2021-2022学年陕西省汉中市高一上学期期中校际联考数学试题（解析版）

2021-2022学年陕西省汉中市高一上学期期中校际联考数学试题

一、单选题

1．函数的定义域为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】根据中满足，中求解函数的定义域.

【详解】要求函数的定义域，则满足

所以的定义域为

故选：B

2．已知集合，则下列选项中说法不正确的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据元素与集合的关系判断选项B，根据集合与集合的关系判断选项A、C、D.

【详解】由题意得，集合．所以，B错误；

由于空集是任何集合的子集，所以A正确；

因为，所以C、D中说法正确．

故选：B．

3．下列函数中，在其定义域上单调递减的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】逐一分析给定四个函数在定义域上的单调性，可得答案．

【详解】对于A，在定义域上为单调递增，A错误；

对于B，在定义域上为单调递增，B错误；

对于C，在定义域上单调递减，C正确；

对于D，在定义域上单调递增，D错误.

故选：C.

4．设全集，或，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据集合的交并补运算即可求解.

【详解】由于或，,所以，因此，

故选：D

5．函数的图像（    ）

A．关于坐标原点对称 B．关于直线对称

C．关于轴对称 D．关于直线对称

【答案】A

【分析】确定函数为奇函数，特殊值检验对称轴，得到答案.

【详解】函数定义域为，，，函数为奇函数，关于坐标原点对称，A正确，C错误；又，B错误，D错误.

故选：A

6．下列各组函数表示同一函数的是（    ）

A．（），（）

B．（），（）

C．，

D．，

【答案】D

【分析】依据相同函数的定义，定义域和对应法则都相同，依次判断即可.

【详解】选项A，函数，的定义域都为，但，，所以两个函数的对应法则不同，不是同一函数；

选项B，函数的定义域为，函数的定义域为，两个函数的定义域不相同，不是同一函数；

选项C，函数的定义域为，函数的定义域为，两个函数的定义域不都相同，不是同一函数；

选项D，函数的定义域为，函数的定义域为，两个函数的定义域相同，又两函数的对应法则也相同，所以两函数是同一函数.

故选：D.

7．已知函数为幂函数，且，则当时，则实数（    ）

A． B．2 C． D．4

【答案】D

【分析】利用待定系数法，求得函数解析式，并建立方程，可得答案.

【详解】由函数为幂函数，可设，则，解得，即，

由，则，两边分别平方可得，解得，

故选：D.

8．已知，，，则（    ）．

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】试题分析：因为所以选C．

【解析】比较大小

9．声强级（单位：）与声强的函数关系式为：.若普通列车的声强级是，高速列车的声强级为，则普通列车的声强是高速列车声强的（    ）

A．倍 B．倍 C．倍 D．倍

【答案】B

【分析】设普通列车的声强为，高速列车的声强为，由声强级得，，求出相除可得答案.

【详解】设普通列车的声强为，高速列车的声强为，

因为普通列车的声强级是，高速列车的声强级为，

所以，，

，解得，所以，

，解得，所以，

两式相除得，

则普通列车的声强是高速列车声强的倍.

故选：B.

10．设二次函数，如果，则等于（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】由二次函数性质可知，代入解析式可求得结果.

【详解】，关于的对称轴对称，

，.

故选：C.

11．已知，则函数与函数的图像可能是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】根据参数对于指数函数以及对数函数的影响，结合对数函数性质，逐项检验，可得答案.

【详解】对于A、B、C，由图像可知，对于函数，可知，即，

由，则，即函数在上单调递增，故A、B错误，C正确；

对于D，由图像可知，对于函数，可知，即，

由，则，即函数在上单调递减，故D错误；

故选：C.

12．若实数满足，则下列关系式中不可能成立的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】构造函数，利用数形结合的思想一一判断各个选项是否能成立即可.

【详解】设，

则都为单调递增函数，

作出两函数的图象，两个函数图象有2个交点，分别为，

对于A，作一直线分别与图象相交，

交点横坐标为，且，

此时，即能成立，所以A不满足题意；

对于B，

作一直线分别与图象相交，

交点横坐标为，且，

此时，即能成立，所以B不满足题意；

对于C，，

因为，所以，

所以此时不可能成立，故C满足题意；

对于D，或，成立，所以D不满足题意.

故选:C.

二、填空题

13．已知集合或，，则___________.

【答案】

【分析】利用交集的定义，直接求解.

【详解】因为集合或，，

所以或.

即.

故答案为：

14．函数的值域为__________.

【答案】

【分析】根据不等式性质，结合指数函数性质，可得答案.

【详解】由，，，故的值域为.

故答案为：.

15．某班50名学生积极参加体育锻炼，其中有48名学生喜欢足球或游泳，30名学生喜欢足球，41名学生喜欢游泳，则该班既喜欢足球又喜欢游泳的学生人数为__________.

【答案】

【分析】喜欢足球的学生、喜欢游泳的学生形成的集合分别记为A，B，再利用容斥原理计算作答.

【详解】喜欢足球的学生、喜欢游泳的学生形成的集合分别记为A，B，

依题意，集合A，B，中元素个数分别为：，

则，

所以中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生有23名.

故答案为：23.

16．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如，.已知函数，则函数的最大值是___________.

【答案】4

【分析】先求出时，，再根据“高斯函数”的定义求解即可.

【详解】因为，

所以时，，

所以的最大值为，

故答案为：4.

三、解答题

17．计算下列各式的值：

(1)；

(2).

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据指数运算的知识求得正确答案；

（2）根据对数运算的知识求得正确答案.

【详解】（1）

；

（2）

.

18．已知函数.

(1)求的值；

(2)若，求的值.

【答案】(1)；

(2)

【分析】（1）根据定义域选择对应分段函数求值；

（2）分别讨论、即可.

【详解】（1），

.

（2）当时，，解得或（舍）；

当时，，无解.

.

19．已知函数．

（1）判断函数的奇偶性，并说明理由；

（2）用函数单调性的定义证明函数在上是减函数．

【答案】（1）偶函数，证明见解析；（2）证明见解析．

【分析】（1）根据奇偶性的定义判断函数的奇偶性，

（2）利用函数单调性的定义证明，先取值，再作差变形，判断符号，然后得出结论

【详解】解：（1）根据题意，函数为偶函数，

证明：，其定义域为，

有，则是偶函数；

（2）证明：设，

则，

又由，则，

必有，

故在上是减函数．

20．已知二次函数满足，且.

(1)求的解析式；

(2)当时，讨论函数的单调性.

【答案】(1)

(2)答案见解析

【分析】（1）设出二次函数的解析式，根据已知条件求得系数，从而求得正确答案.

（2）对进行分类讨论，从而求得的单调性.

【详解】（1）设（），

则，得.

且，解得，.

的解析式为.

（2）二次函数的图象开口向上，对称轴为直线，

当，即时，函数在上单调递减，在上单调递增；

当，即时，函数在上单调递减；

当时，函数在上单调递增.

21．已知(，且)，.

（1）若函数的图象恒过定点A，求点A的坐标；

（2）若函数在区间上的最大值比最小值大，求a的值.

【答案】（1）；（2）或4．

【分析】（1）令，求出的值，求出对应的值，从而求出的坐标即可；

（2）求出的解析式，通过讨论的范围，得到的单调性，求出的最大值和最小值，得到关于的方程，解出即可．

【详解】（1）当，即时，，

所以点A的坐标为.

（2）因为，所以.

当时，函数在区间上是减函数，

所以当时，函数有最大值，且，

当时，函数有最小值，且，

因为，

所以，

所以.

当时，函数在区间上是增函数，

所以当时，函数有最小值，且，

当时，函数有最大值，且，

因为，

所以，

所以.

综上所述，或.

22．已知定义在R上的函数f(x)＝2x－，

（1）若f(x)＝，求x的值；

（2）若2tf(2t)＋mf(t)≥0对于t∈[1，2]恒成立，求实数m的取值范围.

【答案】（1）1；（2）[－5，＋∞).

【分析】（1）化简去掉绝对值，直接进行带值计算即可；（2）求出代入，构造指数函数，利用指数函数的图像及性质对恒成立求解.

【详解】（1）当x<0时，f(x)＝0，

故f(x)＝无解；

当x≥0时，f(x)＝2x－，

由2x－，

得2·22x－3·2x－2＝0，

将上式看成关于2x的一元二次方程，

解得2x＝2或2x＝，

因为2x>0，所以2x＝2，

所以x＝1.

（2）当t∈[1，2]时，

，

即m(22t－1)≥－(24t－1)，

因为22t－1>0，

所以m≥－(22t＋1)，

因为t∈[1，2]，

所以－(22t＋1)∈[－17，－5]，

故实数m的取值范围是[－5，＋∞).

【点睛】本题主要考查函数求值和指数对数运算，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和运算能力；解答本题的关键是整体代入求值.属于中档题.