2023届上海市格致中学高三上学期期中数学试题含解析

这是一份2023届上海市格致中学高三上学期期中数学试题含解析，共15页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023届上海市格致中学高三上学期期中数学试题 一、单选题1．设，“复数是纯虚数”是“”的（    ）A．充分而不必要条件； B．必要不充分条件；C．充分必要条件； D．既不充分也不必要条件.【答案】A【分析】根据纯虚数的定义，结合充分性、必要性的定义进行求解即可.【详解】当是纯虚数时，一定有，但是当时，只有当时，才能是纯虚数，所以“复数是纯虚数”是“”的充分而不必要条件，故选：A2．等比数列中的项，是函数的极值点，则（    ）A．3 B． C． D．【答案】D【分析】求出函数的导函数，即可得到函数的单调区间，从而求出函数的极值点，再根据等比数列下标和性质计算可得.【详解】解：因为，所以，当或时，当时，所以、为函数的极值点，即或，又，所以且；故选：D3．设m，n是两条不同的直线，，是两个不同的平面，直线，则下列说法正确的是（    ）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则【答案】A【分析】结合点线面的位置关系对选项一一判断，即可得出结论.【详解】对于A选项，因为，，则，所以，故A选项正确；对于B选项，由条件得，故B选项错误；对于C选项，由条件得，故C选项错误；对于D选项，由条件得或，故D选项错误，故选：A.4．已知函数若存在唯一的整数x，使得成立，则所有满足条件的整数a的取值集合为（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】作出的图象，由不等式的几何意义：曲线上一点与连线的直线斜率小于0，结合图象即可求得a范围【详解】令作出的图象如图所示：等价于，表示点与点所在直线的斜率，可得曲线上只有一个整数点与所在的直线斜率小于0，而点在直线上运动，由 可知当时，只有点满足，当时，只有点满足，当时，至少有，满足，不满足唯一整数点，故舍去，当时，至少有满足，不满足唯一整数点，故舍去，因为为整数，故可取故选：B 二、填空题5．在等差数列中，，则___________.【答案】【分析】根据题意，由等差数列的性质可得答案．【详解】根据题意，等差数列{an}中，＝2，则（）＝1；故答案为1【点睛】本题考查等差数列的性质，关键是掌握等差数列的性质，准确计算是关键，属于基础题．6．若，则___________.【答案】【分析】根据集合元素的互异性得且，再结合题意得，解方程即可得答案.【详解】解：根据集合元素的互异性可知，即且，因为，所以，解得（负舍）所以 故答案为：7．的展开式中的系数为_______．【答案】【分析】根据二项定理展开通项，求得的值，进而求得系数．【详解】根据二项定理展开式的通项式得 所以 ，解得 所以系数故答案为：【点睛】本题考查了二项式定理的简单应用，属于基础题．8．设，则方程的解集为______.【答案】##【分析】解方程即得解.【详解】解：由题得.所以方程的解集为.故答案为：9．已知角的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边经过点，则______．【答案】【分析】根据三角函数定义求和，最后代入公式求值.【详解】解：由题意可得，，，，，，故答案为：．【点睛】本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．10．对任意，直线过定点______.【答案】【分析】变换得到，得到方程组，解得答案.【详解】，则，，解得，故直线过定点.故答案为：11．函数的定义域是，则函数的定义域是______．【答案】.【分析】根据函数定义域的概念以及一元二次不等式进行求解.【详解】因为函数的定义域是，所以，解得或，则函数的定义域是.故答案为：.12．为了保护水资源，提倡节约用水，某城市对居民生活用水实行"阶梯水价".计费方法如下表∶每户每月用水量水价不超过的部分3元/超过但不超过的部分6元/超过的部分9元/ 若某用户本月缴纳的水费为60元，则此户居民本月用水量为______.【答案】16【分析】按阶梯水价依次计算分析即可.【详解】按“不超过的部分”水价计算，最多用水，水费为12×3＝36元，∵60元＞36元，故该户居民用水量超过了，按“超过但不超过的部分”的水价计算，这一段最多用水，水费为6×6＝36元，∵36＋36＝72元＞60元，故该户居民用水量介于和之间，其中按6元/计费的用水量为(60－36)÷6＝4，∴该户居民用水量为12＋4＝16.故答案为：16.另解：设用水量为x，水费为y元，则，时，若y＝60，则，不符合；时，若y＝60，则，符合，故用水量为16.故答案为：16.13．将个和个随机排成一行，则个不相邻的概率为______（结果用最简分数表示）【答案】【分析】分别计算出4个1和2个0随机排成一行的种数以及2个0不相邻的种数，然后由古典概型的概率公式即可求得答案.【详解】6个空位选2两个放0，剩余4个放1，故总的排放方法有种，个不相邻的排法利用插空法，4个1之间包括两头有5个位置可以放0，故排放方法有 种，则个不相邻的概率为 ，故选：C．14．设是双曲线的左、右焦点.是坐标原点.过作的一条渐近线的垂线，垂足为，若，则的离心率为_______________________．【答案】【分析】首先求出和各个边的长度，然后利用找出关于的等量关系，最后求出离心率即可.【详解】由题意知：，由于等于点到渐近线的距离，即，所以，在中利用余弦定理有：，在中，，因为，所以，整理化简得，所以的离心率为.故答案为：【点睛】双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出a，c，代入公式；②只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合b2＝c2－a2转化为a，c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)．15．在等腰梯形中，，，，是腰上的动点，则的最小值为______.【答案】【分析】以为原点，射线为轴正半轴建立直角坐标系，用坐标表示出，即可求出．【详解】以为原点，射线为轴正半轴建立直角坐标系，如图所示，因为，，过点作交于点，所以，所以，即，所以，，设，其中，，，，，当时，取最小值．故答案为：．16．已知点，其中，且，，若四边形是矩形，则此矩形绕轴旋转一周得到的圆柱的体积的最大值为________．【答案】【详解】试题分析：根据题意，作图如下，若四边形是矩形，则．令，由条件，，所以圆柱体的体积为．因为，，所以可将和看作为方程的两个不同的实数解，则，，所以，所以≤＝，当且仅法，即时等号成立，所以该圆柱的体积的最大值为．【解析】1、圆柱体的体积；2、基本不等式． 三、解答题17．已知为虚数单位，复数是关于的实系数一元二次方程的一个根.(1)求实数、的值；(2)在复平面内，复数，，所对应的向量分别为，，，若，求实数的值.【答案】(1)，(2) 【分析】（1）确定也是方程的根，根据韦达定理计算得到答案；（2）确定，，，再根据向量的垂直关系结合向量运算得到答案.【详解】（1）是关于的实系数一元二次方程的一个根，故也是方程的根，故，即，.（2），，，故，，，，即，解得.18．如图，在三棱锥中，⊥底面，．点，，分别为棱，，的中点，是线段的中点，，．(1)求证：∥平面；(2)求平面PAC与平面EMN所成角的余弦值.【答案】(1)证明见解析；(2). 【分析】（1）以为坐标原点建立空间直角坐标系，分别求得的方向向量和平面的法向量，根据其数量积的结果即可证明；（2）分别求得两个平面的法向量，结合法向量夹角和二面角之间的关系，即可求得结果.【详解】（1）因为面面，故，又，故以为原点，分别以，，方向为x轴、y轴、z轴正方向建立空间直角坐标系如下所示：依题意可得，，，，，，，．=，=.设为平面的法向量，则，即，不妨设，可得.又，故可得.因为平面BDE，所以MN//平面BDE.（2）易知为平面CEM的一个法向量，设为平面EMN的法向量，则，因为，，所以．不妨设，可得；设平面PAC与平面EMN所成角为，，所以平面PAC与平面EMN所成角的余弦值为.19．如果一条信息有n种可能的情形（各种情形之间互不相容），且这些情形发生的概率分别为，则称 （其中 ）为该条信息的信息熵．已知．（1）若某班共有32名学生，通过随机抽签的方式选一名学生参加某项活动，试求“谁被选中”的信息熵的大小；（2）某次比赛共有n位选手（分别记为）参加，若当 时，选手获得冠军的概率为，求“谁获得冠军”的信息熵关于n的表达式．【答案】（1）5（2）【详解】试题分析：利用求出，根据题目（1）所给出的信息，32名学生，通过随机抽签的方式选一名学生参加某项活动，“某人被选中”的概率均为，利用公式 （其中 ），求出信息熵的值；比赛共有n位选手（分别记为）参加，若当 时，选手获得冠军的概率为，利用公式 （其中 ），表示出信息熵后，利用错位相减法求出数列的和.试题解析：（1）由，可得，解之得.由32种情形等可能，故，所以，答：“谁被选中”的信息熵为．                           （2）获得冠军的概率为，当 时，，又，故，                   ，以上两式相减，可得，故，答：“谁获得冠军”的信息熵为．20．已知函数，；(1)当时，求在的值域；(2)若至少存在三个使得，求的取值范围；(3)若在上是增函数，且存在，使得成立，求实数的取值范围.【答案】(1)(2)(3) 【分析】（1）由题意可得,据此即可求得函数的值域；（2）由题意得到,列出关于的不等式，求解不等式即可确定的取值范围；（3）由题意列出关于的不等式，求解不等式即可确定的取值范围．【详解】（1）当时，,由，可得，故的值域为．（2）∵对于函数，至少存在三个，使得，即函数的图象在至少有3个最低点，，所以，故，即有，即的取值范围是.（3）由题意在是增函数，则，，所以，，而，故，即，由于存在使得，即成立，即成立，而，又，故 ，即，综上可得， ，即的取值范围是.21．我们用“”表示“将直角坐标平面内点进行变换后得到，即，已知，，若存在一个圈，使所有的点都在这个圆内或圆上，则称这个圆为的一个收敛圈.(1)若，且，判断是否存在半径为的收敛圆.并说明理由；(2)若，且，求的半径最小的收敛圆的方程.(3)对于（2）中的图上一点，，的轨迹为，，分别是椭圆的焦点，是上异于，的一点，直线，与分别相交于点、和、，判断是否为定值，证明你的结论.【答案】(1)点不存在一个半径为的收敛圆.理由见详解.(2)(3)是定值，证明过程见详解. 【分析】(1)由可得：，所以，则点不可能在同一个半径为3的圆内；(2)由，可得：，且均在线段上，故的半径最小的收敛圆是以为直径的圆，进而得到答案；(3)设其中一条直线方程，设而不求法；把和线段表示出来，结合圆锥曲线的定义、性质与方程求证即可得到结论.【详解】（1）结论：点不存在一个半径为的收敛圆.证明：由可得：，所以，则点不可能在同一个半径为3的圆内，所以：点不存在一个半径为的收敛圆.（2）由，可得：，故，且均在线段上，故的半径最小的收敛圆是以为直径的圆，即的方程为：.（3）是定值，理由如下：由可得：点的轨迹是以原点为圆心，以为半径的圆，由，分别是椭圆的焦点，则，的坐标分别为：，若是上异于，的一点，直线垂直，且两条直线的斜率均存在且不为0，设过直线为：，则过的直线为：，设，由与联立可得：，所以，故，同理：，所以（定值）.