三年中考（2020-2022）数学母题探究系列专题---01.实数的概念及运算（精讲）

这是一份三年中考（2020-2022）数学母题探究系列专题---01.实数的概念及运算（精讲），共17页。
专题01 实数及其运算
中考考点分析
在中考中实数的考查属于常考考点，考试方向体现在正负数的实际意义、相反数、绝对值、倒数等，常以选择题和填空题的形式出现在试卷中，属于基础知识．
科学记数法属于常考考点，考试方向一般有较大数的科学记数法表示及较小数的科学记数法表示，常以选择题和填空题的形式出现在试卷中，属于基础知识.
实数的运算属于常考考点，考试方向主要有具体的二次根式、特殊角（30°、45°、60°）的三角函数计算以及包括绝对值、倒数、负整数指数幂、0指数幂等在内的混合运算，多以计算题的形式出现在试卷中，有时也在选择题或填空题中出现，属于基础知识.
本专题在中考中涉及的知识点很多，包括有理数与实数等章节，难度都不大，属于送分题。有时会是多个知识点的综合考查。需要注意涉及数轴的知识与其他知识点的综合运用，以及关注到数学文化的内容在考题中的渗透。这一部分的中考复习要扎实，要关注到基础概念的准确深入的理解，而不是死记硬背知识点。
【考纲要求】
1.了解有理数、无理数、实数的概念，借助数轴理解相反数、绝对值的概念及意义，会比较实数的大小;
2.知道实数与数轴上的点一一对应，会用科学记数法表示有理数，会求近似数和有效数字;了解乘方与开方、平方根、算术平方根、立方根的概念，并理解这两种运算之间的关系，了解整数指数幂的意义和基本性质;
3.掌握实数的运算法则，并能灵活运用.

考点1 相反数、绝对值、倒数

母题揭秘

【母题1】（2022•鄂州）实数9的相反数等于（　　）
A．﹣9 B．+9 C． D．
【分析】直接利用相反数的定义得出答案．
【解答】解：实数9的相反数是：﹣9．
故选：A．
【点评】此题主要考查了相反数，正确掌握相反数的定义是解题关键．
【解题关键】
中考中对相反数的考查属于高频考点，解题的关键是掌握相反数的概念：只有符号不同的两个数叫做互为相反数．
【母题2】（2022•黄石）的绝对值是（　　）
A．1 B．1 C．1 D．±（1）
【分析】直接利用绝对值的定义分别分析得出答案．
【解答】解：1的绝对值是1；
故选：B．
【点评】此题主要考查了绝对值，正确掌握定义是解题关键．
【解题关键】
对绝对值的考查属于高频考点，熟记绝对值的概念是解答的关键：数轴上一个数对应点到原点的距离，叫做这个数的绝对值. 任何数的绝对值都是非负数.
【母题3】（2022•张家界）﹣2022的倒数是（　　）
A．2022 B． C．﹣2022 D．
【分析】直接利用倒数的定义得出答案．
【解答】解：﹣2022的倒数是：．
故选：B．
【点评】此题主要考查了倒数，正确掌握倒数的定义是解题关键．
【解题关键】
中考中对倒数的考查属于中频考点，牢记倒数的概念是解答的关键：乘积为1的两个数互为倒数.具体求值的时候，符号不变，改变分子分母的位置即得答案.
中考模拟

1．（2022•定远县一模）的相反数是（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据相反数的定义可得的相反数是．
【解答】解：的相反数是．
故选：B．
2．（2022•澄迈县模拟）的绝对值是（　　）
A．﹣8 B．8 C． D．
【分析】根据绝对值的定义解决此题．
【解答】解：根据绝对值的定义，．
故选：D．
3．（2022•路南区三模）与互为倒数的是（　　）
A． B．3×4 C． D．﹣3×4
【分析】先根据有理数减法的法则计算，再求倒数即可．
【解答】解：，
∴与互为倒数的是﹣12．
故选：D．

考点2 数轴

母题揭秘

【母题1】（2021•广州）如图，在数轴上，点A、B分别表示a、b，且a+b＝0，若AB＝6，则点A表示的数为（　　）

A．﹣3 B．0 C．3 D．﹣6
【分析】根据相反数的性质，由a+b＝0，AB＝6得a＜0，b＞0，b＝﹣a，故AB＝b+（﹣a）＝6．进而推断出a＝﹣3．
【解答】解：∵a+b＝0，
∴a＝﹣b，即a与b互为相反数．
又∵AB＝6，
∴b﹣a＝6．
∴2b＝6．
∴b＝3．
∴a＝﹣3，即点A表示的数为﹣3．
故选：A．
【点评】本题主要考查相反数的性质，熟练掌握相反数的性质是解决本题的关键．
【母题2】（2022•宁夏）已知实数a，b在数轴上的位置如图所示，则的值是（　　）

A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．2
【分析】根据图形得到a＜0，b＞0，原式利用绝对值的意义化简即可得到结果．
【解答】解：∵a＜0，b＞0，
∴原式＝﹣1+1＝0．
故选：C．
【点评】此题考查了绝对值，熟练掌握绝对值的意义是解题的关键．
【母题3】（2022•长春）实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，下列结论正确的是（　　）

A．a＞0 B．a＜b C．b﹣1＜0 D．ab＞0
【分析】利用数轴与实数的关系，及正负数在数轴上的表示求解．
【解答】解：根据图形可以得到：
﹣2＜a＜0＜1＜b＜3；
所以：A，C，D都是错误的；
故选：B．
【点评】本题考查了数轴与实数的关系，理解并正确运用是解题的关键．
【方法技巧】
数轴
（1）数轴的三要素：原点、正方向、单位长度（重点）
（2）任何有理数都可以用数轴上的点表示，有理数与数轴上的点是一一对应的。
（3）数轴上的点表示的数从左到右依次增大；原点左边的数是负数，原点右边的数是正数.

中考模拟

1．（2022•章丘区模拟）已知有理数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列结论不正确的是（　　）

A．c＜a＜b B．a﹣c＞0 C．bc＜0 D．|c﹣b|＝c﹣b
【分析】利用a，b，c在数轴上的位置，可以判断出c＜a＜b，再用有理数的加减乘除法则判断即可．
【解答】解：利用数轴，可以判断出c＜a＜b，
则A选项正确，不符合题意；
由数轴可以看出，c＜a，
则a﹣c＞0，则B选项正确，不符合题意；
由数轴可以看出，c＜0＜b，
则bc＜0，则C选项正确，不符合题意；
由数轴可以看出，c＜0＜b，|c|＞|b|，
则|c﹣b|＝﹣（c﹣b）＝b﹣c，故D选项错误，符合题意．
故选：D．
2．（2022•南充模拟）如图，是实数a，b在数轴上的对应点位置．下列结论，错误的是（　　）

A．ab＜0 B．a+b＜0 C．a+2＞0 D．|a|＞b
【分析】由图可知，a在﹣3与﹣2之间，b在1与2之间，在这基础上用实数的运算法则进行计算即可．
【解答】解：由图可知，a在﹣3与﹣2之间，b在1与2之间，
∴a＜0，2＜|a|＜3；
b＞0，1＜b＜2，
∴ab＜0，故A正确；
a+b＜0，故B正确；
a+2＜0，故C 错；
|a|＞2＞b，故D正确，
故选：C．
3．（2022•汇川区模拟）实数a、b在数轴上的位置如图所示，则下列结论正确的是（　　）

A．a+b＞0 B．b＞﹣a C．a＞﹣b D．﹣a＞﹣b
【分析】根据有理数的加法法则判断A选项；根据绝对值的性质判断B选项；根据不等式的基本性质判断C选项；根据正数大于负数判断D选项．
【解答】解：A选项，∵a＜0，b＞0，|a|＞|b|，
∴a+b＜0，故该选项不符合题意；
B选项，∵|a|＞|b|，a＜0，b＞0，
∴﹣a＞b，
∴b＜﹣a，故该选项不符合题意；
C选项，∵a+b＜0，
∴a＜﹣b，故该选项不符合题意；
D选项，∵a＜0，b＞0，
∴﹣a＞0，﹣b＜0，
∴﹣a＞﹣b，故该选项符合题意；
故选：D．


考点3 实数的大小比较

母题揭秘

【母题1】（2022•营口）在，0，﹣1，2这四个实数中，最大的数是（　　）
A．0 B．﹣1 C．2 D．
【分析】根据实数的大小比较法则即可得出答案．
【解答】解：∵﹣1＜02，
∴最大的数是2；
故选：C．
【点评】此题考查了实数的大小比较，熟练掌握正数大于0，负数小于0，正数大于一切负数．
【母题2】（2022•湖北）在1，﹣2，0，这四个数中，最大的数是（　　）
A．1 B．﹣2 C．0 D．
【分析】实数的比较，正数大于零，零大于负数，两个正数，绝对值大的数也较大．
【解答】解：∵1＞0＞﹣2，
∴最大的数是．
故选：D．
【点评】此题主要考查了实数的比较大小，关键是掌握实数比较大小的原则．
【母题3】（2021•鄂尔多斯）在实数0，π，|﹣2|，﹣1中，最小的数是（　　）
A．|﹣2| B．0 C．﹣1 D．π
【分析】先化简|﹣2|，然后根据正数大于0，负数小于0即可得出答案．
【解答】解：∵|﹣2|＝2，
∴﹣1＜0＜|﹣2|＜π，
∴最小的数是﹣1，
故选：C．
【点评】本题考查了实数的比较大小，绝对值，注意负数的绝对值等于它的相反数．

【方法技巧】
比较实数大小的五种方法：
（1）绝对值比较法：两个负数比较大小，绝大值大的反而小
（2）数轴比较法：在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大
（3）平方比较法：先将要平方的两个数分别平方，再根据a>0,b>0时，可由a2>b2得到a>b来比较大小。
（4）取近以值法：首先对要比较的两个数取近以值通过比较其近似值来比较两个数的大小，
（5）差值比较法


中考模拟

1．（2022•长汀县模拟）在实数﹣3，，0，1中，绝对值最小的数是（　　）
A．﹣3 B． C．0 D．1
【分析】先求出选项中各个数字的绝对值，再依次进行比较，可以解答本题．
【解答】A．﹣3的绝对值是3；
B．的绝对值是；
C.0的绝对值是0；
D.1的绝对值是1．比较实数绝对值的大小，01＜3，可知0的绝对值最小．
故选：C．
2．（2022•红谷滩区校级一模）下列各数中，绝对值最小的数是（　　）
A．0 B．﹣1 C． D．
【分析】根据0是绝对值最小的数即可求解．
【解答】解：绝对值最小的数是0．
故选：A．
3．（2022•三水区校级三模）实数a，b在数轴上的位置如图所示，把a，b，﹣a，|b|按照从小到大的顺序排列正确的是（　　）

A．|b|＜a＜﹣a＜b B．b＜a＜﹣a＜|b| C．b＜﹣a＜a＜|b| D．|b|＜﹣a＜a＜b
【分析】利用数轴的性质，进行实数的大小比较．
【解答】解：由题意可知b＜﹣a＜0＜a＜﹣b＝|b|，
故选：C．

考点4 近似数和有效数字

母题揭秘

【母题1】（2022•济宁）用四舍五入法取近似值，将数0.0158精确到0.001的结果是（　　）
A．0.015 B．0.016 C．0.01 D．0.02
【分析】利用四舍五入的方法，从万分位开始四舍五入取近似值即可．
【解答】解：0.0158≈0.016，
故选：B．
【点评】本题主要考查了近似数和有效数字，正确利用四舍五入法取近似值是解题的关键．
【解题技巧】
（1）近似数精确到哪一位，只需看这个数的最末一位在原数的哪一位.
（2）当四舍五入到十位或十位以上时，应先用科学记数法表示这个数，再按要求取近似数.
中考模拟

1．（2022•曲阜市一模）将0.3512精确到百分位是（　　）
A．0.35 B．0.351 C．0.4 D．0.350
【分析】百分位是小数点后第二位，因此小数点后面只需要保留两位数字，用四舍五入法即可．
【解答】解：千分位的数是2，
故用四舍五入法精确到百分位的结果位0.35．
故选：A．
2．（2022•路南区二模）用四舍五入法对0.06045取近似值，错误的是（　　）
A．0.1（精确到0.1） B．0.06（精确到百分位）
C．0.061（精确到千分位） D．0.0605（精确到0.0001）
【分析】取近似数的时候，即精确到哪一位，只需对下一位的数字四舍五入．即可得出结论．
【解答】解：A．0.06045精确到0.1为0.1，此选项正确，不符合题意；
B．0.06045精确到百分位为0.06，此选项正确，不符合题意；
C．0.06045精确到千分位为0.060，此选项错误，符合题意；
D．0.06045精确到0.0001为0.0605，此选项正确，不符合题意；
故选：C．
3．（2022•萧山区二模）2019年11月，联合国教科文组织正式宜布，将每年的3月14日定为“国际数学日”．国际数学日之所以定在3月14日，是因为“3.14”是圆周率数值最接近的数字．将圆周率“π”用四舍五入法取近似值3.14，是精确到（　　）
A．个位 B．十分位 C．百分位 D．千分位
【分析】近似数精确到哪一位，应当看末位数字实际在哪一位．
【解答】解：将圆周率“π”用四舍五入法取近似值3.14，是精确到百分位．
故选：C．

考点5 科学记数法

母题揭秘

【母题1】（2022•锦州）党的十八大以来，以习近平同志为核心的党中央重视技能人才的培育与发展．据报道，截至2021年底，我国高技能人才超过60000000人，请将数据60000000用科学记数法表示为（　　）
A．0.6×108 B．6×107 C．6×106 D．60×106
【分析】科学记数法的表示形式为a×10ⁿ的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于或等于10时，n是正整数；当原数的绝对值小于1时，n是负整数．
【解答】解：将数据60000000用科学记数法表示为6×107；
故选B．
【点评】本题主要考查科学记数法，熟练掌握科学记数法是解题的关键．
【母题2】（2022•贵港）据报道：芯片被誉为现代工业的掌上明珠，芯片制造的核心是光刻技术，我国的光刻技术水平已突破到28nm．已知1nm＝10﹣9m，则28nm用科学记数法表示是（　　）
A．28×10﹣9m B．2.8×10﹣9m C．2.8×10﹣8m D．2.8×10﹣10m
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【解答】解：因为1nm＝10﹣9m，
所以28nm＝28×10﹣9m＝2.8×10﹣8m．
故选：C．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要确定a的值以及n的值．

【解题关键】
解题的关键是掌握科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．

中考模拟

1．（2022•振兴区校级模拟）某市常住人口数约为1.33×106人，则数据1.33×106表示的原数是（　　）
A．13300 B．133000 C．1330000 D．13300000
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于1时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数．
【解答】解：1.33×106＝1330000，
故选：C．
2．（2022•孝义市三模）一季度，面对国际环境更趋复杂严峻和国内疫情频发带来的多重考验，在以习近平同志为核心的党中央坚强领导下，科学统筹疫情防控和经济社会发展，初步核算，一季度国内生产总值约为27万亿元，按不变价格计算，同比增长4.8%．数据27万亿元用科学记数法表示为（　　）
A．2.7×1013元 B．2.7×1014元
C．0.27×1014元 D．27×1012元
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：27万亿元＝27000000000000元＝2.7×1013元．
故选：A．
3．（2022•兴安盟二模）某种福利彩票特等奖的中奖率为，把用科学记数法表示为（　　）
A．12.5×10﹣7 B．0.125×10﹣6 C．1.25×10﹣7 D．1.25×10﹣6
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：0.000000125＝1.25×10﹣7．
故选：C．

考点6 平方根、立方根

母题揭秘

【母题1】（2022•宜宾）4的平方根是（　　）
A．2 B．﹣2 C．16 D．±2
【分析】根据平方根的定义即可求出答案．
【解答】解：∵（±2）2＝4，
∴4的平方根是±2，
故选：D．
【点评】本题考查平方根的定义，解题的关键是正确理解平方根的定义，本题属于基础题型．
【母题2】（2022•常州）化简：　 　．
【分析】直接利用立方根的定义即可求解．
【解答】解：∵23＝8
∴2．
故填2．
【点评】本题主要考查立方根的概念，如果一个数x的立方等于a，那么x是a的立方根．
【母题3】（2022•恩施州）9的算术平方根是 　 　．
【分析】9的平方根为±3，算术平方根为非负，从而得出结论．
【解答】解：∵（±3）2＝9，
∴9的算术平方根是3．
故答案为：3．
【点评】本题考查了数的算术平方根，解题的关键是牢记算术平方根为非负．

【名师点评】
只有正数和零才能进行开平方运算。
由于平方与开平方互为逆运算，因此可以通过平方运算来求一个数的平方根，也可以通过平方运算来检验一个数是不是另一个数的平方根。
任何实数都有立方根。正数的立方根中，被开方数越大，则对应的立方根也越大。

中考模拟

1．（2022•莲湖区三模）的平方根为（　　）
A．± B． C． D．±
【分析】利用平方根的意义解答即可．
【解答】解：的平方根为，
故选：D．
2．（2022•景德镇模拟）的算术平方根是（　　）
A．±4 B．±2 C．﹣2 D．2
【分析】根据算术平方根定义解答即可．
【解答】解：∵22＝4，
∴的算术平方根是2．
故选：D．
3．（2022•陇县二模）的立方根为（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据（）3，得出的立方根是．
【解答】解：∵（）3，
∴的立方根是．
故选：A．



考点7 实数的运算

母题揭秘

【母题1】（2022•黄石）计算：（﹣2）2﹣（2022）0＝　3　．
【分析】直接利用零指数幂的性质以及有理数的乘方运算法则、有理数的加减运算法则分别计算，进而得出答案．
【解答】解：原式＝4﹣1
＝3．
故答案为：3．
【点评】此题主要考查了实数的运算，正确化简各数是解题关键．
【母题2】（2022•菏泽）计算：（）﹣1+4cos45°（2022﹣π）0．
【分析】直接利用负整数指数幂的性质以及特殊角的三角函数值、零指数幂的性质、二次根式的性质分别化简，进而合并得出答案．
【解答】解：原式＝2+421
＝2+221
＝3．
【点评】此题主要考查了实数的运算，正确化简各数是解题关键．

【解题关键】
（1）有理数的运算律在实数范围内都适用，其中常用的运算律有加法交换律、加法结合律、乘法交换律、乘法结合律、乘法分配律．
（2）在实数范围内进行运算的顺序：先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减．运算中有括号的，先算括号内的，同一级运算要从左到右依次进行．

中考模拟

1．（2022•柳州模拟）计算：（﹣1）2022tan30°+（π﹣5）0．
【分析】根据乘方运算法则，特殊角的三角函数值，零指数幂计算即可．
【解答】解：（﹣1）2022tan30°+（π﹣5）0
＝11
＝1+1+1
＝3．
2．（2022•遂宁模拟）计算：．
【分析】先计算二次根式、负整数指数幂、绝对值和特殊角的三角函数值，再计算乘法，最后计算加减．
【解答】解：
1﹣224
1﹣24
＝3．
3．（2022•王益区一模）计算：．
【分析】先计算平方、立方根、二次根式和绝对值，再计算加减．
【解答】解：
＝﹣4+23+2
1