2023届辽宁省沈阳市东北育才学校高三上学期联合考试数学试题含解析

2023届辽宁省沈阳市东北育才学校高三上学期联合考试数学试题

一、单选题

1．已知集合，，则的子集个数为（    ）

A．16 B．8 C．7 D．4

【答案】B

【分析】先求得，由此判断出的子集个数.

【详解】，所以，共个元素，

所以的子集个数为个.

故选：B

2．已知复数z满足，则“a＝1”是z为纯虚数的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不充要条件

【答案】C

【分析】根据纯虚数的概念列方程，解得即可判断.

【详解】，解得，所以“”是为纯虚数的充要条件.

故选：C.

3．函数的大致图象为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据函数的奇偶性可排除A,C,根据特殊点处的函数值可排除B,进而可求解.

【详解】的定义域为，关于原点对称，

又因为，所以是定义域内的偶函数，故可排除A,C，

又，故可排除B，

故选：D

4．高斯是德国著名数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德，牛顿被世界公认为数学三大天才，用表示不超过x的最大整数，我们称为高斯函数，例如，．则关于函数，下列说法错误的是（    ）

A．在区间上单调递增 B．函数的值域为

C．最小正周期为1 D．的值域为

【答案】B

【分析】根据的图像判断即可

【详解】解：作出的部分图像如下所示：

A．由图像易知在区间上单调递增，故本选项不符合题意；

B．的值域为，故本选项符合题意；

C．的最小正周期为1，故本选项不符合题意；

D．根据高斯函数的定义及的值域为，易知的值域为，故本选项不符合题意．

故选：B．

5．已知，，则（    ）

A． B． C．2 D．－2

【答案】B

【分析】根据同角关系可得，由正切的二倍角公式以及诱导公式即可求解.

【详解】因为所以由得，因此，

由二倍角公式可得

，

故选：B

6．设函数的定义域为R，则函数与函数的图象关于（    ）

A．直线x＝－1对称 B．直线x＝－2对称 C．直线x＝2对称 D．直线x＝1对称

【答案】C

【分析】根据函数图象的平移关系，结合与的对称性，即可求解.

【详解】是函数的图象向右平移1个单位，由于与的图象关于轴对称，所以与的图象关于对称，是函数向右平移2个单位，所以函数与函数的图象关于直线x＝2对称，

故选：C

7．已知函数若关于的方程有4个不同的实根，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】画出的图象，根据并讨论t研究其实根的分布情况，将问题化为在内有两个不同的零点，结合二次函数性质求参数范围.

【详解】如图，画出的图象，设

结合图象知：当或时有且仅有1个实根；当时有2个实根；

问题转化为在内有两个不同的零点，

从而，解得.

故选：D

8．已知直线与曲线，分别交于点，则的最小值为（    ）

A． B． C．1 D．e

【答案】B

【分析】设与直线垂直，且与相切的直线为，切点为，设与直线垂直，且与相切的直线为，切点为，进而根据导数的几何意义求得坐标得，即可得直线与直线重合时最小，再求距离即可.

【详解】解：设与直线垂直，且与相切的直线为，

设与直线垂直，且与相切的直线为，

所以，，

设直线与的切点为，

因为，所以，解得，，即，

设直线与的切点为，

因为，所以，解得，，即，

此时，

所以，当直线与直线重合时，最小，最小值为.

故选：B

二、多选题

9．已知函数，则下列说法正确的是（    ）

A．函数的图象可以由的图象向右平移个长度单位得到

B．，则

C．是偶函数

D．在区间上单调递增

【答案】AD

【分析】根据函数平移可判断A,根据最值点的与周期的关系可判断B,根据偶函数的特征可判断C,整体代入验证法可判断D.

【详解】对于A,的图象向右平移个长度单位得到，故A正确，

对于B，因为，由可知为最值，又故,故B错误，

对于C,为奇函数，故错误，

对于D,，故在区间上单调递增，正确，

故选：AD

10．已知，，，则a，b，c的大小关系是（    ）

A． B． C． D．

【答案】AC

【分析】对作商比较，再通过构造函数，利用导数判断其单调性，可比较的大小，从而可得结论.

【详解】因为，

所以，

令，则，

当时，，当时，，

所以在上递增，在上递减，

所以，

所以，

所以，即，

综上，

故选：AC

11．已知函数，关于函数说法正确的是（    ）

A．函数为偶函数 B．函数的定义域为

C．函数的值域为 D．函数为周期函数

【答案】ACD

【分析】结合函数的定义域、奇偶性、值域、周期性的知识求得正确答案.

【详解】依题意，

由于，

所以，故的定义域为（），B选项错误.

，为偶函数，A选项正确.

当时，，，

所以函数的值域为，C选项正确.

由于，是周期函数，D选项正确.

故选：ACD

12．已知定义R上的函数满足，又的图象关于点对称，且，则（    ）

A．函数的周期为12 B．

C．关于点对称 D．关于点对称

【答案】ABD

【分析】结合函数的对称性、奇偶性、周期性确定正确答案.

【详解】由，令，得，

所以，关于直线对称.

由于的图象关于点对称，所以的图象关于对称，所以是奇函数.

所以，

所以的周期为，A选项正确.

，B选项正确.

结合上述分析可知，关于点（）对称，

所以关于点（）对称，

所以关于点（）对称，

所以关于点（）对称，

令，得关于点对称，D选项正确，C选项错误.

故选：ABD

三、填空题

13．复数的共轭复数的虚部是______．

【答案】1

【分析】首先根据复数代数形式的除法法则化简复数，再得到其共轭复数，从而判断其虚部．

【详解】解：，所以复数的共轭复数为，

其虚部为；

故答案为：．

14．设函数，已知在上有且仅有2023个极值点，则的取值范围是___________

【答案】

【分析】通过三角恒等变换公式及辅助角公式化简，得到，所以令，并求出，画出在的图像，又因为在上有且仅有2023个极值点，且每个周期有两个极值点，所以推出，从而求出的取值范围

【详解】

当时，，

令，则，

作出函数的图象如图所示：

由于函数在上有且仅有2023个极值点，

则，解得.

故答案为：

15．已知函数是定义在R上的奇函数，记为函数的导函数，且满足，则不等式的解集为______．

【答案】

【分析】利用奇函数的导数必为偶函数，可求得，再代入不等式构造函数即可求解.

【详解】因为是定义在上的奇函数，所以，故，

又，

所以，即，

所以是定义在上的偶函数；

又因为，

所以，

即，

两式相减，再整理得：，

所以由得，

令，则，

当时，；当时，，

所以在上单调递减，在上单调递增，

又因为，所以在上，由，解得；

又当时，，即，故，即，

综上： 的解集为，

故的解集为.

故答案为：.

四、双空题

16．已知两个非零平面向量，满足：对任意恒有：，且，则______；______．

【答案】     2    

【分析】对不等式两边平方并进行向量的数量积的运算便可以得到，根据题意知该不等式对于任意恒成立，根据判别式即可得出的值，进而由夹角公式即可求解角.

【详解】由得：，且；

；

整理得，，该不等式对任意的恒成立；

；

；

．

，由于，所以，

故答案为：2，

五、解答题

17．已知是定义在R的偶函数，且，．

(1)求的解析式；

(2)设，若存在，对任意的，都有，求实数t的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由求得，从而求得.

（2）求得在区间上的最小值，对进行分类讨论，求得在区间上的最小值，根据求得的取值范围.

【详解】(1)是定义在R的偶函数，

所以，，

，

此时，满足题意，

所以，

(2)依题意存在，对任意的，都有，

，

在区间上递增，在区间上的最小值为.

，开口向上，对称轴为，

当时，在上递增，最小值为，

依题意可知，则.

当时，的最小值为，

依题意可知，则.

当时，在上递减，最小值为，

依题意可知，不符合.

综上所述，的取值范围是.

【点睛】利用函数的奇偶性求参数，可以利用特殊点代入法进行求解.求解二次函数在闭区间上的最值，当函数含有参数时，要对参数进行分类讨论.

18．如图所示，在△ABC中，点D是边BC的中点，点E是线段上靠近A的一个三等分点，过点E的直线与边AB，AC分别交于点P，Q．设，，其中，

(1)求证：为定值，并求此定值；

(2)设△APQ的面积为，△ABC的面积为，求的最小值．

【答案】(1)4，证明见解析；

(2)

【分析】（1）由向量线性运算得，由共线得，整理即可；

（2）由三角形面积公式可得，结合参数范围及为定值，消元求函数最小值即可

【详解】（1）证明：由题意得，，

由共线得，得证，定值为4；

（2）设，则，，

故，∵，故，

由二次函数性质得时，取得最大值9，故的最小值为

19．已知函数的部分图象如图，．

(1)求函数的解析式；

(2)求的值．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由可得，根据周期以及可得，进而得的解析式，

（2）利用函数的对称关系求出与之间的关系式，然后通过求出，进而即可求出．

【详解】（1）结合题意可知，，

，，

又由图象可知，，

又由，即，即，

取从而，故，

（2）令，

从而的对称轴为，，

由图象可知，与关于对称，即，且，

因为，

所以．

20．已知向量，，函数．

(1)求函数的最小正周期；

(2)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，∠ACB的角平分线交AB于点D，若恰好为函数的最大值，且此时，求3a＋4b的最小值．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据三角恒等变换化简函数解析式，结合最小正周期的计算公式，可得答案；

（2）根据正弦函数的性质，求得最值以及自变量的取值，利用角平分线的性质以及等面积法，建立方程，整理等式，结合基本不等式“1”的妙用，可得答案.

【详解】(1)，

则函数的最小正周期.

(2)由（1）可知，当，即时，取得最大值为，则，，

因为平分，所以，则点分别到的距离，

由，则，即，整理可得，

，当且仅当，即时，等号成立，

故最小值为.

21．已知函数．

(1)若，讨论函数的单调性；

(2)若，证明：有唯一零点，且．

【答案】(1)答案见解析

(2)证明见解析

【分析】（1）先求，然后对进行分类讨论，由此求得的单调区间.

（2）对进行分类讨论，（1）的结论以及零点存在性定理证得结论成立.

【详解】(1)的定义域为，

，

其中，

当时，在区间递增；

在区间递减.

当时，，在上递增.

当时，在递增；

在区间递减.

综上，当时，在区间递增，在区间递减.

当时，在上递增；

当时，在递增，在区间递减.

(2)当时，，

由（1）得在上递增，

，

所以存在唯一零点，且，也即.

当时，由（1）得在递增；在区间递减.

，则，

，

所以存在唯一零点，且.

22．已知函数．

(1)若函数存在极小值，且极小值为2a，求实数a的值

(2)若存在直线l：y＝m与函数的图像相交于，，且，求实数a的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】根据导数求解极值，即可根据极小值为求解.

求导，构造函数，进而根据的单调性可得，进而结合基本不等式即可求解.

【详解】(1)，由于存在极小值，所以，

故存在，使得，即故当，，当，

故在上单调递减，在，单调递增，故，进而，

(2)直线l：y＝m与函数的图象有2个交点，由（1）知，，

且由（1）知：在上单调递减，在，单调递增，是的极小值点，

记，

则所以在单调递减，

由于，所以故,由于，在上单调递减，因此，进而，

由于，

因此

【点睛】本题考查了导数的综合运用，利用导数求函数的极值，注意对极值点的判别.求解参数的范围时，需要构造新的函数，利用导数研究其单调性，进而可判断原函数的单调性.在证明不等式时，常采用两种思路：求直接求最值和等价转化.无论是那种方式，都要敢于构造函数，构造有效的函数往往是解题的关键.