2022-2023学年福建省南靖县第一中学、兰水中学高二上学期期中联考数学试题（解析版）

这是一份2022-2023学年福建省南靖县第一中学、兰水中学高二上学期期中联考数学试题（解析版），共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年福建省南靖县第一中学、兰水中学高二上学期期中联考数学试题 一、单选题1．已知数列为等差数列，若，则的值为（    ）A．4 B．6 C．8 D．10【答案】D【分析】由等差中项的性质进行计算【详解】由题意得：，所以，故故选：D2．“”是“直线与直线平行的（    ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】求出当时实数的值，再利用集合的包含关系判断可得出结论.【详解】当时，，即，解得或.当时，直线的方程为，直线的方程为，此时；当时，直线的方程为，直线的方程为，此时.因为，因此，“”是“直线与直线平行”的充分不必要条件.故选：A.3．圆与圆的位置关系是（    ）A．内切 B．相交 C．外切 D．相离【答案】B【分析】根据圆与圆位置关系的判断，计算两圆圆心距离，与半径之和和差比较大小即可判断.【详解】解：圆的圆心为：，半径圆的圆心为：，半径所以，则所以两圆相交.故选：B.4．记为等比数列的前项和．若，，则（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据等比数列前项和公式，即可求解.【详解】解：由题可知，公比不为1，等比数列的首项为，公比为，则，解得：，所以，所以，故选：A.5．在平面直角坐标系中，已知△ABC顶点和，顶点B在椭圆上，则的值是（    ）A．0 B．1 C．2 D．不确定【答案】C【分析】由正弦定理的边角关系及椭圆的定义、性质，即可求目标式的值.【详解】由题设知：是椭圆的两个焦点，又B在椭圆上，所以，而，，故.故选：C6．直线与曲线恰有两个交点，则实数m的值可能是（    ）A． B．3 C．4 D．5【答案】C【分析】由曲线表示圆在轴的上半部分，利用直线与圆相切求出的值，结合图形即可得答案.【详解】曲线表示圆在轴的上半部分，当直线与圆相切时，，解得，当点在直线上时，，所以由图可知实数m的取值范围为，故选：C.7．已知是椭圆的右焦点，为椭圆上一点，为椭圆外一点，则的最大值为（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】设椭圆的左焦点为，由已知条件推导出，当点在的延长线上时，得的最大值．【详解】解：点为椭圆的右焦点，，点为椭圆上任意一点，点A的坐标为，点A在椭圆外，设椭圆的左焦点为，，，，当点在的延长线上时取等号，，则的最大值为．故选：．8．已知椭圆（），椭圆的左、右焦点分别为，，P是椭圆C上的任意一点，且满足，则椭圆C的离心率e的取值范围是（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】设，则，由，得，根据表示椭圆上的点到原点的距离的平方，可得选项【详解】解：由已知得，，设，则，，因为，所以，即，即，因为点P是椭圆上的任意一点，所以表示椭圆上的点到原点的距离的平方，因为，所以，所以，即，所以，故选：B． 二、多选题9．下列说法正确的是（    ）A．已知直线与直线垂直，则实数a的值是B．直线必过定点C．直线在y轴上的截距为D．经过点且在x轴和y轴上截距都相等的直线方程为【答案】BC【分析】根据直线垂直关系列方程求，判断选项A；将直线方程化为点斜式即可判断选项B；根据截距的定义判断选项C，根据条件求出满足要求的直线方程，判断选项D.【详解】解：对A：因为直线与直线垂直，则，解得或，A不正确；对B：直线可变为，因此直线必过定点，即B正确；对C：由直线方程取，得，所以直线在y轴上的截距为，所以C正确．对D：经过点且在x轴和y轴上截距都相等的直线方程为或，所以D不正确；故选：BC．10．已知等差数列的公差为，前项和为，，，，则    A． B．，C． D．当时，有最大值【答案】BD【分析】由等差数列前n项和公式即可判断A；由等差数列的单调性可判断B；由可判断C；由等差数列前n项和的性质可判断D.【详解】，，故选项A错误；，，，，故选项B正确；，且，，故选项C错误；由，知，当时，有最大值，故选项D正确；故选：BD．11．设椭圆的左、右焦点分别为，，则下列说法中正确的有（    ）A．离心率B．过点的直线与椭圆交于，两点，则的周长为C．若是椭圆上的一点，则面积的最大值为2D．若是椭圆上的一点，且，则面积为【答案】BD【分析】由椭圆标准方程确定，结合各选项中的问题，逐一分析计算即可判断作答.【详解】由椭圆得：长半轴长，短半轴长，半焦距，对于A，椭圆的离心率，A错误；对于B，因弦AB过焦点F1，则的周长为，B正确；对于C，令点P的纵坐标为，于是得△面积，当且仅当点P为短轴端点时取“=”，C错误；对于D，由余弦定理得：，即，解得，因此，△面积为，D正确.故选：BD【点睛】关键点睛：运用余弦定理是解题的关键.12．以下四个命题表述正确的是（    ）A．椭圆上的点到直线的最大距离为B．已知圆C：，点P为直线上一动点，过点P向圆C引两条切线PA、PB，AB为切点，直线AB经过定点C．曲线：与曲线：恰有三条公切线，则m＝4D．圆上存在4个点到直线l：的距离都等于1【答案】ABC【分析】对于A:斜率为且与椭圆相切的直线到直线的距离为到椭圆的最大值或者最小值.对于B:根据AB为切点，得出，，由此判断AB在以为直径的圆上，以此求出公共弦AB的直线方程，找到定点.对于C:两圆三条公切线，说明两圆外切，两圆心距离应该等于两圆半径之和.对于D:判断直线与圆上各点距离两个方向的最远距离，两值大于1则有四个满足条件的点.【详解】对于A:设直线与椭圆相切，联立方程得：，因为直线与椭圆相切，所以，得当时，直线与距离最大，最大距离为故A正确.对于B:设点，因为AB为切点，所以，，连接，根据圆周角与圆直径关系可知，AB两点在以为直径的圆上，圆的方程为，两圆公共弦AB所在直线方程为，联立方程得，令，则故B正确.对于C: 曲线：，曲线:，因为两圆有三条公切线，所以两圆外切，故，得故C正确.对于D:直线 与圆相切，且与距离为1，因此圆上存在3个点到直线l：的距离都等于1故D错误.故选:ABC【点睛】圆锥曲线与相交直线的最远距离求法： 1.设一条与相交直线平行的直线;2.假设直线与曲线相切并联立方程，求出直线方程;3.根据平行线距离公式求出两直线距离，即是圆锥曲线与相交直线的最远距离. 三、填空题13．已知等差数列满足，公差，则当的前n项和最大时，___________．【答案】3【分析】根据公式求出前n项和，再利用二次函数的性质.【详解】因为等差数列，，所以，当时，取到最大值.故答案为：3.14．已知过点的直线与圆C：相切，且与直线垂直，则实数a的值为___________.【答案】【分析】先根据直线与圆的相切关系求出过点的直线的斜率，再根据垂直关系求出实数a的值.【详解】当过点的直线斜率不存在时，直线方程为，此时圆心到直线的距离为，不相切，舍去当斜率存在时，设直线为，则由，解得：，又与直线垂直，所以，解得：故答案为：15．一动圆与圆外切，同时与圆内切，则动圆圆心的轨迹方程为___________.【答案】【分析】先根据两圆位置关系得动圆圆心到两已知圆心距离和为定值，再由椭圆的定义求解，【详解】圆的圆心为，，圆的圆心为，，设动圆的圆心为，半径为，由题意得，，则，，由椭圆定义得的轨迹方程为，故答案为：16．设是椭圆上的任一点，为圆的任一条直径，则的最大值为___________.【答案】【分析】由题设，且关于对称，设，，利用向量数量积的坐标表示及在圆、椭圆上得到关于的二次函数，结合椭圆的有界性求范围即可.【详解】由题设，且关于对称，若，则，设，则，，∴，又，∴的最大值为.故答案为：【点睛】关键点点睛：设点，利用圆的对称性、向量数量积的坐标表示求关于的函数，再由椭圆的有界性求范围. 四、解答题17．已知公差不为0的等差数列满足．若，，成等比数列．(1)求的通项公式；(2)设，求数列的前项和【答案】(1)；(2) 【分析】（1）根据等比中项的性质可得出，再代入等差数列的通项公式即可求出公差；（2）根据（1）的结果，利用分组求和即可解决【详解】（1）假设等差数列的公差为，因为成等比数列，所以，所以，即，因为，所以，所以的通项公式为；（2）因为，所以18．已知圆过两定点，且圆心在直线上；(1)求圆的方程；(2)过点的直线交圆于两点，若，求直线的方程．【答案】(1)(2)或 【分析】（1）设圆的标准方程为，建立关于的方程，求解即可得圆的方程；（2）根据直线与圆相交得弦长公式，确定圆心到直线的距离，讨论直线方程即可求得.【详解】（1）解：设圆的方程为∵圆心在直线上，则又∵圆过点两点，则，又，联立解得：则圆的方程为；（2）解：当直线的斜率不存在时，直线方程为，此时圆心到直线得距离弦长符合题意；当直线的斜率存在时，设直线的方程为，则，∵，∴圆心到直线的距离为，解得，则直线的方程为，综上，直线的方程为或19．已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，离心率为且过点，(1)求椭圆的标准方程；(2)倾斜角为45°的直线过椭圆的右焦点交椭圆于､两点，求【答案】(1)；(2). 【分析】（1）根据椭圆的离心率公式，结合代入法、椭圆中的关系进行求解即可；（2）根据椭圆弦长公式进行求解即可.【详解】（1）因为椭圆的中心在原点，焦点在轴上，所以设椭圆的标准方程为：，因为椭圆的离心率为且过点，所以，所以椭圆的标准方程为：；（2）由（1）可知：，所以直线的方程为：，代入椭圆方程中，得，设，所以，因此.20．已知圆，圆，直线过点.(1)求圆的圆心和半径；(2)若直线与圆相切，求直线的方程；(3)求圆和圆的公共弦长.【答案】(1)圆心坐标为，半径；(2)或(3) 【分析】（1）根据题意将圆的方程化成标准方程，直接求出圆心坐标和半径；（2）根据题意可知：直线的斜率可能不存在，直接写出方程，当直线的斜率存在时，设其方程，利用圆心到直线的距离等于半径即可求解；（3）将两圆方程联立可得出公共弦所在直线方程，然后求出其中一个圆心到直线的距离，再利用垂径定理即可求出公共弦长.【详解】（1）因为圆可化为，所以圆的圆心坐标为，半径.（2）因为过点的直线与圆相切，所以分两种情况：若直线的斜率不存在时，则直线的方程为；若直线的斜率存在，设直线的方程为，也即，由点到直线的距离公式可得：，解得：，此时直线的方程为，所以直线的方程为或.（3）因为圆的圆心坐标,半径，则，所以两圆相交，两圆方程联立可得公共弦所在直线方程为：，圆的圆心到公共弦的距离，由垂径定理可得公共弦长为，所以圆和圆的公共弦长为.【点睛】1.过一定点，求圆的切线时，首先判断点与圆的位置关系．若点在圆外，有两个结果，若只求出一个，应该考虑切线斜率不存在的情况.2.圆的弦长的常用求法：(1)几何法：求圆的半径为r，弦心距为d，弦长为l，则；(2)代数方法：运用根与系数的关系及弦长公式：.21．在①，②，③这三个条件中任选一个，填在下面的横线上，并解答问题．已知数列的前n项和为，，且____________．(1)求的通项公式；(2)若是的等比中项，求数列的前n项和．注：如选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．【答案】(1)条件选择见解析，；(2). 【分析】（1）选①，利用与的关系求解作答；选②，构造等差数列求出求解作答；选③，构造常数列计算作答；（2）由（1）求出，再利用裂项相消法求解作答.【详解】（1）选①，，由，得，则，即，而，因此是以1为首项，4为公差的等差数列，，所以的通项公式为．选②，由，得，即数列是以为首项，2为公差的等差数列，则，则，当时，，当时，满足上式，所以的通项公式为．选③，由，得，因此数列是常数列，则有，即，所以的通项公式为．（2）由（1）知，，依题意，，则所以，所以数列的前n项和．22．已知椭圆的长轴长是6，离心率是.(1)求椭圆E的标准方程；(2)设O为坐标原点，过点的直线l与椭圆E交于A，B两点，判断是否存在常数，使得为定值？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.【答案】(1)；(2)存在，. 【分析】(1)根据给定条件求出椭圆长短半轴长即可代入计算作答.(2)当直线l的斜率存在时，设出直线l的方程，与椭圆E的方程联立，利用韦达定理、向量数量积运算，推理计算作答.【详解】（1）依题意，，半焦距为c，则离心率，即，有，所以椭圆E的标准方程为：.（2）当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为，由消去y并整理得：，设，则，，，，，，要使为定值，必有，解得，此时，当直线l的斜率不存在时，由对称性不妨令，，，当时，，即当时，过点的任意直线l与椭圆E交于A，B两点，恒有，所以存在满足条件.【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法：(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．