2021-2022学年新疆克拉玛依市高级中学高一下学期期末数学试题（解析版）

2021-2022学年新疆克拉玛依市高级中学高一下学期期末数学试题

一、单选题

1．已知复数Z=3+2i，则它的共轭复数在复平面上对应的点落在（    ）

A．第一象限 B．第二象限

C．第三象限 D．第四象限

【答案】D

【分析】由共轭复数概念可得，然后由复数的几何意义可得.

【详解】因为，所以

所以在复平面上对应的点为，在第四象限.

故选：D

2．已知向量，且，则m=

A．−8 B．−6

C．6 D．8

【答案】D

【分析】由已知向量的坐标求出的坐标，再由向量垂直的坐标运算得答案．

【详解】∵，又，

∴3×4+（﹣2）×（m﹣2）＝0，解得m＝8．

故选D．

【点睛】本题考查平面向量的坐标运算，考查向量垂直的坐标运算，属于基础题．

3．设直线若与是异面直线，与平行，则与的位置关系是（    ）

A．平行 B．相交 C．平行或异面 D．相交或异面

【答案】D

【分析】借助正方体模型，找出三条直线符合题意，判断的位置关系.

【详解】考虑正方体中，如图所示

直线看做直线，直线看做直线，即直线和直线是异面直线，

若直线看做直线，可得，平行，则，异面；

若直线看做直线，可得，平行，则，相交.

若，平行，由，平行，可得，平行，这与，异面矛盾，故，不平行.

故选：D.

4．若复数为纯虚数，则实数（    ）

A．2 B． C． D．

【答案】D

【分析】根据纯虚数的定义有，即可求参数值.

【详解】由题设，可得.

故选：D

5．随着互联网的普及,网上购物已逐渐成为消费时尚,为了解消费者对网上购物的满意情况,某公司随机对4500名网上购物消费者进行了调查(每名消费者限选一种情况回答),统计结果如下表:

根据表中数据,估计在网上购物的消费者群体中对网上购物“比较满意”或“满意”的概率是A．              B．              C．              D．

【答案】C

【解析】由题意得,,随机调查的消费者中对网上购物“比较满意”或“满意”的总人数为,所以随机调查的消费者中对网上购物“比较满意”或“满意”的频率为,即可求得答案.

【详解】由题意得,,

随机调查的消费者中对网上购物“比较满意”或“满意”的总人数为,

随机调查的消费者中对网上购物“比较满意”或“满意”的频率为.

由此估计在网上购物的消费者群体中对网上购物“比较满意”或“满意”的概率为.

故选:C

【点睛】本题考查了用频率估计概率,解题关键是频率和概率的定义,考查了分析能力和计算能力,属于基础题.

6．已知复数，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据复数四则运算法则计算即可.

【详解】 ， ；

故选：B.

7．某市质量检测部门从辖区内甲、乙两个地区的食品生产企业中分别随机抽取9家企业，根据食品安全管理考核指标对抽到企业进行考核，并将各企业考核得分整理成如下的茎叶图，由茎叶图所给信息，可判断以下结论正确的是（    ）

A．若，则甲地区考核得分的极差小于乙地区考核得分的极差

B．若，则甲地区考核得分的平均数小于乙地区考核得分的平均数

C．若，则甲地区考核得分的中位数小于乙地区考核得分的中位数

D．若，则甲地区考核得分的方差小于乙地区考核得分的方差

【答案】D

【分析】根据极差，平均数，中位数，方差的定义，在给定条件下分别计算两组数据的极差，平均数，中位数，方差，由此判断正确选项.

【详解】若，甲地区考核得分的极差为，乙地区考核得分的极差为，

即甲乙两地区考核得分的极差都是，故A错；

若，甲地区考核得分的平均数为

乙地区考核得分的平均数为

则甲地区考核得分的平均数为，乙地区考核得分的平均数为，故B错；

若，将甲乙两地各企业考核得分按从小到大顺序排列如下：

甲地区：；

乙地区：

则甲地区考核得分的中位数为，乙地区考核得分的中位数为，故C错；

若时将甲乙两地各企业考核得分按从小到大顺序排列如下：

甲地区：；

乙地区：

甲地区考核得分的平均数为，乙地区考核得分的平均数为，

甲地区考核得分的方差为：，

化简可得甲地区考核得分的方差大约为40.69，

乙地区考核得分的方差为：

化简可得甲地区考核得分的方差大约为51.43，

故甲地区考核得分的方差小于乙地区考核得分的方差，D对

故选：D.

8．如图是一个正方体的平面展开图，则在正方体中，异面直线与所成的角为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】把展开图还原成正方体，由于且相等，故异面直线与所成的角就是和所成的角，由于是等边三角形可得答案.

【详解】把展开图还原成正方体如图所示，

由于且相等，故异面直线与所成的角就是和所成的角，

故 (或其补角)为所求，

再由是等边三角形，可得.

故选：C.

9．已知某地区中小学生人数比例和近视情况分别如图甲和图乙所示，

为了了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法随机抽取的学生进行调查，其中被抽取的小学生有80人，则样本容量和该地区的高中生近视人数分别为（    ）

A．200，25 B．200，2500 C．8000，25 D．8000，2500

【答案】B

【分析】由扇形分布图观察小学生在整个样本中占40％，可得样本的容量为，再以此推出样本中高中生的人数为，结合抽样比和条形图中高中生的近视率占比可算出该地区高中生的近视人数.

【详解】由由扇形分布图结合分层抽样知识易知样本容量为，

则样本中高中生的人数为，易知总体的容量为，

结合近视率条形图得该地区高中生近视人数为.

故选：B.

10．据《九章算术》记载，“鳖臑”为四个面都是直角三角形的三棱锥．如图所示，现有一个“鳖臑”，底面，，且，三棱锥外接球表面积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】用补形法还原为正方体问题，然后用公式求解.

【详解】如图，将三棱锥补形为正方体，

则外接球半径.

所以三棱锥外接球表面积.

故选：B.

11．下列叙述：①某人射击1次，“射中7环”与“射中8环”是互斥事件；

②甲、乙两人各射击1次，“至少有1人射中目标”与“没有人射中目标”是对立事件；

③抛掷一枚硬币，连续出现4次正面向上，则第5次出现反面向上的概率大于；

④在相同条件下，进行大量重复试验，可以用频率来估计概率；则所有正确结论的序号是（    ）

A．①②④ B．①③ C．②④ D．①②

【答案】A

【分析】根据互斥事件，对立事件和独立重复事件的相关定义，逐个选项进行判断，可得答案.

【详解】对于①．某人射击1次，“射中7环”与“射中8环”是不可能同时发生的事件，所以是互斥事件，故①正确．

对于②．甲、乙两人各射击1次，“至少有1人射中目标”包括：1人射中，1人没有射中和2人都射中，由对立事件的定义：“至少有1人射中目标”与“没有人射中目标”是对立事件．故②正确．

对于③．抛掷一枚硬币n次，属于独立重复事件，每次出现正面向上的概率为，出现反面向上的概率为，所以连续出现4次正面向上，第5次出现反面向上的概率为，故③不正确．

对于④，在相同条件下，试验次数越多，频率就会稳定在概率附近，故④正确；

故选：A

12．已知是边长为2的等边三角形，为平面内一点，则的最小值是　　

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据条件建立坐标系，求出点的坐标，利用坐标法结合向量数量积的公式进行计算即可．

【详解】建立如图所示的坐标系，以中点为坐标原点，

则，，，

设，则，，，

则

当，时，取得最小值，

故选：．

二、填空题

13．已知，则在复平面对应的复数是________．

【答案】

【分析】利用向量减法的定义直接相减，然后写成复数即可.

【详解】，则对应的复数为.

故答案为：.

14．若数据的方差为，则数据的方差为________．

【答案】

【分析】由方差的性质可直接求得结果.

【详解】由方差的性质可知：的方差为.

故答案为：.

15．向量在向量方向上的投影向量为________．

【答案】

【分析】利用投影向量的定义可求解．

【详解】根据投影向量的定义可得，

．

故答案为：．

16．在一次知识竞赛中，共有20道题，两名同学独立竞答，甲同学对了12个，乙同学对了8个，假设答对每道题都是等可能的，那么任选一道题，恰有一人答对的概率________．

【答案】##

【分析】根据相互独立事件概率乘法公式求得正确答案.

【详解】依题意，恰有一人答对的概率为.

故答案为：

三、解答题

17．如图，在直角梯形ABCD中，，，，．将直角梯形ABCD绕边AB所在的直线旋转一周．

(1)画出旋转后形成的几何体的直观图，并说明该几何体是由哪些简单几何体组成；

(2)求旋转形成的几何体的表面积．

【答案】(1)直观图见解析，该几何体由一个圆锥和一个同底的圆柱组成

(2)

【分析】(1)根据题意作直观图；

(2)对几何组合体计算其表面积即可.

【详解】（1）旋转形成的几何体直观图如图所示，该几何体由一个圆锥和一个同底的圆柱组成；

（2）因为圆锥的底面半径为1，高为1，母线长，侧面积为 ，

圆柱的底面半径为1，高为1，侧面积为 ，底面积为 ，

所以旋转形成的几何体表面积为： .

18．柜子里有双不同的鞋，如果从中随机取出只，那么

(1)写出试验的样本空间．

(2)求事件“取出的鞋子是一只左脚一只右脚的，但不是一双鞋”的概率．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）列举出所有可能的情况即可得到样本空间；

（2）列举出事件所有可能的结果，利用古典概型概率公式可求得结果.

【详解】（1）记第双鞋左右脚编号为，第双鞋左右脚编号为，第双鞋左右脚编号为，

则样本空间为.

（2）由（1）知：，

，，

.

19．已知，，分别为内角，，的对边，，，.

（1）求的值；

（2）求的面积.

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）由可求出，利用正弦定理可求出；（2）由余弦定理可求出，再借助于三角形面积即可求出结果.

【详解】解析：（1），，

由正弦定理得，∴.

（2）由余弦定理得，整理得，解得或（舍去），

的面积.

20．2022年2月8日，中国选手谷爱凌在北京冬奥会女子大跳台项目决赛中以之前从未有人在正式比赛中完成的“左转1620”动作一举夺得冠军，为中国代表团揽入一枚里程碑式的金牌．受奥运精神的鼓舞，某滑雪俱乐部组织100名滑雪爱好者进行了一系列的大跳台测试，并记录他们的动作得分（单位：分），将所得数据整理得到如图所示的频率分布直方图．

(1)求频率分布直方图中a的值；

(2)估计该100名射击爱好者的射击平均得分（求平均值时同一组数据用该组区间的中点值作代表）；

(3)该俱乐部计划招募成绩位列前10%的滑雪爱好者组成集训队备战明年的滑雪俱乐部联盟赛，请根据图中信息，估计集训队入围成绩（记为k）．

【答案】(1)

(2)

(3)

【分析】（1）根据频率和为1列式求解；（2）用该组区间的中点值估计，代入计算；（3）根据题意入围成绩的临界值为，则计算求解．

【详解】（1）由题意可得：，解得

（2）由题意可得：

估计该100名射击爱好者的射击平均得分

（3）根据频率分布直方图可知：的频率为

设入围成绩的临界值为，则，即

估计集训队入围成绩

21．在如图1所示的等腰梯形中，，将它沿着两条高折叠成如图2所示的四棱锥（重合），点分别为线段的中点.

(1)证明：平面；

(2)求证：平面平面.

【答案】(1)证明见解析

(2)证明见解析

【分析】（1）取EC的中点G，连接NG，BG，由平面几何知识证得四边形MBGN是平行四边形，继而有，再运用线面平行的判定定理可得证；

（2）由勾股定理证得，继而由线面垂直的判定定理证得平面，再由线面垂直的性质和判定可证得平面，运用面面垂直的判定定理可得证.

【详解】（1）证明：取EC的中点G，连接NG，BG，

因为点分别为线段的中点.

所以，

又，

所以，

所以四边形MBGN是平行四边形，

所以，

又平面，平面，

所以平面；

（2）证明：因为等腰梯形中，，

所以，

所以在中满足，

所以，

又，

所以平面，

所以，

又，所以平面，

又平面，

所以平面平面.

22．在锐角中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知向量、满足：，，且．

(1)求角A；

(2)若，求的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据平行向量的坐标表示得出边与角的关系式，再利用正弦定理即可求出角A；（2）利用正弦定理将边表示成角的形式，即，再根据三角形形状和辅助角公式，即可求出的取值范围.

【详解】（1）因  ，且，

于是有，即，

在中，由正弦定理得：，而，

于是得，又A为锐角，

所以．

（2）是锐角三角形，由（1）知，，

于是有，且，从而得，

而，由正弦定理得，

则，

，

则有，

而，则，

即,

所以的取值范围．