2023届青海省海南藏族自治州高级中学高三上学期10月月考数学（文）试题（解析版）

2023届青海省海南藏族自治州高级中学高三上学期10月月考数学（文）试题

一、单选题

1．已知，，则下列不等式中恒成立的是（    ）

A． B．  C．  D．

【答案】D

【分析】利用不等式的基本性质即可求解

【详解】∵，，∴，则选项不正确；

当，时，即，∴和成立，则选项、不正确；

∵,∴，∴，则选项正确；

故选：.

2．下列命题正确的是（    ）

A．“”是“”的充分不必要条件

B．若给定命题，使得，则，均有

C．若为假命题，则p，q均为假命题

D．命题“若，则”的否命题为“若，则”

【答案】B

【分析】由充分必要条件，特称命题的否定，逻辑联结词，否命题的知识点对选项逐一判断

【详解】对于A，因为，所以或，

因此“”是“”的必要不充分条件，故A错误；

对于B，命题，使得的否定为，均有，故B正确；

对于C，若为假命题p，q至少有一个则为假命题，故C错误；

对于D，命题“若，则”的否命题为“若，则”，故D错误；

故选：B

3．已知变量x，y满足约束条件，则的最小值为（    ）

A．2 B． C． D．

【答案】B

【分析】先作出可行域，由，得，作出直线，向上平移过点时，目标函数取得最小值，求出点的坐标，代入目标函数可求得结果.

【详解】作出不等式组表示的平面区域，

由，得，作出直线，向上平移过点时，目标函数取得最小值，

由，得，即，

所以的最小值为，

故选：B

4．函数存在零点的一个区间是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据零点存在性定理可得结果.

【详解】因为函数在区间上单调递减，，，所以函数存在零点的一个区间是．

故选：C

5．已知函数，在定义域上单调递增，则实数的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】要使分段函数在定义域上单调递增，需要在每一段上为单调递增函数，且左端点值小于等于右端点的值，确定不等式组，求出实数的取值范围

【详解】由题意得：，解得：.

故选：D

6．设正实数m，n满足，则的最小值是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】由基本不等式“1”的妙用进行求解

【详解】解：因为正实数m，n，，

所以，

当且仅当且，即，时取等号，此时取得最小值，

故选：C

7．下列函数中，与函数的奇偶性相同，且在上有相同单调性的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】根据指对函数的性质判断A、B，由正弦函数性质判断C，对于D有，即可判断奇偶性和单调性.

【详解】由为奇函数且在上递增，

A、B：、非奇非偶函数，排除；

C：为奇函数，但在上不单调，排除；

D：，显然且定义域关于原点对称，在上递增，满足.

故选：D

8．已知角，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据，结合可得，，进而解得，再代入求解即可.

【详解】，因为角，即和，.

因此可得，，，解得或2（舍去），因此．

故选：B

9．已知函数，则其图象大致是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】利用排除法，先判断函数的奇偶性，再根据函数值的变化情况分析判断.

【详解】函数的定义域为，

因为，

所以为奇函数，其图象关于原点对称，所以排除AC，

当时，当时，，，

所以，所以排除D，

故选：B

10．已知是自然对数的底数，，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】根据指数函数、对数函数的单调性，以及中间值0，1，分析即得解

【详解】因为，

所以，所以.

故选：D.

11．已知函数，则不等式的解集是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】利用导数可求得单调性，结合可得不等式的解集.

【详解】定义域为，，

当时，；当时，；

在上单调递增，在上单调递减；

又，且，的解集为.

故选：C

12．已知函数的大致图像如图所示，将函数的图像向右平移后得到函数的图像，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据图象先求得A和，得到，再将代入求得，再利用平移变换得到即可.

【详解】解：依题意，，，故，

故，故，

将代入可知，，

解得，故，

故，

则.

故选：A.

二、填空题

13．命题“，”的否定为___________.

【答案】，

【分析】对全称量词的否定用特称量词，直接写出.

【详解】由全称量词命题的否定是特称（存在）量词命题，可得：命题“，”的否定为“，”.

故答案为：，.

14．设是定义在R上且周期为2的函数，当时，其中．若，则________．

【答案】##0.2

【分析】根据函数周期性结合解析式可得，结合题意解得，代入求解．

【详解】∵是周期为2的函数

∴，

又∵，即，则

∴

故答案为：．

15．已知扇形的周长为，则当扇形的圆心角________扇形面积最大．

【答案】

【分析】由扇形周长公式列式，根据扇形面积公式列式并化简为二次函数形式，从而求解得时扇形面积最大，计算出弧长，由弧长公式计算圆心角的值.

【详解】设扇形的半径为，弧长为，

由题意，，

扇形的面积为

，所以当时，

扇形面积取最大值，此时，

所以扇形的圆心角时，扇形面积最大.

故答案为：

16．已知定义在R上的函数为奇函数，且满足，当时，则________.

【答案】

【分析】利用周期性和奇偶性可把转化到已知范围上，代入表达式可求.

【详解】由，所以2为的周期，

所以.

故答案为：.

三、解答题

17．已知且，求：

(1)；

(2).

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据，利用同角三角函数的关系，可得出，即可直接利用二倍角公式求解；

（2）在（1）的基础上，直接利用二倍角公式求解.

【详解】（1）∵，∴，

∴，

∴.

（2）.

18．已知函数

(1)求函数的最小正周期及对称轴方程；

(2)将函数的图象向左平移个单位，再将所得图象上各点的纵坐标不变､横坐标伸长为原来的2倍，得到函数的图象，求在[0，2π]上的单调递减区间.

【答案】(1)最小正周期为，对称轴方程为，

(2)

【分析】（1）利用两角和差的正余弦公式与辅助角公式化简可得，再根据周期的公式与余弦函数的对称轴公式求解即可；

（2）根据三角函数图形变换的性质可得，再根据余弦函数的单调区间求解即可.

【详解】（1），

，

所以函数的最小正周期为，

令，，得函数的对称轴方程为，

（2）将函数的图象向左平移个单位后所得图象的解析式为，

所以，

令，

所以.又，

所以在上的单调递减区间为.

19．已知，命题，；命题，

(1)若p是真命题，求a的最大值；

(2)若为真命题，为假命题，求a的取值范围.

【答案】(1)1

(2)

【分析】（1）由p是真命题，列不等式，即可求得；

（2）先求出p、q为真命题时a的范围，再由复合命题的真假分类讨论，即可求解.

【详解】（1）若p是真命题，只需.

因为在上单增，所以，所以.

即a的最大值为1.

（2）若q是真命题，即为关于x的方程有实根，

只需，解得：或.

若p是真命题，解得：.

因为为真命题，为假命题，

所以p、q一真一假.

当p真q假，则有：，所以.

当p假q真，则有：，所以.

综上所述：或.

即a的取值范围.

20．已知集合，．

（1）若，求实数的值；

（2）若，求实数的取值范围．

【答案】（1）；（2）或．

【分析】（1）解一元二次不等式求集合A、B，再由交集的结果求的值；

（2）由补集运算求，再根据集合的包含关系列不等式求的取值范围．

【详解】由已知得：，．

（1）∵，

∴，可得．

（2）或，又，

∴或，即或．

∴的取值范围是或．

21．已知函数.

(1)若，求函数的极值；

(2)若直线与曲线相切，求实数的值.

【答案】(1)极大值为；极小值为；

(2).

【分析】（1）求导后，根据正负可得单调性，由极值定义可求得结果；

（2）设切点为，利用切线斜率和切点坐标可构造方程组，消元得到；令，利用导数可求得，则可确定的唯一解为，代回方程组可求得的值.

【详解】（1）当时，，

则定义域为，；

当时，；当时，；

在，上单调递增，在上单调递减；

的极大值为；极小值为.

（2）假设与相切于点，

，

，即，

又，

，即；

令，则，

当时，；当时，；

在上单调递增，在上单调递减，

，即有唯一解：，

，解得：.

22．已知幂函数在上为减函数.

(1)试求函数解析式；

(2)判断函数的奇偶性并写出其单调区间.

【答案】(1)

(2)奇函数，其单调减区间为，

【分析】（1）根据幂函数的定义，令，求解即可；

（2）根据幂函数的性质判断函数的单调性，继而可得其单调区间.

【详解】（1）由题意得，，解得或，

经检验当时，函数在区间上无意义，

所以，则.

（2），要使函数有意义，则，

即定义域为，其关于原点对称.

，

该幂函数为奇函数.

当时，根据幂函数的性质可知在上为减函数，

函数是奇函数，在上也为减函数，

故其单调减区间为，.