2023届上海市育才中学高三上学期期中数学试题含解析

这是一份2023届上海市育才中学高三上学期期中数学试题含解析，共19页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023届上海市育才中学高三上学期期中数学试题 一、单选题1．若，则下列选项中正确的是（    ）A． B．C． D．【答案】C【分析】对于ABD，举反例即可排除；对于C，利用幂函数的单调性即可判断.【详解】因为，对于A，令，则，故A错误；对于B，令，则，即，故B错误；对于C，因为幂函数在上单调递增，故，即，故C正确；对于D，令，则，故D错误.故选：C.2．把函数图象上所有点的纵坐标缩短到原来的（横坐标不变），再将所得曲线上所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），最后把所得曲线向左平移个单位长度，得到函数的图象，则（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】将的图象向右平移个单位，再将曲线上所有点的横坐标变为原来的2倍，然后图象上所有点的纵坐标变为原来的2倍，从而可求出的解析式.【详解】因为把函数图象上所有点的纵坐标缩短到原来的（横坐标不变），再将所得曲线上所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），最后把所得曲线向左平移个单位长度，得到函数的图象，所以将的图象向右平移个单位，得，再将曲线上所有点的横坐标变为原来的2倍，得，然后图象上所有点的纵坐标变为原来的2倍，得，所以，故选：A3．已知数列满足．若对任意，（且）恒成立，则m的取值范围为（    ）A． B．C． D．【答案】A【分析】由，得，两式相除可求出，从而可求得，所以将问题转化为，从而可求出m的取值范围【详解】当时，由，得，两式相除得，也适合所以，因为对任意，（且）恒成立，所以，所以，当时，由，得，则，当时，由，得，则，综上， 故选：A4．已知函数，若，则a的取值范围是（    ）A． B． C． D．【答案】D【解析】作出函数的图像，和函数的图像，结合图像可知直线介于与轴之间，利用导数求出直线的斜率，数形结合即可求解.【详解】由题意可作出函数的图像，和函数的图像.     由图像可知：函数的图像是过原点的直线，当直线介于与轴之间符合题意，直线为曲线的切线，且此时函数在第二象限的部分的解析式为，求其导数可得，因为，故，故直线的斜率为，故只需直线的斜率.故选：D【点睛】本题考查了不等式恒成立求出参数取值范围，考查了数形结合的思想，属于中档题. 二、填空题5．已知集合，，则______．【答案】##【分析】首先解不等式得到，再求交集即可.【详解】因为，，所以.故答案为：6．设复数满足，在复平面内对应的点为则，满足的关系式为______.【答案】【解析】设复数，根据，结合复数模的运算公式，即可求解.【详解】由题意，设复数，因为，可得，整理得，即复数在复平面内对应的点为则满足的关系式为.故答案为：.7．已知双曲线(a＞0，b0)的离心率为2，则该双曲线的渐近线方程为__________．【答案】【分析】根据离心率求得，即可求得渐近线方程.【详解】因为双曲线的离心率为2，则，解得，故双曲线的渐近线方程为.故答案为：.8．在的展开式中，的系数是_________．【答案】10【分析】写出二项展开式的通项公式，整理后令的指数为2，即可求出．【详解】因为的展开式的通项公式为，令，解得．所以的系数为．故答案为：．【点睛】本题主要考查二项展开式的通项公式的应用，属于基础题．9．某团支部随机抽取甲、乙两位同学连续9期“青年大学习”的成绩（单位：分），得到如图所示的成绩茎叶图，关于这9期的成绩，则乙的成绩最低为______．【答案】10【分析】通过识别茎叶图可得答案.【详解】由图可得，当乙成绩最低时，对应的“茎”为1，对应的“叶”为0，故成绩最低为10.故答案为：1010．设是两条不同的直线，是两个不重合的平面，给定下列四个命题：①若，则；②若，则；③若，则；④若，则．其中真命题的序号为__．【答案】②③【分析】由直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系判断即可.【详解】解：①由线面垂直的判定定理可得，若要使，则要垂直中的两条相交的直线，通过分析，只垂直来中的一条直线，故不能做出判断，故①错误；②根据面面垂直的判定定理可得，若，则，故②正确；③由线面垂直的性质定理可得，两条不同的直线都垂直同一个平面，则这两条直线必平行，故③正确；④由面面平行的性质定理可得，只有若，，，不能得出，如果加上条件在同一平面内，则可得线线平行，故④错误，故答案为：②③11．为调查某重点中学三个年级学生的课外阅读情况，从该中学2000名学生中通过分层抽样抽取了部分学生统计了这部分学生一个月的课外阅读时间（如表所示，所有学生的课外阅读时间相互独立，单位为小时．）．若从高一年级抽出的学生中随机选取一人（记为甲），从高三年级抽出的学生中随机选取一人（记为乙），则这一个月中甲的课外阅读时间比乙的课外阅读时间短的概率为______．年级抽取的学生各自的阅读时间（小时）高一910121518222426高二10151619202325 高三1114141516     【答案】##0.375【分析】根据古典概率模型求解即可.【详解】从高一年级抽出的学生中随机选取一人（记为甲），从高三年级抽出的学生中随机选取一人（记为乙）共有种情况，甲的课外阅读时间比乙的课外阅读时间短包含：，，，，，，，，，，，，，，，共15种情况.所以这一个月中甲的课外阅读时间比乙的课外阅读时间短的概率为.故答案为：12．八卦是中国文化的基本哲学概念，图1是八卦模型图，其平面图形为图2中的正八边形，其中，给出下列结论：①与的夹角为； ②； ③；④向量在向量上的投影向量为（其中是与同向的单位向量）．其中正确结论的个数为______．【答案】2 【分析】利用正八边形的性质，结合向量的线性运算及投影向量的定义逐一分析运算即可.【详解】对①：为正八边形，则与的夹角为，①错误；对②：，平分，则，②错误；对③：∵，则，③正确；对④：∵，即与的夹角为，    ∴向量在向量上的投影向量为，④正确；故答案为：213．若，，则______．【答案】【分析】利用两角差的余弦公式可得，再利用和差化积公式得到，即可得解.【详解】，，，即，，故答案为：14．已知对任意实数，函数最小值均大于或等于4，则实数的取值范围是______．【答案】【分析】先利用绝对值三角不等式求得题干函数的最小值，从而得到关于的二次不等式，解之即可得到结果.【详解】因为，所以的最小值为，故，整理得，解得或，故的取值范围为.故答案为：.15．已知中，点D在边BC上，．当取得最小值时，________．【答案】##【分析】设，利用余弦定理表示出后，结合基本不等式即可得解.【详解】[方法一]：余弦定理设，则在中，，在中，，所以，当且仅当即时，等号成立，所以当取最小值时，.故答案为：.[方法二]：建系法令 BD=t，以D为原点，OC为x轴，建立平面直角坐标系.则C（2t,0），A（1，），B（-t,0）[方法三]：余弦定理设BD=x,CD=2x.由余弦定理得，，，，令，则，，，当且仅当，即时等号成立.[方法四]：判别式法设，则在中，，在中，，所以，记，则由方程有解得：即，解得：所以，此时所以当取最小值时，，即.   16．已知若存在，使得成立的最大正整数为6，则的取值范围为________.【答案】【分析】由题意得，分类讨论作出函数图象，求得最值解不等式组即可.【详解】原问题等价于，当时，函数图象如图此时，则，解得：；当时，函数图象如图此时，则，解得：；当时，函数图象如图此时，则，解得：；当时，函数图象如图此时，则，解得：；综上，满足条件的取值范围为.故答案为：【点睛】本题主要考查了对勾函数的图象与性质，函数的最值求解，存在性问题的求解等，考查了分类讨论，转化与化归的思想. 三、解答题17．已知数列中，，，，等比数列满足.（1）求数列的通项公式；（2）证明：数列是等差数列，并求数列的前项和.【答案】（1）.（2）证明见解析，【分析】（1）根据递推公式，分别将代入求得，代入求得，即可求得数列的公比，进而得数列的通项公式.（2）将数列的通项公式代入递推公式，化简变形后可求得为常数，即可证明数列为等差数列，由等差数列通项公式可求得数列的通项公式，由错位相减法及分组求和法即可求得数列的前项和.【详解】（1）等比数列满足，所以，得，，得，所以等比数列的公比为，故其通项公式为（2）证明：由（1）可知：，即，所以，又所以数列是首项是1，公差为1的等差数列，故，所以令【点睛】本题考查了由递推公式求等比数列通项公式，等差数列定义与证明，错位相减法与分组求和法的综合应用，属于中档题.18．如图，在三棱锥A﹣BCD中，E为CD的中点，O为BD上一点，且BC平面AOE．(1)求证：O是BD的中点；(2)若AB=AD，BCBD，求证：平面ABD平面AOE．【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析 【分析】（1）利用线面平行的性质得到BCOE，即可证明结论；（2）利用线面垂直的判定定理证明BD平面AOE，再利用面面垂直的判定定理即可证明结论【详解】（1）∵BC平面AOE，BC平面BCD，平面BCD平面AOE=OE，∴BCOE，∵E为CD的中点，所以在中，是中位线，∴O为BD的中点；（2）∵OEBC，BCBD，∴OEBD，∵AB=AD，O为BD的中点，∴OABD，∵OEOA＝O，OE，OA平面AOE，∴BD平面AOE，∵BD平面ABD，∴平面ABD平面AOE．19．据国家气象局消息，今年各地均出现了极端高温天气.漫漫暑期，空调成了很好的降温工具，而物体的降温遵循牛顿冷却定律.如果某物体的初始温度为，那么经过分钟后，温度满足，其中为室温，为半衰期.为模拟观察空调的降温效果，小明把一杯的茶水放在的房间，10分钟后茶水降温至.（参考数据：）(1)若欲将这杯茶水继续降温至，大约还需要多少分钟？（保留整数）(2)为适应市场需求，2022年某企业扩大了某型号的变频空调的生产，全年需投入固定成本200万元，每生产千台空调，需另投入成本万元，且已知每台空调售价3000元，且生产的空调能全部销售完.问2022年该企业该型号的变频空调的总产量为多少千台时，获利最大？并求出最大利润.【答案】(1)13分钟(2)当该企业该型号的变频空调总产量为30千台时，获利最大，最大利润为3400万元. 【分析】（1）由题意列方程求解（2）由题意得出利润与的函数关系，结合基本不等式求解最值【详解】（1）由题意可得，解得.设经过分钟，这杯茶水降温至，则，解得（分钟）.故欲将这杯茶水降温至，大约还需要13分钟.（2）设2022年该企业该型号的变频空调的利润为，当时，，当时，取得最大值3400万元；当时，，因为，当且仅当时，等号成立，则当时，取得最大值3380万元.因为，所以当该企业该型号的变频空调总产量为30千台时，获利最大，最大利润为3400万元.20．如图，是椭圆长轴的两个端点，是椭圆上与均不重合的相异两点，设直线的斜率分别是.(1)求的值；(2)若直线过点，求证：；(3)设直线与轴的交点为(为常数且)，试探究直线与直线的交点是否落在某条定直线上？若是，请求出该定直线的方程；若不是，请说明理由．【答案】（1）（2）见解析（3）落在定直线上【详解】试题分析：（1）由椭圆方程可知点两点的坐标，可设点的坐标（设而不求），根据斜率的计算公式列出的表达式，又点在椭圆上，联立椭圆方程，从而可问题可得解；（2）由题意可联立直线与椭圆方程，消去，根据韦达定理，求得点的纵坐标与参数的关系式，再分别算出斜率，进行运算化简，从而问题可得证.（3）同（2）法，由点的纵坐标，求出直线的方程，联立两直线方程，求出其交点的横坐标与点的坐标无关，从而可判断交点落在定直线上，从而问题可得解.试题解析：(1)设，由于，所以，因为在椭圆上，于是，即，所以. (2)设直线，，由得，于是， ．  (3)由于直线与轴的交点为，于是，联立直线与椭圆的方程，可得，于是因为直线，直线，两式相除，可知，于是，所以，即直线与直线的交点落在定直线上．21．已知，其中且．（1）若，曲线在点处的切线为，求直线斜率的取值范围：（2）若在区间有唯一极值点，①求的取值范围；②用表示的最小值．证明：．【答案】（1）；（2）①；②证明见解析．【分析】（1）由导数的几何意义知，直线斜率的取值范围即为的值域；（2）①设，由题意有且只有一个变号零点，对分和讨论即可；②由①知，利用诱导公式化简得，然后对分情况讨论并结合放缩法可证..【详解】解：（1）当时，，所以，令，当时，，当时，，所以，直线l斜率的取值范围是．（2）①设，则，i）若，则在区间内，且使，所以在内至少有两个变号零点，即在区间内至少有两个极值点，故不满足题意．．ii）时，令，得令，解得：，故m只能取1，令，解得：，此时n无解．故，仅当时，，因为，当时，，当时，，所以在有唯一的极大值点．综上，时，在区间有唯一极大值点．②证明：由①知，，此时，a）当时，即时，由不等式：时，知得所以，．b）当时，即时， 综上，.【点睛】关键点点睛：（2）问中①的关键是利用三角恒等变换将化简为，然后对分：和讨论；（2）问中②的关键是利用①知，从而求出，并化简得，然后分情况讨论并结合放缩法可证明.