2023届二轮复习 专题五圆周运动　万有引力与航天 学案

这是一份2023届二轮复习 专题五圆周运动　万有引力与航天 学案，共12页。
专题五圆周运动　万有引力与航天

命题热点
常考题型
(1)圆周运动的动力学分析；
(2)万有引力定律、天体运动、宇宙航行；
(3)生活、科技中的圆周运动．
选择题、计算题，在计算题中，圆周运动通常与能量观点综合考查．


高频考点·能力突破
考点一　水平面内的圆周运动
1．圆周运动中的动力学方程
将牛顿第二定律F＝ma应用于圆周运动，可得到圆周运动中的动力学方程．
F＝mv2r＝mω2r＝mωv＝mr4π2T2＝4π2f2mr.
2．水平面内圆周运动问题的分析思路



例1[2022·山东卷]无人配送小车某次性能测试路径如图所示，半径为3m的半圆弧BC与长8m的直线路径AB相切于B点，与半径为4m的半圆弧CD相切于C点．小车以最大速度从A点驶入路径，到适当位置调整速率运动到B点，然后保持速率不变依次经过BC和CD.为保证安全，小车速率最大为4m/s.在ABC段的加速度最大为2m/s2，CD段的加速度最大为1m/s2.小车视为质点，小车从A到D所需最短时间t及在AB段做匀速直线运动的最长距离l为(　　)

A．t＝(2＋7π4) s，l＝8m
B．t＝(94+7π2) s，l＝5m
C．t＝(2＋5126+76π6) s，l＝5.5m
D．t＝2+5126+6+4π2s，l＝5.5m
[解题心得]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　



例2[2021·河北卷](多选)如图，矩形金属框MNQP竖直放置，其中MN、PQ足够长，且PQ杆光滑．一根轻弹簧一端固定在M点，另一端连接一个质量为m的小球，小球穿过PQ杆．金属框绕MN轴分别以角速度ω和ω′匀速转动时，小球均相对PQ杆静止．若ω′>ω，则与以ω匀速转动时相比，以ω′匀速转动时(　　)

A．小球的高度一定降低
B．弹簧弹力的大小一定不变
C．小球对杆压力的大小一定变大
D．小球所受合外力的大小一定变大
[解题心得]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
预测1　

[2022·辽宁卷]2022年北京冬奥会短道速滑混合团体2000米接力决赛中，我国短道速滑队夺得中国队在本届冬奥会的首金．
(1)如果把运动员起跑后进入弯道前的过程看作初速度为零的匀加速直线运动，若运动员加速到速度v＝9m/s时，滑过的距离x＝15m，求加速度的大小；
(2)如果把运动员在弯道滑行的过程看作轨道为半圆的匀速圆周运动，如图所示，若甲、乙两名运动员同时进入弯道，滑行半径分别为R甲＝8m、R乙＝9m，滑行速率分别为v甲＝10m/s、v乙＝11m/s，求甲、乙过弯道时的向心加速度大小之比，并通过计算判断哪位运动员先出弯道．
[试解]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　


预测2　[2022·福建福州4月份模拟]如图，长L＝0.2m的轻绳一端与质量m＝2kg的小球相连，另一端连接一个质量M＝1kg的滑块，滑块套在竖直杆上，与竖直杆间的动摩擦因数为μ.现在让小球绕竖直杆在水平面内做匀速圆周运动，当绳子与杆的夹角θ＝60°时，滑块恰好不下滑．假设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度g＝10m/s2.求：

(1)小球转动的角速度ω的大小；
(2)滑块与竖直杆间的动摩擦因数μ.
[试解]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　


考点二　竖直面内的圆周运动
　竖直面内圆周运动分析步骤：
(1)定模型→判断是轻杆模型还是轻绳模型
(2)
(3)过程分析→应用动能定理或机械能守恒定律将初、末状态联系起来列方程求解


例3[2022·全国甲卷]北京2022年冬奥会首钢滑雪大跳台局部示意图如图所示．运动员从a处由静止自由滑下，到b处起跳，c点为a、b之间的最低点，a、c两处的高度差为h.要求运动员经过c点时对滑雪板的压力不大于自身所受重力的k倍，运动过程中将运动员视为质点并忽略所有阻力，则c点处这一段圆弧雪道的半径不应小于(　　)

A.hk+1　　B．hk　　C．2hk　　D．2hk-1
[解题心得]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

例3　如图所示，小球沿竖直光滑圆轨道内侧运动到最高点时，小球的机械能E机、重力势能Ep(取圆轨道的最低点重力势能为零)和动能Ek的相对大小(用柱形高度表示)，可能正确的是(　　)



预测4　(多选)如图所示，轻杆长为3l，在杆的两端分别固定质量均为m的球A和球B，杆上距球A为l处的点O装在光滑的水平转动轴上，外界给予系统一定的能量后，杆和球在竖直面内转动．在转动的过程中，忽略空气的阻力．若球B运动到最高点时，对杆恰好无作用力，则球B在最高点时，下列说法正确的是(　　)
A．球B的速度大小为gl
B．球A的速度大小为2gl2
C．杆对球A的作用力为0.5mg
D．杆对水平轴的作用力为1.5mg


考点三　万有引力定律　天体运动
1．两种卫星的特点
(1)近地卫星：①轨道半径等于地球半径；②卫星所受万有引力等于重力mg；③卫星向心加速度即为重力加速度．
(2)同步卫星：①同步卫星的周期等于地球的自转周期；②所有地球同步卫星都在赤道上空相同的高度上．
六个“一定”
2．巧用“一模型、两思路”解答卫星运行参量问题
(1)一种模型：无论是自然天体(如地球、月亮)还是人造天体(如宇宙飞船、人造卫星)都可以看作质点，围绕中心天体(视为静止)做匀速圆周运动．
(2)两条思路
①万有引力提供向心力，即GMmr2＝mv2r＝mω2r＝m4π2T2r＝ma.
②天体对其表面物体的万有引力近似等于重力，即GMmR2＝mg或gR2＝GM(R、g分别是天体的半径、表面重力加速度)．
“黄金代换”
3．卫星变轨和能量问题
(1)点火加速，v突然增大，GMmr2＜mv2r，卫星将做离心运动．
(2)点火减速，v突然减小，GMmr2＞mv2r，卫星将做近心运动．
(3)同一卫星在不同轨道上运行时机械能不同，轨道半径越大，机械能越大．
(4)卫星经过不同轨道相交的同一点时加速度相等，外轨道的速度大于内轨道的速度．



例4[2022·湖北卷]2022年5月，我国成功完成了天舟四号货运飞船与空间站的对接，形成的组合体在地球引力作用下绕地球做圆周运动，周期约90分钟．下列说法正确的是(　　)
A．组合体中的货物处于超重状态
B．组合体的速度大小略大于第一宇宙速度
C．组合体的角速度大小比地球同步卫星的大
D．组合体的加速度大小比地球同步卫星的小
[解题心得]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　


例5[2022·山东卷]“羲和号”是我国首颗太阳探测科学技术试验卫星．如图所示，该卫星围绕地球的运动视为匀速圆周运动，轨道平面与赤道平面接近垂直．卫星每天在相同时刻，沿相同方向经过地球表面A点正上方，恰好绕地球运行n圈．已知地球半径为R，自转周期为T，地球表面重力加速度为g，则“羲和号”卫星轨道距地面高度为(　　)

A．gR2T22n2π213－R B．gR2T22n2π213
C．gR2T24n2π213－R D．gR2T24n2π213
[解题心得]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　


预测5　[2022·河北押题卷]如图，“嫦娥五号”“天问一号”探测器分别在近月、近火星轨道运行．已知火星的质量为月球质量的9倍、半径为月球半径的2倍．假设月球、火星均可视为质量均匀分布球体，忽略其自转影响，则(　　)

A．月球表面重力加速度比火星表面重力加速度大
B．月球的第一宇宙速度比火星的第一宇宙速度大
C．质量相同的物体在月球、火星表面所受万有引力大小相等
D．“嫦娥五号”绕月周期比“天问一号”绕火星周期大

预测6　[2022·福建押题卷](多选)中国“FAST”球面射电望远镜发现一个脉冲双星系统．科学家通过脉冲星计时观测得知该双星系统由一颗脉冲星与一颗白矮星组成．如图所示，假设在太空中有恒星A、B双星系统绕O点做逆时针匀速圆周运动，运动周期为T1，它们的轨道半径分别为RA、RB，且RA＜RB；C为B的卫星，绕B做逆时针匀速圆周运动，周期为T2，且T2＜T1.A与B之间的引力远大于C与B之间的引力．引力常量为G，则(　　)

A.恒星A的质量大于恒星B的质量
B．恒星B的质量为MB＝4π2RARA+RB2GT12
C．若知道C的轨道半径，则可求出C的质量
D．三星A、B、C相邻两次共线的时间间隔为Δt＝T1T2T1-T2

预测7　[2022·湖南卷](多选)如图，火星与地球近似在同一平面内，绕太阳沿同一方向做匀速圆周运动，火星的轨道半径大约是地球的1.5倍．地球上的观测者在大多数的时间内观测到火星相对于恒星背景由西向东运动，称为顺行；有时观测到火星由东向西运动，称为逆行．当火星、地球、太阳三者在同一直线上，且太阳和火星位于地球两侧时，称为火星冲日．忽略地球自转，只考虑太阳对行星的引力，下列说法正确的是(　　)

A．火星的公转周期大约是地球的827倍
B．在冲日处，地球上的观测者观测到火星的运动为顺行
C．在冲日处，地球上的观测者观测到火星的运动为逆行
D．在冲日处，火星相对于地球的速度最小





素养培优·情境命题
生活、科技中的圆周运动
情境1　[2022·江苏冲刺卷]如图所示，一辆汽车正通过一段弯道公路，视汽车做匀速圆周运动，则(　　)

A．该汽车速度恒定不变
B．汽车左右两车灯的线速度大小相等
C．若速率不变，则跟公路内道相比，汽车在外道行驶时所需的向心力较小
D．若速率不变，则跟晴天相比，雨天路滑时汽车在同车道上行驶时所需的向心力较小
[解题心得]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　


情境2　[2022·河北押题卷]2022年2月7日在首都体育馆举行的北京2022年冬奥会短道速滑项目男子1000米决赛中，中国选手任子威夺得冠军，其比赛场地如图甲所示，场地周长111.12m，其中直道长度为28.85m，弯道半径为8m．若一名质量为50kg的运动员以大小12m/s的速度进入弯道，紧邻黑色标志块做匀速圆周运动，如图乙所示，运动员可看作质点，重力加速度g取10m/s2，则运动员在弯道上受到冰面最大作用力的大小最接近的值为(　　)

A.500 N　　　　 B．900 N
C．1 030 N D．2400N
[解题心得]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　


情境3　如图所示，2022年2月3日，宇航员王亚平在中国空间站通过化学实验的方式在空间站“变”出奥运五环，并为奥运健儿送去祝福．将空间站绕地球飞行轨道视为圆轨道，轨道离地面的高度约为地球半径的116.下列说法正确的是(　　)

A．空间站在轨道上运行的速度大于7.9 m/s
B．空间站在轨道上运行的周期等于24 h
C．“变”出的奥运五环在空间站中处于平衡状态
D．核心舱进入轨道后所受地球的万有引力大小约为它在地面时的(1617)2倍
[解题心得]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

情境4　(多选)如图所示为波轮式洗衣机的工作原理示意图，当甩衣桶在电机的带动下高速旋转时，衣服紧贴在甩衣桶器壁上，从而迅速将水甩出．衣服(带水，可视为质点)质量为m，衣服和器壁的动摩擦因数约为μ，甩衣桶的半径为r，洗衣机的外桶的半径为R，当角速度达到ω0时，衣服上的水恰好被甩出，假设滑动摩擦力和最大静摩擦力相等，重力加速度为g，则下列说法正确的是(　　)

A．衣服(带水)做匀变速曲线运动
B．电动机的角速度至少为gμr时，衣服才掉不下来
C．当ω＝ω0时，水滴下落高度gR-r22ω02r2打到外筒上
D．当ω＝ω0时，水滴下落高度gR2-r22ω02r2打到外筒上
[解题心得]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　


















专题五　圆周运动　万有引力与航天
高频考点·能力突破
考点一
例1　解析：依题意知小车在BC段运动的最大速率为v1＝a1R1＝6m/s，在CD段运动的最大速率为v2＝a2R2＝2m/s，要安全行驶，进入B点的最大速率为v2＝2m/s，因此在BC段和CD段运动的最短时间t3＝sBC+sDCv2＝3π+4π2s＝7π2s，在B点的速率最大为v2＝2m/s，设在AB段小车以最大加速度减速的距离为x，则根据匀变速直线运动规律得v22＝vm2－2a1x，解得x＝3m，t2＝vm-v2a1＝1s，所以匀速运动的最大距离l＝8m－x＝5m，运动时间t1＝54s，最短时间t＝t1＋t2＋t3＝94+7π2s，B正确．
答案：B
例2　解析：设弹簧的劲度系数为k，形变量为x，弹簧与竖直方向的夹角为θ，MN、PQ的距离为L，对小球受力分析有kxcosθ－mg＝0，即竖直方向受力为0，水平方向有kxsinθ±FN＝mω2L，当金属框以ω′绕MN轴转动时，假设小球的位置升高，则kx减小，cosθ减小，小球受力不能平衡；假设小球的位置降低，则kx增大，cosθ增大，小球受力同样不能平衡，则小球的位置不会变化，弹簧弹力的大小一定不变，故A错误，B正确．小球对杆的压力大小F压＝FN＝mω2L－kxsinθ或F压＝FN＝kxsinθ－mω2L，所以当角速度变大时压力大小不一定变大，故C错误．当角速度变大时小球受到的合外力一定变大，故D正确．
答案：BD
预测1　解析：(1)根据速度位移公式有v2＝2ax
代入数据可得a＝2.7m/s2.
(2)根据向心加速度的表达式a＝v2R
可得甲、乙的向心加速度之比为a甲a乙＝v甲2v乙2·R乙R甲＝225242
甲、乙两物体做匀速圆周运动，则运动的时间为t＝πRv
代入数据可得甲、乙运动的时间为t甲＝4π5s，t乙＝9π11s
因t甲＜t乙，所以甲先出弯道．
答案：(1)2.7m/s2　(2)225242　甲
预测2　解析：(1)通过对小球的受力分析，由牛顿第二定律得，mgtanθ＝mω2Lsinθ，解得小球转动的角速度ω＝10rad/s.
(2)对小球，在竖直方向有FTcosθ＝mg；对滑块，由平衡条件可得，FTsinθ＝FN，μFN＝Mg＋FTcosθ，解得滑块与竖直杆间的动摩擦因数μ＝32.
答案：(1)10rad/s　(2)32
考点二
例3　解析：运动员从a处滑至c处，mgh＝12mvc2－0，在c点，N－mg＝mvc2R，联立得N＝mg1+2hR，由题意，结合牛顿第三定律可知，N＝F压≤kmg，得R≥2hk-1，故D项正确．
答案：D
预测3　解析：设轨道半径为R，则小球运动到最高点时，速度最小为vmin＝gR即动能不为零，则机械能E机大于重力势能Ep，故A、B错误；最高点的重力势能Ep＝2mgR，最小动能为Ekmin＝12mvmin2=12mgR，则动能最小为势能的14，也有可能大于或等于势能，故选D.
答案：D
预测4　解析：设球B在最高点时的速度为v0，有mg＝mv022l，解得v0＝2gl，选项A错误；因为A、B两球的角速度相等，根据v＝rω知，此时球A的速度为12v0＝122gl，选项B正确；根据牛顿第二定律得，FA－mg＝m2gl22l，解得FA＝1.5mg，A对杆的作用力为1.5mg，水平轴对杆的作用力与A球对杆的作用力平衡，所以F＝1.5mg，选项C错误，D正确．
答案：BD
考点三
例4　解析：组合体在天上只受万有引力的作用，则组合体中的货物处于失重状态，A错误；由题知组合体在地球引力作用下绕地球做圆周运动，而第一宇宙速度为最大的环绕速度，则组合体的速度大小不可能大于第一宇宙速度，B错误；已知同步卫星的周期为24h，则根据角速度和周期的关系有ω＝2πT，由于T同＞T组合体，则组合体的角速度大小比地球同步卫星的大，C正确；由题知组合体在地球引力作用下绕地球做圆周运动，有GMmr2＝m4π2T2r，整理有T＝2πr3GM，由于T同＞T组合体，则r同＞r组合体，且同步卫星和组合体在天上有ma＝GMmr2，则有a同＜a组合体，D错误．
答案：C
例5　解析：依题意可知卫星的绕行周期T0＝Tn，对卫星根据牛顿第二定律可得GMmR+h2＝mR+h·4π2T02，根据黄金代换式gR2＝GM，联立解得h＝gR2T24n2π213－R，C正确．
答案：C
预测5　解析：由mg＝GMmr2，可得g＝GMr2，
结合题意可得g月＝49g火，A项错误；由mg＝mv2r，可得v＝gr，可知v月＝23v火，B项错误；由F引＝GMmr2，可知F月＝49F火，C项错误；由GMmr2＝m2πT2r，可知T＝2πr3GM，得T月＝324T火，D项正确．
答案：D
预测6　解析：因为双星系统的角速度相同，故对A、B可得MARAω2＝MBRBω2，即MAMB＝RBRA，即恒星A的质量大于恒星B的质量，故A正确；对恒星A可得GMAMBRA+RB2＝MA4π2RAT12，解得恒星B的质量为MB＝4π2RARA+RB2GT12，故B正确；对卫星C满足GMBmr2＝m4π2rT22，可见无法求出卫星C的质量，故C错误；因为恒星A和B始终共线，所以三星A、B、C相邻两次共线的时间间隔为T22，故D错误．
答案：AB
预测7　解析：由开普勒第三定律可知，由于火星轨道半径大于地球轨道半径，所以火星公转周期一定大于地球公转周期(也可根据r地3T地2＝r火3T火2，r火≈1.5r地，得出T火＝278T地)，A项错误；火星与地球均绕太阳做匀速圆周运动，即GMmr2＝mv2r，解得v＝GMr，所以火星公转速度小于地球公转速度，因此在冲日处，地球上的观测者观测到火星相对于地球由东向西运动，为逆行，B项错误、C项正确；火星和地球运行的线速度大小不变，且在冲日处，地球与火星速度方向相同，故此时火星相对于地球的速度最小，D项正确．
答案：CD
素养培优·情境命题
情境1　解析：拐弯过程中汽车各部位周期相等，因此角速度相等，根据v＝ωr可知，汽车外侧的车灯线速度大，且线速度方向不断变化，该汽车速度发生了变化，故A、B错误；由向心力公式Fn＝mv2r可知，若速率不变，则跟公路内道相比，汽车在外道行驶时所需的向心力较小，故C正确；若速率不变，汽车在同车道上行驶时所受的向心力大小不变，但由于雨天最大静摩擦力减小，所以容易出现离心现象，故D错误．
答案：C
情境2　解析：运动员在水平面内做匀速圆周运动需要的向心力为Fn＝mv2r＝900N，
竖直方向受力平衡FN＝mg＝500N，
所以运动员受到冰面的作用力F＝Fn2+FN2≈1030N.
答案：C
情境3　解析：第一宇宙速度等于贴近地面的卫星做匀速圆周运动的速度，由万有引力提供向心力有：GMmr2＝mv2r，解得：v＝GMr，所以核心舱在轨道上飞行的速度小于地球的第一宇宙速度，故A错误；对核心舱与地球同步卫星相比，根据万有引力提供向心力有：GMmr2＝m4π2T2r，解得：T＝4π2r3GM，由于核心舱的轨道半径小于地球同步卫星的轨道半径，而地球同步卫星的周期为24h，所以核心舱在轨道上飞行的周期小于24h，故B错误；奥运五环在空间站中绕地球做圆周运动，所以不处于平衡状态，故C错误；根据万有引力定律可得F＝GMmr2，核心舱进入轨道后所受地球的万有引力大小约为它在地面时的16172倍，故D正确．
答案：D
情境4　解析：衣服(带水)做非匀变速曲线运动，因为其向心加速度是变化的，A错误；竖直方向，根据平衡条件有mg＝μN由于弹力提供向心力，由牛顿第二定律有N＝mω2r联立解得ω＝gμr，B正确；当ω＝ω0时，水滴打到外筒上，则水滴下落高度为h，根据平抛运动规律有h＝12gt2；x＝vt；r2＋x2＝R2，v＝ω0r联立解得h＝gR2-r22ω02r2，C错误，D正确．
答案：BD