2022届吉林省四平市第一高级中学高三上学期第三次月考数学（文）试题（解析版）

这是一份2022届吉林省四平市第一高级中学高三上学期第三次月考数学（文）试题（解析版），共13页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022届吉林省四平市第一高级中学高三上学期第三次月考数学（文）试题 一、单选题1．已知集合，，则（    ）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据并集运算求解即可.【详解】因为，，所以，故选：C2．“直线的斜率不小于0”是“直线的倾斜角为锐角”的（    ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】利用充分条件和必要条件的定义直接判断即可作答.【详解】若直线的斜率不小于0，则该直线的倾斜角为锐角或0°，若直线的倾斜角为锐角，则该直线的斜率为正数，即不小于0，所以“直线的斜率不小于0”是“直线的倾斜角为锐角”的必要不充分条件.故选：B3．函数的最小值为（    ）A．6 B． C．4 D．【答案】D【分析】直接利用均值不等式计算得到答案.【详解】，，，当，即时等号成立.故选：D4．圆上的点到直线的距离的最小值为（    ）A．1 B．2 C．4 D．5【答案】A【分析】求出圆的圆心和半径，利用点到直线的距离以及半径关系，求解即可.【详解】由，得，圆心为，半径，圆心到直线的距离，故圆上的点到直线的距离的最小值为.故选：A5．已知，，，则（    ）A．2 B．3 C．5 D．6【答案】C【分析】由余弦定理与数量积的定义求解即可【详解】因为，，，所以，所以，所以所以，故选：C6．函数的最大值为（    ）A．32 B．27 C．16 D．40【答案】A【分析】利用导数即可求解.【详解】因为，所以当时，；当时，.所以函数在上单调递增；在上单调递增,，因此，的最大值为.故选：A7．观察下列等式：，，，， ,， ,根据规律，可推测 是（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据所给等式找到规律即每个等式都可写为的形式，故由可求得 ,即得答案.【详解】根据，，，， ,可知每个等式都可写为的形式，则为第25个等式，即，则，即，解得 ，故，故选：A.8．设为等差数列的前项和，且，，则（    ）A．34 B．35 C．36 D．37【答案】D【分析】已知，先由等差数列的性质，求出，然后求出公差，得出.【详解】因为数列是一个等差数列，且，所以，即.又，所以公差，所以.故选：D．9．设直线经过定点，轴上的两个动点与的距离为2，则的最小值为（    ）A． B． C．2 D．3【答案】D【分析】根据直线点斜式的方程，结合平面向量坐标表示公式进行求解即可.【详解】由，所以直线过定点，因为轴上的两个动点与的距离为2，所以不妨设，，当时，有最小值，故选：D10．中国古代数学的瑰宝《九章第术》中记载了一种称为“曲池”的几何体，该几何体为上、下底面均为扇环形的柱体（扇环是指圆环被扇形截得的部分）．现有一个如下图所示的“曲池”，其高为3，底面，底面扇环所对的圆心角为，长度为长度的3倍，且线段，则该“曲池”的体积为（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据弧长与半径的关系，将两个弧所对应的半径求出，再根据圆柱的体积公式求出曲池的体积.【详解】设对应半径为R，对应半径为r，根据弧长公式可知，，因为两个扇环相同，长度为长度的3倍，所以，因为，所以，所以曲池体积为.故选：D11．设函数的最小正周期为，且在内恰有3个零点，则的取值范围是（    ）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据周期求出，结合的范围及，得到，把看做一个整体，研究在的零点，结合的零点个数，最终列出关于的不等式组，求得的取值范围【详解】因为，所以.由，得.当时，，又，则.因为在上的零点为，，，，且在内恰有3个零点，所以或解得.故选：D.12．已知是定义域为的奇函数，函数，当时，恒成立．现有下列四个结论：①在上单调递增；   ②的图象与x轴有2个交点；③；      ④不等式的解集为．其中所有正确结论的编号为（    ）A．①② B．①④ C．②③ D．②③④﹒【答案】C【分析】对两边同时除以化简整理，根据函数单调性的定义，即可判断①是否正确；根据函数的奇偶性以及， 即可判断②是否正确；根据函数的单调性，可知，再结合奇偶性化简整理，即可判断③是否正确；根据函数的单调性和奇偶性解不等式，即可判断④是否正确.【详解】因为当时，恒成立，所以两边同时除以得，即，得，则在上单调递减，故①错误；因为是定义域为的奇函数，又是定义域为的奇函数，所以是定义域为的奇函数，又，所以，所以，所以的图象与x轴有2个交点，故②正确；又在上单调递减，所以得，即，所以，即，故③正确；因为奇函数在上单调递减，所以在上单调递减，又，所以当时，；当时，；所以不等式的解集为，故④错误.故选：C. 二、填空题13．函数的定义域为________.【答案】【分析】根据开偶次方被开方数非负数，结合对数函数的定义域得到不等式组，解出即可.【详解】函数的定义域满足：，解得，所以函数的定义域为.故答案为：.14．若球被平面所截得的截面圆的面积为，且球心到平面的距离为cm，则球的表面积为________.【答案】【分析】根据截面圆的面积为得到截面圆的半径为1，然后利用勾股定理得到球的半径，最后根据球的表面积公式求表面积即可.【详解】因为截面圆的面积为，所以截面圆的半径为1，设球的半径为，所以，球表面积为.故答案为：.15．在中国现代绘画史上，徐悲鸿的马独步画坛，无人能与之相颉颃.《八骏图》是徐悲鸿最著名的作品之一，画中刚劲矫健､剽悍的骏马，在人们心中是自由和力量的象征，鼓舞人们积极向上.现有8匹善于奔跑的马，它们奔跑的速度各有差异.已知第i（i=1，2，…，7）匹马的最长日行路程是第i+1匹马最长日行路程的1.1倍，且第8匹马的最长日行路程为400里，则这8匹马的最长日行路程之和为___________里.（取1.18=2.14）【答案】4560【分析】直接利用等比数列求和公式计算得到答案.【详解】第8匹马､第7匹马､……､第1匹马的最长日行路程里数依次成等比数列，且首项为400，公比为1.1，故这8匹马的最长日行路程之和为里.故答案为：4560.16．已知点为角终边上一点，，且，则___________.【答案】2【分析】根据三角函数的定义求出，进而结合二倍角公式将原式化简，最后得到答案.【详解】因为点在角的终边上，所以.因为，所以，所以，则，解得.故答案为：2. 三、解答题17．已知等差数列的首项为，且.(1)求的通项公式及其前项和；(2)求数列的前项和.【答案】(1)，(2) 【分析】（1）利用等差数列通项公式及前项和公式计算即可；（2）利用裂项相消法求解即可.【详解】（1）由题意可知因为，解得，所以的通项公式为，其前项和为.（2）因为所以.18．如图，在四棱锥中，，，底面为矩形.(1)证明：平面平面；(2)若，，求异面直线与所成角的大小.【答案】(1)证明见解析(2)60°. 【分析】（1）利用线面垂直的判定与性质的得到平面，根据面面垂直的判定证出平面平面；（2）因为，所以异面直线与所成的角即（或其补角），利用已知条件，则，求出各边长度即可求解.【详解】（1）证明：因为，，且，平面，所以平面，因为平面，所以，又底面为矩形，所以，因为，平面，所以平面，又平面，所以平面平面.（2）因为，所以异面直线与所成的角即（或其补角）.由（1）知，平面，因为，所以平面，因为平面，所以，从而，因为平面，所以，所以.故，从而异面直线与所成的角为60°.19．a，b，c分别为钝角内角A，B，C的对边.已知.(1)求；(2)若，，求c的取值范围.【答案】(1)(2) 【分析】（1）对利用正弦定理及三角公式求出，利用两角和的余弦公式即可求解；（2）先判断出C为钝角，利用余弦定理得到关于c的不等式，求出c的范围.【详解】（1）因为，所以，即，又，所以，且，故（2）因为，所以A为锐角，又，所以，因为为钝角三角形，所以C为钝角.因为，所以，解得.20．已知函数.(1)若，证明：，，这三个数中至少有一个数不大于1；(2)若，且，证明：.【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析 【分析】（1）根据题意可知，此题宜采用反证法证明，假设每个数都大于1，得出矛盾即可；（2）由可得，对要证明的不等式整理变形，利用基本不等式、辅助角公式并采用分析法即可证明.【详解】（1）因为，所以.假设，，这三个数中没有一个数不大于1，即每个数都大于1，即，，，则，，，所以，这与矛盾，假设不成立，所以，，这三个数中至少有一个数不大于1.（2）因为，且，所以，且，.要证明，只需证，即证.，当且仅当，即时，等号成立.因为，且，所以，即.21．已知圆关于直线对称，且与直线相切于点.(1)求圆的方程；(2)过点的直线与圆相交于，两点.若，求直线的斜率.【答案】(1)(2) 【分析】（1）由圆的方程，可得圆心，半径为，再结合题意求解即可；（2）设直线，联立方程组，消元，结合韦达定理求解即可.【详解】（1）由圆，可知圆心，半径为，因为圆关于直线对称，所以，即又圆与直线相切于点，所以，即则，故圆的圆心为，半径.则，则，故圆的方程为.（2）依题意可设直线，联立方程组，整理得，故，解得，则，.由，解得，所以直线的斜率为.22．已知函数，.(1)若，求曲线在点处的切线方程；(2)当时，证明：.【答案】(1)(2)证明见解析 【分析】（1）利用导数求切线斜率，然后可得；（2）利用二次导数求导函数的零点，从而可得函数的最值，然后可证.【详解】（1）因为，所以，则，.又，所以曲线在点处的切线方程为，即.（2），设函数，所以，所以在上单调递增.因为，所以，，所以在上存在唯一零点，且，即.当时，，；当时，，.因此.设函数，，则，所以在上单调递减，从而.即，故.