2022-2023学年云南省名校联盟高二上学期12月大联考数学试题（解析版）

2022-2023学年云南省名校联盟高二上学期12月大联考数学试题

一、单选题

1．已知集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】化简A，B，求交集即可.

【详解】因为，，所以．

故选：A

2．若复数，则（    ）

A．6 B．5 C．4 D．3

【答案】B

【分析】先进行计算求出复数，再根据复数的模公式求.

【详解】因为复数，

所以．

故选：B．

3．已知，，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】通过中间值，将三个数与和进行比较即可判断大小关系.

【详解】因为，所以，

因为，，

因为，，

综上所述得．

故选：C

4．已知直线与，若，则（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】D

【分析】根据两直线平行的判断方法即可得关于的方程，解可得答案.

【详解】可化简为：，

因为，所以，解得．

故选：D.

5．已知双曲线的实轴长是虚轴长的3倍，则C的离心率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】利用计算可求出离心率.

【详解】因为，所以，即．

故选：B．

6．某班60名学生期中考试物理成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是，，，，，则该成绩的第70百分位数约为（    ）

A．73.6 B．75.5 C．76.2 D．78.3

【答案】D

【分析】根据频率分布直方图小矩形面积为1可求得，再根据百分位数计算方法可得结果.

【详解】由题意可求得，

则对应的频率为，

对应的频率为，,所以第70百分位数在之间；

即第70百分位数为．

故选：D.

7．如图，在直三棱柱中，已知，D为的中点，，则，所成角的余弦值是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】建立空间直角坐标系，计算，，根据向量的夹角公式计算得到答案.

【详解】以A为原点，，，的方向分别为x，y，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，设，则，，，，

所以，，设，所成的角为，

则．

故选：C

8．如图，已知，，从点射出的光线经直线AB反射后再射到直线OB上，最后经直线OB反射后又回到点P，则光线所经过的路程长为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】求出关于的对称点和它关于y轴的对称点,则就是所求的路程长.

【详解】易知直线AB的方程为，设点关于直线AB的对称点为，

则解得即．

又点关于y轴的对称点为，

由光的反射规律以及几何关系可知，光线所经过的路程长．

故选：.

二、多选题

9．若圆与圆相交，则k的取值可能为（    ）

A． B．0 C．3 D．5

【答案】AC

【分析】根据两圆相交时圆心距与两圆半径之间的关系求解即可.

【详解】两圆的圆心，圆心距，

半径分别为，

因为圆M与圆N相交，

所以，解得或．

故选：AC．

10．将函数的图像向左平移个单位长度，得到函数的图像，下列说法正确的是（    ）

A．当时，为偶函数 B．当时，在区间上单调递增

C．当时，在区间上的值域为 D．当时，函数在区间上有2个零点

【答案】AD

【分析】由平移变换以及正弦函数的性质逐一判断即可.

【详解】当时，，是偶函数，A正确；

当时，，因为，，所以在区间上不单调，B错误；

当时，，因为，，所以，C错误；

当时，，令，即，由图可知，函数在上的图像与直线有2个交点，D正确．

故选：AD

11．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中将底面为矩形，且有一条侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马．如图，在阳马中，平面ABCD，底面是正方形，且，E，F分别为PD，PB的中点，则（    ）

A．平面PAC B．平面EFC

C．点F到直线CD的距离为 D．点A到平面EFC的距离为

【答案】AD

【分析】根据已知条件建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标及平面EFC的法向量，利用向量垂直条件及线面垂直的判定定理及线面平行的向量关系，结合点到直线的距离及点到面的距离的向量公式即可求解.

【详解】以A为坐标原点，，，的方向分别为x，y，z轴的正方向建立空直角坐标系如图所示

由题意可知，，，，，，，

所以，，，．

因为，所以，即

，所以，即．又，

所以平面PAC，故A正确；

设平面EFC的法向量为，则

,即，令，则，所以．

因为，所以，故B不正确；

设点F到直线CD的距离为h，，，则，即，所以点F到直线CD的距离为，故C不正确；

设点A到平面EFC的距离为d，，则

，所以点A到平面EFC的距离为，故D正确.

故选：AD.

12．已知二次函数的图像交x轴于A，B两点，交y轴于C点，圆F过A，B，C三点，下列说法正确的是（    ）

A．圆心F在直线上 B．m的取值范围是

C．圆F面积的最小值为 D．存在定点G，使得圆F恒过点G

【答案】ACD

【分析】结合抛物线的对称性和圆的对称性即可判断A选项；

根据判别式即可判断B选项；

求出与坐标轴的交点代入所设圆的方程，得到与的关系，从而结合二次函数的最值问题即可判断C选项；

将圆的方程整理成，进而得到，即可求出定点，从而判断D选项.

【详解】因为抛物线的对称轴方程为，且圆心必然经过的中垂线，

故圆心F在直线上，所以A正确；

因为有两个不同的根，

所以，解得且，所以B错误；

设圆F的方程为，

因为有两个不同的根，

所以点，在圆上，

所以，

可求得，．

因为且，所以，

所以圆F面积的最小值为，C正确；

由上可知圆F的方程为，

整理得，

令，解得或，

即圆F恒过点和，D正确．

故选：ACD.

三、填空题

13．已知向量，，若，则______．

【答案】5

【分析】因，则，据此可得答案.

【详解】因为，所以，解得．

故答案为：

14．已知椭圆的左、右焦点分别为，，过的直线与C分别交于M，N两点，则的周长为______．

【答案】20

【分析】由椭圆定义可知，的周长为．

【详解】由，得，由椭圆定义可知，的周长为．

故答案为：20.

15．已知正数a，b满足，则的最小值为______．

【答案】20

【分析】根据基本不等式“1”的妙用求出最值.

【详解】因为，且，

所以，

当且仅当，时，等号成立．

故答案为：20

四、双空题

16．阿基米德是古希腊伟大的物理学家、数学家、天文学家，他最早利用逼近的思想证明了如下结论：抛物线的弦与抛物线所围成的封闭图形的面积等于抛物线的弦与经过弦的端点的两条切线所围成的三角形面积的．这个结论就是著名的阿基米德定理，其中的三角形被称为阿基米德三角形．在平面直角坐标系中，已知直线与抛物线交于A，B两点，则在A，B两点处的抛物线C的切线斜率的绝对值均为______，直线l与抛物线C所围成的封闭图形的面积为______．

【答案】     2     48

【分析】先求出A，B两点的坐标，然后再求出过A，B两点的切线方程，从而可求出直线l与两条切线所围成的三角形的面积，进而可求出弦与拋物线C所围成的封闭图形的面积.

【详解】解：把代入方程，解得，

不妨设，，设在A点处的抛物线C的切线方程为，

联立方程组，消去y得，

由，解得，

由对称性可知在B点处的抛物线C的切线斜率为，

所以在A，B两点处的抛物线C的切线斜率的绝对值均为，

由上可知在A点处的抛物线C的切线方程为，

在B点处的抛物线C的切线方程为，

联立，解得这两条切线的交点坐标为，

所以直线l与抛物线C所围成的封闭图形的面积为．

故答案为：2；48.

五、解答题

17．已知函数满足．

(1)求的解析式；

(2)设函数，若对任意，恒成立，求实数m的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）将“”代入等式，消去解出；

（2）将条件转化为对任意恒成立，求出在上的最大值，可得m的取值范围.

【详解】（1）由，

得，

消去得，所以．

（2）由，得，即对任意恒成立，

令，，

当时，取得最大值86，

所以实数m的取值范围为．

18．已知直线，．

(1)证明：无论m为何值，直线l和圆C都有两个不同的交点．

(2)设直线l和圆C交于A，B两点，求线段AB最短时直线l的方程．

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）方法一：证明直线l恒过圆内一定点即可；

方法二：直接证明圆心到直线l的距离小于半径即可；

（2）当时，弦AB最短，求此时直线l的方程.

【详解】（1）证明：（方法一）因为可化为，

令得，即无论m为何值，直线l恒过点，

又因为，所以点在圆C内，

所以无论m为何值，直线l和圆C都有两个不同的交点．

（方法二）圆心C到直线l的距离，所以，即，

所以无论m为何值，直线l和圆C都有两个不同的交点．

（2）由（1）知，因为直线l过圆内定点，

，所以当时，弦AB最短，此时，

因为，所以，直线l的方程为，即．

19．的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，设的面积为S，已知．

(1)若，，求c的长；

(2)若，求角B的大小．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据三角形面积公式和得到，然后将，，代入求即可；

（2）根据和得到，然后再利用正弦定理进行边角互换得到，即可得到，然后求即可.

【详解】（1）因为，所以，

又，，所以，

又，，所以，即，整理得，

因为，所以．

（2）由（1）知，所以，整理得，

因为，所以，由正弦定理得，

因为，所以，

因为B，，所以，即，

因为，所以．

20．某地为宣传防疫政策,组织专家建设题库供各单位学习,半个月后,当地电视台举办中小学学生防疫知识竞答闯关比赛,规则如下:每队三人,需要从题库中选三道题依次回答,每人一题．第一道题回答正确得10分,回答错误得0分;第二道题回答正确得20分,回答错误扣10分;第三道题回答正确得30分,回答错误扣20分．每组选手回答这三个问题的总得分不低于30分就算闯关成功．某校为了参加该闯关比赛,选拔了三位选手,这三位选手在进行题库训练时的正确率如下表:

假设选手答题结果互不影响,用频率代替概率．

(1)若学校安排1号、2号、3号依次出场回答,则“闯关成功”的概率是多少？

(2)如何安排出场顺序使“闯关成功”的概率最大？

【答案】(1)0.864

(2)出场顺序为1号、2号、3号

【分析】(1)若闯关成功,则有三种情况: 三道题全对;第一道题答错、其余都答对;第二道题答错、其余都答对,求出各种情况的概率并相加即可;

(2)因为1号与2号答题的正确率相同,所以只需考虑3号出场顺序即可,分三种情况,3号排第一,第二,第三,分别求出闯关成功概率,比较大小即可.

【详解】（1）解:根据题意,“闯关成功”则必须三道题全对或者第一道题答错、其余都答对或者第二道题答错、其余都答对,而其他各种答题结果总得分都低于30分,

若三道题全对,则得分60,

此时概率．

若第一道题答错、其余都答对,则得分50,

此时概率．

若第二道题答错、其余都答对,则得分30,

此时概率．

所以“闯关成功”的概率;

（2）由于1号与2号答题的正确率相同,所以只需考虑以下三种出场顺序:

①3号排第一;②3号排第二;③3号排第三．

若3号排第一,则“闯关成功”的概率,

若3号排第二,则“闯关成功”的概率,

若3号排第三,由（1）知“闯关成功”的概率,

综上可知,出场顺序为1号、2号、3号时,“闯关成功”的概率最大．

21．如图，在平行四边形ABCD中，，，四边形ACEF为矩形，平面平面ABCD，，点G在线段EF上运动．

(1)当时，求的值；

(2)在（1）的条件下，求平面GCD与平面CDE夹角的余弦值．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由余弦定理求出，从而利用勾股定理逆定理得到⊥，结合面面垂直得到，AC，AF两两垂直，建立空间直角坐标系，设出，根据，求出，得到的值；

（2）在第一问的基础上，求解出两平面的法向量，得到两平面的夹角余弦值.

【详解】（1）因为，，

所以，所以，

从而⊥．

因为平面平面ABCD，平面平面，

所以⊥平面ACEF．

又，所以，AC，AF两两垂直．

以A为坐标原点，，，的方向为x，y，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系．

易知，，，，设，，

则，．

因为，所以，解得，

所以．

（2）由（1）知，所以，．

设平面GCD的法向量为，由，

解得：，令，则，则．

因为四边形ABCD为平行四边形，所以，

因为平面ABF，平面ABF，所以平面ABF，

因为四边形ACEF为矩形，所以，

因为平面ABF，平面ABF，所以平面ABF，

因为，平面CDE，

所以平面平面FAB，

故平面FAB，所以可取平面ECD的一个法向量为．

因为，

所以平面GCD与平面CDE夹角的余弦值为．

22．已知抛物线的焦点为F，点在抛物线C上，，．

(1)求C的方程；

(2)过F的直线l与C相交于A，B两点，若AB的垂直平分线与C相交于M，N两点，且A，M，B，N四点在同一个圆上，求l的方程．

【答案】(1)

(2)或

【分析】（1）将点代入抛物线方程，求得，由可求得p的值，求得C的方程；

（2）设l的方程为，代入抛物线方程化简，利用韦达定理、中点公式、弦长公式求得弦长．把直线的方程代入抛物线方程化简，利用韦达定理、弦长公式求得．由于MN垂直平分线段AB，故A，M，B，N四点共圆等价于，由此求得m的值，可得直线l的方程．

【详解】（1）因为点在抛物线C上，所以，解得，．

又，，所以，．

因为，所以，解得，故C的方程为．

（2）由题设可知，l与坐标轴不垂直，过焦点，设l的方程为，

联立方程组消去x，得．

设，，则，，故AB的中点为．

所以．

又直线MN的斜率为，所以MN的方程为．联立方程组消去x，得．

设，，则，，故MN的中点为．

同理可得．

因为A，M，B，N四点在同一个圆上，所以，

因为在中，，所以，

所以，

化简得，解得，

所以直线l的方程为或．