2023届辽宁省沈阳市和平区东北育才学校高三上学期11月月考数学试题（解析版）

2023届辽宁省沈阳市和平区东北育才学校高三上学期11月月考数学试题

一、单选题

1．已知集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】求出的值域得到，求出的定义域得到，从而得到交集.

【详解】集合，由，解得：，

故，则.

故选：B.

2．已知命题，则为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】由全称命题的否定即可选出答案.

【详解】根据命题的否定可知，为.

故选：B.

3．已知幂函数在上单调递减，则的图象过定点（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】先根据幂函数的定义及单调性求出的值，写出的解析式，再令对数的真数为1，即可求出函数图象的定点.

【详解】因为幂函数在上单调递减，

所以且，解得，所以，

则，

令，解得，，

可得的图象过定点.

故选：C.

4．在核酸检测时，为了让标本中DNA的数量达到核酸探针能检测到的阈值，通常采用PCR技术对DNA进行快速复制扩增数量．在此过程中，DNA的数量（单位：）与扩增次数n满足，其中为DNA的初始数量．已知某待测标本中DNA的初始数量为，核酸探针能检测到的DNA数量最低值为，则应对该标本进行PCR扩增的次数至少为（    ）（参考数据：，）

A．5 B．10 C．15 D．20

【答案】B

【分析】根据题意列出方程，利用指数与对数的互化即可求解.

【详解】由题意知，，令，得，取以10为底的对数得，所以．

故选：B.

5．下列函数中，既是定义域内单调增函数，又是奇函数的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】对于A，利用正切函数的性质判断；对于B，由单调区间不能合并判断；对于C，利用函数的奇偶性定义判断；对于D，利用奇偶性定义及导数法判断.

【详解】解：对于A，为奇函数，在定义域内不单调，不符合题意；

对于B，，定义域为，，所以为奇函数，在和上分别单调递增，不符合题意；

对于C，定义域为R，关于原点对称，但，故函数不是奇函数，不符合题意；

对于D，定义域为R，关于原点对称，又，则是奇函数，，则单调递增，符合题意.

故选：D.

6．设，，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】构造函数，利用导数判断函数单调性，再结合对数的性质即可判断大小关系.

【详解】因为，，，

当时，设，

则，

所以在上单调递减且，

所以，

即，所以；

又因为，所以，，即，

所以.

故选：A.

7．已知是定义在R上的函数，且对任意都有，若函数的图象关于点对称，则（    ）

A．6 B．3 C．0 D．

【答案】C

【分析】令，由条件等式可得，，由函数的图象关于点对称可得函数的图象关于点对称，

综上可得是周期为8的周期函数，即可根据周期性即对称性化简求值.

【详解】令，得，即，，

因为函数的图象关于点对称，所以函数的图象关于点对称，即，

所以，即，，故是周期为8的周期函数，

所以.

故选：C.

8．已知函数是上的奇函数，且时，，则不等式的解集为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】由题知等价于，再根据和时的单调性求解不等式即可.

【详解】解：，即，

因为函数是上的奇函数，

所以

所以，不等式等价于，即.

当时，，可得在递减，且，

则，可得，解得；

当时，由为奇函数，可得在递减，且，

则，即有，解得.

所以原不等式的解集为.

故选：C

二、多选题

9．若，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】BD

【分析】令，根据为增函数得，取，可判断A；根据函数为减函数可判断B；根据函数为减函数可判断C；根据函数为增函数可判断D.

【详解】若，则，

令，因为、都为增函数，所以为增函数，所以，

对于A，取，，则，故A错误；

对于B，因为函数为减函数，所以，故B正确；

对于C，因为函数为减函数，所以，故C错误；

对于D，因为函数，所以函数为增函数，

因为，所以，故D正确.

故选：BD.

10．下面命题正确的是（    ）

A．不等式的解集为

B．不等式的解集为

C．不等式在是恒成立，则实数的取值范围为

D．函数在区间内有一个零点，则实数的范围为

【答案】AC

【分析】对于A，利用因式分解直接解一元二次不等式即可；对于B，先将分式不等式转化为再解不等式即可；对于C，可将不等式恒成立问题转化成函数的最大值小于0，然后对参数进行分类讨论即可；对于D，根据时函数在区间内有一个零点，与题干矛盾，即可判断.

【详解】对于A，不等式即为，解得，所以不等式的解集为，选项A正确；

对于B，不等式可转化为，解得，不等式的解集为，选项B错误；

对于C，可将不等式恒成立问题转化成函数的最大值小于0，

当时，恒成立；

当时，函数，为开口向上的二次函数，对称轴为，此时函数在区间上为增函数，

所以当时，函数有最大值，所以，解得；

当时，函数，为开口向下的二次函数，对称轴为，此时函数在区间上为减函数，

所以当时，函数有最大值， 恒成立，此时满足题意；

综上，实数m的取值范围为，选项C正确；

对于D，当时，，

令，解得或，可知在区间内，满足在区间内有一个零点，则选项D错误.

故选：AC.

11．已知正实数，满足，则（    ）

A．的最大值为1 B．的最小值为4

C．的最小值为1 D．的最小值为18

【答案】AB

【分析】根据基本不等式得，再解不等式可判断A；根据得，再解不等式可判断B；由题知，进而代换，结合基本不等式求解判断CD.

【详解】解：因为，，

可得，所以，

解得，当且仅当时，取等号，即的最大值为1，故A正确；

因为，

所以，解得，

当且仅当时，取等号，即的最小值为4，故B正确；

由可解得，故

所以，当且仅当，取等号，即，，与矛盾，故C错误；

，当且仅当，取等号，即，，与矛盾，故D错误；

故选：AB

12．定义在上的函数的导函数为，且.则对任意，，其中，则下列不等式中一定成立的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】BCD

【分析】构造函数，求出导数，利用已知可得在上单调递增，根据单调性依次判断每个选项可得.

【详解】由题意可设，则，

∵，，

∴，

∴在上恒成立，所以在上单调递增，

对于A：由于，所以，即，所以，故A不正确；

对于B：由于，当且仅当时取等号，所以，即，所以，故B正确；

对于C：由得：，即：，

同理：.

两式相加得：，故C正确；

对于D：，，

两式相减得：

，

所以，

即，故D正确.

故选：BCD.

【点睛】思路点睛：由形式得到，

1、构造函数：，即.

2、确定单调性：由已知，即可知在上单调递增.

3、结合单调性，转化变形选项中的函数不等式，证明是否成立.

三、填空题

13．已知函数的图象在点的处的切线过点，则______.

【答案】1

【分析】利用导数的几何意义求出点处的切线方程，再根据点在切线上，求解即可.

【详解】由，得，

∴，又，

∴函数的图象在点的处的切线方程为，

代入，得，解得.

故答案为：1.

14．若函数在区间上的最小值为4，则的取值集合为______.

【答案】

【分析】分类讨论，，三种情况即可.

【详解】函数，对称轴为，

当，即时，

，即，解得或（舍去），

当，即时，

，不符合题意，舍去，

当时，，即，解得或（舍去），

故的取值集合为.

故答案为：

15．定义在上函数满足，且当时，．若对任意，都有，则的取值范围是___________．

【答案】

【分析】由，根据，即，依此类推，作出函数的图象求解．

【详解】因为当，时，，

所以，

因为，

当，时，即时，

所以，即，

当，，即，时，，

当，，即，时，，

所以，

依此类推，作出函数的图象，如图所示：

由图象知：，,当时，，

当时,

因为对任意，，都有，

则，解得：，

故答案为：

16．已知实数，，且，则的最小值为______.

【答案】##

【分析】利用换元，整理函数解析式，整理为含有参数的一元二次方程，利用方程有解，可得答案.

【详解】解：因为，，且，所以，所以，

所以，

令，则，

所以两边同时减去x，再平方得在上有解，

所以，解得：或（舍去），

令，此为开口向上且对称轴为直线的抛物线，

由，则，

当，即，此时，，符合题意；

当，即，此时，，不符合题意；

故，所以的最小值为：.

故答案为：.

四、解答题

17．已知命题：函数在上单调递增；命题：函数在上单调递减.

(1)若是真命题，求实数的取值范围；

(2)若中有一个为真命题，一个为假命题，求实数a的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）求出，则可知在区间上恒成立，参变分离即可将恒成立问题转化为最值问题，然后利用二次函数的单调性即可求出其最值，则可求出实数的取值范围.

（2）由题意知分两种“真，假”或“假，真”，分别求出实数的取值范围再取并集即可.

【详解】（1）因为，

所以.

又据题意知，当函数在区间.上单调递减时，

对成立，

对成立.

又当时，，

所以，

即所求实数的取值范围为.

（2）据题设知“真，假”或“假，真”，

据题设知，若为真命题，则，且，

所以，

（i）当“真，假”时，，此时不等式无解；

（ii）当“假，真”时，，所以或.

综上，所求实数的取值范围为.

18．在①，，②当时，取得最大值3，③，这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并作答.

问题：已知函数，且_______.

(1)求的解析式；

(2)若在上的值域为，求的值.

【答案】(1)条件选择见解析，；

(2)1.

【分析】（1）选择对应的条件，利用待定系数法求出的解析式；

（2）先判断出在上单调递增，列方程组即可求得.

【详解】（1）若选①，

由题意可得 ，解得，，

故；

若选②，

由题意可得 ，解得，，

故；

若选③，

因为，所以图象的对称轴方程为，

则，即，因为，所以，

故.

（2）解：因为在上的值域为，

所以，即，

因为图象的对称轴方程为，且，

所以在上单调递增，

则

整理得，即，

因为，所以，即.

19．已知函数f（x）=x2+4[sin（θ+）]x﹣2，θ∈[0，2π]．

（Ⅰ）若函数f（x）为偶函数，求tanθ的值；

（Ⅱ）若f（x）在[﹣，1]上是单调函数，求θ的取值范围．

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ），或．

【详解】试题分析：（Ⅰ）根据函数奇偶性的定义建立方程关系进行求解即可；（Ⅱ）利用一元二次函数的单调性的性质进行判断即可．

试题解析：（Ⅰ）∵f（x）是偶函数，∴f（﹣x）=f（x），

则x2+4[sin（θ+）]x﹣2=x2﹣4[sin（θ+）]x﹣2，

则sin（θ+）=0，

∵θ∈[0，2π]，∴θ+=kπ，即θ=﹣+kπ，

∴tanθ=tan（﹣+kπ）=﹣．

（Ⅱ）∵f（x）=x2+4[sin（θ+）]x﹣2，θ∈[0，2π]]．

∴对称轴为x=﹣2sin（θ+），

若f（x）在[﹣，1]上是单调函数，

则﹣2sin（θ+）≥1或﹣2sin（θ+）≤，

即sin（θ+）≥或sin（θ+）≤，

即2kπ+≤θ+≤2kπ+，或2kπ+≤θ+≤2kπ+，k∈Z，

即2kπ+≤θ≤2kπ+，或2kπ≤θ≤2kπ+，k∈Z，

∵θ∈[0，2π]，∴≤θ≤，或0≤θ≤．

【解析】三角函数的图象与性质．

20．已知函数是定义在上的奇函数，且函数是定义在上的偶函数.

（1）求函数的解析式；

（2）求不等式的解集.

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）根据函数是定义在上的奇函数，得，根据函数是定义在上的偶函数，得，从而可得函数的解析式；

（2）由（1）整理可得，令，求出t的范围，从而可得不等式的解集.

【详解】解：（1）是定义在上的偶函数，

，

即，

是定义在上的奇函数，

，

，

；

（2）由（1）知，

得，

即，

令，

则，

解得

，

，

原不等式的解集为.

21．已知函数.

(1)若不等式在上恒成立，求实数a的取值范围；

(2)证明：.

【答案】(1)

(2)证明见解析

【分析】（1）求导，结合导函数特征，分与两种情况，结合，得到实数a的取值范围；

（2）在第一问的基础上，取，得到在上恒成立，令，则，从而，再用裂项相消法求和，不等式得证.

【详解】（1），，，，

，

时，，

∴，函数在上单调递增，

∴恒成立，满足条件.

时，对于方程，其，方程有两个不相等的实数根，

，，

，

当时，，此时函数单调递减，

，则，不满足条件，舍去.

综上可得：实数a的取值范围是.

（2）证明：由（1）可知：取时，函数在上单调递增，

∴在上恒成立，

令，则，

∴，

∴，

∴.

【点睛】导函数证明数列相关不等式，常根据已知函数不等式，用关于正整数的不等式代替函数不等式中的自变量，通过多次求和（常常用到裂项相消法求和）达到证明的目的，此类问题一般至少有两问，已知的不等式常由第一问根据特征式的特征而得到.

22．已知函数.（其中常数，是自然对数的底数.）

（1）讨论函数的单调性；

（2）证明：对任意的，当时，.

【答案】（1）答案不唯一，具体见解析（2）证明见解析

【分析】（1）求导得，再分参数当和两种情况具体讨论，结合导数正负与原函数关系判断即可；

（2）解法不唯一，由原不等式可等价转化为，采用构造函数法，设，则，当时，，可设，求导判断可知，进而得出当时，；当时，；当时，，

∴，从而得证；还可采用合并参数形式得，令，讨论可判断，当时，显然成立；当且时，，要证对任意的，成立，只需证，可化为，令，通过讨论确定函数极值点进而得证；其余证法详见解析

【详解】（1）.

①当时，，函数在R上单调递增；

②当时，由解得，由解得.

故在上单调递增，在上单调递减.

综上所述，当时，在R上单调递增；

当时，在上单调递增，在上单调递减.

（2）证法一：原不等式等价于

令，则.

当时，，

令，则当时，，

∴当时，单调递增，即，

∴当时，；当时，；当时，，

∴

即，故.

证法二：原不等式等价于.

令，则.

当时，；当时，.

∴，即，当且仅当时等号成立.

当时，显然成立；

当且时，.

欲证对任意的，成立，只需证

思路1：∵，∴不等式可化为，

令，则，

易证当时，，

∴当时，，当时，，

∴函数在上单调递减，在上单调递增，

∴

∴，即，

从而，对任意的，当时，.

思路2：令，则.

，或

∴在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减.

∵，

∴，即.

从而，对任意的，当时，.

证法三：原不等式等价于.

令，则.

令，则，其中.

①当时，，在上单调递增.

注意到，故当时，；当时，

∴在上单调递减，在上单调递增.

∴，即.

②当时，.

当时，，单调递减；当时，，单调递增.

②（i）：若，则.

∵

∴当时，；当时，.

与①同，不等式成立.

②（ii）：若，则，

∵

∴，使得，且当时，；当时，；当时，.

∴在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.

∵

∴此时，，即.

综上所述，结论得证

【点睛】本题旨在考查导数在研究函数时的应用，以研究单调性，证明不等式等为载体，综合考查学生的分类讨论、化归转化、数形结合等数学思想，考查了学生的数学运算、逻辑推理等数学核心素养.属于难题