【最新】2023版高中高考数学二轮专题复习微专题29　函数的图象与性质

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高考定位 1.以基本初等函数为载体，考查函数的定义域、值域、最值、奇偶性、单调性和周期性.2.利用函数的图象研究函数性质，能用函数的图象与性质解决简单问题.3.函数与方程思想、数形结合思想是重要的思想方法.
1.(2022·北京卷)已知函数f(x)＝eq \f(1,1＋2x)，则对任意实数x，有( )
A.f(－x)＋f(x)＝0 B.f(－x)－f(x)＝0
C.f(－x)＋f(x)＝1 D.f(－x)－f(x)＝eq \f(1,3)
答案 C
解析 函数f(x)的定义域为R，f(－x)＝eq \f(1,1＋2－x)＝eq \f(2x,1＋2x)，所以f(－x)＋f(x)＝eq \f(2x,1＋2x)＋eq \f(1,1＋2x)＝1，故选C.
2.(2022·全国甲卷)函数f(x)＝(3x－3－x)·cs x在区间[－eq \f(π,2)，eq \f(π,2)]的图象大致为( )
答案 A
解析 法一(特值法) 取x＝1，
则y＝(3－eq \f(1,3))cs 1＝eq \f(8,3)cs 1＞0 ；
取x＝－1，则y＝(eq \f(1,3)－3)cs(－1)＝－eq \f(8,3)cs 1＜0.
结合选项知选A.
法二 令y＝f(x)，
则f(－x)＝(3－x－3x)cs(－x)＝－(3x－3－x)cs x＝－f(x)，
所以函数y＝(3x－3－x)cs x是奇函数，排除B，D；
取x＝1，则y＝(3－eq \f(1,3))cs 1＝eq \f(8,3)cs 1＞0，排除C.故选A.
3.(2020·新高考山东卷)若定义在R上的奇函数f(x)在(－∞，0)单调递减，且f(2)＝0，则满足xf(x－1)≥0的x的取值范围是( )
A.[－1，1]∪[3，＋∞)B.[－3，－1]∪[0，1]
C.[－1，0]∪[1，＋∞)D.[－1，0]∪[1，3]
答案 D
解析 因为函数f(x)为定义在R上的奇函数，则f(0)＝0.
又f(x)在(－∞，0)单调递减，且f(2)＝0，
画出函数f(x)的大致图象如图(1)所示，
则函数f(x－1)的大致图象如图(2)所示.
当x≤0时，要满足xf(x－1)≥0，
则f(x－1)≤0，得－1≤x≤0.
当x＞0时，要满足xf(x－1)≥0，
则f(x－1)≥0，得1≤x≤3.
故满足xf(x－1)≥0的x的取值范围是[－1，0]∪[1，3].
故选D.
4.(2022·新高考Ⅱ卷)已知函数f(x)的定义域为R，且f(x＋y)＋f(x－y)＝f(x)f(y)，f(1)＝1，则eq \(∑,\s\up6(22),\s\d4(k＝1))f(k)＝( )
A.－3 B.－2
C.0 D.1
答案 A
解析 因为f(1)＝1，
所以在f(x＋y)＋f(x－y)＝f(x)f(y)中，
令y＝1，
得f(x＋1)＋f(x－1)＝f(x)f(1)，
所以f(x＋1)＋f(x－1)＝f(x)， ①
所以f(x＋2)＋f(x)＝f(x＋1). ②
由①②相加，得f(x＋2)＋f(x－1)＝0，
故f(x＋3)＋f(x)＝0，
所以f(x＋3)＝－f(x)，
所以f(x＋6)＝－f(x＋3)＝f(x)，
所以函数f(x)的一个周期为6.
在f(x＋y)＋f(x－y)＝f(x)f(y)中，
令y＝0，得f(x)＋f(x)＝f(x)f(0)，
所以f(0)＝2.
令y＝1，x＝1，得f(2)＋f(0)＝f(1)f(1)，
所以f(2)＝－1.
由f(x＋3)＝－f(x)，
得f(3)＝－f(0)＝－2，f(4)＝－f(1)＝－1，
f(5)＝－f(2)＝1，f(6)＝－f(3)＝2，
所以f(1)＋f(2)＋…＋f(6)＝1－1－2－1＋1＋2＝0，
根据函数的周期性知，eq \(∑,\s\up6(22),\s\d4(k＝1))f(k)＝f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝1－1－2－1＝－3，
故选A.
5.(2022·全国乙卷)若f(x)＝lneq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(a＋\f(1,1－x)))＋b是奇函数，则a＝______，b＝________.
答案 －eq \f(1,2) ln 2
解析 f(x)＝ln|a＋eq \f(1,1－x)|＋b，若a＝0，则函数f(x)的定义域为{x|x≠1}，
不关于原点对称，不具有奇偶性，
所以a≠0.
由函数解析式有意义可得：
x≠1且a＋eq \f(1,1－x)≠0，
所以x≠1且x≠1＋eq \f(1,a).
因为函数f(x)为奇函数，
所以定义域必须关于原点对称，
所以1＋eq \f(1,a)＝－1，解得a＝－eq \f(1,2)，
所以f(x)＝lneq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(1＋x,2（1－x）)))＋b，定义域为{x|x≠1且x≠－1}.
由f(0)＝0，得lneq \f(1,2)＋b＝0，所以b＝ln 2，
即f(x)＝lneq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)＋\f(1,1－x)))＋ln 2
＝lneq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(1＋x,1－x)))，
在定义域内满足f(－x)＝－f(x)，符合题意.
热点一 函数的概念与表示
复合函数的定义域
(1)若f(x)的定义域为[m，n]，则在f(g(x))中，由m≤g(x)≤n，解得x的范围即为f(g(x))的定义域.
(2)若f(g(x))的定义域为[m，n]，则由m≤x≤n得到g(x)的范围，即为f(x)的定义域.
例1 (1)(2022·南昌模拟)已知f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＋3，x≤0，,\r(x)，x>0，))若f(a－3)＝f(a＋2)，则f(a)＝( )
A.2 B.eq \r(2)
C.1 D.0
(2)已知函数f(x)＝eq \f(x,\r(1－2x))，则函数eq \f(f（x－1）,x＋1)的定义域为( )
A.(－∞，1)B.(－∞，－1)
C.(－∞，－1)∪(－1，0)D.(－∞，－1)∪(－1，1)
答案 (1)B (2)D
解析 (1)作出函数f(x)的图象，如图所示，f(x)在(－∞，0]，(0，＋∞)上分别单调递增，
由f(a－3)＝f(a＋2)，
得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a－3≤0，,a＋2>0，,a－3＋3＝\r(a＋2)，))
解得a＝2，
则f(a)＝f(2)＝eq \r(2).
(2)令1－2x>0，
即2x1时，g(x)>e－eq \f(5,2)>0，
则有ex>2x＋2－x(x>1)，
因此当x>1时，
x－ln(2x＋2－x)＝ln ex－ln(2x＋2－x)>0，
则当x>1时，x>ln(2x＋2－x)，
从而得eq \f(ln（2x＋2－x）,x)0，0