2022-2023学年广东省湛江市雷州市第一中学高一上学期第二次月考数学试题（解析版）

2022-2023学年广东省湛江市雷州市第一中学高一上学期第二次月考数学试题

一、单选题

1．已知，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】由交集的定义求解即可

【详解】因为，

所以，

故选：C

2．已知命题：，，则为（    ）

A．， B．，

C．， D．，

【答案】B

【分析】由存在量词命题的否定为全称量词命题即得.

【详解】∵命题：，，

∴为：，.

故选：B.

3．已知函数，则（    ）

A． B． C．3 D．

【答案】C

【分析】根据分段函数直接求函数值.

【详解】因为，所以，

故选:C.

4．已知函数，若，则的值是（    ）

A．e B． C． D．

【答案】D

【分析】由题得，，根据对数的运算即得解．

【详解】解：已知函数，

因为，

所以，

解得，

故选：D.

5．函数的零点所在的区间是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】代入，求出各个区间端点处的函数值，根据零点存在性定理，即可求得.

【详解】因为，则，，，

，.

所以，，根据零点存在性定理，可知存在，有.

故选：B.

6．设，，则的大小关系为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】比较a、b、c与0和1的大小即可判断它们之间的大小.

【详解】，，，故.

故选：A.

7．函数的图象大致是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】利用函数的定义域，特定区间的函数值，结合选项得到答案．

【详解】解：函数的定义域为，，故函数为奇函数，

因为，故当时，，当，，

所以结合各选项中的图象可得C是正确的.

故选：C.

8．已知定义在上的偶函数，且当时，单调递减，则关于x的不等式的解集是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】由偶函数的性质求得，利用偶函数的性质化不等式中自变量到上，然后由单调性转化求解．

【详解】解：由题意，，的定义域，时，递减，

又是偶函数，因此不等式转化为，

，，解得．

故选：D．

二、多选题

9．下列四个函数中，在上为增函数的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】AC

【分析】A. 由复合函数单调性原理判断；B.函数在上是先减后增；C. 时，是增函数；D.在上是减函数.

【详解】解：A. 由复合函数单调性原理得在上为增函数,符合题意；

B. 的图象对称轴为，所以函数在上是先减后增，所以该选项不符合题意；

C. 时，是增函数，所以该选项符合题意；

D. 在上是减函数，所以该选项不符合题意.

故选：AC

10．如果幂函数的图象过，下列说法正确的有（    ）

A．且 B．是偶函数

C．是减函数 D．的值域为

【答案】ABD

【分析】由幂函数定义和所过点可求得，知A正确；利用奇偶性的定义知B正确；根据幂函数在上的单调性，结合偶函数性质知C错误；由幂函数值域知D正确.

【详解】为幂函数，，又过点，，解得：，A正确；

则，定义域为，

，为偶函数，B正确；

当时，单调递减，

由偶函数性质知：在上单调递增，C错误；

，，即的值域为，D正确.

故选：ABD.

11．已知函数，则（    ）

A．是奇函数

B．在上单调递增

C．方程有两个实数根

D．函数的定义域是

【答案】BCD

【分析】求出函数的定义域，不关于原点对称可判断A，分离常数后可得函数的单调性可判断B，解方程可判断C, 求出函数定义域可判断D.

【详解】对于选项A．函数的定义域为，不关于原点对称，既不是奇函数也不是偶函数，故A错误；

对于选项B．时，，函数在上单调递增，

则函数在上单调递减，故在上单调递增，B正确；

对于选项C．由题可得是方程的一个根，

时，（舍去），

时，，故C正确；

对于选项D．由，得

所以函数的定义域是，故D正确．

故选：BCD．

12．设函数，若函数有四个零点，则实数m可取（    ）

A． B．1 C．3 D．5

【答案】BC

【解析】将问题转化为与有四个不同的交点；在同一坐标系中画出与的图象，根据图象有四个交点可确定所求取值范围.

【详解】函数有四个零点等价于与有四个不同的交点，

作出图象如下图所示：

通过图象可知，若与有四个不同的交点，则，

故选：BC．

【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：

（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；

（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；

（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解．

三、填空题

13．函数的定义域为__________．

【答案】

【分析】根据分式和根式的定义域求出范围即可.

【详解】由,解得且,

故定义域为,

故答案为:.

14．不等式的解集是________.

【答案】

【分析】将分式不等式化为整式不等式，利用二次不等式的求解方法，即可求得结果.

【详解】.

故答案为：

【点睛】本题考查了分式不等式的解法，一元二次不等式的解法，考查了转化的思想.属于基础题.

15．的单调增区间是_______.

【答案】

【解析】先求函数的定义域为，再结合二次函数的性质，利用复合函数单调性求解即可．

【详解】令，求得，得函数的定义域为，

因为在定义域内递减，题意即求函数在上的减区间．

由二次函数的性质可得函数t在上的减区间为

故的单调递增区间是.

故答案为：．

【点睛】易错点睛：本题考查求复合函数的单调区间：

若函数与的增减性相同（相反），则是增（减）函数，可概括为“同增异减”，求单调区间的前提一定先求函数的定义域.

四、双空题

16．已知λ∈R，函数f(x)=，当λ=2时，不等式f(x)<0的解集是___________．若函数f(x)恰有2个零点，则λ的取值范围是___________．

【答案】     (1,4)    

【详解】分析:根据分段函数，转化为两个不等式组，分别求解，最后求并集.先讨论一次函数零点的取法，再对应确定二次函数零点的取法，即得参数的取值范围.

详解：由题意得或，所以或，即，不等式f(x)<0的解集是

当时，，此时，即在上有两个零点；当时，，由在上只能有一个零点得.综上，的取值范围为.

点睛：已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路：

(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；

(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；

(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．

五、解答题

17．计算：

(1)

(2)

【答案】(1)

(2)1

【分析】（1）结合指数运算即可求解；（2）结合对数的运算法则和换底公式即可．

【详解】（1）原式

，

（2）原式

．

18．已知命题，命题为真命题时实数的取值集合为．

(1)求集合；

(2)设集合，若是的真子集，求实数的取值范围．

【答案】(1)；

(2)．

【分析】(1)命题为真命题，即方程有根，则，解出即可.

(2)因为是的真子集，列不等式组解出即可.

【详解】（1）由命题为真命题，得，得

（2）是的真子集．

，解得．

19．已知函数，是奇函数.

（1）求实数的值；

（2）讨论函数在上的单调性，并求函数在上的最大值和最小值.

【答案】（1）；（2）函数在上单调递减；最大值，最小值.

【解析】（1）根据奇函数性质求解计算即可；

（2）用单调性的定义证明函数的单调性，由单调性即可证明函数在闭区间上的最值.

【详解】（1）∵是奇函数，所以，

检验知，时，，是奇函数，所以；

（2），且，有

，

∵，∴，即，

又，所以，即，

所以函数在上单调递减，

所以当时，取得最大值；当时，取得最小值.

【点睛】本题主要考查奇函数的性质，以及定义法证明函数单调性，最值的求法，属于中档题.

20．已知

(1)若，判断的奇偶性并予以证明；

(2)若，判断的单调性（不用证明）；

(3)在（2）条件下求不等式的解集．

【答案】(1)是奇函数，证明见解析；

(2)单调递增；

(3).

【分析】（1）代入，得到解析式，求出函数定义域以及表达式，即可得到；

（2）根据复合函数的单调性，即可判断函数的单调性；

（3）由已知可得到，解出即可.

【详解】（1）若，函数是奇函数．

证明：若，则.

由得，，

函数的定义域为，关于原点对称，

，

若，函数是奇函数．

（2）令.

在上单调递增，且，

当时，在上单调递增，

在上单调递增．

（3）由（2）知在上单调递增，

则由可得，

，即，解得.

所以，不等式的解集为.

21．某单位建造一间背面靠墙的小房，地面面积为，房屋正面每平方米的造价为1200元，房屋侧面每平方米的造价为800元，屋顶的造价为5800元.如果墙高为，且不计房屋背面和地面的费用，问怎样设计房屋能使总造价最低?最低总造价是多少?

【答案】当底面的长宽分别为4m，3m时，可使房屋总造价最低，总造价是44200元

【分析】设底面的长为xm，宽ym，则y＝m．设房屋总造价为f（x），由题意可得（x）＝4x1200+4××800×2+5800＝4800（x+）+5800（x＞0）；利用基本不等式即可得出结论．

【详解】如图所示，设底面的长为xm，宽ym，则y＝m．

设房屋总造价为f（x），由题意可得f（x）＝4x1200+4××800×2+5800＝4800（x+）+5800≥4800＝44200，

当且仅当x＝4时取等号．

答：当底面的长宽分别为4m，3m时，可使房屋总造价最低，总造价是44200元．

22．设a，b，c为实数，且，已知二次函数，满足，．

(1)求函数的解析式：

(2)设，当x∈[t，t＋2]时，求函数f（x）的最大值g（t）（用t表示）．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由题意，根据多项式相等的条件，建立方程组，可得答案；

（2）根据二次函数的性质，由给定区间与对称轴之间的位置关系，利用分类讨论，可得答案.

【详解】（1）由，解得，所以，

，

可得，则，解得，即；

（2）由可知其对称轴为轴，开口向下，

①当，即时，在上单调递增，所以；

②当时，在上单调递减，所以；

③当，时，在上单调递增，在上单调递减，所以

综上所述，．