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2022-2023学年云南省名校联盟高二上学期9月大联考数学试题(解析版)
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这是一份2022-2023学年云南省名校联盟高二上学期9月大联考数学试题(解析版),共16页。试卷主要包含了单选题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。
2022-2023学年云南省名校联盟高二上学期9月大联考数学试题 一、单选题1.( )A. B.4 C. D.【答案】C【分析】根据复数的乘法、除法运算和模长公式求解即可.【详解】因为,所以,故选:C.2.已知集合,,若“”是“”的充分不必要条件,则的取值范围为( )A. B. C. D.【答案】A【分析】根据“”是“”的充分不必要条件,转化为AB,利用集合之间的包含关系,即可求出的取值范围.【详解】解:,解得,即,若“”是“”的充分不必要条件,则AB,且等号不同时成立,解得,所以的取值范围为,故选:A.3.若构成空间的一个基底,则下列向量共面的是( )A. B.C. D.【答案】B【分析】由题意,根据空间向量的运算,结合平面向量基本定理,可得答案.【详解】对于A,设,使得,则,即,该方程无解,故A错误;对于B,设,使得,则,即,解得,故B正确;对于C,设,使得,则,即,该方程无解,故C错误;对于D,设,使得,则,即,该方程无解,故D错误;故选:B.4.已知向量,,则( )A. B.14 C. D.【答案】B【分析】对作平方,整理可得,由,即可求解.【详解】由题,因为,所以,即,则,因为,所以,故,故选:B5.已知,且,则( )A. B. C. D.【答案】C【分析】利用二倍角的余弦公式以及可求得的值,再利用同角三角函数的基本关系可求得的值.【详解】因为,则,,因为,所以,解得.所以.故选:C.6.在正方体中,、分别是、的中点,则直线与的位置关系为( )A.垂直 B.平行C.相交但不垂直 D.异面但不垂直【答案】A【分析】设,以点为坐标原点,、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系,利用空间向量法可判断异面直线与的位置关系.【详解】设,以点为坐标原点,、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系,则,,,,,.因为,所以.故选:A.7.如图,在四面体OABC中,,且,则( )A. B. C. D.【答案】D【分析】利用空间向量基本定理求解出,从而求出.【详解】因为,所以,又,所以.故选:D8.甲、乙两名同学进行投篮训练,已知甲同学每次投篮命中的概率为,乙同学每次投篮命中的概率为,两名同学每次投篮是否命中相互独立.若甲、乙分别进行2次投篮,则他们命中的次数之和不少于2的概率为( )A. B. C. D.【答案】B【分析】可先计算出两人命中次数为0次和1次的概率,从而利用对立事件概率公式计算出他们命中的次数之和不少于2的概率.【详解】由题可知,他们命中的次数为0的概率为;命中的次数为1的概率为.故他们命中的次数之和不少于2的概率为.故选:B9.已知圆锥的高为,底面积为,若圆锥的顶点及底面圆周上的点均在同一个球的球面上,则该球的体积为( )A. B. C. D.【答案】A【分析】计算出圆锥的底面圆半径,设球的半径为,根据圆锥的几何关系可得出关于的等式,解出的值,再利用球体的体积公式可求得结果.【详解】由圆锥的底面积为可得,圆锥的底面半径.设球的半径为,则,解得,所以该球的体积.故选:A.10.在中,,AD平分交BC于点D,若,则( )A. B. C. D.【答案】B【分析】由,结合正弦面积公式和角平分线性质,化简易得,对由余弦定理可得,进而求得.【详解】因为,AD平分,,由,得,即,化简得.在中,,整理得,即,故.故选:B11.如图,在正三棱柱中,,E是的中点,F是的中点,若过A,E,F三点的平面与交于点G,则( )A. B. C. D.【答案】C【分析】以C为原点建立空间直角坐标系,可设,求出平面AEF的法向量,再根据求出,即可得出答案.【详解】解:如图,以C为原点建立空间直角坐标系,则,,,,由题可设,则,,,设平面AEF的法向量,则,可取,由,得,则,.故选:C.12.定义在上的奇函数满足,且当时,,则( )A.2 B.0 C. D.【答案】D【分析】先由题设条件得到,利用换元法结合得到,从而证得是的周期函数,再利用赋值法得到,从而求得,由此求得.【详解】因为是定义在上的奇函数,所以,令,则,故,又因为,则,所以,故,即,所以是的周期函数,故,因为,令,得,则,又因为,令,得,因为当时,,所以,得,故,所以,则.故选:D. 二、填空题13.已知向量,若,则__________.【答案】13【分析】由空间向量平行的坐标表示求解【详解】因为,所以,解得,则.故答案为:1314.某环境监测部门收集了当地一周内的空气质量指数(AQI),分别为65,71,67,89,78,91,102,则这组数据的第70百分位数为__________.【答案】89【分析】根据百分位数的计算即可求解.【详解】将这组数据从小到大排序依次为65,67,71,78,89,91,102,因为,所以这组数据的第70百分位数为第5个数据,即89.故答案为:8915.已知正数,满足①,②两个条件中的一个,则的最小值为______.【答案】选①:;选②:【分析】根据所选条件利用基本不等式计算可得.【详解】解:因为,,若选①,由,可得,因为,所以,所以,当且仅当,即、时取等号;若选②,,可得,所以,当且,即,时等号成立;故答案为:选①:;选②:16.很多立体图形都体现了数学的对称美,其中半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体,半正多面体因其最早由阿基米德研究发现,故也被称作阿基米德体.如图,这是一个棱数为24,棱长为的半正多面体,它的所有顶点都在同一个正方体的表面上,可以看成是由一个正方体截去八个一样的四面体所得.若为线段的中点,则直线与直线所成角的余弦值为___________.【答案】【分析】将该半正多面体补成正方体,因为该半正多面体的棱长为,所以正方体的棱长为2,建立空间直角坐标系即可求解.【详解】将该半正多面体补成正方体,建立如图所示的空间直角坐标系.因为该半正多面体的棱长为,所以正方体的棱长为,,,故直线与直线所成角的余弦值为.故答案为: 三、解答题17.已知函数的部分图象如图所示.(1)求的解析式;(2)求在上的最值.【答案】(1)(2)最大值为,最小值为 【分析】(1)由图象求出函数的解析式中各参数的值,即可得出函数的解析式;(2)由可求得的取值范围,再利用正弦型函数的基本性质可求得函数在上的最大值和最小值.【详解】(1)解:由图可知,,,,则.,则,,则.由,,得,,则.故.(2)解:因为,所以,.所以,当时,,.所以,函数在上的最大值为,最小值为.18.如图,在长方体中,E是的中点,且.(1)求点到平面ACE的距离;(2)求二面角的余弦值.【答案】(1)(2) 【分析】(1)以点D为坐标原点,DA,DC,所在的直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,再计算平面ACE的法向量结合点到面的距离公式求解即可;(2)分别计算平面的法向量,结合二面角的公式求解即可.【详解】(1)在长方体中,以点D为坐标原点,DA,DC,所在的直线分别为x轴,y轴,z轴建立如图所示的空间直角坐标系.则,,,,.,,.设平面ACE的法向量,则,令,得,则点到平面ACE的距离.(2),.设平面CDE的法向量,则,令,得.,由图可知,二面角为锐角,所以二面角的余弦值为.19.为进一步增强疫情防控期间群众的防控意识,使广大群众充分了解新冠肺炎疫情防护知识,提高预防能力,做到科学防护,科学预防.某组织通过网络进行新冠肺炎疫情防控科普知识问答.共有100人参加了这次问答,将他们的成绩(满分100分)分成,,,,,这六组,制成如图所示的频率分布直方图.(1)求图中a的值,并估计这100人问答成绩的中位数和平均数;(同一组数据用该组数据的中点值代替)(2)用分层随机抽样的方法从问答成绩在内的人中抽取一个容量为5的样本,再从样本中任意抽取2人,求这2人的问答成绩均在内的概率.【答案】(1),中位数为,平均数为72(2) 【分析】(1)根据频率分布直方图的性质以及中位数和平均数的概念,进行计算即可得解;(2)根据分层抽样在[60,70)内的有人,分别记为A,B;问答成绩在[70,80)内的有人分别记为a,b,C,从中任意抽取2人,列出实验的样本空间,再利用概率公式,进行计算即可得解.【详解】(1)由图可知,,解得.设中位数为x,则,所以.这100人问答成绩的平均数约为.(2)用分层随机抽样的方法从问答成绩在[60,80)内的人中抽取一个容量为5的样本,则问答成绩在[60,70)内的有人,分别记为A,B;问答成绩在[70,80)内的有人分别记为a,b,C.从中任意抽取2人,则实验的样本空间{(A,B),(A,a),(A,b),(A,c),(B,a),(B,b),(B,c),(a,b),(a,c),(b,c)},共有10个样本点.设事件A为2人的问答成绩均在[70,80)内的概率,则,所以这2人的间答成绩均在[70,80)内的概率.20.的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知,.(1)若,求的周长;(2)若,求的面积.【答案】(1)18(2) 【分析】(1)由正弦定理边化角可求出,结合余弦定理,由代换,求得,进而得解;(2)由正弦定理,代换得,求出,可解得,由正弦面积公式即可求解.【详解】(1)因为,所以.又,所以,即.又,所以.,解得,则.故的周长;(2)因为,所以.由,,得,解得,.故的面积.21.已知是R上的偶函数,且当时,.(1)求的解析式;(2)已知函数,若存在,使得成立,求实数a的取值范围.【答案】(1)(2) 【分析】(1)根据偶函数的定义求解即可;(2)根据二次函数在给定区间上的单调性求最值即可求解.【详解】(1)因为当时,,所以当时,,.又是R上的偶函数,所以.故(2)由(1)可知,当时,.存在,使得成立,等价于在区间上的最大值大于0.若,即,则在区间上单调递减,故.解得,又,所以无解.若,即,则,在区间上单调递减,故,不符合条件.若,即,则开口向上,故在区间上的最大值为或,故或,解得或,所以.综上所述,实数a的取值范围为.22.如图,在平行四边形ABCD中,,,E为AD的中点,以EC为折痕将折起,使点D到达点P的位置,且,F,G分别为BC,PE的中点.(1)证明:平面AFG.(2)若平面PAB与平面PEF的交线为l,求直线l与平面PBC所成角的正弦值.【答案】(1)证明见解析(2) 【分析】(1)连接BE并交AF于点O,连接OG,结合三角形中位线定理可证,进而得证;(2)取CE的中点M,连接PM,FM,DM,易证平面PFM,作交FN于点N,连接BN,得平面ABCD,设,对由余弦定理求出,分别对和由勾股定理代换出,解出,以M为原点,为x轴的正方向建立空间直角坐标系,易证,求出和平面PBC的法向量,结合线面角的正弦公式可求.【详解】(1)证明:如图,连接BE并交AF于点O,连接OG.因为E,F分别为AD,BC的中点,所以四边形ABFE为平行四边形,则O为BE的中点.又G为PE的中点,所以.因为平面AFG,平面AFG,所以平面AFG;(2)取CE的中点M,连接PM,FM,DM,因为,所以四边形CDEF为菱形,则,,故平面PFM.作交FN于点N,连接BN,则平面ABCD.因为,所以.设,则.在中,.在中,,在中,,即,解得.以M为原点,为x轴的正方向,为轴正方向,与同方向过点的为轴正方向,建立空间直角坐标系,则,,,.因为,平面PEF,平面PEF,所以平面PEF.又因为平面PAB,平面平面,所以.,,,设平面PBC的法向量为,则,令,得.设直线l与平面PBC所成的角为,则.
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