乙两种离子的比荷之比。

例6.如图所示，在水平线ab下方有一匀强电场，电场强度为E，方向竖直向下，ab的上方存在匀强磁场，磁感应强度为B，方向垂直纸面向里，磁场中有一内、外半径分别为R、的半圆环形区域，外圆与ab的交点分别为M、N。一质量为m、电荷量为q的带负电粒子在电场中P点静止释放，由M进入磁场，从N射出，不计粒子重力。

（1）求粒子从P到M所用的时间t；

（2）若粒子从与P同一水平线上的Q点水平射出，同样能由M进入磁场，从N射出，粒子从M到N的过程中，始终在环形区域中运动，且所用的时间最少，求粒子在Q时速度的大小。

六、几何光学中的几何方法

光学知识，在标准课程教科书中是选修3-4的内容，在高考试卷中是选考题之一，大部分学校和考生不选择选修3-4，也就不考光学题，因此是几乎被高考遗忘的高考题。所以在物理教学类杂志中，涉及光学的文章也就少而又少。

光学分为两部分内容：几何光学和物理光学，几何光学研究光的反射和折射，以及全反射等，物理光学研究光的性质，也就是光是什么？粒子还是波？其内容包括光的干涉、衍射、偏振等。

关于几何光学的高考题，离不开用数学中的几何知识和方法去解，包括边和角，三角形，多边形等。每年的高考题中，都有几题。且看近2年的高考题。

例1.如图，△ABC为一玻璃三棱镜的横截面，∠A=30°，一束红光垂直AB边射入，从AC边上的D点射出，其折射角为60°，则玻璃对红光的折射率为_____。若改用蓝光沿同一路径入射，则光线在D点射出时的折射角______（“小于”“等于”或“大于”）60°。

例2. 如图，是一直角三棱镜的横截面，，，一细光束从BC边的D点折射后，射到AC边的E点，发生全反射后经AB边的F点射出。EG垂直于AC交BC于G，D恰好是CG的中点。不计多次反射。

（i）求出射光相对于D点的入射光的偏角；

（ii）为实现上述光路，棱镜折射率的取值应在什么范围？

例3. 如图，某同学在一张水平放置的白纸上画了一个小标记“·”(图中O点)，然后用横截面为等边三角形ABC的三棱镜压在这个标记上，小标记位于AC边上。D位于AB边上，过D点做AC边的垂线交AC于F。该同学在D点正上方向下顺着直线DF的方向观察。恰好可以看到小标记的像；过O点做AB边的垂线交直线DF于E；DE=2 cm，EF=1 cm。求三棱镜的折射率。(不考虑光线在三棱镜中的反射)

例4.如图，由透明介质构成的半球壳的内外表面半径分别为R和.一横截面半径为R的平行光束入射到半球壳的内表面，入射方向与半球壳的对称轴平行，所有的入射光线都能从半球壳的外表面射出。已知透明介质的折射率为。求半球壳外表面上有光线射出区域的圆形边界的半径。不考虑多次反射。

例5.如图，一玻璃工件的上半部是半径为R的半球体，O点为球心；下半部是半径为R、高位2R的圆柱体，圆柱体底面镀有反射膜。有一平行于中心轴OC的光线从半球面射入，该光线与OC之间的距离为0.6R。已知最后从半球面射出的光线恰好与入射光线平行（不考虑多次反射）。求该玻璃的折射率。

例6.如图，一半径为R的玻璃半球，O点是半球的球心，虚线OO′表示光轴（过球心O与半球底面垂直的直线）。已知玻璃的折射率为1.5。现有一束平行光垂直入射到半球的底面上，有些光线能从球面射出（不考虑被半球的内表面反射后的光线）。求：

（i）从球面射出的光线对应的入射光线到光轴距离的最大值；

（ii）距光轴的入射光线经球面折射后与光轴的交点到O点的距离。

例7.

例7.

“测定玻璃的折射率实验中,在玻璃砖的一侧竖直插两个大头针A、B,在另一侧再竖直插两个大头针C、D. 在插入第四个大头针D 时,要使它 _____________. 题12B-2 图是在白纸上留下的实验痕迹,其中直线a、a忆是描在纸上的玻璃砖的两个边. 根据该图可算得玻璃的折射率n = _____________. (计算结果保留两位有效数字)

总结：从以上例题可以看出：

1. 几何知识和方法在解物理题中有广泛的应用，在力学中，从力的合成和分解，到功和能中的力做功的位移，在电磁学中，带电粒子在磁场中的圆周运动，从找圆心求半径，到求圆心角求时间，都要用到几何知识和几何方法。更何况还有一部分内容就是几何光学，关于光的反射和折射以及全反射题目，更是用几何知识和几何方法解。
2. 有的物理题难，不是难在物理上，而是难在数学上，特别是几何上。要搞清楚空间关系，非要画图不可。画了图，还要写出几何关系式，例如三角形边角关系公式，三角函数公式，等等。

新题速递：2020年版人教版新教科书选择性必修第一册第4章光复习与提高

习题1. 如图4-1，光沿AO从空气射入折射率为 n的介质中，以O点为圆心、R为半径画圆，与折射光线的交点为B，过B点向两介质的交界面作垂线，交点为N，BN与AO的延长线的交点为M。以O点为圆心，OM（设为r）为半径画另一圆。试证明 n＝ R/r。

习题2. 如图4-2，OBCD 为半圆柱体玻璃的横截面，OD 为直径，一束由紫光和红光组成的复色光沿AO 方向从真空射入玻璃，紫光、光分别从B、C 点射出。设紫光由O 到 B 的传 播时间为tB，红光由O 到 C 的传播时间为tC， 请比较 tB、tC 的大小。

习题3. 在光学仪器中，“道威棱镜”被广泛用来进行图形翻转。如图4-3，ABCD是棱镜的横截面，是底角为45°的等腰梯形。现有与BC平行的三条光线射入AB，已知棱镜材料的折射率 n＝√ 2，请根据计算结果在原图上准确作出这 三条光线从进入棱镜到射出棱镜的光路图，论证BC面是否有光线射出棱镜，并说明从DC射出的光线跟入射光线相比有什么特点。

习题4一束光斜射入界面相互平行、折射率递增的多层介质膜中，光的轨迹将如何？若斜射入界面相互平行、折射率递减的多层介质膜中，光的轨迹又将如何？请画出光路图。

习题5用下面的方法可以测量液体的折射率： 取一个半径为r 的软木塞，在它的圆心处插上 一枚大头针，让软木塞浮在液面上（图4-4）。 调整大头针插入软木塞的深度，使它露在外面的长度为h。这时从液面上方的各个方向向液体中看，恰好看不到大头针。利用测得的数据 r 和 h 即可求出液体的折射率。

 （1）写出用 r 和 h 求折射率的计算式。

（2）用这种方法实际做一下，求出水的折射率。

习题6.单镜头反光相机简称单反相机，它用一块放置在镜头与感光部件之间的透明平面镜把来自镜头的图像投射到对焦屏上。对焦屏上的图像通过五棱镜的反射进入人眼中。图4-5 为单反照相机取景器的示意图，ABCDE 为五棱镜的一个截面，AB ⊥ BC。光线垂直AB 射入， 分别在 CD 和 EA上发生反射，且两次反射的入射角相等，最后光线垂直BC 射出。若两次反射都为全反射，则该五棱镜折射率的最小值是多少？（计算结果可用三角函数表示）

习题7. 1801 年，托马斯·杨用双缝干涉实验研究了光波的性质。1834年，洛埃利用单面镜同样得到了杨氏干涉的结果（称洛埃镜实验）。洛埃镜实验的基本装置如图 4-6所示，S为单色光源，M 为一平面镜。S 发出的光直接照在光屏上，同时S发出的光还通过平面镜反射在光屏上。 从平面镜反射的光相当于S 在平面镜中的虚像发出的，这样就形成了两个一样的相干光源。 设光源S 到平面镜的垂直距离和到光屏的垂直距离分别为a 和 l，光的波长为λ。写出相邻两条亮纹（或暗纹）间距离 Δx 的表达式。

习题8. 如图4-7，图中阴影部分ABC 为一透明材料做成的柱形光学元件的横截面，该种材料折射率 n ＝ 2，AC为一半径为R 的1/4圆弧，D 为圆弧面圆心，ABCD 构成正方形，在D 处有一点光源。若只考虑首次从圆弧 AC直接射向 AB、BC 的光线，从点光源射入圆弧 AC的光中， 有一部分不能从AB、BC 面直接射出，求这部分光照射圆弧 AC的弧长。

（2020年9月22日 星期二）