专题2-1 弦中点与第三定义(点差法)-【重难点突破】备考2024届高考数学-模型·方法·技巧专题(新高考专用)
展开中点弦模型(圆锥曲线中的垂径定理)
椭圆垂径定理:已知A,B是椭圆上任意2点,且弦不平行轴,M为线段AB中点,则有
证明(点差法):设,,则,
,,
∵A,B在椭圆上,代入A,B坐标得
① ②
两式相减得:,整理得
∴
【思考】
①椭圆焦点在轴上时,结论是否仍然成立?;②在双曲线中是否有类似的性质?
设,,则,
仍有 ,,
∵A,B在椭圆上,代入A,B坐标得
① ②
两式相减得:,整理得 ∴
可以看到,这一等式建立了二次曲线弦的斜率与弦的中点坐标之间关系式.也就是说,已知弦的中点,可求弦的斜率;已知斜率,可求弦的中点坐标.同时也不难得出这样的经验,当题目问题涉及到弦的斜率与弦的中点时,就可以考虑“点差法”.诸如求中点弦的方程,弦中点的轨迹,垂直平分线等等,这些都是较为常见题型.
∵A,B在双曲线上,代入A,B坐标得
① ②
两式相减得:,
整理得
∴注:抛物线中同样存在类似性质:
第三定义
那么点差法是不是只能解决同时与中点和斜率有关的问题呢?其实不然.其实点差法的内核还是“设而不求、整体代换”的思想,建立的是曲线上两点横纵坐标和差之间的联系,这其实也是第三定义的体现.
第三定义:平面内与两个定点,的斜率乘积等于常数的点的轨迹叫做椭圆或双曲线(不含两个顶点).其中两定点分别为椭圆或双曲线的顶点.当常数大于-1小于0时为椭圆,此时;当常数大于0时为双曲线,此时.
【第三定义推广】:平面内与两个关于原点对称的点,的斜率乘积等于常数的点的轨迹叫做椭圆或双曲线.当常数大于-1小于0时为椭圆,此时;当常数大于0时为双曲线,此时.
【证明】是椭圆上的一组对称点,P为椭圆上任意点,则有
证明(点差法):设,,,
,,
∵P,A在椭圆上,代入坐标得
①
②
两式相减得:,整理得
∴
法二:通过椭圆的垂径定理转换 中点弦和第三定义本质上是一样的
【思考1】在双曲线中是否有类似的性质?
设,,,
,,
①②
两式相减得:,
整理得
∴
法二: 双曲线垂径定理
设,
∵P,B在双曲线上,代入双曲线方程得
①
②
两式相减得:,整理得
∴
2022年全国甲卷(理)T10——第三定义
椭圆的左顶点为A,点P,Q均在C上,且关于y轴对称.若直线的斜率之积为,则C的离心率为( )
A.B.C.D.
【答案】A
【分析】设,则,根据斜率公式结合题意可得,再根据,将用表示,整理,再结合离心率公式即可得解.
【详解】[方法一]:设而不求
设,则
则由得:,
由,得,
所以,即,
所以椭圆的离心率,故选A.
[方法二]:第三定义
设右端点为B,连接PB,由椭圆的对称性知:
故,
由椭圆第三定义得:,
故
所以椭圆的离心率,故选A.
2023全国乙卷·理11·文12
设A,B为双曲线上两点,下列四个点中,可为线段AB中点的是( )
A.B.C.D.
【答案】D
【分析】根据点差法分析可得,对于A、B、D:通过联立方程判断交点个数,逐项分析判断;对于C:结合双曲线的渐近线分析判断.
【详解】设,则的中点,
可得,
因为在双曲线上,则,两式相减得,
所以.
对于选项A: 可得,则,
联立方程,消去y得,
此时,
所以直线AB与双曲线没有交点,故A错误;
对于选项B:可得,则,
联立方程,消去y得,
此时,
所以直线AB与双曲线没有交点,故B错误;
对于选项C:可得,则
由双曲线方程可得,则为双曲线的渐近线,
所以直线AB与双曲线没有交点,故C错误;
对于选项D:,则,
联立方程,消去y得,
此时,故直线AB与双曲线有交两个交点,故D正确
2022·新高考II卷T16——弦中点
已知直线l与椭圆在第一象限交于A,B两点,l与x轴,y轴分别交于M,N两点,且,则l的方程为 .
【答案】
【分析】令的中点为,设,,利用点差法得到,设直线,,,求出、的坐标,再根据求出、,即可得解;
【详解】[方法一]:弦中点问题:点差法
令的中点为,设,,利用点差法得到,
设直线,,,求出、的坐标,
再根据求出、,即可得解;
解:令的中点为,因为,所以,
设,,则,,
所以,即
所以,即,设直线,,,
令得,令得,即,,
所以,
即,解得或(舍去),
又,即,解得或(舍去),
所以直线,即;
故答案为:
[方法二]:直线与圆锥曲线相交的常规方法
解:由题意知,点既为线段的中点又是线段MN的中点,
设,,设直线,,,
则,,,因为,所以
联立直线AB与椭圆方程得消掉y得
其中,
∴AB中点E的横坐标,又,∴
∵,,∴,又,解得m=2
所以直线,即
重点题型·归类精讲
题型一 中点弦
人教A版(2019)选择性必修第一册 习题3.1 P14
已知椭圆,一组平行直线的斜率是.
(1)这组直线何时与椭圆相交?
(2)当它们与椭圆相交时,证明这些直线被椭圆截得的线段的中点在同一条直线上.
答案 (1)直线与椭圆相交. (2)这些直线被椭圆截得的线段的中点均在直线上.
解析 设这组平行线的方程为.把代人椭圆方程,
得,其根的判别式.
(1)由, 得.所以当这组直线在轴上的截距的取值范围是 时,直线与椭圆相交.
(2)设直线被椭圆截得的线段的中点为,则,其中是方程 的两个实数根.联立和,消去,得.因此当这组直线与椭圆相交时,这些直线被椭圆截得的线段的中点均在直线上.
给定双曲线,过点能否作直线m,使m与所给的双曲线相交于A、B两点,且P是线段AB的中点.这样的直线如果存在,求出它的方程,如果不存在.说明理由。
分析:点差法解出.但是将代人双曲线方程得一元二次方程,此方程无实根,故满足题设的直线不存在。
这种题型只要给出曲线方程,和一个定点坐标,利用点差法肯定能计算出以这一点为中点的直线方程。但是如果忽视对判别式的考察.将得出错误的结果.所以解题时一定要注意点差法的不等价性,即考虑判别式大于零。
同时由此题可看到中点弦问题中判断点P的位置非常重要。
(1)若中点P在圆锥曲线内。则被点P平分的弦一般存在;
(2)若中点肘在圆锥曲线外.则被点P平分的弦可能不存在.
已知中心在原点,焦点在轴上,焦距为4的椭圆被直线:截得的弦的中点的横坐标为-2,则此椭圆的方程为( )
A.B.C.D.
【答案】C
【详解】解:由题设,若椭圆方程为,
令直线与椭圆交点分别为,,
则有①,②,两式作差可得:,
即,易知,弦的中点,所以,,
因为直线:,所以,故,所以,
又,,解得,,故的方程为.
已知斜率为的直线与椭圆交于,两点,线段的中点为(),那么的取值范围是( )
A.B.C.D.,或
【答案】A
【解析】先设,,再由点差法求出,再由点,在椭圆内,求出的范围即可得解.
【详解】解:设,,
又点,在椭圆上,
则,
两式相减可得:,
又,
则,
又点,在椭圆内,
则,
则,所以
2023届·安徽省“江南十校”3月一模
已知直线与椭圆交于两点,线段中点在直线上,且线段的垂直平分线交轴于点,则椭圆的离心率是 .
【答案】
【分析】利用点差法证明二级结论,再结合,则两式相比可得,即,代入即可求出离心率.
【详解】设,其中,显然点在椭圆内,
记坐标原点为,直线的斜率分别为,易知三条直线斜率均存在,
又,两式相减整理可得,
即,又,所以两式相比可得,
即,代入,整理可得,所以离心率
2023·重庆巴蜀中学适应性月考(六)
已知双曲线的左、右焦点分别为,,过作直线l与双曲线的左、右两支分别交于A,B两点,设P为线段AB的中点,若,则双曲线的离心率为 .
【答案】/
【分析】由可得点P,求得,由点差法得,可求得离心率.
【详解】
如图:,由,,可得点P的坐标为,
则直线OP斜率为,直线AB斜率为,
另一方面,设 则,
两式相减得,整理得,
即,故
已知椭圆的右焦点和上顶点分别为点和点,直线交椭圆于两点,若恰好为的重心,则椭圆的离心率为( )
A.B.
C.D.
【答案】C
【分析】由题设,利用为的重心,求出线段的中点为,将B代入直线方程得,再利用点差法可得,结合,可求出,进而求出离心率.
【详解】由题设,则线段的中点为,
由三角形重心的性质知,即,解得:
即代入直线,得①.
又B为线段的中点,则,
又为椭圆上两点,,
以上两式相减得,
所以,化简得②
2023·福建厦门二模
不与x轴重合的直线l过点N(,0)(xN≠0),双曲线C:(a>0,b>0)上存在两点A、B关于l对称,AB中点M的横坐标为.若,则C的离心率为 .
【答案】2
【分析】由点差法得,结合得,代入斜率公式化简并利用可求得离心率.
【详解】设,
则,两式相减得,
即,
即 ,
所以,
因为是AB垂直平分线,有,所以,
即,化简得,故①②及,解得:,即离心率
湖北省八市2023届高三下学期3月联考
已知抛物线的焦点为,过点的直线与该抛物线交于两点,的中点纵坐标为,则 .
【答案】或
【分析】由题可设直线的方程为,,与抛物线联立可得交点坐标关系,根据相交弦长公式及中点坐标公式即可求得的值.
【详解】抛物线的焦点,设直线的方程为,,
所以,则,
联立,消去得:,恒成立,
所以,所以,则,
又,
整理得:,所以,解得或.
题型二 第三定义
课本习题
设,两点的坐标分别为,.直线,相交于点.
(1)若直线与的斜率之积是,求点的轨迹方程.
(2)若直线与的斜率之积是,求点的轨迹方程
【答案】(1)点的轨迹是除去,两点的椭圆
【分析】
分析:设点的坐标为,那么直线,的斜率就可用含,的关系式分别表示.由直线,的斜率之积是,可得出,之间的关系式,进而得到点的轨迹方程.
【解析】
设点的坐标为,因为点的坐标是,所以直线的斜率同理,直线的斜率
由已知,有
化简,得点的轨迹方程为
∴点的轨迹是除去,两点的椭圆.
(2)同理可得
化简,得点的轨迹方程为
∴点的轨迹是除去,两点的双曲线.
已知双曲线的左、右顶点分别为,抛物线与双曲线交于两点,记直线,的斜率分别为,则为 .
【答案】
【分析】利用对称性可得,再设结合双曲线的标准方程计算.
【详解】由题意,,由于双曲线与都关于轴对称,因此它们的交点关于轴对称,所以,
设,则,,
.
故答案为:.
已知椭圆的左、右焦点分别为,,A为椭圆C的左顶点,以为直径的圆与椭圆C在第一、二象限的交点分别为M,N,若直线AM,AN的斜率之积为,则椭圆C的标准方程为( )
A.B.C.D.
【答案】B
【分析】设出两点的坐标,根据已知条件列方程组,求得,从而求得椭圆的标准方程.
【详解】设,则,
依题意,,
解得,
所以椭圆的标准方程为.
2024届·湖北省腾云联盟高三联考(10月)
已知,是椭圆的左右顶点,是双曲线在第一象限上的一点,直线,分别交椭圆于另外的点,.若直线过椭圆的右焦点,且,则椭圆的离心率为 .
【答案】
【分析】由直线斜率公式结合点在曲线上可得,从而求得,进而结合正切的定义即可求解.
【详解】由题意可知,,
设,可得直线的斜率分别为,,
因为点在双曲线上,则,整理得,所以,
设点,可得直线,的斜率,,
因为点在椭圆上,则,整理得,
所以,即,
则,所以直线与关于轴对称,
又因为椭圆也关于轴对称,且,过焦点,则轴,
又,则,
所以,
整理得,即,解得,或(舍去),
所以椭圆的离心率为.
故答案为:.
2023届宁波二模T7——2条焦点弦平行
设椭圆的右焦点为,点在椭圆外,P,Q在椭圆上,且P是线段AQ的中点.若直线PQ,PF的斜率之积为,则椭圆的离心率为( )
A. B. C. D.
【答案】B
【分析】利用中点弦问题,结合点差法可得,即可求离心率.
【详解】
如图,取的中点为,连接,
则由题意可得,,
所以相似,所以,
因为直线PQ,PF的斜率之积为,
所以,
设,
则有,两式相减可得,
即,即,
即,所以椭圆的离心率为
2023届·浙江省杭州市桐庐中学高三上学期1月期末
已知椭圆C:,经过原点O的直线交C于A,B两点.P是C上一点(异于点A,B),直线BP交x轴于点D.若直线AB,AP的斜率之积为,且,则椭圆C的离心率为 .
【答案】
【分析】设点的坐标,求斜率,由题知,两式相减,化简得,结合
,知,再利用及离心率公式即可求解.
【详解】设,,,
则直线AP的斜率为,BP的斜率为,
由题知,两式相减得,
即,即,即,
又,则,即,
即,则,所以,
即,则椭圆C的离心率为.
2023届·八省(T8)第一次联考
已知椭圆,直线l过坐标原点并交椭圆于 两点(P在第一象限),点A是x轴正半轴上一点,其横坐标是点P横坐标的2倍,直线交椭圆于点B,若直线恰好是以为直径的圆的切线,则椭圆的离心率为( )
A.B.C.D.
【答案】D
【分析】设,则由直线恰好是以为直径的圆的切线,可得,再利用点差的方法可得,即得,从而可得的关系,即可求得椭圆离心率.
【详解】依题意,设,
直线的斜率一定存在,分别为,
直线恰好是以为直径的圆的切线,则,则,
则,∴,
∵,两式相减得,
∴,即,
∴,∴,∴,
∴椭圆的离心率
2023届·武汉华中师大一附中校考期末
已知双曲线,直线过坐标原点并与双曲线交于两点(在第一象限),过点作的垂线与双曲线交于另一个点,直线交轴于点,若点的横坐标为点横坐标的两倍,则双曲线的离心率为( )
A.B.C.D.
【答案】C
【分析】设,,根据垂直关系及坐标可得直线的方程,联立可求得点坐标,代入双曲线方程中,结合在双曲线上,可化简整理得到,由离心率可求得结果.
【详解】由题意知:直线斜率存在且不为零,则可设直线,
设,则,,
,,则直线,
又,直线,
由得:,即,
在双曲线上,,
又在双曲线上,即,,
,
即,
,
,又,,
双曲线离心率.
山东省青岛莱西市2023届高三上学期质量检测(二)
已知双曲线与直线相交于,两点,点为双曲线上的一个动点,记直线,的斜率分别为,,若,且双曲线的右焦点到其一条渐近线的距离为1,则双曲线的离心率为 .
【答案】
【分析】设点,,,利用点差法求得直线的斜率,得到,再由点到直线的距离求得,得出、,即可求出离心率.
【详解】设点,,,则且,
两式相减,得,所以,
因为,所以,所以,
所以双曲线的渐近线方程为,即,
因为焦点到渐近线的距离为,
所以,可得,又因为,所以,
所以双曲线的离心率.
江苏省盐城中学2023届高三三模数学试题
已知、是椭圆与双曲线的公共顶点,是双曲线上一点,,交椭圆于,.若过椭圆的焦点,且,则双曲线的离心率为( )
A.2B.C.D.
【答案】D
【分析】设出点P,M的坐标,借助双曲线、椭圆的方程及斜率坐标公式可得轴,再利用和角的正切公式求出a,b的关系作答.
【详解】如图,设,点共线,点共线,所在直线的斜率分别为,
点在双曲线上,即,有,因此,
点在椭圆上,即,有,直线的斜率,有,
即,于是,即直线与关于轴对称,
又椭圆也关于轴对称,且过焦点,则轴,令,由得,
显然,,
,
解得,所以双曲线的离心率.
2023届·武汉市二月调研——斜率大乱斗
设F为双曲线的右焦点,A,B分别为双曲线E的左右顶点,点P为双曲线E上异于A,B的动点,直线l:x=t使得过F作直线AP的垂线交直线l于点Q时总有B,P,Q三点共线,则的最大值为 .
【答案】
【解答】
【简证】,
则有,而,,记
代入坐标由斜率公式得
分子分母同除a,得,整理得(当且仅当时取等号)
【详解】设,,联立
整理得: ;
所以,得到,所以;
过F作直线PA的垂线与直线交于Q,
因为B,Q,P三点共线,所以Q是直线与BP的交点,
Q是与的交点
所以得 ,所以
设则
所以当 时,即m=2即时, 取得最大值.
题型三 曲线上2点关于某直线对称
已知椭圆:的左焦点为,若关于直线的对称点落在上或内,则椭圆的离心率的取值范围为 .
【答案】
【分析】由题意,求出椭圆左焦点关于对称点的坐标,根据点和椭圆的位置关系找出不等关系,列出关于的不等式从而求解离心率范围.
【详解】设的半焦距为,则关于直线的对称点的坐标为,
因为落在上或内,所以,所以,则,
两边同时除以,解得.
浙江省强基联盟2023-2024学年高三上学期10月联考
(多选)已知抛物线上的两个不同的点关于直线对称,直线与轴交于点,下列说法正确的是( )
A.的焦点坐标为B.是定值
C.是定值D.
【答案】ABD
【分析】根据抛物线的性质可判定A选项;根据A、B关于直线对称及点在抛物线上可得,,,联立化简可判定B、C选项;再利用AB中点在抛物线内可得,结合直线方程可判定D选项.
【详解】根据抛物线的性质可知抛物线的焦点坐标为,即A正确;
设A、B的中点为D,则,易得①,
又②,且③,④,
将③④代入②可得:,
代入①可得,
故B正确,C错误;
所以A、B的中点坐标为,
则直线的方程为:,
令得:,
而位于抛物线内部,即,可得,
则.即D正确.
专题16 抛物线的焦点弦、中点弦、弦长问题-备战2024年新高考数学之圆锥曲线专项高分突破(新高考专用): 这是一份专题16 抛物线的焦点弦、中点弦、弦长问题-备战2024年新高考数学之圆锥曲线专项高分突破(新高考专用),文件包含专题16抛物线的焦点弦中点弦弦长问题原卷版docx、专题16抛物线的焦点弦中点弦弦长问题解析版docx等2份试卷配套教学资源,其中试卷共23页, 欢迎下载使用。
专题09 双曲线的焦点弦、中点弦、弦长问题-备战2024年新高考数学之圆锥曲线专项高分突破(新高考专用): 这是一份专题09 双曲线的焦点弦、中点弦、弦长问题-备战2024年新高考数学之圆锥曲线专项高分突破(新高考专用),文件包含专题09双曲线的焦点弦中点弦弦长问题原卷版docx、专题09双曲线的焦点弦中点弦弦长问题解析版docx等2份试卷配套教学资源,其中试卷共22页, 欢迎下载使用。
专题02 椭圆的焦点弦,中点弦,弦长问题-备战2024年新高考数学之圆锥曲线专项高分突破(新高考专用): 这是一份专题02 椭圆的焦点弦,中点弦,弦长问题-备战2024年新高考数学之圆锥曲线专项高分突破(新高考专用),文件包含专题02椭圆的焦点弦中点弦弦长问题原卷版docx、专题02椭圆的焦点弦中点弦弦长问题解析版docx等2份试卷配套教学资源,其中试卷共23页, 欢迎下载使用。