2023届广东省湛江市雷州市白沙中学高三上学期第一次月考数学试题（解析版）

2023届广东省湛江市雷州市白沙中学高三上学期第一次月考数学试题

一、单选题

1．已知集合或，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】由题可得集合，结合集合间的基本运算即可求解.

【详解】因为或

所以

所以或，即.

故选：A.

2．已知，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】利用复数的乘法和共轭复数的定义可求得结果.

【详解】因为，故，故

故选：C.

3．已知，则的最小值为（    ）

A．2 B．1 C．4 D．3

【答案】C

【分析】变形后利用基本不等式进行求解.

【详解】因为，所以，

由基本不等式得，

当且仅当，即时，等号成立，

则的最小值为4.

故选：C

4．已知x，y∈R，且x>y>0，则（    ）

A． B．

C． D．lnx+lny>0

【答案】A

【分析】结合选项逐个分析，可选出答案.

【详解】结合x，y∈R，且x>y>0，对选项逐个分析：

对于选项A，，，故A正确；

对于选项B，取，，则，故B不正确；

对于选项C，，故C错误；

对于选项D，，当时，，故D不正确.

故选A.

【点睛】本题考查了不等式的性质，属于基础题.

5．在中，D是AB边上的中点，则=（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据向量的加减法运算法则算出即可.

【详解】

故选：C

【点睛】本题考查的是向量的加减法，较简单.

6．已知正实数满足，则的最小值为（    ）

A．6 B．8 C．10 D．12

【答案】B

【分析】令，用分别乘两边再用均值不等式求解即可.

【详解】因为，且为正实数

所以

，当且仅当即时等号成立.

所以.

故选：B.

7．已知向量满足，则（    ）

A． B． C．1 D．2

【答案】C

【分析】根据给定模长，利用向量的数量积运算求解即可.

【详解】解：∵，

又∵

∴9，

∴

故选：C.

8．已知，则是的（    ）条件.

A．充分不必要 B．必要不充分

C．充要 D．既不充分也不必要

【答案】A

【分析】利用分式不等式的解法，结合充分条件及必要条件的定义即可求解.

【详解】由得解得，

所以

又因为，

所以是的充分不必要条件.

故选：A.

二、多选题

9．下列说法正确的是（    ）

A．若，则

B．“”是“”的充分而不必要条件

C．若集合，则

D．命题，使得，则非，均有

【答案】BC

【分析】对A，直接解方程即可；对B，由范围大小可判断；对C，先化简集合，再由交集运算判断；对D，由命题的否定形式判断.

【详解】对选项A，由解得或2，故A项错误；

对选项B，由得或，故“”是“或” 的充分而不必要条件，故选项B正确；

对选项C，，，故，故选项C正确；

对选项D，存在改全称，再否定结论，非，均有，故选项D错误.

故选：BC

10．已知向量，，且向量满足，则（    ）

A． B．

C．向量与的夹角为 D．向量在方向上的投影向量为

【答案】ACD

【分析】由得，，进而依次讨论各选项即可得答案.

【详解】由题知,

因为,所以,解得或,

又因为,所以，所以，

对于A选项，，故A选项正确；

对于B选项，，由于，所以与不平行，故B选项错误；

对于C选项，，，所以，又，所以，故C选项正确；

对于D选项，向量在方向上的投影向量为，故D选项正确.

故选：ACD

11．已知，且，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】AB

【分析】对于A，由基本不等式推论可得答案.

对于B，由重要不等式结合可得答案.

对于C，由结合基本不等式可得答案.

对于D，构造函数，其中.通过研究其单调性可得答案.

【详解】对于A，因，由基本不等式有.

不等式两边平方并整理可得：，当且仅当取等号.

故A正确.

对于B，因，则.

又由重要不等式，故，

得，当且仅当取等号，故B正确.

对于C，

当且仅当，即取等号.又，

故C错误.

对于D，，又，且，则.

故构造函数，其中.

因，则在上单调递增.

故，即，故D错误.

故选：AB

【点睛】关键点点睛：本题涉及基本不等式，重要不等式，及构造函数证明不等式.

注意以下几点：

（1）解题时，有时需根据题目条件适当对基本不等式进行变形或借助数字1.

（2）对于D选项，因其结构与A，B，C选项不同，结合题目已知想到了通过构造函数证明不等式.

12．正方体的棱长为，分别为的中点.则下列说法正确的是（    ）

A．直线与平面平行

B．直线与直线垂直

C．异面直线与所成角的余弦值为

D．平面截正方体所得的截面面积为

【答案】ACD

【分析】连接AD1，FD1，GF，BC1，证得EF//AD1，利用平面AEFD1逐一分析各选项即可判断作答.

【详解】正方体中，连接AD1，FD1，GF，BC1，如图：

因点E，F是BC，CC1中点，则EF//BC1，而正方体的对角面ABC1D1是矩形，则AD1//BC1//EF，

连GF，因G是棱BB1中点，则GF//B1C1//A1D1，且，即四边形A1GFD1是平行四边形，A1G//D1F，

平面AEF，平面AEF，于是A1G//平面AEF，A正确；

因平面ABCD，而平面ABCD，即有AE，若AF，必有平面AEFD1，AD1，与矛盾，B不正确；

因EF//AD1，A1G//D1F，则异面直线与所成角是或其补角，

作于M，显然，即四边形AEFD1是等腰梯形，，

，，C正确；

，平面截正方体所得的截面是等腰梯形AEFD1，

等腰梯形AEFD1的面积为，D正确.

故选：ACD.

三、填空题

13．已知向量，且，则___________.

【答案】

【分析】根据向量平行列方程，求得的值，进而求得.

【详解】由于，所以，则，

所以.

故答案为：

14．直线经过两点，直线的倾斜角是直线的倾斜角的2倍，则的斜率为___________.

【答案】

【分析】根据已知两点求斜率，以及直线斜率计算即可.

【详解】因为直线经过两点

所以直线的斜率为

所以直线的倾斜角为

又因为直线的倾斜角是直线的倾斜角的2倍，所以直线的倾斜角为，

所以的斜率为

故答案为：.

15．如图，已知集合，则图中的阴影部分表示的集合为___________.

【答案】

【分析】解指数不等式求得集合B，结合图象即可求解.

【详解】因为，即，解得

所以，，

所以图中阴影部分表示的集合为

故答案为：.

16．若z1＝a＋2i，z2＝3－4i，且为纯虚数，则实数a的值为________．

【答案】

【分析】利用复数的运算性质化简，再利用纯虚数的定义即可列出的等式，求出结果.

【详解】为纯虚数.

所以，解得a＝．

故答案为：.

四、解答题

17．（1）已知是边长为2的正三角形，是的中点，求

（2）已知向量，且，求的值.

【答案】（1）；（2）8.

【分析】（1）由中点得，然后由数量积运算律与数量积的定义计算．

（2）由平面向量垂直的坐标表示求解．

【详解】（1）是的中点，

则

．

（2），∵，

∴，解得．

18．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设．

（1）求A；

（2）若，求sinC．

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）利用正弦定理化简已知边角关系式可得：，从而可整理出，根据可求得结果；

（2）[方法一]由题意利用正弦定理边化角，然后结合三角形内角和可得，然后结合辅助角公式可得，据此由两角和差正余弦公式可得．

【详解】（1），

即：，

由正弦定理可得：，

，

，.

（2）[方法一]正弦定理+两角和差正余弦

由（1）知，，所以由，

得，

整理得，即．

又，所以，即，

则．

[方法二]正弦定理+方程思想

由，得，

代入，

得，

整理得，则．

由，得，

所以．

[方法三]余弦定理

令．由，得．

将代入中，可得，

即，解得或（舍去）．

所以，

从而．

[方法四]摄影定理

因为，所以，

由射影定理得，

所以．

【整体点评】方法一：首先由正弦定理边化角，然后由两角和差正余弦公式求解的值；

方法二：首先由正弦定理边化角，然后结合题意列方程，求解方程可得的值；

方法三：利用余弦定理求得的值，然后结合正弦定理可得的值；

方法四：利用摄影定理求得的值，然后由两角和差正余弦公式求解的值；

【点睛】本题考查利用正弦定理、余弦定理解三角形的问题，涉及到两角和差正弦公式、同角三角函数关系的应用，解题关键是能够利用正弦定理对边角关系式进行化简，得到余弦定理的形式或角之间的关系.

19．记是公差不为0的等差数列的前n项和，若．

（1）求数列的通项公式；

（2）求使成立的n的最小值．

【答案】(1)；(2)7.

【分析】(1)由题意首先求得的值，然后结合题意求得数列的公差即可确定数列的通项公式；

(2)首先求得前n项和的表达式，然后求解二次不等式即可确定n的最小值.

【详解】(1)由等差数列的性质可得：，则：，

设等差数列的公差为，从而有：，

，

从而：，由于公差不为零，故：，

数列的通项公式为：.

(2)由数列的通项公式可得：，则：，

则不等式即：，整理可得：，

解得：或，又为正整数，故的最小值为.

【点睛】等差数列基本量的求解是等差数列中的一类基本问题，解决这类问题的关键在于熟练掌握等差数列的有关公式并能灵活运用.

20．若函数，当时函数有极值.

(1)求函数的解析式；

(2)求曲线过点的切线方程.

【答案】(1)

(2)或

【分析】（1）根据极值点和极值列出方程组，求出，得到解析式；

（2）在第一问的基础上，设出切点，结合导数的几何意义求出切线方程.

【详解】（1），由题意得：

，解得：，

所以，

经验证：是函数的极小值点，所以满足要求；

（2）由（1）知：，

设切点方程为，，

所以切线方程为，

代入点可得，即，

解得或，

所以切线方程为或，

即或.

21．已知，设：实数满足：实数满足

(1)若时，都为真，求实数的取值范围；

(2)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围.

【答案】(1)；

(2)．

【分析】（1）由为真求得的范围后，再求交集可得；

（2）根据充分不必要条件的定义求解．

【详解】（1）为真时，，，命题为，，即，

所以都为真时，，即的范围是；

（2）由（1）知为，命题为真，，即，

是的充分不必要条件，则．

所以范围是．

22．某县畜牧技术员张三和李四年来一直对该县山羊养殖业的规模进行跟踪调查，张三提供了该县某山羊养殖场年养殖数量（单位：万只）与相应年份（序号）的数据表和散点图（如图所示），根据散点图，发现y与x有较强的线性相关关系.

（1）根据表中的数据和所给统计量，求关于的线性回归方程（参考统计量：，；

（2）李四提供了该县山羊养殖场的个数（单位：个）关于的回归方程.

试估计：①该县第一年养殖山羊多少万只？

②到第几年，该县山羊养殖的数量与第一年相比缩小了？

附：回归直线方程的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，．

【答案】（1）（2）①万只；②第10年

【分析】(1)根据最小二乘法的方法分别求解线性回归方程中对应的量代入公式求解即可.

(2)①根据养殖山羊总数等于山羊养殖场的个数与山羊养殖场年养殖数量的积求解即可.

②列出对应的不等式求解即可.

【详解】（1）设关于的线性回归方程为,

则,

,

则,所以,

所以关于的线性回归方程为.

（2）估计第年山羊养殖的只数,

①第1年山羊养殖的只数为,故该县第一年养殖山羊约万只；

②由题意,得,整理得,

解得或（舍去）

所以到第10年该县山羊养殖的数量相比第1年缩小了.

【点睛】本题主要考查了线性回归方程及其实际意义的运用,属于中档题.