2023届云南省名校联盟高三上学期12月份联合考试数学试题（解析版）

2023届云南省名校联盟高三上学期12月份联合考试数学试题

一、单选题

1．若集合，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】先解出集合M，N，再根据集合并集运算法则求解即可.

【详解】由题意可得：，

故.

故选：D.

2．已知复数z满足，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】利用复数运算求得，进而求得.

【详解】因为，，

所以，，

故.

故选：A

3．函数，，的图象如图所示，则，，的图象所对应的编号依次为（    ）

A．①②③ B．③①②

C．③②① D．①③②

【答案】C

【分析】利用特殊值确定正确答案.

【详解】令，解得；

令，解得；

令，解得，

即当时，对应的底数越大，图象越靠近x轴

故，，的图象所对应的编号依次为③②①.

故选：C

4．今年入夏以来，南方多省市出现高温少雨天气，持续的干旱天气导致多地湖泊及水库水位下降.已知某水库水位为海拔时，相应水面的面积为；水位为海拔时，相应水面的面积为.将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔下降到时，减少的水量约为（）（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】利用台体的体积公式，将题中数据代入计算即可.

【详解】台体体积公式：，

由题意可得，，，

代入计算得，

故选：C

5．某单位准备从新入职的4名男生和3名女生中选2名男生和1名女生分配到某部门3个不同的岗位，不同的分配方案有（    ）

A．18种 B．36种 C．60种 D．108种

【答案】D

【分析】根据题意得到不同的分配方案有种情况.

【详解】首先选出2名男生和1名女生，共有种情况，

再把选出来的人进行全排列，共有种情况.

所以不同的分配方案有种.

故选：D

6．图1为一种卫星接收天线，其曲面与轴截面的交线为拋物线的一部分，已知该卫星接收天线的口径，深度，信号处理中心位于焦点处，以顶点为坐标原点，建立如图2所示的平面直角坐标系，若是该拋物线上一点，点，则的最小值为（    ）

A．4 B．3 C．2 D．1

【答案】B

【分析】由已知点在抛物线上，利用待定系数法求抛物线方程，结合抛物线定义求的最小值.

【详解】设抛物线的方程为，因为，，所以点在抛物线上，所以，故，所以抛物线的方程为，所以抛物线的焦点的坐标为，准线方程为，在方程中取可得，所以点在抛物线内，过点作与准线垂直，为垂足，点作与准线垂直，为垂足，则，所以，当且仅当直线与准线垂直时等号成立，所以的最小值为3，

故选：B.

7．明朝朱载培发现的十二平均律，又称“十二等程律”，是世界上通用的一组音（八度）分成十二个半音音程的律制，各相邻两律之间的波长之比完全相同.若已知应钟、大吕、夹钟、仲吕的波长成等比数列，且应钟和仲吕的波长分别是，，则大吕和夹钟的波长之和为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】等比数列第一和第四项用通项公式可求出公比，进而求出第二和第三项可得答案.

【详解】

故选：C

8．如图，一块边长为的正三角形铁片上有三块阴影部分，将这些阴影部分裁下来，然后用剩余的三个全等的等腰三角形加工成一个正三棱锥容器，则容器的容积最大为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据锥体体积公式求得容器的容积，然后利用基本不等式或导数求得容积的最大值.

【详解】由题意可知正三棱锥的底面边长为，斜高为，侧棱长为，

边长为的等边三角形，一边上的高为，其外接圆半径为，

则正三棱锥的高为，

容积.

解法一：.

当且仅当时等号成立.

解法二：，令，，

当时，，当时，，

所以函数在上单调递增；在上单调递减，

，

所以.

故选：A

二、多选题

9．某商家为了了解人们消费方式的变化情况，收集并整理了该商家2022年1月份到8月份线上收入和线下收入的数据，并绘制如下的折线图.根据折线图，下列结论正确的有（    ）

A．该商家这8个月中，线上收入的平均值高于线下收入的平均值

B．该商家这8个月中，线下收入数据的中位数是6.75

C．该商家这8个月中，线上收入与线下收入相差最大的月份是3月

D．该商家这8个月中，每月总收入不少于17万元的频率为

【答案】AB

【分析】利用该商家这8个月折线图提供的数据，对各个选项逐一分析判断即可．

【详解】该商家这8个月中，线上收入的平均值为，

线下收入的平均值为，

线上收入的平均值高于线下收入的平均值，故A正确；

该商家这8个月中，线下收入数据的中位数是，故B正确；

该商家这8个月中，线上收入与线下收入相差最大的月份是1月，C错误；

该商家这8个月中，每月总收入不少于17万元的频率为，D错误.

故选：AB

10．已知，分别是双曲线C：的左、右焦点，P是C上一点，且位于第一象限，，则（    ）

A．P的纵坐标为 B．

C．的周长为 D．的面积为4

【答案】ABD

【分析】结合、双曲线的定义、三角形的面积和周长等知识进行分析，从而确定正确答案.

【详解】依题意，

因为，所以.

由双曲线的定义可得①，两边平方得，

即，解得，

故的面积为，D正确.

设P的纵坐标为h，的面积，解得，A正确.

，解得②，

的周长为，C错误.

①＋②可得，B正确.

故选：ABD

11．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中将底面为矩形，且有一条侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马．如图，在阳马中，平面ABCD，底面是正方形，且，E，F分别为PD，PB的中点，则（    ）

A．平面PAC B．平面EFC

C．点F到直线CD的距离为 D．点A到平面EFC的距离为

【答案】AD

【分析】根据已知条件建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标及平面EFC的法向量，利用向量垂直条件及线面垂直的判定定理及线面平行的向量关系，结合点到直线的距离及点到面的距离的向量公式即可求解.

【详解】以A为坐标原点，，，的方向分别为x，y，z轴的正方向建立空直角坐标系如图所示

由题意可知，，，，，，，

所以，，，．

因为，所以，即

，所以，即．又，

所以平面PAC，故A正确；

设平面EFC的法向量为，则

,即，令，则，所以．

因为，所以，故B不正确；

设点F到直线CD的距离为h，，，则，即，所以点F到直线CD的距离为，故C不正确；

设点A到平面EFC的距离为d，，则

，所以点A到平面EFC的距离为，故D正确.

故选：AD.

12．已知函数在上恰有3个零点，则（    ）

A．

B．在上单调递减

C．函数在上最多有3个零点

D．在上恰有2个极值点

【答案】BC

【分析】首先利用辅助角公式得，根据范围得到的范围，结合图像列出不等式，则得到的范围，利用代入检验法即可判断B选项，对C选项证明达不到四个零点，再列举三个零点的情况即可，对D选项，找到一个值满足3个极值点即可.

【详解】，

，，，

函数在上恰有3个零点，

故，解得，故A错误，

当，，

，，，

而正弦函数在上单调递减，

故函数在上单调递减正确，故B正确，

令，即，解得

，，，

区间长度为，若在某闭区间上有四个解，

则区间长度至少为，比如，则不可能存在四个解，

当时，即，，

则或或，解得或或，

故最多有3个零点，故C正确.

当时，此时，令，,

解得，，则 ，

解得，，，

当时，，当时，，当时，，

此时在上有3个极值点，故D错误，

故选：BC.

【点睛】关键点睛：首先利用辅助角公式将函数化成关于正弦的函数，然后整体法结合图像得到关于的不等式，即可求出其范围，单调性问题可以通过代入检验，零点个数和极值点个数问题，通过寻找特例去证明或反驳，这也是选择题常用的方法.

三、填空题

13．已知向量，的夹角为，且，若，则______.

【答案】##

【分析】根据已知可得，代入即可求得的值.

【详解】由已知可得，， ，，

因为，所以，即，解得.

故答案为：.

14．已知，则的最小值为______.

【答案】##

【分析】首先已知转化为，再根据即可得到答案.

【详解】由，得.

因为，所以，解得.

所以的最小值为.

故答案为：

15．已知圆：与圆：，点A，B圆上，且，线段AB的中点为D，则直线OD（O为坐标原点）被圆截得的弦长的取值范围是______.

【答案】

【分析】由知点在以为圆心为半径的圆上，由直线与此圆有交点得，再表示出直线OD被圆截得的弦长后求其最值即可.

【详解】由题意可知圆的圆心为，半径，圆的圆心为，半径.

因为，所以，即点在以为圆心，为半径的圆上.

设直线的方程为，则，即，解得.

圆心到直线的距离为，

直线OD被圆截得的弦长 ，

令，，则，

当时为减函数，

当时，为增函数，

故，，

当时，直线经过，此时直线被圆截得的弦长最长，最长的弦长是圆的直径6.

当时，直线被圆截得的弦长最短，则弦长为；

综上，直线被圆截得的弦长的取值范围是.

故答案为：

【点睛】分式型函数求最值方法：①转化为反比例函数求最值；②转化为对勾函数或基本不等式求最值；③换元为二次函数求最值；④用导数求最值.

四、双空题

16．写出曲线过坐标原点的切线方程：______，______.

【答案】         

【分析】根据切点和斜率写出切线方程，并根据切线过原点求得切线方程.

【详解】当时，，则，

曲线在点处的切线方程为.

若该切线经过原点，则，解得，此时切线方程为.

当时，同理可得满足题意的切线方程为.

故答案为：；

五、解答题

17．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知.

(1)求A；

(2)若为锐角三角形，且，，求c.

【答案】(1)或

(2)

【分析】（1）根据正弦定理边化角公式求解即可.

（2）根据余弦定理求解即可.

【详解】（1）因为，所以.

因为，所以.

因为，所以故或.

（2）因为为锐角三角形，所以.

由余弦定理可得，又因为，

所以，

整理得：

解得或（舍去）.

18．已知数列满足，且，.

(1)求的通项公式；

(2)求数列的前n项和.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）代入数据计算得到，确定是以3为首项，3为公比的等比数列，计算得到答案.

（2），令，数列的前n项和为，利用错位相减法得到，再利用分组求和得到答案.

【详解】（1），，，解得.

可得，即，，

所以是以3为首项，3为公比的等比数列，故，.

（2），令，数列的前n项和为，

则，，

，

所以.

.

19．如图，三棱柱的底面ABC是正三角形，侧面是菱形，平面平面ABC，E，F分别是棱，的中点.

(1)证明：平面.

(2)若，，，求二面角的余弦值.

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】(1)取的中点M，连接ME，MB,证明，从而即可得证.

(2)取AC的中点O，连接OB，，先证，再由平面平面ABC，从而可证得平面ABC，以O为原点，OB，OC，所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，利用向量法即可求解.

【详解】（1）证明：取的中点M，连接ME，MB.

因为E，F分别是棱，BC的中点，所以，，

所以四边形MEFB为平行四边形，.

因为平面，平面，所以平面.

（2）取AC的中点O，连接OB，.

因为四边形是菱形，所以.

因为，所以为等边三角形.

因为O为AC的中点，所以.

因为平面平面ABC，平面平面，平面，

所以平面ABC.

因为底面ABC是正三角形，所以.

以O为原点，OB，OC，所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系.

因为，所以，则，，，，，，所以，.

设平面EFG的法向量为，

则，

令，则.

因为，平面平面，平面ABC，所以平面，

所以平面AEG的一个法向量为，

所以.

故二面角的余弦值为.

20．新冠疫情暴发以来，各级人民政府采取有效防控措施，时常采用10人一组做核酸检测（俗称混检），某地在核酸检测中发现某一组中有1人核酸检测呈阳性，为了能找出这1例阳性感染者，且确认感染何种病毒，需要通过做血清检测，血清检测结果呈阳性的即为感染人员，呈阴性的表示没被感染.拟采用两种方案检测：

方案甲：将这10人逐个做血清检测，直到能确定感染人员为止.

方案乙：将这10人的血清随机等分成两组，随机将其中一组的血清混在一起检测，若结果为阳性，则表示感染人员在该组中，然后再对该组中每份血清逐个检测，直到能确定感染人员为止；若结果呈阴性，则对另一组中每份血清逐个检测，直到能确定感染人员为止.把采用方案甲，直到能确定感染人员为止，检测的次数记为X.

(1)求X的数学期望；

(2)如果每次检测的费用相同，以检测费用的期望作为决策依据，应选择方案甲与方案乙哪一种？

【答案】(1)

(2)选择方案乙

【分析】（1）结合排列数的计算、古典概型概率计算公式、期望的计算求得.

（2）方案乙检测的次数记为，根据方案乙的检测方法计算出，由此作出判断.

【详解】（1）X可取1，2，…，8，9，

则，，2，…，8，

，

所以.

（2）把采用方案乙，直到能确定感染人员为止，检测的次数记为Y，

则Y可取2，3，4，5.

，

，

，

，

则.

设每次检测的费用均为，

则方案甲的平均费用为，

方案乙的平均费用为，

因为，所以应选择方案乙.

21．已知椭圆：的离心率为，是上一点.

(1)求的方程.

(2)设，分别为椭圆的左、右顶点，过点作斜率不为0的直线，与交于，两点，直线与直线交于点，记的斜率为，的斜率为.证明：①为定值；②点在定直线上.

【答案】(1)；

(2)①证明见解析；②证明见解析.

【分析】(1)由条件列出关于的方程，解方程可得，由此可得椭圆的方程；

(2)①联立方程组，利用设而不求法结合两点斜率公式求即可证明；

②求出直线与直线方程，联立求点的坐标，由此证明点在定直线上.

【详解】（1）由题意，椭圆的离心率为，是椭圆上一点，

所以，解得，

所以椭圆的方程为；

（2）①因为过点且斜率不为0，所以可设的方程为，代入椭圆方程得，方程的判别式，设，，则

，.

两式相除得

，．

因为分别为椭圆的左、右顶点，所以点的坐标为，点的坐标为，所以，．

从而；

②由①知，设，则，所以直线的方程为：，直线的方程为，联立可得，所以直线与直线的交点的坐标为，所以点在定直线上.

【点睛】过x轴上定点斜率不为0的动直线方程可设为；过y轴上定点(0，y0)斜率存在的动直线方程可设为.

22．已知函数，是的导函数．

(1)若关于的方程有两个不同的正实根，求的取值范围；

(2)当时，恒成立，求的取值范围．（参考数据：）

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）求导，关于的方程有两个不同的正实根，即方程有两个不同的正实根，令，利用导数求出其单调区间，从而可得出答案；

（2）当时，恒成立，即恒成立，即恒成立，令，利用导数求出函数的最小值即可得解.

【详解】（1）解：，

关于的方程有两个不同的正实根，

即方程有两个不同的正实根，

令，则，

当时，，当时，，

所以函数在上递减，上递增，

所以，

又当时，，当时，，

所以，即，

所以；

（2）解：当时，恒成立，

即恒成立，

即恒成立，

令，

则

,

当时，，所以函数在上递增，

当时，

令，

则，

所以函数在上递增，

所以，

所以当时，，即，

所以函数在上递增，

所以，

所以，

所以.

【点睛】本题考查了利用导数研究方程的根及函数不等式恒成立问题，解决两个问题的关键都是分离参数，计算量较大，有一定的难度.