2022-2023学年辽宁省鞍山市千山区八年级（上）期中数学试卷(解析版)

2022-2023学年辽宁省鞍山市千山区八年级（上）期中数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共20.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.    一个三角形有两个内角的度数分别为和，则这个三角形属于(    )

A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 不能确定

2.    在下列四个图形中，能用表示的高的有(    )
    

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

3.    已知：如图，与交于点，，不能判断与全等的是(    )

A.  B.  C.  D.

4.    如图，尺规作图，作的平分线方法如下：以为圆心，任意长为半径画弧交，于，，再分别以点，为圆心，以大于长为半径画弧，两弧交于点，作射线，由作法得≌的根据是     (    )
    

A.  B.  C.  D.

5.    正多边形的一个内角等于，则该多边形是正边形．(    )

A.  B.  C.  D.

6.    已知三角形的两边长分别为和，则下列长度的线段能作为第三边的是(    )

A.  B.  C.  D.

7.    如图，在中，，，的垂直平分线交于，为垂足，连接，若，则等于(    )

A.
B.
C.
D.

8.    如图，在中，的平分线与的外角平分线相交于点，，则等于(    )

A.
B.
C.
D.

9.    如图，在中，，，平分，则图中等腰三角形的个数是(    )
    

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

10. 如图，中，，于，平分，且于点，与相交于点，于，交于，有下列结论：；；；其中正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共8小题，共16.0分）

11. 已知，点与点关于轴对称，则的值为______．
12. 如图，小亮从点出发，沿直线前进米后向左转，再沿直线前进米，又向左转，，照这样走下去，他第一次回到出发地点时，一共走了______米．

13. 如图，中，，，点在边上，且若，则的长为______．

14. 如图，，分别是的高和角平分线，且，，则的度数为______．

15. 如图，中，，，的垂直平分线分别交，于点、，则______

16. 如图，是的中线，已知的周长为，比长，则的周长为______．

17. 如图，在正五边形中，连接，则的度数为______．

18. 如图，点是内任意一点，，点和点分别是射线和射线上的动点，，则周长的最小值______．

三、解答题（本大题共7小题，共64.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

19. 本小题分
    如图，某小区绿化带内部有两个喷水臂、，现欲在内部建一个水泵，使得水泵到，的距离相等，且到两个嘈水管、的距离也相等，请你在图中标出水泵的位置保留作图痕迹．

20. 本小题分
    如图，是的角平分线，交的延长线于点，，：：，求和的度数．

21. 本小题分
    如图，在中，，，为延长线上一点，点在边上，且，连结、、．
    求证：≌；
    若，求的度数．

22. 本小题分
    已知：如图，在中，、分别平分和，直接写出与的数量关系为______．
    已知：如图，在四边形中，、分别平分和，试探究与的数量关系．
     
23. 本小题分
    如图，四边形中，平分，，于．
    求证：；
    若：：，，求四边形的面积．

24. 本小题分
    【观察发现】如图，中，，，点为的中点，求的取值范围．
    解法如下：延长到点，使，连接请直接写出的取值范围；
    【探索应用】如图，，，，点为的中点，，求的长．
     
25. 本小题分
    已知：为等边三角形，点为射线上一点，点为射线上一点，．
    
    如图，当在的延长线上且时，求证：是的中线；
    如图，当在的延长线上时，线段、、之间有何数量关系．
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：三角形的两个内角的度数分别为和，
这个三角形的第三个内角是，
三个内角都小于，
这个三角形是锐角三角形，
故选：．
根据三角形的内角和定理求出三角形的第三个内角即可判断．
本题考查三角形内角和定理，三角形的分类等知识，解题的关键是掌握三角形按角分类，三角形分为直角三角形，锐角三角形和钝角三角形．
 

2.【答案】 

【解析】解：第二个和第三个图中能用表示的高，
第一个和第四个图中不能用表示的高，
故选：．
根据三角形的高的概念判断即可．
本题考查的是三角形的高的概念，从三角形的一个顶点向对边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高．
 

3.【答案】 

【解析】解：，，
当添加时，根据“”判断与；
当添加时，根据“”判断与；
当添加时，则，根据“”判断与；
当添加时，不能判断与．
故选：．
利用，，然后根据全等三角形的判定方法对各选项进行判断．
本题考查了全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的种判定方法是解决问题的关键．选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件．
 

4.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：、、、、注意：、不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角，认真阅读作法，从角平分线的作法得出与的两边分别相等，加上公共边相等，于是两个三角形符合判定方法要求的条件，答案可得．
【解答】
解：以为圆心，任意长为半径画弧交，于，，即；
以点，为圆心，以大于长为半径画弧，两弧交于点，即；
在和中，
，
≌．
故选D．  

5.【答案】 

【解析】解：设正多边形是边形，由题意得
．
解得，
故选：．
根据正多边形的每个内角相等，可得正多边形的内角和，再根据多边形的内角和公式，可得答案．
本题考查了多边形的内角与外角，利用了正多边形的内角相等，多边形的内角和公式．
 

6.【答案】 

【解析】解：根据三角形的三边关系，第三边应大于两边之差，且小于两边之和，
即，．
第三边取值范围应该为：第三边长度，
故只有选项符合条件．
故选：．
此题首先根据三角形的三边关系，求得第三边的取值范围，再进一步找到符合条件的数值．
本题考查了三角形三边关系，一定要注意构成三角形的条件：两边之和第三边，两边之差第三边．
 

7.【答案】 

【解析】解：，，
，
是的垂直平分线，
，
，
，
，
．
故选：．
由中，，，可得，又根据垂直平分线和等腰三角形的性质可得结论．
本题考查了等腰三角形、线段垂直平分线的性质，应熟记其性质：线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．
 

8.【答案】 

【解析】解：设点在的延长线上，与交于点，如图所示．
，平分，
．
平分，
．
又，，，
，即，
．
故选：．
设点在的延长线上，与交于点，利用角平分线的定义及三角形的外角性质可得出及，由三角形内角和定理及对顶角相等，可得出，进而可得出的度数．
本题考查了三角形的外角性质、对顶角以及三角形内角和定理，利用三角形内角和定理及对顶角相等，找出是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了等腰三角形的性质和判定、角的平分线的定义三角形内角和定理；求得各个角的度数是正确解答本题的关键．
由，可得是等腰三角形，求得各角的度数，证出，，确定与也是等腰三角形，即可得出结论．
【解答】
解：，，
是等腰三角形，，
平分，
为等腰三角形，
，
为等腰三角形，
则图中等腰三角形的个数是个．
故选：．  

10.【答案】 

【解析】解：，，
为等腰直角三角形，
，故正确，

，，
是等腰直角三角形．
．
故正确；

在和中，
，，且，
．
又，，
≌．
；．
，
；故正确；

在和中
平分，
．
又，，
≌．
．
又由可知：，
；故正确；
故选：．
解析：由，可得出为等腰直角三角形，根据，可得出，利用判定≌，从而得出，则，即；再利用判定≌，得出，又因为，所以．
本题考查三角形全等的判定方法，等腰直角三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：点与点关于轴对称，
，，
解得：，，
则．
故答案为：．
关于轴的对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数．直接利用关于轴对称点的性质得出，的值，进而得出答案．
此题主要考查了关于轴对称点的性质，正确把握横纵坐标的关系是解题关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：，
他需要走次才会回到原来的起点，即一共走了米．
故答案为：．
由题意可知小亮所走的路线为一个正多边形，根据多边形的外角和即可求出答案．
本题主要考查了多边形的外角和定理．任何一个多边形的外角和都是．
 

13.【答案】 

【解析】解：过点作，垂足为，

，
，
，
，
，
，
，
，，
，
故答案为：．
过点作，垂足为，根据垂直的定义可得，再利用直角三角形的两个锐角互余可得，从而在中，利用含度角的直角三角形的性质可得，进而可得，然后利用等腰三角形的三线合一性质即可解答．
本题考查了含度角的直角三角形，等腰三角形的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：在中，，，
．
平分，
．
是的高，
．
在中，，，
．
．
故答案为：．
在中，利用三角形内角和定理可求出的度数，结合角平分线的定义可求出的度数，在中，利用三角形内角和定理可求出的度数，再结合即可求出的度数．
本题考查了三角形内角和定理以及角平分线的定义，利用角平分线的定义及三角形内角和定理，求出和的度数是解题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：垂直平分，
，
，
，
．
故答案为：．
根据线段垂直平分线的性质得到，则，再利用三角形内角和计算出，然后计算即可．
本题考查了线段垂直平分线的性质：垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．
 

16.【答案】 

【解析】解：是的中线，
，
的周长为，
，
，
比长，
，
，
，
的周长，
故答案为：．
根据三角形的中线的概念得到，再根据三角形的周长公式计算，得到答案．
本题考查的是三角形的中线的概念，三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线．
 

17.【答案】 

【解析】解：五边形是正五边形，
，，
是等腰三角形，
．
故答案为：．
根据正五边形的性质得出和的度数，再根据三角形内角和定理即可得出答案．
本题考查了多边形的内角与外角，熟练掌握正五边形的性质和三角形的内角和定理是解题的关键．
 

18.【答案】 

【解析】解：分别作点关于、的对称点、，连接，分别交、于点、，连接、、、、．
点关于的对称点为，关于的对称点为，
，，；
点关于的对称点为，
，，，
，，
是等边三角形，
．
的周长的最小值．
故答案为；
设点关于的对称点为，关于的对称点为，当点、在上时，的周长最小．
此题主要考查轴对称--最短路线问题，熟知两点之间线段最短是解答此题的关键．
 

19.【答案】解：如图，点即为所求．
 

【解析】作平分，作垂直平分线段交于点，点即为所求．
本题考查作图应用与设计作图，角平分线的性质，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
 

20.【答案】解：设，则，
平分，，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
． 

【解析】设，则，利用三角形内角和定理以及三角形的外角的性质解决问题即可．
本题考查三角形内角和定理，三角形的外角的性质，角平分线的定义等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．
 

21.【答案】证明：在和中，
，
≌；

解：在中，，，
，
由得：≌，
，
为的外角，
，
则． 

【解析】此题考查了全等三角形的判定与性质，以及三角形的外角性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．
利用即可得证；
由全等三角形对应角相等得到，利用外角的性质求出的度数，即可确定出的度数．
 

22.【答案】 

【解析】解：如图，，
、分别平分和，
，，
在中，由三角形内角和定理得，



，
故答案为：；
如图，，理由如下：
、分别平分和，
，，
在中，由三角形内角和定理得，

，
而，

．
根据角平分线的定义，以及三角形内角和定理可得答案；
根据角平分线的定义可得，，再根据四边形的内角和可得，代入化简即可．
本题考查多边形的内角和、三角形的内角和以及角平分线的定义，掌握角平分线的定义以及多边形的内角和定理是得出正确答案的前提．
 

23.【答案】证明：如图，过点作，交的延长线于，
、
平分，
，
在和中，
，
≌，
，，
在和中，
，
≌，
，
，
；
：：，，
，
，
≌，≌，
，，
四边形的面积． 

【解析】过点作，交的延长线于，由“”可证≌，可得，，由“”可证≌，可得，由平角的性质可得结论；
由全等三角形的性质可得，，即可求解．
本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练运用全等三角形的判定方法是本题的关键．
 

24.【答案】【观察发现】
解：如图，延长到点，使，连接，
点为的中点，
，
在与中，
，
≌，
，
在中，，而，，
．
又，
；
【探索应用】
解：如图，延长，交于，

点是的中点，
，
，
，，
≌，
，
，
，
，
． 

【解析】【观察发现】由“”可证≌，可得，由三角形的三边关系可求解；
【探索应用】由“”可证≌，可得，即可求解．
本题是三角形综合题，考查了全等三角形的性质、等腰三角形的性质等知识，作出恰当的辅助线，证得三角形全等是解答此题的关键．
 

25.【答案】证明：是等边三角形，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
是的中线；
解：，理由如下：
如图，在上取，连接，

，，
为等边三角形，
，，
，
，
，
即，
，，
，
即，
在和，
，
≌，
，
，
． 

【解析】利用是等边三角形得出角，边关系，利用，得出是等腰三角形，证明即可解决问题．
在上取，连接，利用≌得出，得出．
本题考查了全等三角形的判定与性质及等边三角形的性质，解题的关键是正确作出辅助线，运用三角形全等找出对应的线段．