【最新】2023版高中高考数学二轮专题复习微专题31　不等式

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1.(2019·全国Ⅱ卷)若a>b，则( )
A.ln(a－b)>0 B.3a0 D.|a|>|b|
答案 C
解析 法一 由函数y＝ln x的图象(图略)知，当0b时，a3>b3，即a3－b3>0，
故C正确；
当b3b＋3－b≥2eq \r(3b×3－b)＝2(等号成立的条件是b＝0)，故D正确.
(2)当a2－4＝0时，解得a＝2或a＝－2，
当a＝2时，不等式可化为4x－1≥0，解集不是空集，不符合题意；
当a＝－2时，不等式可化为－1≥0，此式不成立，解集为空集.
当a2－4≠0时，要使不等式的解集为空集，
则有eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a2－4eq \f(b,c) D.ac>bd
答案 (1)D (2)B
解析 (1)∵不等式ax2＋bx＋c>0(a，b，c为参数)的解集为{x|－20的解集为(－∞，－1)∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，＋∞)).故选D.
(2)对于A，若a＝2，b＝1，c＝1，d＝－1，
则a－c＝1b，c>d，
所以a＋c>b＋d，所以B正确；
对于C，若a＝2，b＝1，c＝1，d＝－1，
则eq \f(a,d)＝eq \f(2,－1)0)，且z＝x2＋y2，若z的最大值是其最小值的eq \f(65,4)倍，则a的值为( )
A.1 B.2
C.3 D.4
答案 (1)D (2)A
解析 (1)画出不等式组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2x－3y＋6≥0，,2x＋y＋2≥0，,4x－y－8≤0))表示的平面区域，如图中阴影部分所示，
联立方程组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2x＋y＋2＝0，,4x－y－8＝0，))
解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝1，,y＝－4，))即B(1，－4)，
平移直线3x－2y＝0至经过点B时目标函数u＝3x－2y取得最大值，
即umax＝3×1－2×(－4)＝11.
(2)由题意，作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示(含边界)，
联立eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x－2y＋4＝0，,3x－y－3＝0，))
解得A(2，3)，|OA|2＝22＋32＝13，
所以z＝x2＋y2的最大值为13.
又点O到直线2x＋ay－2＝0的距离为eq \f(2,\r(a2＋4))，
所以z＝x2＋y2的最小值为eq \f(4,a2＋4)，
所以eq \f(65,4)×eq \f(4,a2＋4)＝13(a>0)，
解得a＝1，故选A.
规律方法 (1)作不等式组表示的可行域的原则是：直线定界，注意虚实，特殊点定域，常取原点.
(2)确定目标函数的几何意义，运用动态变化的思想方法求目标函数的最值.
训练2 (1)已知实数x，y满足约束条件eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x≥0，,x＋y≤2，,x＋3y≥3，))则z＝4x＋y的最大值等于________.
(2)(2022·桂林模拟)已知实数x，y满足约束条件eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＋y－3≤0，,x≥1，,y≥1，))则z＝eq \f(y,x)的最小值为________.
答案 (1)eq \f(13,2) (2)eq \f(1,2)
解析 (1)根据约束条件作出可行域如图中阴影部分(含边界)所示，目标函数z＝4x＋y化为y＝－4x＋z，z表示斜率为－4的直线在y轴上的截距，平移直线y＝－4x，当直线过x＋y＝2与x＋3y＝3的交点Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，\f(1,2)))时，z取最大值eq \f(13,2).
(2)由题意，作出不等式组满足的平面区域，易知该区域是以点A(1，1)，B(2，1)，C(1，2)为顶点的三角形区域(包含边界)，由图知，当目标函数z＝eq \f(y,x)经过点B(2，1)时取得最小值eq \f(1,2).
热点三 基本不等式及其应用
基本不等式求最值的三种解题技巧
(1)凑项：通过调整项的符号，配凑出符合基本不等式条件的项，使其积或和为定值.
(2)凑系数：若无法直接运用基本不等式求解，通过凑系数后可得到和或积为定值，从而利用基本不等式求最值.
(3)换元：分式函数求最值，通常直接将分子配凑后将式子分开或将分母换元后将式子分开，即化为y＝m＋eq \f(A,g（x）)＋Bg(x)(AB>0)，g(x)恒正或恒负的形式，然后运用基本不等式来求最值.
考向1 利用基本不等式求最值
例3 (1)(2022·银川调研)在下列函数中，最小值为2的是( )
A.y＝x＋eq \f(1,x)B.y＝lg x＋eq \f(1,lg x)(1c，所以b－c>0，
所以(ab－ac)(b－c)>0，则C一定成立.
因为a>b，c0，且f(a)＋f(2b)＝m，
∴|a|－2＋|2b|－2＝1，
∴a＋2b＝5，
∴eq \f(2,a)＋eq \f(3,b)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,a)＋\f(3,b)))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a,5)＋\f(2b,5)))＝eq \f(2,5)＋eq \f(6,5)＋eq \f(3a,5b)＋eq \f(4b,5a)≥eq \f(8,5)＋2eq \r(\f(3a,5b)·\f(4b,5a))＝eq \f(8＋4\r(3),5)，
当且仅当eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＋2b＝5，,\f(3a,5b)＝\f(4b,5a)，))
即a＝eq \f(5,2)(eq \r(3)－1)，b＝eq \f(5,4)(3－eq \r(3))时取“＝”，故选B.
10.(2022·银川模拟)设0