2022-2023学年广东省广州市协和中学等三校高一上学期期末联考数学试题（解析版）

2022-2023学年广东省广州市协和中学等三校高一上学期期末联考数学试题

一、单选题

1．已知集合，下列选项正确的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】由已知集合，判断选项中的集合或元素与集合A的关系即可.

【详解】由题设，且，

所以B正确，A、C、D错误.

故选：B

2．函数的定义域为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据函数的解析式，列出使解析式有意义的不等式组，求出解集即可得答案．

【详解】解：因为，

所以由，可得，

所以函数的定义域为，

故选：D.

3．如果函数在上的图象是连续不断的一条曲线，那么“”是“函数在内有零点”的（    ）

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】由零点存在性定理得出“若，则函数在内有零点”举反例即可得出正确答案.

【详解】由零点存在性定理可知，若，则函数在内有零点

而若函数在内有零点，则不一定成立，比如在区间内有零点，但

所以“”是“函数在内有零点”的充分而不必要条件

故选：A

【点睛】本题主要考查了充分不必要条件的判断，属于中档题.

4．下列四个图象中，不是函数图象的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】根据函数的定义，可知因变量与自变量是一一对应的，可以判断出各个选项中的图像是否是函数图像，来进行作答.

【详解】由函数的定义可知，选项B中的图像不是函数图像，

出现了一对多的情况.

故选：B

5．若“”为真命题，则实数a的最小值为（    ）

A． B． C．6 D．7

【答案】B

【分析】由题知，再根据题意求解即可.

【详解】解：当时，，所以.

因为命题“”为真命题，

所以，实数a的最小值为.

故选：B

6．已知，，，则a，b，c的大小关系是（    ）．

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据给定条件利用指数、对数函数性质，三角函数诱导公式并借助“媒介”数即可比较判断作答.

【详解】函数在上单调递增，而，则，

，

函数在R上单调递增，而，则，即，

所以.

故选：B

7．函数，的图象形状大致是（    ）．

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】先根据函数奇偶性排除AC，再结合特殊点的函数值排除B.

【详解】定义域，且，所以为奇函数，排除AC；又，排除B选项.

故选：D

8．2010年，考古学家对良渚古城水利系统中一条水坝的建筑材料上提取的草茎遗存进行碳14年代学检测，检测出碳14的残留量约为初始量的，碳14的半衰期为5730 年，，以此推断水坝建成的年份大概是公元前（    ）

A．3500年 B．2900年

C．2600年 D．2000年

【答案】B

【分析】根据碳14的半衰期是5730年，即每5730年含量减少一半，设原来量为1，经过年后则变成0.552，列出方程，即可求解.

【详解】根据题意设原来的量为1，经过年后则变成，可得，

两边取对数，可得，

即，

又由，

所以以此推断水坝建成的年份大概是公元前年.

故选：B.

二、多选题

9．（多选）若角是第二象限角，则是

A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角

【答案】AC

【分析】先根据已知条件写出角的取值范围，再计算的范围，并在该不等式范围中对

分奇偶讨论，从而得到所在的象限．

【详解】∵是第二象限角，∴，，∴，.

当为偶数时，是第一象限角；当为奇数时，是第三象限角.

综上，可知A，C正确.

【点睛】本题考查了等分角所在的象限问题，属于基础题.同时考查了学生对分奇偶讨论的思想和计算能力.

10．下列命题为真命题的是（    ）

A．若，则 B．若，则

C．若，则 D．若，则

【答案】BC

【分析】利用作差法判断选项A；利用不等式的性质判断选项B；利用不等式的性质判断选项C；利用列举法判断选项D．

【详解】A项，=所以A选项是错误的；

B项，若，可得：，故，故B正确；

C项，若可得，由可得：，故C正确；

D项，举当时，则不成立，故D不正确；

故选：BC．

11．已知函数（且）的图象过定点P，且角的终边经过P，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】BD

【分析】先根据对数函数的性质求出定点P，再根据三角函数的定义及两角和的正切公式计算即可

【详解】令，得，进而

，

则，，，

.

故选：BD.

12．下列说法正确的是（    ）

A．函数的最小值为2

B．函数的最小值为4

C．若正实数，满足，则的最小值为

D．若正实数，满足，则的最大值为2

【答案】CD

【分析】A.由判断；B.由指数函数的值域判断； C.利用基本不等式判断； D.利用基本不等式判断.

【详解】A.因为，所以，故错误；

B. 因为，则所以，故错误；

C.因为正实数，满足，

所以，

当且仅当，即时，等号成立，故正确；

D.因为正实数，满足，所以，

当且仅当，即时，等号成立，故正确.

故选：CD

三、填空题

13．已知幂函数在上单调递减，则___________.

【答案】

【分析】由系数为1解出的值，再由单调性确定结论．

【详解】由题意，解得或，

若，则函数为，在上递增，不合题意．

若，则函数为，满足题意．

故答案为：．

14．已知扇形的圆心角为，弧长为，则其面积为___________.

【答案】

【分析】根据扇形的弧长公式求出半径，再计算扇形的面积．

【详解】扇形的圆心角为，弧长为，

则扇形的半径为r，

面积为．

故答案为：．

15．已知与都是锐角，且，,则______.

【答案】

【分析】由题意判断，求得的值，根据，利用两角和的正弦公式展开计算，可得答案.

【详解】因为与都是锐角，故 ，

由于，，所以，

故，

故

，

故答案为：

16．已知函数的值域为，则实数的取值范围为___________.

【答案】

【分析】由题意可得，计算不等式组即可求得结果.

【详解】∵函数的值域为，又当时，，

∴，解得.

故答案为：.

四、解答题

17．（1）计算：．

（2）已知，求的值．

【答案】（1）；（2）

【分析】（1）根据指数的运算性质及对数的运算性质计算即可得解；

（2）利用诱导公式化简，再化弦为切即可得解.

【详解】解：（1）原式；

（2）原式

.

18．已知函数，．

(1)当时，求的最值；

(2)若在区间上是单调函数，求实数a的取值范围．

【答案】(1)，.

(2)

【分析】（1）利用二次函数的性质求的最值即可.

（2）由区间单调性，结合二次函数的性质：只需保证已知区间在对称轴的一侧，即可求a的取值范围．

【详解】（1）当时，，

∴在上单凋递减，在上单调递增，

∴，.

（2），

∴要使在上为单调函数，只需或，解得或．

∴实数a的取值范围为．

19．已知函数的最小正周期．

(1)求函数单调递增区间和对称中心；

(2)求函数在上的值域．

【答案】(1)答案见解析

(2)

【分析】（1）先由最小正周期求得，再结合的性质即可求得所求；

（2）利用整体法及的单调性即可求得在上的值域．

【详解】（1）因为的最小正周期，

所以，得，故，

则由得，

由得，

所以单调递增区间为，对称中心为.

（2）因为，所以，

所以，故，即，

所以在上的值域为.

20．我国某企业自主研发了一款具有自主知识产权的平板电脑，并从2021年起全面发售.经测算，生产该平板电脑每年需投入固定成本1350万元，每生产 （千台）电脑需要另投成本万元，且另外每台平板电脑售价为0.6万元，假设每年生产的平板电脑能够全部售出.已知2021年共售出10000台平板电脑，企业获得年利润为1650万元.

(1)求该企业获得年利润（万元）关于年产量 （千台）的函数关系式;

(2)当年产量为多少千台时，该企业所获年利润最大?并求最大年利润.

【答案】(1)

(2)100千台，最大年利润为5 900万元.

【分析】（1）由已知的条件知道该函数为一个分段函数，所以分两种情况把表达式分别求出来即可

（2）由（1）知当时，为二次函数，利用二次函数的性质求它在该区间上的最大值，当时，利用基本不等式性质求最大值.

【详解】（1）解：10 000台=10千台,则，根据题意得：，解得，

当时，，

当时，

，

综上所述.

（2）当时，

当时， 取得最大值；

当时，

，

当且仅当时，

因为，

故当年产量为100千台时,该企业所获年利润最大,最大年利润为5 900万元.

21．已知函数的图象在直线的下方且无限接近直线.

(1)判断函数的单调性（写出判断说明即可，无需证明），并求函数解析式；

(2)判断函数的奇偶性并用定义证明；

(3)求函数的值域.

【答案】(1)函数在上单调递增，

(2)奇函数，证明见解析

(3)

【分析】（1）根据函数的单调性情况直接判断；

（2）根据奇偶性的定义直接判断；

（3）由奇偶性直接判断值域.

【详解】（1）因为随着增大，减小，即增大，故随增大而增大，所以函数在上单调递增.

由的图象在直线下方，且无限接近直线，得，

所以函数的解析式.

（2）由（1）得，整理得，

函数定义域关于原点对称，，

所以函数是奇函数.

（3）方法一：由（1）知，

由（2）知，函数图象关于原点中心对称，故，

所以函数的值域为.

方法二：由，得，得，得，得，得，所以函数的值域为.

22．已知函数，，． 若不等式的解集为

(1)求的值及；

(2)判断函数在区间上的单调性，并利用定义证明你的结论．

(3)已知且，若.试证：.

【答案】(1)；

(2)函数在区间上的单调递增，证明见解析

(3)见解析

【分析】（1）根据二次不等式的解集可以得到二次函数的零点，回代即可求出参数的值

（2）定义法证明单调性，假设，若，则单调递增，若，则单调递减

（3）单调性的逆应用，可以通过证明函数值的大小，反推变量的大小，难度较大

【详解】（1），即，因为不等式解集为，所以，解得： ，所以

（2）函数在区间上的单调递增，证明如下：

假设，则

，

因为，所以，所以，即当时，，所以函数在区间上的单调递增

（3）由（2）可得：函数在区间上的单调递增， 在区间上的单调递减，因为，且，，所以，，

证明，即证明，即证明，因为，所以即证明，代入解析式得：，即

，令，因为在区间上的单调递增，根据复合函数同增异减的性质可知，在区间上的单调递减，所以单调递增，即，所以在区间上恒成立，即，得证：

【点睛】小问1求解析式，较易；小问2考察定义法证明单调性，按照常规方法求解即可；小问3难度较大，解题过程中应用到以下知识点：

（1）可以通过证明函数值的大小，结合函数的单调性，反推出变量的大小，即若，且单减，则；解题过程

（2）单调性的性质，复合函数同增异减以及增函数减去减函数为增函数