2022-2023学年广东省湛江市四校高一上学期第二次联考数学试题（解析版）

这是一份2022-2023学年广东省湛江市四校高一上学期第二次联考数学试题（解析版），共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年广东省湛江市四校高一上学期第二次联考数学试题 一、单选题1．已知，，则的非空子集的个数为（    ）.A．6 B．7 C．8 D．9【答案】B【分析】先求出补集，再根据元素个数求子集数.【详解】根据题意可得，则非空子集有个．故选：B．2．已知，，，则（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用指数函数、对数函数的单调性结合中间值法可得出、、的大小关系.【详解】因为，，即，因此，.故选：B.3．已知，则下列说法正确的是（    ）A．若，则 B．若，则C．若，且，则 D．若，，则【答案】D【分析】根据不等式的性质以及作差法逐项分析判断.【详解】当，时，，故A错误；当时，，故B错误；∵，，显然不能得到，例如当，时，，故C错误；若，，则，故D正确.故选：D.4．设x，y都是实数，则“且”是“且”的（    ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】由不等式性质及特殊值法判断条件间的推出关系，结合充分必要性的定义即可确定答案.【详解】由且，必有且；当且时，如，不满足，故不一定有且．所以“且”是“且”的充分不必要条件．故选：A．5．如果函数和都是指数函数，则（    ）A． B．1 C．9 D．8【答案】D【分析】利用指数函数解析式的特点求解即可.【详解】根据题意可得，，则.故选：D6．若，则（    ）A．5 B．7 C． D．【答案】C【分析】对两边平方化简可求出的值，然后对变形，分子分母同除以，再代值可得答案.【详解】因为，两边平方得，即，所以原式.故选：C.7．鱼塘中的鱼出现了某种因寄生虫引起的疾病，养殖户向鱼塘中投放一种灭杀寄生虫的药剂，已知该药剂融于水后每立方的含药量y（毫克）与时间t（小时）之间的关系用如图所示的曲线表示.据进一步测定，每立方的水中含药量不少于0.25毫克时，才能起到灭杀寄生虫的效果，则投放该杀虫剂的有效时间为（    ）A．4小时 B．小时 C．小时 D．5小时【答案】C【分析】分和两种情况令，解不等式得到的范围即可得到杀虫剂的有效时间.【详解】由题图可知， 当时，令，即，解得；当时，令，即，解得，所以投放该杀虫剂的有效时间为小时.故选：C.8．已知集合，对于它的任一非空子集，可以将中的每一个元素都乘再求和，例如，则可求得和为，对所有非空子集，这些和的总和为（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】先计算出集合的非空子集个数，然后结合新定义计算结果所出现的情况，把结果相加【详解】因为元素，，，，，在集合的所有非空子集中分别出现次，则对的所有非空子集中元素执行乘再求和，则这些和的总和是．故选：B. 二、多选题9．下列既是存在量词命题又是真命题的是（    ）A．，B．至少有个，使能同时被和整除C．，D．每个平行四边形都是中心对称图形【答案】AB【分析】AB选项，可举出实例；C选项，根据所有实数的平方非负，得到C为假命题；D选项为全称量词命题，不合要求.【详解】中，当时，满足，所以A是真命题B中，能同时被和整除，所以B是真命题C中，因为所有实数的平方非负，即，所以C是假命题D是全称量词命题，所以不符合题意.故选：AB．10．已知函数的图象经过点，则（    ）A．的图象经过点 B．的图象关于y轴对称C．在定义域上单调递减 D．在内的值域为【答案】AD【分析】代入已知点坐标求得函数解析式，然后根据幂函数的性质判断．【详解】将点的坐标代入，可得，则，所以的图象经过点，A正确；根据幂函数的图象与性质可知为奇函数，图象关于原点对称，在定义域上不具有单调性，函数在内的值域为，故BC错误，D正确，故选：AD．11．下列说法正确的是（    ）A．的最大值为B．的最小值为2C．的最小值为4D．的最小值为2【答案】AC【分析】对A考虑运用算术平均数大于等于几何平均数验证；对于BCD，运用基本不等式的“一正、二定、三相等”的原则判断即可.【详解】，当且仅当，即时等号成立，故A正确；当时，，故B错误；，当且仅当，即时等号成立，故C正确； ，当且仅当时等号成立，又无解，故不能取到等号，故D错误.故选：AC.12．已知函数若互不相等的实数满足，则的值可以是（    ）A． B． C． D．【答案】CD【分析】首先根据题意画出函数的图象，得到，，即可得到答案.【详解】函数的图象图所示：设，因为，所以，当时，，时，，所以，即.故选：CD 三、填空题13．已知集合，若，则a的值为___________．【答案】【分析】利用集合的包含关系列方程即可求解.【详解】当时，即.当时，，不合题意，舍去；当时，，满足题意.当时，，不合题意，舍去.故．故答案为：-2.14．函数的定义域为______.【答案】【分析】根据分式函数和根式函数，由求解.【详解】解：由，解得，所以函数的定义域为.故答案为：15．已知实数，则的最小值为____________．【答案】##【分析】由换元法与基本不等式求解，【详解】令，（当且仅当，即时，取等号）．故答案为：16．已知幂函数在上单调递减，函数，对任意，总存在使得，则的取值范围为__________.【答案】【分析】根据函数为幂函数及其单调性可求得的值，求出函数在上的值域，以及函数在上的值域，根据已知条件可得出关于的不等式组，由此可解得实数的取值范围.【详解】因为函数是幂函数，则，，在上单调递减，则，可得，，在上的值域为，在上的值域为，根据题意有，的范围为.故答案为：. 四、解答题17．计算下列各式的值：(1)；(2).【答案】(1)(2)4 【分析】（1）将根式化为分数指数幂，利用分数指数幂及根式运算法则进行计算；（2）利用对数运算性质计算出答案.【详解】（1）原式=；（2）原式.18．为落实国家“精准扶贫”政策，让市民吃上放心蔬菜，某企业于2020年在其扶贫基地投入100万元研发资金，用于蔬菜的种植及开发，并计划今后十年内在此基础上，每年投入的资金比上一年增长10%.(1)写出第x年（2020年为第一年）该企业投入的资金数y（单位：万元）与x的函数关系式，并指出函数的定义域；(2)该企业从第几年开始（2020年为第一年），每年投入的资金数将超过200万元？（参考数据，，，）【答案】(1)，定义域为(2)该企业从第9年开始（2020年为第一年），每年投入的资金数将超过200万元. 【分析】（1）由每年投入资金比上年增长10%可确定函数关系式，由实际意义得到定义域；（2）令，解不等式即可确定结果.【详解】（1）第二年投入的资金数为万元，第三年投入的资金数为万元，第x年（2020年为第一年）该企业投入的资金数y万元与x的函数关系式为，其定义域为.（2）由，可得，∵在R上单调递增，则，故该企业从第9年开始（2020年为第一年），每年投入的资金数将超过200万元.19．已知幂函数，且.(1)求函数的解析式；(2)试判断是否存在正数，使得函数在区间上的最大值为5，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由.【答案】(1)(2)存在， 【分析】（1）根据函数是幂函数，则，并检验，即可；（2）化简得，求出对称轴，分，两种情况分别求得函数的最大值，即可求出实数的值.【详解】（1）由题知，，解得或，当时，，满足，当时，，不满足，所以.（2）.当时，在区间上单调递增，在上单调递减，所以，解得，不合题意；当时，在区间上递增，所以，解得.综上所述，存在正数，使得在区间上的最大值为5.20．已知函数（且）.(1)若在区间上的最大值与最小值之差为1，求a的值；(2)解关于x的不等式.【答案】(1)或(2)答案见解析 【分析】（1）已知函数在区间上的最大值与最小值之差为1，根据对数函数的单调性，列出绝对值方程求解即可；（2）利用对数函数的定义域及单调性，列出不等式组，讨论参数a的范围，即可得到解集.【详解】（1）因为在上为单调函数，且函数在区间上的最大值与最小值之差为1，所以，解得或.（2）因为函数是上的减函数，所以，即，当时，，原不等式解集为；当时，，原不等式解集为.21．已知函数的定义域为，对任意的，都有.当时，，且.(1)求的值，并证明：当时，；(2)判断的单调性，并证明；(3)若，求不等式的解集.【答案】(1)，证明见解析(2)在上单调递减，证明见解析(3) 【分析】（1）令，即可求出；根据题意，当时，，所以，再结合即可得到，进而得证；（2）利用单调性定义结合题意证明即可；（3）由，结合题意可得，再借助函数单调性解不等式即可.【详解】（1）令，则，又，所以.证明：当时，，所以，又，所以，即.（2）在上单调递减.证明如下：设，则，又，所以，所以，又当时，，当时，，，所以，即，所以在上单调递减.（3）因为，所以，所以，即，又在上单调递减，所以，解得，所以不等式的解集为.22．已知函数为常数．(1)当时，判断在上的单调性，并用定义法证明(2)讨论零点的个数并说明理由．【答案】(1)单调递减，证明见解析(2)答案见解析 【分析】（1）由单调性的定义证明，（2）由换元法与二次函数性质分类讨论求解，【详解】（1）当，且时，是单调递减的．证明：设任意，则，，，，，，，故当时，在上是单调递减的（2）令，可得，令，，则，记易知在上单调递减，在上单调递增，，当时，，此时，无零点，故无零点当时，恰有一个零点，故有一个零点当时，若，令，解得，若，又，此时由二次函数性质可知，在上有一个零点，因此，当时，有个零点，有个零点当时，若，则，即在无零点，若，又，此时由二次函数性质可知，在上有一个零点，因此，当时，有一个零点，即有一个零点．综上所述，当时，无零点当或时，有1个零点当时，有个零点．