【最新】2023版高中高考数学二轮专题复习微专题30　函数与方程

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微专题30　函数与方程
高考定位　以基本初等函数为依托，考查函数与方程的关系、函数零点存在性定理，以及根据零点的个数、范围等求参数.

1.(2018·全国 Ⅰ卷)已知函数f(x)＝g(x)＝f(x)＋x＋a.若g(x)存在2个零点，则a的取值范围是(　　)
A.[－1，0) B.[0，＋∞)
C.[－1，＋∞) D.[1，＋∞)
答案　C
解析　函数g(x)＝f(x)＋x＋a存在2个零点，即关于x的方程f(x)＝－x－a有2个不同的实根，即函数f(x)的图象与直线y＝－x－a有2个交点.
作出直线y＝－x－a与函数f(x)的图象，如图所示，
由图可知，－a≤1，解得a≥－1，故选C.

2.(2017·全国Ⅲ卷)已知函数f(x)＝x2－2x＋a(ex－1＋e－x＋1)有唯一零点，则a＝(　　)
A.－ B.
C. D.1
答案　C
解析　法一　f(x)＝x2－2x＋a(ex－1＋e－x＋1)＝(x－1)2＋a[ex－1＋e－(x－1)]－1，
令t＝x－1，则g(t)＝f(t＋1)＝t2＋a(et＋e－t)－1.
∵g(－t)＝(－t)2＋a(e－t＋et)－1＝g(t)且t∈R，
∴函数g(t)为偶函数.
∵f(x)有唯一零点，
∴g(t)也有唯一零点.
又g(t)为偶函数，
由偶函数的性质知g(0)＝0，
∴2a－1＝0，解得a＝.
故选C.
法二　f(x)＝0⇔a(ex－1＋e－x＋1)＝－x2＋2x.
ex－1＋e－x＋1≥2＝2，
当且仅当x＝1时取“＝”.
－x2＋2x＝－(x－1)2＋1≤1，
当且仅当x＝1时取“＝”.
若a>0，则a(ex－1＋e－x＋1)≥2a，
要使f(x)有唯一零点，
则必有2a＝1，即a＝.
若a≤0，则f(x)的零点不唯一.故选C.
3.(2021·天津卷)设a∈R，函数f(x)＝若f(x)在区间(0，＋∞)内恰有6个零点，则a的取值范围是(　　)
A.∪ B.∪
C.∪ D.∪
答案　A
解析　因为x2－2(a＋1)x＋a2＋5＝0最多有2个根，
所以cos (2πx－2πa)＝0至少有4个根.
由2πx－2πa＝＋kπ，k∈Z可得x＝＋＋a，k∈Z.
由0＜＋＋a＜a可得－2a－＜k＜－.
①当x＜a时，当－5≤－2a－＜－4时，f(x)有4个零点，即＜a≤；
当－6≤－2a－＜－5时，f(x)有5个零点，即＜a≤；
当－7≤－2a－＜－6时，f(x)有6个零点，即＜a≤；
②当x≥a时，f(x)＝x2－2(a＋1)x＋a2＋5，
Δ＝4(a＋1)2－4(a2＋5)＝8(a－2)，
当a＜2时，Δ＜0，f(x)无零点；
当a＝2时，Δ＝0，f(x)有1个零点x＝3；
当a＞2时，令f(a)＝a2－2a(a＋1)＋a2＋5＝－2a＋5≥0，则2＜a≤，此时f(x)有2个零点；
所以当a＞时，f(x)有1个零点.
综上，要使f(x)在区间(0，＋∞)内恰有6个零点，
则应满足或或
则可解得a的取值范围是∪.
4.(2020·天津卷)已知函数f(x)＝若函数g(x)＝f(x)－|kx2－2x|(k∈R)恰有4个零点，则k的取值范围是(　　)
A.∪(2，＋∞) B.∪(0，2)
C.(－∞，0)∪(0，2) D.(－∞，0)∪(2，＋∞)
答案　D
解析　法一　注意到g(0)＝0，所以要使g(x)恰有4个零点，只需方程|kx－2|＝恰有3个实根即可.
令h(x)＝，即y＝|kx－2|与h(x)＝的图象有3个交点.
h(x)＝＝
当k＝0时，此时y＝|kx－2|＝2，如图①，y＝2与h(x)＝的图象有1个交点，不满足题意；
当k＜0时，如图②，此时y＝|kx－2|与h(x)＝的图象恒有3个交点，满足题意；
当k＞0时，如图③，由y＝kx－2与y＝x2联立，得x2－kx＋2＝0，令Δ＞0，得k2－8＞0，解得k＞2或k＜－2(舍去)，此时y＝|kx－2|与h(x)＝的图象有3个交点.
综上，k的取值范围为(－∞，0)∪(2，＋∞).故选D.

法二　由法一知y＝|kx－2|与h(x)＝的图象有3个交点，令k＝－，检验知符合题意，可排除A，B；
令k＝1，检验知不符合题意，可排除C.故选D.

热点一　零点个数及区间的判定

判断函数零点个数的方法：
(1)利用零点存在性定理判断.
(2)代数法：求方程f(x)＝0的实数根.
(3)几何法：对于不易求根的方程，将它与函数y＝f(x)的图象联系起来，利用函数的性质找出零点或利用两个函数图象的交点求解.在利用函数性质时，可用求导的方法判断函数的单调性.　
例1 (1)定义在R上的奇函数f(x)＝a·2x－2－x－4sin x的一个零点所在区间为(　　)
A.(－a，0) B.(0，a)
C.(a，3) D.(3，a＋3)
(2)(2022·南阳调研)已知函数y＝f(x)和y＝g(x)在 [－2，2]上的图象分别如图1，图2所示.给出下列四个命题：

①方程f(g(x))＝0有且仅有6个不同的解；
②方程g(f(x))＝0有且仅有3个不同的解；
③方程f(f(x))＝0有且仅有5个不同的解；
④方程g(g(x))＝0有且仅有4个不同的解.
其中正确的命题的个数为(　　)
A.1 B.2
C.3 D.4
答案　(1)C　(2)C
解析　(1)∵函数f(x)＝a·2x－2－x－4sin x为奇函数，
∴f(－x)＝－f(x)，
即a·2－x－2x＋4sin x＝－(a·2x－2－x－4sin x)，
整理得(a－1)(2－x＋2x)＝0在R上恒成立，
∴a＝1，∴f(x)＝2x－2－x－4sin x，
∵f(－1)＝2－1－2＋4sin 1>0，
f(0)＝0，f(1)＝2－2－1－4sin 10，
f(3)＝8－2－3－4sin 3>0，
∴函数f(x)的零点在区间(1，3)内，选C.
(2)对于①，令t＝g(x)，结合题图可得f(t)＝0有3个不同的解t1，t2，t3，－2