2023年中考数学一轮复习四边形专题《第三节 矩形》专练（通用版）

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第五章  四边形第三节  矩 形 点对点·本节内考点巩固10分钟1. 对于任意的矩形，下列说法一定正确的是(　　)A. 对角线垂直且相等         B. 四边都互相垂直C. 四个角都相等             D. 是轴对称图形，但不是中心对称图形2. 如图，矩形ABCD的对角线交于点O.若∠BAO＝55°，则∠AOD等于(　　)A. 110°     B. 115°      C. 120°     D. 125°                 第2题图　　                   3. 如图，O为矩形ABCD的对角线AC的中点，过点O作AC的垂线EF分别交AD、BC于点E、F，连接CE.若该矩形的周长为20，则△CDE的周长为(　　)A. 10       B. 9        C. 8        D. 5第3题图4. 在矩形ABCD中，点E在BC上，且AE平分∠BAC，AE＝CE，BE＝4，则矩形ABCD的面积为(　　)A. 12     B. 48      C. 48     D. 32                   第4题图　                    　5. 如图，在矩形ABCD中，AC、BD交于点O，M、N分别为BC、OC的中点，若MN＝4，则AC的长为________．第5题图6. 如图，点P是矩形ABCD的对角线AC上一点，过点P作EF∥BC，分别交AB，CD于点E，F，连接PB，PD，若AE＝3，PF＝9，则图中阴影部分的面积为________．第6题图7. 如图，四边形ABCD中，AB＝CD，AD＝BC，对角线AC，BD相交于点O，且OA＝OD.求证：四边形ABCD是矩形．第7题图          点对线·板块内考点衔接20分钟1. 如图，在▱ABCD中，M，N是BD上两点，BM＝DN，连接AM，MC，CN，NA.添加一个条件，使四边形AMCN是矩形，这个条件是(　　)A. OM＝AC     B. MB＝MO         C. BD⊥AC       D. ∠AMB＝∠CND                        第1题图　                            　2. 如图，在矩形ABCD中，DF平分∠ADC交AC于点E，交BC于点F，∠BDF＝15°，则△DOC为(　　)A. 等腰三角形    B. 锐角三角形      C. 等边三角形    D. 直角三角形第2题图3. 如图，将矩形纸片ABCD折叠，使点C与点A重合，折痕为EF，若AB＝4，BC＝8，则D′F的长为(　　)A. 2       B. 4        C. 3       D. 2                 第3题图 　              　4. 如图，在矩形ABCD中，DE⊥AC于点E，设∠ADE＝α，且cosα＝，AB＝4，则AC的长为(　　)A. 3        B.         C.         D. 第4题图5. (全国视野创新题推荐)四边形具有不稳定性．如图，矩形ABCD按箭头方向变形成平行四边形A′B′C′D′，当变形后图形面积是原图形面积的一半时，则∠A′＝______°.第5题图6. 如图，四边形ABCD是矩形纸片，将△BCD沿BD折叠，得到△BED，BE交AD于点F，AB＝3，AF∶FD＝1∶2，则AF＝________．               第6题图　                  　7. 如图，矩形ABCD中，∠ABC的平分线BE交AD于点E，连接CE，过点A作AF⊥CE交CE的延长线于点F，连接DF，S△DEF＝8，CD＝6，则AF的长为________．第7题图 8. 如图，已知矩形ABCD中，点E，F分别是AD，AB上的点，EF⊥EC，且AE＝CD.(1)求证：AF＝DE；(2)若DE＝AD，求tan∠AFE.第8题图           9. 如图，在△ABC中，AB＝AC.将△ABC沿着BC方向平移得到△DEF，其中点E在边BC上，DE与AC相交于点O.(1)求证：△OEC为等腰三角形；(2)连接AE、DC、AD，当点E在什么位置时，四边形AECD为矩形，并说明理由．第9题图         点对面·跨板块考点迁移 2分钟(全国视野创新题推荐)如图，已知矩形ABCD的边AB＝3，AD＝8，顶点A、D分别在x轴、y轴上滑动，在矩形滑动过程中，点C到原点O距离的最大值是________．                                 参考答案第三节  矩 形点对点·本节内考点巩固1. C　【解析】矩形的性质有：邻边垂直；四个内角都是直角；是轴对称图形，也是中心对称图形；对角线互相平分且相等．2. A　【解析】∵四边形ABCD是矩形，∴OA＝OB.∴∠ABO＝∠BAO＝55°.∴∠AOD＝∠BAO＋∠ABO＝55°＋55°＝110°.3. A　【解析】∵O为矩形ABCD的对角线AC的中点，∴AO＝OC.∵过点O作AC的垂线EF分别交AD、BC于点E、F，∴AE＝CE.∵矩形的周长为20，∴AD＋DC＝AB＋BC＝10.∴△CDE的周长为CD＋DE＋CE＝CD＋DE＋AE＝CD＋AD＝10.4. C　【解析】∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝90°.∴∠BAC＋∠BCA＝90°.∵AE平分∠BAC，AE＝CE，∴∠BAE＝∠EAC＝∠ECA.∵∠BAE＋∠EAC＋∠ECA＝90°，∴∠BAE＝∠EAC＝∠ECA＝30°.∴AE＝CE＝2BE＝8，AB＝BE＝4，∴BC＝BE＋CE＝12.∴矩形ABCD的面积为AB·BC＝48.5. 16　【解析】在△OBC中，∵点M、N分别为BC、OC的中点，∴MN为△OBC的中位线．∴OB＝2MN＝8.∴AC＝BD＝2OB＝16.6. 27　【解析】如解图，过点P作PM⊥AD于M，交BC于N，则有四边形AEPM，四边形DFPM，四边形CFPN，四边形BEPN都是矩形，∴S△ADC＝S△ABC，S△AMP＝S△AEP，S△PBE＝S△PBN，S△PFD＝S△PDM，S△PFC＝S△PCN.∴S△DFP＝S△PBE＝×3×9＝，∴S阴影＝2×＝27.第6题解图7. 证明：∵AB＝CD，AD＝BC，∴四边形ABCD是平行四边形．∴OA＝AC，OD＝BD.又∵OA＝OD，∴AC＝BD.∴四边形ABCD是矩形．点对线·板块内考点衔接1. A　【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，∴OB＝OD，OA＝OC.∵BM＝DN，∴OM＝ON.∴四边形AMCN是平行四边形．当OM＝AC时，MN＝AC，∴四边形AMCN是矩形，故选A.2. C　【解析】∵DF平分∠ADC，∴∠CDF＝45°.∵∠BDF＝15°，∴∠CDO＝∠CDF＋∠BDF＝45°＋15°＝60°.在矩形ABCD中，OD＝OC，∴△DOC是等边三角形．3. C　【解析】∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC＝8，CD＝AB＝4，∠D＝90°.由折叠的性质得，CD＝C′D′＝4，D′F＝DF，∠FD′C′＝∠D＝90°，在Rt△D′FC′中，C′F2＝D′F2＋C′D′2＝(AD－D′F)2，∴(8－D′F)2＝D′F2＋42，解得D′F＝3.4. C　【解析】∵DE⊥AC，∴∠ADE＋∠CAD＝90°.∵∠ACD＋∠CAD＝90°，∴∠ACD＝∠ADE＝α，∵AB∥CD，∴∠BAC＝∠ACD＝α.∵cosα＝.∴＝，∴AC＝×4＝.5. 30　【解析】如解图，过点B′作B′E⊥A′D′于点E.设矩形ABCD的边AD长为a，AB长为b，B′E长为c，则S矩形ABCD＝ab，S▱A′B′C′D′＝ac.∵S▱A′B′C′D′＝S矩形ABCD，∴ac＝ab，∴c＝b，∴sinA′＝＝，∴∠A′＝30°.第5题解图6. 　【解析】∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD，∠A＝∠C＝90°，∵△BDE是由△BDC折叠得到的，∴DE＝CD＝AB，∠E＝∠C＝∠A，∵∠AFB＝∠EFD，∴△ABF≌△EDF(AAS)，∴EF＝AF.∵AF∶FD＝1∶2，∴DF＝2EF.∴∠EDF＝30°.∴∠AFB＝∠DFE＝90°－∠EDF＝60°.在Rt△ABF中，AB＝3，∴AF＝.7. 2　【解析】如解图，过点D作DM⊥EC于M，∵四边形ABCD是矩形∴AB＝CD＝6，∠BAD＝∠ABC＝∠ADC＝90°.∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠EBC＝45°.∴∠AEB＝∠ABE＝45°.∴AB＝AE＝CD＝6.∵∠AFE＝∠CDE＝90°，∴90°－∠AEF＝90°－∠CED.∴∠FAE＝∠DCE，且AE＝CD，∠AFE＝∠CMD.∴△AFE≌△CMD(AAS)．∴EF＝MD，∵S△DEF＝8，∴EF·MD＝8.∴EF＝4.∴AF＝＝2.第7题解图8. (1)证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠D＝90°，∠AFE＋∠AEF＝90°.∵EF⊥EC，∴∠AEF＋∠DEC＝90°.∴∠AFE＝∠DEC.在△AEF和△DCE中，∴△AEF≌△DCE(AAS)．∴AF＝DE；(2)解：∵DE＝AD，AE＋DE＝AD，∴AE＋DE＝DE.∴＝.∵由(1)得AF＝DE，∴tan∠AFE＝＝＝.9. (1)证明：∵AB ＝AC，∴∠ABC＝∠ACB.∵△ABC平移得到△DEF，∴∠ABC＝∠DEF.∴∠DEF＝∠ACB.∴△OEC为等腰三角形；(2)解：如解图，当E为BC中点时，四边形AECD为矩形．理由：第9题解图∵AB＝AC，且E为BC中点，∴AE⊥BC，BE＝EC.∵△ABC平移得到△DEF.∴BE∥AD，BE＝AD.∴AD∥EC，AD＝EC.∴四边形AECD为平行四边形，又∵AE⊥BC.∴四边形AECD为矩形．点对面·跨板块考点迁移9　【解析】如解图，取AD的中点E，连接OE，CE，OC，∵∠AOD＝90°，∴在Rt△AOD中，OE＝AD＝4.又∵∠ADC＝90°，AB＝CD＝3，DE＝4，∴在Rt△CDE中，CE＝＝5.又∵OC≤CE＋OE＝9，∴OC的最大值为9，即点C到原点O距离的最大值是9.解图