云南省昭通市威信县2021-2022学年八年级上学期期末数学试卷(含答案)

这是一份云南省昭通市威信县2021-2022学年八年级上学期期末数学试卷(含答案)，共23页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年云南省昭通市威信县八年级（上）期末数学试卷
一、单选题（本大题共8个小题，每小题3分，满分24分）
1．如图中不是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
2．已知三条线段长分别为3cm、4cm、a，若这三条线段首尾顺次联结能围成一个三角形，那么a的取值范围是（　　）
A．1cm＜a＜5cm B．2cm＜a＜6cm C．4cm＜a＜7cm D．1cm＜a＜7cm
3．能够铺满地面的正多边形组合是（　　）
A．正六边形和正五边形 B．正方形和正八边形
C．正五边形和正八边形 D．正三角形和正八边形
4．如图，AD是△ABC的中线，E，F分别是AD和AD延长线上的点，且CE∥BF，连接BF，CE、下列说法：
①DE＝DF；
②△ABD和△ACD面积相等；
③CE＝BF；
④△BDF≌△CDE；
⑤∠CEF＝∠F．
其中正确的有（　　）

A．1个 B．5个 C．3个 D．4个
5．如图，已知△ABC≌△DEF，CD平分∠BCA，若∠A＝30°，∠CGD＝100°，则∠E的度数是（　　）

A．30° B．40° C．50° D．60°
6．如图，是尺规作图中“画一个角等于已知角”的示意图，该作法运用了“全等三角形的对应角相等”这一性质，则判定图中两三角形全等的条件是（　　）

A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS
7．下列计算正确的是（　　）
A．4a2+2a2＝6a4 B．a8÷a4＝a2
C．（a﹣b）2＝a2﹣b2 D．（ab）3＝a3b3
8．若4x2+（k﹣2）x+1是关于x的完全平方式，则常数k的值为（　　）
A．6或﹣2 B．﹣4或7 C．0 D．10
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，满分18分）
9．若a5•（ay）4＝a17，则y＝　 　．
10．在实数范围内分解因式：a5﹣16a＝　 　．
11．已知有理数m，n满足（m+）2+|n2﹣16|＝0，则m2020•n2020的值为 　 　．
12．若关于x的分式方程＝1﹣的解为非负数，则m的取值范围是 　 　．
13．一个多边形剪去一个内角后，得到一个内角和为2700°的新多边形，则原多边形的边数为 　 　．
14．如图，在△ABC中，AB＝AC，AB∥CD，过点B作BF⊥AC于E，交CD于点F，BD⊥CD于D，CD＝8，BD＝3，BF＝4，△ABE的周长为 　 　．

三、解答题（本大题共9个小题，满分58分）
15．（6分）计算：
（1）2a（a﹣b）﹣（a﹣b）2；
（2）÷（x+）．
16．（4分）有这样一道题：“求﹣÷的值，其中a＝2021”，“小马虎”不小心把a＝2021错抄成a＝2001，但他的计算结果却是正确的，请说明原因．
17．（6分）在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，格点三角形（顶点是网格线的交点的三角形）ABC的顶点A、C的坐标分别为（﹣4，5），（﹣1，3）．
（1）请在如图所示的网格平面内作出平面直角坐标系；
（2）请作出△ABC关于y轴对称的△A′B′C′；
（3）点B′的坐标为　 　．
（4）△ABC的面积为　 　．

18．（6分）先阅读下面的材料，然后回答问题：
方程x+＝2+的解为x1＝2，x2＝；
方程x+＝3+的解为x1＝3，x2＝；
方程x+＝4+的解为x1＝4，x2＝；
…
（1）观察上述方程的解，猜想关于x的方程x+＝6+的解是 　 　；
（2）根据上面的规律，猜想关于x的方程x+＝a+的解是 　 　；
（3）由（2）可知，在解方程：y+＝时，可以变形转化为x+＝a+的形式求值，按要求写出你的变形求解过程．
（4）利用（2）的结论解方程：+＝．
19．（4分）由多项式相乘法则，容易得到（ax+b）（cx+d）＝acx2+（ad+bc）x+bd．显然，两个关于同一字母的一次二项式相乘，结果是这个字母的二次三项式．其中两次项系数就是两因式中一次项系数a、c的积，常数项是两个因式中常数项b、d的积，最容易算错的是一次项系数ad+bc，可借助图计算：上下两行分别表示两个因式中的一次项系数和常数项，两斜线连结的数分别相乘，将所得的积相加即得积的一次项系数．这种方法通常称作十字相乘法．
应用这一方法计算下列各题：
（1）（x﹣2）（x+5）；
（2）（3xy+7）（2xy﹣1）．

20．（6分）如图，点A，D，B，E在同一条直线上，CB与DF交于点O，已知BC＝DF，AD＝BE，∠CBA＝∠FDE．
（1）求证：△ABC≌△EDF；
（2）若∠A＝30°，∠F＝115°，求∠BOD的度数．

21．（6分）如图，△ABC中，∠ABC＝∠ACB，E在线段AC上，D在AB的延长线上，连DE交EC于F，过E作EG⊥BC于G．
（1）若∠A＝40°，∠D＝25°，试判断△EFG的形状；并说明理由．
（2）若EH∥AD，BD＝CE，求证：FG＝BF+CG．

22．（8分）某商场准备购进A，B两种玩具，每个A种玩具比B种玩具的进价少30元，用800元购进A种玩具的个数是用650元购进B种玩具个数的2倍，A种玩具每个标价是100元，B种玩具每个标价是140元．请解答下列问题：
（1）A，B两种玩具每个进价各是多少元？
（2）若该商场购进B种玩具的个数比A种玩具的2倍还多5个，且A种玩具不少于18个，购进A，B两种玩具的总费用不超过4470元，则该商场有哪几种进货方案？
23．（12分）在等腰三角形ABC中，AB＝AC，在△ABC的外部作等边三角形ACD，E为AC的中点，连接DE并延长交BC于点F，连接BD．

（1）如图1，若∠BAC＝110°，求∠DFC和∠BDF的度数．
（2）如图2中，∠ACB的平分线交AB于点M，交EF于点N，连接BN．
①补全图2；
②若BN＝DN，求证：MB＝MN．


2021-2022学年云南省昭通市威信县八年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、单选题（本大题共8个小题，每小题3分，满分24分）
1．如图中不是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【解答】解：选项A、B、D的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形．
选项C的图形不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形．
故选：C．
2．已知三条线段长分别为3cm、4cm、a，若这三条线段首尾顺次联结能围成一个三角形，那么a的取值范围是（　　）
A．1cm＜a＜5cm B．2cm＜a＜6cm C．4cm＜a＜7cm D．1cm＜a＜7cm
【分析】根据三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，进而得出答案．
【解答】解：∵三条线段长分别为3cm、4cm、acm，若这三条线段首尾顺次联结能围成一个三角形，
∴4﹣3＜a＜3+4，
即a的取值范围是：1cm＜a＜7cm．
故选：D．
3．能够铺满地面的正多边形组合是（　　）
A．正六边形和正五边形 B．正方形和正八边形
C．正五边形和正八边形 D．正三角形和正八边形
【分析】能够铺满地面的图形，即是能够凑成360°的图形组合．
【解答】解：A、正六边形的每个内角是120°，正方形的每个内角是90°，120m+90n＝360°，显然n取任何正整数时，m不能得正整数，故不能铺满；
B、正五边形每个内角是180°﹣360°÷5＝108°，正八边形每个内角为135度，135m+108n＝360°，显然n取任何正整数时，m不能得正整数，故不能铺满；
C、正方形的每个内角为90°，正八边形的每个内角为135°，两个正八边形和一个正方形刚好能铺满地面；
D、正三角形每个内角为60度，正八边形每个内角为135度，135m+108n＝360°，显然n取任何正整数时，m不能得正整数，故不能铺满．
故选：C．
4．如图，AD是△ABC的中线，E，F分别是AD和AD延长线上的点，且CE∥BF，连接BF，CE、下列说法：
①DE＝DF；
②△ABD和△ACD面积相等；
③CE＝BF；
④△BDF≌△CDE；
⑤∠CEF＝∠F．
其中正确的有（　　）

A．1个 B．5个 C．3个 D．4个
【分析】根据三角形中线的定义可得BD＝CD，然后利用“边角边”证明△BDF和△CDE全等，根据全等三角形对应边相等可得CE＝BF，全等三角形对应角相等可得∠F＝∠CED，再根据内错角相等，两直线平行可得BF∥CE，最后根据等底等高的三角形的面积相等判断出②正确．
【解答】解：∵AD是△ABC的中线，
∴BD＝CD，
在△BDF和△CDE中，
，
∴△BDF≌△CDE（SAS），故④正确
∴CE＝BF，∠F＝∠CED，故①正确，
∵∠CEF＝∠CED，
∴∠CEF＝∠F，故⑤正确，
∴BF∥CE，故③正确，
∵BD＝CD，点A到BD、CD的距离相等，
∴△ABD和△ACD面积相等，故②正确，
综上所述，正确的有5个，
故选：B．
5．如图，已知△ABC≌△DEF，CD平分∠BCA，若∠A＝30°，∠CGD＝100°，则∠E的度数是（　　）

A．30° B．40° C．50° D．60°
【分析】根据角平分线的性质得到∠ACD＝∠BCD＝∠BCA，根据全等三角形的性质得到∠D＝∠A＝30°，根据三角形的外角性质、全等三角形的性质解答即可．
【解答】解：∵CD平分∠BCA，
∴∠ACD＝∠BCD＝∠BCA，
∵△ABC≌△DEF，
∴∠D＝∠A＝30°，
∵∠CGF＝∠D+∠BCD，
∴∠BCD＝180°﹣∠CGD﹣∠D＝50°，
∴∠BCA＝100°，
∴∠B＝180°﹣30°﹣100°＝50°，
∵△ABC≌△DEF，
∴∠E＝∠B＝50°，
故选：C．
6．如图，是尺规作图中“画一个角等于已知角”的示意图，该作法运用了“全等三角形的对应角相等”这一性质，则判定图中两三角形全等的条件是（　　）

A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS
【分析】如图，由作图可知，OA＝OB＝CE＝EF，BA＝CF．根据SSS证明△AOB≌△CEF．
【解答】解：如图，由作图可知，OA＝OB＝CE＝EF，BA＝CF．

在△AOB和△CEF中，
，
∴△AOB≌△CEF（SSS），
故选：D．
7．下列计算正确的是（　　）
A．4a2+2a2＝6a4 B．a8÷a4＝a2
C．（a﹣b）2＝a2﹣b2 D．（ab）3＝a3b3
【分析】利用同底数幂的除法，合并同类项，完全平方公式，积的乘方运算，先计算再判断．
【解答】解：4a2+2a2＝6a2，A选项错误；
a8÷a4＝a4，B选项错误；
（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，C选项错误；
（ab）3＝a3b3，D选项正确，
故选：D．
8．若4x2+（k﹣2）x+1是关于x的完全平方式，则常数k的值为（　　）
A．6或﹣2 B．﹣4或7 C．0 D．10
【分析】根据完全平方公式即可求出答案．
【解答】解：由于4x2±4x+1＝（2x±1）2，
∴k﹣2＝±4，
∴k＝6或﹣2，
故选：A．
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，满分18分）
9．若a5•（ay）4＝a17，则y＝　3　．
【分析】利用幂的乘方的法则及同底数幂的乘法的法则对条件进行整理，从而可求解．
【解答】解：∵a5•（ay）4＝a17，
a5•a4y＝a17，
a5+4y＝a17，
∴5+4y＝17，
解得：y＝3．
故答案为：3．
10．在实数范围内分解因式：a5﹣16a＝　a（a2+4）（a+2）（a﹣2）　．
【分析】先提公因式，然后再利用平方差公式进行分解即可．
【解答】解：a5﹣16a
＝a（a4﹣16）
＝a（a2+4）（a2﹣4）
＝a（a2+4）（a+2）（a﹣2），
故答案为：a（a2+4）（a+2）（a﹣2）．
11．已知有理数m，n满足（m+）2+|n2﹣16|＝0，则m2020•n2020的值为 　1　．
【分析】利用非负数的性质求出m与n的值，代入计算即可求出值．
【解答】解：因为（m+）2+|n2﹣16|＝0，
所以m+＝0，n2﹣16＝0，
所以m＝﹣，n＝±4，
所以m2020•n2020
＝（﹣）2020×（±4）2020
＝（﹣）2020×42020
＝（﹣×4）2020
＝（﹣1）2020
＝1．
故答案为：1．
12．若关于x的分式方程＝1﹣的解为非负数，则m的取值范围是 　m≤5且m≠2　．
【分析】先解分式方程得x＝5﹣m，再由题意可得5﹣m≥0，5﹣m≠3，从而求解即可．
【解答】解：＝1﹣，
2＝x﹣3+m，
x＝5﹣m，
∵方程的解为非负数，
∴5﹣m≥0，
∴m≤5，
∵x≠3，
∴5﹣m≠3，
∴m≠2，
∴m的取值范围为m≤5且m≠2，
故答案为：m≤5且m≠2．
13．一个多边形剪去一个内角后，得到一个内角和为2700°的新多边形，则原多边形的边数为 　16，17或18　．
【分析】根据多边形的内角和公式先求出新多边形的边数，然后再根据截去一个角的情况进行讨论．
【解答】解：设新多边形的边数为n，
则（n﹣2）•180°＝2700°，
解得n＝17，
①若截去一个角后边数增加1，则原多边形边数为16，
②若截去一个角后边数不变，则原多边形边数为17，
③若截去一个角后边数减少1，则原多边形边数为18，
所以多边形的边数可以为16，17或18．
故答案为：16，17或18．
14．如图，在△ABC中，AB＝AC，AB∥CD，过点B作BF⊥AC于E，交CD于点F，BD⊥CD于D，CD＝8，BD＝3，BF＝4，△ABE的周长为 　11　．

【分析】根据等腰三角形的性质得到∠ACB＝∠ABC，根据平行线的性质得到∠ABC＝∠BCD，根据角平分线的性质得到BE＝BD＝3，根据全等三角形的性质即可得到答案．
【解答】解：∵AB＝AC，
∴∠ACB＝∠ABC，
∵AB∥CD，
∴∠ABC＝∠BCD，
∴∠ACB＝∠BCD，
∵BE⊥CE，BD⊥CD，
∴BE＝BD＝3，
在Rt△BCE与Rt△BCD中，

∴Rt△BCE≌Rt△BCD（HL），
∴CE＝CD＝8，
∴AB+AE＝AC+AE＝8，
∴△ABE的周长＝AE+AB+BE＝8+3＝11，
故答案为：11．
三、解答题（本大题共9个小题，满分58分）
15．（6分）计算：
（1）2a（a﹣b）﹣（a﹣b）2；
（2）÷（x+）．
【分析】（1）先计算单项式乘多项式和完全平方公式，再合并同类项即可；
（2）先约分和计算括号内的加法，再计算除法即可．
【解答】解：（1）2a（a﹣b）﹣（a﹣b）2
＝2a2﹣2ab﹣a2+2ab﹣b2
＝a2﹣b2；
（2）÷（x+）
＝÷
＝•
＝．
16．（4分）有这样一道题：“求﹣÷的值，其中a＝2021”，“小马虎”不小心把a＝2021错抄成a＝2001，但他的计算结果却是正确的，请说明原因．
【分析】首先化简，然后判断出算式的值与a无关即可．
【解答】解：
＝﹣
＝1
∴算式的值与a无关，
∴“小马虎”不小心把a＝2021错抄成a＝2001，但他的计算结果却是正确的．
17．（6分）在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，格点三角形（顶点是网格线的交点的三角形）ABC的顶点A、C的坐标分别为（﹣4，5），（﹣1，3）．
（1）请在如图所示的网格平面内作出平面直角坐标系；
（2）请作出△ABC关于y轴对称的△A′B′C′；
（3）点B′的坐标为　（2，1）　．
（4）△ABC的面积为　4　．

【分析】（1）根据点A及点C的坐标，易得y轴在C的右边一个单位，x轴在C的下方3个单位，建立直角坐标系即可；
（2）根据对称轴垂直平分对应点连线，可得各点的对称点，顺次连接即可；
（3）结合（2）的图形，即可得出B'的坐标；
（5）利用“构图法”求解△ABC的面积即可．
【解答】解：（1）如图所示：
（2）如图所示：
（3）结合图形可得：B′（2，1）；
（4）S△ABC＝3×4﹣×2×3﹣×1×2﹣×2×4＝12﹣3﹣1﹣4＝4．

18．（6分）先阅读下面的材料，然后回答问题：
方程x+＝2+的解为x1＝2，x2＝；
方程x+＝3+的解为x1＝3，x2＝；
方程x+＝4+的解为x1＝4，x2＝；
…
（1）观察上述方程的解，猜想关于x的方程x+＝6+的解是 　x1＝6，x2＝　；
（2）根据上面的规律，猜想关于x的方程x+＝a+的解是 　x1＝a，x2＝　；
（3）由（2）可知，在解方程：y+＝时，可以变形转化为x+＝a+的形式求值，按要求写出你的变形求解过程．
（4）利用（2）的结论解方程：+＝．
【分析】（1）根据已知材料即可得出答案；
（2）根据已知材料即可得出答案；
（3）把方程转化成（y+1）+＝3+，由材料得出y+1＝3，y+1＝，求出方程的解即可；
（4）利用换元法，转化为材料中的规律解答．
【解答】解：（1）关于x的方程x+＝6+的解是：x1＝6，x2＝，
故答案为：x1＝6，x2＝；
（2）关于x的方程x+＝的解是：x1＝a，x2＝，
故答案为：x1＝a，x2＝；
（3）y+＝，
y+＝，
y+1+＝3+，
（y+1）+＝3+，
即y+1＝3，y+1＝，
解得：y1＝2，y2＝﹣；
（4）令＝m，则方程+＝可化为m+＝4+，
由（2）规律可得，m1＝4，m2＝；
即＝4或＝，
解得x1＝，x2＝．
19．（4分）由多项式相乘法则，容易得到（ax+b）（cx+d）＝acx2+（ad+bc）x+bd．显然，两个关于同一字母的一次二项式相乘，结果是这个字母的二次三项式．其中两次项系数就是两因式中一次项系数a、c的积，常数项是两个因式中常数项b、d的积，最容易算错的是一次项系数ad+bc，可借助图计算：上下两行分别表示两个因式中的一次项系数和常数项，两斜线连结的数分别相乘，将所得的积相加即得积的一次项系数．这种方法通常称作十字相乘法．
应用这一方法计算下列各题：
（1）（x﹣2）（x+5）；
（2）（3xy+7）（2xy﹣1）．

【分析】运用（ax+b）（cx+d）＝acx2+（ad+bc）x+bd的方法计算即可．
【解答】解：（1）（x﹣2）（x+5）
＝x2+（﹣2+5）x+（﹣2）×5
＝x2+3x﹣10；
（2）（3xy+7）（2xy﹣1）
＝3×2（xy）2+（7﹣1）xy+7×（﹣1）
＝6x2y2+6xy﹣7．
20．（6分）如图，点A，D，B，E在同一条直线上，CB与DF交于点O，已知BC＝DF，AD＝BE，∠CBA＝∠FDE．
（1）求证：△ABC≌△EDF；
（2）若∠A＝30°，∠F＝115°，求∠BOD的度数．

【分析】（1）根据SAS证明△ABC与△EDF全等；
（2）利用全等三角形的性质和三角形内角和定理解答即可．
【解答】（1）证明：∵AD＝BE，
∴AB＝DE，
在△ABC与△EDF中，
，
∴△ABC≌△EDF（SAS）；
（2）解：∵△ABC≌△EDF，
∴∠A＝∠E＝30°，∠F＝∠C＝115°，∠ABC＝∠FDE，
∴∠ABC＝∠FDE＝180°﹣30°﹣115°＝35°，
∴∠BOD＝180°﹣∠ABC﹣∠FDE＝180°﹣35°﹣35°＝110°．
21．（6分）如图，△ABC中，∠ABC＝∠ACB，E在线段AC上，D在AB的延长线上，连DE交EC于F，过E作EG⊥BC于G．
（1）若∠A＝40°，∠D＝25°，试判断△EFG的形状；并说明理由．
（2）若EH∥AD，BD＝CE，求证：FG＝BF+CG．

【分析】（1）根据等腰三角形两底角相等求出∠C，再根据直角三角形两锐角互余求出∠CEG，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠CEF，然后计算即可得解；
（2）过点E作EH∥AB交BC于H，根据两直线平行，同位角相等可得∠ABC＝∠EHC，内错角相等可得∠D＝∠FEH，然后求出∠EHC＝∠C，再根据等角对等边可得EC＝EH，然后求出BD＝EH，再利用“角角边”证明△BDF和△HEF全等，根据全等三角形对应边相等可得BF＝FH，根据等腰三角形三线合一的性质可得CG＝HG，即可得证．
【解答】（1）解：△EFG是等腰直角三角形，理由如下：
∵∠A＝40°，
∴∠C＝（180°﹣∠A）＝（180°﹣40°）＝70°，
∵EG⊥BC，
∴∠CEG＝90°﹣∠C＝90°﹣70°＝20°，
∵∠A＝40°，∠D＝25°，
∴∠CEF＝∠A+∠D＝40°+25°＝65°，
∴∠GEF＝∠CEF﹣∠CEG＝65°﹣20°＝45°，
∴△EFG是等腰直角三角形；
（2）证明：∵EH∥AD，
则∠ABC＝∠EHC，∠D＝∠FEH，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C，
∴∠EHC＝∠C，
∴EC＝EH，
∵BD＝CE，
∴BD＝EH，
在△BDF和△HEF中，
，
∴△BDF≌△HEF（AAS），
∴BF＝FH，
又∵EC＝EH，EG⊥BC，
∴CG＝HG，
∴FG＝FH+HG＝BF+CG．
22．（8分）某商场准备购进A，B两种玩具，每个A种玩具比B种玩具的进价少30元，用800元购进A种玩具的个数是用650元购进B种玩具个数的2倍，A种玩具每个标价是100元，B种玩具每个标价是140元．请解答下列问题：
（1）A，B两种玩具每个进价各是多少元？
（2）若该商场购进B种玩具的个数比A种玩具的2倍还多5个，且A种玩具不少于18个，购进A，B两种玩具的总费用不超过4470元，则该商场有哪几种进货方案？
【分析】（1）设每个A种玩具的进价是x元，则每个B种玩具的进价是（x+30）元，利用数量＝总价÷单价，结合用800元购进A种玩具的个数是用650元购进B种玩具个数的2倍，可得出关于x的分式方程，解之经检验后，可得出每个A种玩具的进价，再将其代入（x+30）中，可求出每个B种玩具的进价；
（2）设该商场购进m个A种玩具，则购进（2m+5）个B种玩具，根据“购进A种玩具不少于18个，且购进A，B两种玩具的总费用不超过4470元”，可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，再结合m为正整数，即可得出各进货方案．
【解答】解：（1）设每个A种玩具的进价是x元，则每个B种玩具的进价是（x+30）元，
根据题意得：＝2×，
解得：x＝48，
经检验，x＝48是所列方程的解，且符合题意，
∴x+30＝48+30＝78．
答：每个A种玩具的进价是48元，每个B种玩具的进价是78元．
（2）设该商场购进m个A种玩具，则购进（2m+5）个B种玩具，
根据题意得：，
解得：18≤m≤20，
又∵m为正整数，
∴m可以为18，19，20，
∴该商场共有3种进货方案，
方案1：购进18个A种玩具，41个B种玩具；
方案2：购进19个A种玩具，43个B种玩具；
方案3：购进20个A种玩具，45个B种玩具．
23．（12分）在等腰三角形ABC中，AB＝AC，在△ABC的外部作等边三角形ACD，E为AC的中点，连接DE并延长交BC于点F，连接BD．

（1）如图1，若∠BAC＝110°，求∠DFC和∠BDF的度数．
（2）如图2中，∠ACB的平分线交AB于点M，交EF于点N，连接BN．
①补全图2；
②若BN＝DN，求证：MB＝MN．

【分析】（1）分别求出∠ADF，∠ADB，根据∠BDF＝∠ADF﹣∠ADB计算即可，再求出∠ACB＝35°，可得结论；
（2）①根据要求画出图形即可；
②设∠ACM＝∠BCM＝α，由AB＝AC，推出∠ABC＝∠ACB＝2α，可得∠NAC＝∠NCA＝α，∠DAN＝60°+α，由△ABN≌△ADN（SSS），推出∠ABN＝∠ADN＝30°，∠BAN＝∠DAN＝60°+α，∠BAC＝60°+2α，在△ABC中，根据∠BAC+∠ACB+∠ABC＝180°，构建方程求出α，再证明∠MNB＝∠MBN即可解决问题．
【解答】（1）解：如图1中，

在等边三角形△ACD中，
∠CAD＝∠ADC＝60°，AD＝AC．
∵E为AC的中点，
∴∠ADE＝∠ADC＝30°，
∵AB＝AC，
∴AD＝AB，
∵∠BAD＝∠BAC+∠CAD＝170°，
∴∠ADB＝∠ABD＝5°，
∴∠BDF＝∠ADF﹣∠ADB＝25°，
∵AB＝AC，∠BAC＝110°，
∴∠ACB＝∠ABC＝35°，
∵DE⊥AC，
∴∠DFC＝90°﹣35°＝55°．

（2）①补全图形，如图所示．


②证明：连接AN．
∵CM平分∠ACB，
∴设∠ACM＝∠BCM＝α，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB＝2α．
在等边三角形△ACD中，
∵E为AC的中点，
∴DN⊥AC，
∴NA＝NC，
∴∠NAC＝∠NCA＝α，
∴∠DAN＝60°+α，
在△ABN和△ADN中，
，
∴△ABN≌△ADN（SSS），
∴∠ABN＝∠ADN＝30°，∠BAN＝∠DAN＝60°+α，
∴∠BAC＝60°+2α，
在△ABC中，∠BAC+∠ACB+∠ABC＝180°，
∴60°+2α+2α+2 α＝180°，
∴α＝20°，
∴∠NBC＝∠ABC﹣∠ABN＝10°，
∴∠MNB＝∠NBC+∠NCB＝30°，
∴∠MNB＝∠MBN，
∴MB＝MN．