2022-2023学年广饶县乐安中学八年级（上）期末数学试卷（五四学制）

这是一份2022-2023学年广饶县乐安中学八年级（上）期末数学试卷（五四学制），共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年广饶县乐安中学八年级（上）期末数学试卷（五四学制）
一、选择题（本题共10小题，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确的选项选出来.每小题选对得3分，不选或选出的答案超过一个均记零分.）
1．（3分）下列因式分解中，正确的是（　　）
A．x2﹣4y2＝（x﹣4y）（x+4y）
B．ax+ay+a＝a（x+y）
C．a（x﹣y）+b（y﹣x）＝（x﹣y）（a﹣b）
D．4x2+9＝（2x+3）2
2．（3分）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　）
A．直角三角形 B．等边三角形 C．平行四边形 D．矩形
3．（3分）将分式中，x，y的值同时扩大为原来的2倍，则分式的值（　　）
A．不变 B．扩大为原来的2倍
C．扩大为原来的4倍 D．缩小为原来的
4．（3分）如果将一组数据中的每个数都减去25，那么所得的一组新数据（　　）
A．众数改变，方差改变
B．众数不变，平均数改变
C．中位数改变，方差不变
D．中位数不变，平均数不变
5．（3分）不能判定一个四边形是菱形的条件是（　　）
A．四边相等
B．对角线互相平分且有一组邻边相等
C．两组对边互相平行，且一组邻边相等
D．对角线互相垂直
6．（3分）在△ABC中，点M为BC的中点，AD平分∠BAC，且BD⊥AD于点D，延长BD交AC于点N若AB＝4，DM＝1，则AC的长为（　　）

A．5 B．6 C．7 D．8
7．（3分）如图，▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，OE⊥BD交AD于点E，连接BE，若▱ABCD的周长为28，则△ABE的周长为（　　）

A．28 B．24 C．21 D．14
8．（3分）某厂计划加工180万个医用口罩，第一周按原计划的速度生产，一周后以原来速度的1.5倍生产，结果比原计划提前一周完成任务．若设原计划每周生产x万个口罩，则可列方程为（　　）
A．＝+1 B．＝﹣1
C．＝+2 D．＝﹣2
9．（3分）方程﹣＝增根为（　　）
A．1 B．±1 C．﹣1 D．0
10．（3分）如图，▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，AE平分∠BAD，交BC于点E，且∠ADC＝60°，AB＝BC，连接OE，下列结论：①∠CAD＝30°；②OD＝AB；③S▱ABCD＝AC•CD；④S四边形OECD＝S△AOD，其中成立的个数为（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题：（本大题共8小题，其中11-14题每小题3分，15-18题每小题3分，共28分.只要求填写最后结果.）
11．（3分）因式分解：4a2b﹣4ab+b＝　 　．
12．（3分）如图，在菱形ABCD中，对角线AC＝12，BD＝16，则这个菱形的周长为　 　．

13．（3分）下表记录了东营市育才学校甲、乙、丙、丁四名运动员最近几次1000米训练成绩的平均数与方差：根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应选择 　 　运动员．

甲
乙
丙
丁
成绩
3分6秒
3分13秒
3分13秒
3分6秒
方差
3.6
3.6
11.4
11.4
14．（3分）关于x的分式方程的解为正数，则m的取值范围是　 　．
15．（3分）下图是重叠的两个直角三角形．将其中一个直角三角形沿BC方向平移得到△DEF．如果AB＝8cm，BE＝4cm，DH＝3cm，则图中阴影部分的面积为 　 　cm2．

16．（3分）某地积极响应“把绿水青山变成金山银山，用绿色杠杆撬动经济转型”发展理念，开展荒山绿化，打造美好家园，促进旅游发展．某工程队承接了90万平方米的荒山绿化任务，为了迎接雨季的到来，实际工作时每天的工作效率比原计划提高了25%，结果提前30天完成了任务．设原计划每天绿化的面积为x万平方米，则所列方程为 　 　．
17．（3分）如图，将△ABC沿AB边对折，使点C落在点D处，延长CA到E，使AE＝AD，连接CD交AB于F，连接ED，则下列结论中：①若△ABC的周长为12，DE＝5，则四边形ABCD的周长为17；②AB∥DE；③∠CDE＝90°；④S△ADE＝2S△ADF，正确的有 　 　．

18．（3分）对于正数x，规定，例如，则的结果是＝　 　．
三、解答题（本大题共7小题，共62分.解答要写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）
19．（7分）（1）解方程；
（2）先化简，再求值：，选择一个你喜欢的x的值代入其中并求值．
20．（8分）如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣4，3）、B（﹣3，1）、C（﹣1，3）．
（1）请按下列要求画图：
①将△ABC先向右平移4个单位长度、再向上平移2个单位长度，得到△A1B1C1，画出△A1B1C1；
②△A2B2C2与△ABC关于原点O成中心对称，画出△A2B2C2．
（2）在（1）中所得的△A1B1C1和△A2B2C2关于点M成中心对称，请写出对称中心M点的坐标 　 　．

21．（9分）某校260名学生参加植树活动，活动结束后学校随机调查了部分学生每人的植树棵数，并绘制成如下的统计图①和统计图②．请根据相关信息，解答下列问题：
（Ⅰ）本次接受调查的学生人数为　 　，图①中m的值为　 　；
（Ⅱ）求本次调查获取的样本数据的众数和中位数；
（Ⅲ）求本次调查获取的样本数据的平均数，并根据样本数据，估计这260名学生共植树多少棵．
22．（8分）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，BF＝DE，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E，F．
（1）求证：△ABE≌△CDF；
（2）若AC与BD交于点O，求证：AC与BD互相平分．

23．（9分）某校“数学社团”活动中，小亮对多项式进行因式分解．m2﹣mn+2m﹣2n＝（m2﹣mn）+（2m﹣2n）＝m（m﹣n）+2（m﹣n）＝（m﹣n）（m+2）．
以上分解因式的方法叫做“分组分解法”，请你在小亮解法的启发下，解决下面问题：
（1）因式分解a3﹣3a2﹣9a+27；
（2）因式分解x2﹣4xy+4y2﹣16；
（3）已知a，b，c是△ABC的三边，且满足a2﹣ab+c2＝2ac﹣bc，判断△ABC的形状并说明理由．
24．（9分）某中学为了创设“书香校园”，准备购买A，B两种书架，用于放置图书．在购买时发现，A种书架的单价比B种书架的单价多20元，用600元购买A种书架的个数与用480元购买B种书架的个数相同．
（1）求A，B两种书架的单价各是多少元？
（2）学校准备购买A，B两种书架共15个，且购买的总费用不超过1400元，求最多可以购买多少个A种书架？
25．（12分）已知：正方形ABCD中，∠MAN＝45°，∠MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB，DC（或它们的延长线）于点M，N．
（1）当∠MAN绕点A旋转到BM＝DN时（如图1），求证：BM+DN＝MN；
（2）当∠MAN绕点A旋转到BM≠DN时（如图2），则线段BM，DN和MN之间数量关系是 　 　；
（3）当∠MAN绕点A旋转到如图3的位置时，猜想线段BM，DN和MN之间又有怎样的数量关系呢？并对你的猜想加以说明．


2022-2023学年广饶县乐安中学八年级（上）期末数学试卷（五四学制）
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共10小题，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确的选项选出来.每小题选对得3分，不选或选出的答案超过一个均记零分.）
1．（3分）下列因式分解中，正确的是（　　）
A．x2﹣4y2＝（x﹣4y）（x+4y）
B．ax+ay+a＝a（x+y）
C．a（x﹣y）+b（y﹣x）＝（x﹣y）（a﹣b）
D．4x2+9＝（2x+3）2
【分析】根据完全平方公式和平方差公式，对各选项分析判断后利用排除法求解．
【解答】解：A、应为x2﹣4y2＝（x﹣2y）（x+2y），故本选项错误；
B、应为ax+ay+a＝a（x+y+1），故本选项错误；
C、a（x﹣y）+b（y﹣x）＝（x﹣y）（a﹣b），故本选项正确；
D、应为4x2+12x+9＝（2x+3）2，故本选项错误．
故选：C．
2．（3分）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　）
A．直角三角形 B．等边三角形 C．平行四边形 D．矩形
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解答】解：A、不是轴对称图形．也不是中心对称图形，因为找不到任何这样的一点，旋转180度后它的两部分能够重合；即不满足中心对称图形的定义，故此选项错误；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；
D、是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项正确．
故选：D．
3．（3分）将分式中，x，y的值同时扩大为原来的2倍，则分式的值（　　）
A．不变 B．扩大为原来的2倍
C．扩大为原来的4倍 D．缩小为原来的
【分析】依题意分别用2x和2y去代换原分式中的x和y，利用分式的基本性质化简即可．
【解答】解：将分式中，x，y的值同时扩大为原来的2倍，
得，
所以分式的值比原来扩大2倍．
故选：B．
4．（3分）如果将一组数据中的每个数都减去25，那么所得的一组新数据（　　）
A．众数改变，方差改变
B．众数不变，平均数改变
C．中位数改变，方差不变
D．中位数不变，平均数不变
【分析】由每个数都减去25，那么所得的一组新数据的众数、中位数、平均数都减少25，方差不变，据此可得答案．
【解答】解：如果将一组数据中的每个数都减去25，
易得，所得的一组新数据的众数、中位数、平均数都减少25，
而根据方差公式s2＝可知，每个数和平均数的差不变，方差不变，
故选：C．
5．（3分）不能判定一个四边形是菱形的条件是（　　）
A．四边相等
B．对角线互相平分且有一组邻边相等
C．两组对边互相平行，且一组邻边相等
D．对角线互相垂直
【分析】根据菱形的判定和平行四边形的判定与性质对各选项分析判断，即可求解．
【解答】解：A、∵四边相等的四边形是菱形，
∴选项A不符合题意；
B、∵对角线互相平分的四边形是平行四边形，
∵有一组邻边相等，
∴这个平行四边形是菱形，∴选项B不符合题意；
C、∵两组对边互相平行的四边形是平行四边形，
∵一组邻边相等，
∴这个平行四边形是菱形，
∴选项B不符合题意；
D、∵对角线互相垂直的四边形不一定是菱形，
∴选项D符合题意；
故选：D．
6．（3分）在△ABC中，点M为BC的中点，AD平分∠BAC，且BD⊥AD于点D，延长BD交AC于点N若AB＝4，DM＝1，则AC的长为（　　）

A．5 B．6 C．7 D．8
【分析】证明△ADB≌△ADN，根据全等三角形的性质得到BD＝DN，AN＝AB＝4，根据三角形中位线定理求出NC，计算即可．
【解答】解：在△ADB和△ADN中，
，
∴△ADB≌△ADN（ASA）
∴BD＝DN，AN＝AB＝4，
∵BM＝MC，BD＝DN，
∴NC＝2DM＝2，
∴AC＝AN+NC＝6，
故选：B．
7．（3分）如图，▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，OE⊥BD交AD于点E，连接BE，若▱ABCD的周长为28，则△ABE的周长为（　　）

A．28 B．24 C．21 D．14
【分析】先判断出EO是BD的中垂线，得出BE＝ED，从而可得出△ABE的周长＝AB+AD，再由▱ABCD的周长为28，即可得出答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB＝OD，AB＝CD，AD＝BC，
∵▱ABCD的周长为28，
∴AB+AD＝14
∵OE⊥BD，
∴OE是线段BD的中垂线，
∴BE＝ED，
∴△ABE的周长＝AB+BE+AE＝AB+AD＝14，
故选：D．
8．（3分）某厂计划加工180万个医用口罩，第一周按原计划的速度生产，一周后以原来速度的1.5倍生产，结果比原计划提前一周完成任务．若设原计划每周生产x万个口罩，则可列方程为（　　）
A．＝+1 B．＝﹣1
C．＝+2 D．＝﹣2
【分析】由原计划每周生产的口罩只数结合一周后提高的速度，可得出一周后每周生产1.5x万个口罩，根据工作时间＝工作总量÷工作效率结合实际比原计划提前一周完成任务（第一周按原工作效率），即可得出关于x的分式方程，此题得解．
【解答】解：∵原计划每周生产x万个口罩，一周后以原来速度的1.5倍生产，
∴一周后每周生产1.5x万个口罩，
依题意，得：＝+1．
故选：A．
9．（3分）方程﹣＝增根为（　　）
A．1 B．±1 C．﹣1 D．0
【分析】先把分式方程变成整式方程，求出方程的解，再进行检验即可．
【解答】解：方程两边都乘以（x+1）（x﹣1）得：12﹣6（x+1）＝x﹣1，
解得：x＝1，
经检验x＝1不是原方程的根，是原方程的增根，
故选：A．
10．（3分）如图，▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，AE平分∠BAD，交BC于点E，且∠ADC＝60°，AB＝BC，连接OE，下列结论：①∠CAD＝30°；②OD＝AB；③S▱ABCD＝AC•CD；④S四边形OECD＝S△AOD，其中成立的个数为（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】结合平行四边形的性质可证明△ABE为等边三角形，由AB＝BC可判定①，证明∠BAC＝90°，可判定②；由平行四边形的面积公式可判定③；利用三角形中线的性质结合三角形的面积可求解判定④．
【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，∠ADC＝60°，
∴AD∥BC，∠ABC＝∠ADC＝60°，OB＝OD，
∴∠DAE＝∠AEB，∠BAD＝∠BCD＝120°，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE＝∠DAE，
∴∠BAE＝∠AEB
∴△ABE为等边三角形，
∴∠BAE＝∠AEB＝60°，AB＝BE＝AE，
∵AB＝BC，
∴EC＝AE，
∴∠EAC＝∠ECA＝30°，
∴∠CAD＝30°，故①正确；
∵∠BAD＝120°，∠CAD＝30°，
∴∠BAC＝90°，
∴BO＞AB，
∴OD＞AB，故②错误；
∴S▱ABCD＝AB•AC＝AC•CD，故③正确；
∵∠BAC＝90°，BC＝2AB，
∴E是BC的中点，
∴S△BEO：S△BCD＝1：4，
∴S四边形OECD：S△BCD＝3：4，
∴S四边形OECD：S▱ABCD＝3：8，
∵S△AOD：S▱ABCD＝1：4，
∴S四边形OECD＝S△AOD，故④正确．
故选：C．
二、填空题：（本大题共8小题，其中11-14题每小题3分，15-18题每小题3分，共28分.只要求填写最后结果.）
11．（3分）因式分解：4a2b﹣4ab+b＝　b（2a﹣1）2　．
【分析】原式提取b，再利用完全平方公式分解即可．
【解答】解：原式＝b（4a2﹣4a+1）
＝b（2a﹣1）2．
故答案为：b（2a﹣1）2．
12．（3分）如图，在菱形ABCD中，对角线AC＝12，BD＝16，则这个菱形的周长为　40　．

【分析】由四边形ABCD是菱形，根据菱形的对角线互相平分且垂直，即可得OA＝AC＝×12＝6，OB＝BD＝×16＝8，AC⊥BD，又由勾股定理，即可求得答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴OA＝AC＝×12＝6，OB＝BD＝×16＝8，AC⊥BD，
∴AB＝＝＝10．
∴此菱形的边长为10，
∴周长为40．
故答案为：40．

13．（3分）下表记录了东营市育才学校甲、乙、丙、丁四名运动员最近几次1000米训练成绩的平均数与方差：根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应选择 　甲　运动员．

甲
乙
丙
丁
成绩
3分6秒
3分13秒
3分13秒
3分6秒
方差
3.6
3.6
11.4
11.4
【分析】首先比较平均数，平均数相同时选择方差较小的运动员参加即可．
【解答】解：∵＝＞＝，
∴从甲和丁中选择一人参加比赛，
∵S甲2＝S乙2＜S丙2＝S丁2，
∴选择甲运动员；
故答案为：甲．
14．（3分）关于x的分式方程的解为正数，则m的取值范围是　m＞﹣6且m≠﹣3　．
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，表示出x，根据分式方程的解为正数，得到x大于0，列出关于m的不等式，求出不等式的解集即可得到m的范围．
【解答】解：解得x＝6+m，
∵关于x的分式方程的解为正数，
∴6+m＞0，
∴m＞﹣6，
∵x﹣3≠0，
∴x≠3，
∴m+6≠3，
∴m≠﹣3，
∴m的取值范围是m＞﹣6且m≠﹣3，
故答案为：m＞﹣6且m≠﹣3．
15．（3分）下图是重叠的两个直角三角形．将其中一个直角三角形沿BC方向平移得到△DEF．如果AB＝8cm，BE＝4cm，DH＝3cm，则图中阴影部分的面积为 　26　cm2．

【分析】根据平移的性质可得到相等的边与角，再根据S△ABC﹣S△HEC＝S△DEF﹣S△HEC，即S阴影＝S梯形ABEH，利用梯形面积公式即可得到答案．
【解答】解：由平移可得△ABC≌△DEF，
∴S△ABC＝S△DEF，
∴S△ABC﹣S△HEC＝S△DEF﹣S△HEC，即S阴影＝S梯形ABEH，
S梯形ABEH＝BE（HE+AB），
＝×4×（8+8﹣3），
＝26（cm2）．
故答案为：26．
16．（3分）某地积极响应“把绿水青山变成金山银山，用绿色杠杆撬动经济转型”发展理念，开展荒山绿化，打造美好家园，促进旅游发展．某工程队承接了90万平方米的荒山绿化任务，为了迎接雨季的到来，实际工作时每天的工作效率比原计划提高了25%，结果提前30天完成了任务．设原计划每天绿化的面积为x万平方米，则所列方程为 　﹣＝30　．
【分析】设原计划每天绿化的面积为x万平方米，则实际每天绿化的面积为（1+25%）x万平方米，根据工作时间＝工作总量÷工作效率，结合实际比原计划提前30天完成了任务，即可得出关于x的分式方程，此题得解．
【解答】解：设原计划每天绿化的面积为x万平方米，则实际每天绿化的面积为（1+25%）x万平方米，
依题意得：﹣＝30．
故答案为：﹣＝30．
17．（3分）如图，将△ABC沿AB边对折，使点C落在点D处，延长CA到E，使AE＝AD，连接CD交AB于F，连接ED，则下列结论中：①若△ABC的周长为12，DE＝5，则四边形ABCD的周长为17；②AB∥DE；③∠CDE＝90°；④S△ADE＝2S△ADF，正确的有 　①②③④　．

【分析】①由题知AE＝AC，BD＝BC，可得结论正确；
②由三角形外角知∠CAB+∠DAB＝∠ADE+∠AED，又知∠CAB＝∠DAB，∠ADE＝∠AED，即可得∠CAB＝∠DAB＝∠ADE＝∠AED，即可得证结论；
③由对称知CD⊥AB，由AB∥DE可得结论；
④由③知S△ADE＝DF•DE，S△ADF＝DF•AF，证AF是中位线可得AF＝DE，即可得证结论．
【解答】解：①由图形翻折可知，AD＝AC，BD＝BC，
∵AE＝AD，
∴AE＝AC，
∴C四边形ABDE＝C△ABC+DE，
∵C△ABC＝12，DE＝5，
∴C四边形ABDE＝17，
∴①正确；
②由图形翻折知，∠CAB＝∠DAB，
∵AE＝AD，
∴∠ADE＝∠AED，
又∵∠CAB+∠DAB＝∠ADE+∠AED，
∴∠CAB＝∠DAB＝∠ADE＝∠AED，
∴AB∥DE，
∴②正确；
③由②知，AB∥DE，
由图形翻折知，CD⊥AB，
∴∠CFA＝∠CDE＝90°，
∴③正确；
④由③知，∠CFA＝∠CDE＝90°，
∴S△ADE＝DF•DE，S△ADF＝DF•AF，
∵A是EC的中点，AB∥DE，
∴AF是△DEF的中位线，
∴AF＝DE，
∴S△ADE＝2S△ADF，
∴④正确，
故答案为：①②③④．
18．（3分）对于正数x，规定，例如，则的结果是＝　　．
【分析】计算出f（2），f（），f（3），f（）的值，总结出其规律，再求所求的式子的值即可．
【解答】解：∵f（2）＝，f（）＝，f（3）＝，f（）＝，…，
∴f（2）+f（）＝＝1，f（3）+f（）＝＝1，
∴f（x）+f（）＝1，
∴
＝[f（2021）+f（）]+[f（2020）+f（）]+…+[f（2）+f（）]+f（1）
＝1×（2021﹣1）+f（1）
＝2020+
＝．
故答案为：．
三、解答题（本大题共7小题，共62分.解答要写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）
19．（7分）（1）解方程；
（2）先化简，再求值：，选择一个你喜欢的x的值代入其中并求值．
【分析】（1）分式方程两边同时乘x（x﹣2），化分式方程为整式方程，解之求出x的值，再检验即可；
（2）先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再选取使分式有意义的x的值代入计算即可．
【解答】解：（1）分式方程两边同时乘x（x﹣2），得x（x﹣3）﹣x（x﹣2）＝3（x﹣2），
解得，
把代入x（x﹣2）≠0，
所以是原分式方程的解，
所以原分式方程的解为；
（2）
＝[﹣]•
＝
＝
＝，
由题知，x+1≠0且x2+2x+1≠0，且x2﹣1≠0，
∴x≠﹣1或x≠1，
可取x＝2．
当x＝2时，原式＝．
20．（8分）如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣4，3）、B（﹣3，1）、C（﹣1，3）．
（1）请按下列要求画图：
①将△ABC先向右平移4个单位长度、再向上平移2个单位长度，得到△A1B1C1，画出△A1B1C1；
②△A2B2C2与△ABC关于原点O成中心对称，画出△A2B2C2．
（2）在（1）中所得的△A1B1C1和△A2B2C2关于点M成中心对称，请写出对称中心M点的坐标 　（2，1）　．

【分析】（1）①利用平移变换的性质分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可；
②利用中心对称的性质分别作出A，B，C的对应点A2，B2，C2即可；
（3）对应点连线的交点M即为所求．
【解答】解：（1）①如图，△A1B1C1即为所求；
②如图，△A2B2C2即为所求；
（2）如图，点M即为所求，M（2，1），
故答案为：（2，1）．

21．（9分）某校260名学生参加植树活动，活动结束后学校随机调查了部分学生每人的植树棵数，并绘制成如下的统计图①和统计图②．请根据相关信息，解答下列问题：
（Ⅰ）本次接受调查的学生人数为　20　，图①中m的值为　20　；
（Ⅱ）求本次调查获取的样本数据的众数和中位数；
（Ⅲ）求本次调查获取的样本数据的平均数，并根据样本数据，估计这260名学生共植树多少棵．
【分析】（Ⅰ）由棵数为5的人数除以占的百分比求出调查学生总数，进而确定出m的值即可；
（Ⅱ）根据条形统计图中的数据确定出众数与中位数即可；
（Ⅲ）求出本次调查获取的样本数据的平均数，并根据样本数据，估计出这260名学生共植树的棵数即可．
【解答】解：（Ⅰ）根据题意得：8÷40%＝20，m%＝＝20%，即m＝20，
故答案为：20；20；
（Ⅱ）本次调查获取的样本数据的众数和中位数分别为都为5棵；
（Ⅲ）根据题意得：4×20%+5×40%+6×30%+7×10%＝0.8+2+1.8+0.7＝5.3（棵），
则260×5.3＝1378（棵），即估计这260名学生共植树1378棵．
22．（8分）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，BF＝DE，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E，F．
（1）求证：△ABE≌△CDF；
（2）若AC与BD交于点O，求证：AC与BD互相平分．

【分析】（1）用ASA判定两三角形全等即可证明．
（2）只要证明四边形ABCD是平行四边形即可解决问题．
【解答】证明：（1）∵AB∥CD，
∴∠ABE＝∠CDF，
∵BF＝DE，
∴BF﹣EF＝DE﹣EF，即BE＝DF．
∵AE⊥BD，CF⊥BD，
∴∠AEB＝∠CFD＝90°，
∵BE＝DF，
∴△ABE≌△CDF．
（2）∵△ABE≌△CDF，
∴∠ABE＝∠CDF，
∴AB∥CD，
∵AB＝CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴AO＝CO，BO＝DO．

23．（9分）某校“数学社团”活动中，小亮对多项式进行因式分解．m2﹣mn+2m﹣2n＝（m2﹣mn）+（2m﹣2n）＝m（m﹣n）+2（m﹣n）＝（m﹣n）（m+2）．
以上分解因式的方法叫做“分组分解法”，请你在小亮解法的启发下，解决下面问题：
（1）因式分解a3﹣3a2﹣9a+27；
（2）因式分解x2﹣4xy+4y2﹣16；
（3）已知a，b，c是△ABC的三边，且满足a2﹣ab+c2＝2ac﹣bc，判断△ABC的形状并说明理由．
【分析】（1）第一、二项一组，三、四项一组，分别提公因式，再分解．
（2）前三项一组，用公式分解．
（3）先因式分解找到a，b，c的关系，再判断三角形的形状．
【解答】解：（1）a3﹣3a2﹣9a+27＝a2（a﹣3）﹣9（a﹣3）＝（a2﹣9）（a﹣3）＝（a﹣3）（a+3）（a﹣3）＝（a+3）（a﹣3）2；
（2）x2+4y2﹣4xy﹣16＝（x2﹣4xy+4y2）﹣16＝（x﹣2y）2﹣42＝（x﹣2y﹣4）（x﹣2y+4）；
（3）△ABC是等腰三角形，理由如下：
∵a2﹣ab+c2＝2ac﹣bc，
∴a2﹣2ac+c2﹣ab+bc＝0，
∴（a﹣c）2﹣b（a﹣c）＝0，
∴（a﹣c）（a﹣c﹣b）＝0，
∵a，b，c是△ABC的三边，
∴a﹣c﹣b＜0．
∴a﹣c＝0，
∴a＝c，
∴△ABC是等腰三角形．
24．（9分）某中学为了创设“书香校园”，准备购买A，B两种书架，用于放置图书．在购买时发现，A种书架的单价比B种书架的单价多20元，用600元购买A种书架的个数与用480元购买B种书架的个数相同．
（1）求A，B两种书架的单价各是多少元？
（2）学校准备购买A，B两种书架共15个，且购买的总费用不超过1400元，求最多可以购买多少个A种书架？
【分析】（1）设B种书架的单价为x元，则A种书架的单价为（x+20）元，根据数量＝总价÷单价结合用600元购买A种书架的个数与用480元购买B种书架的个数相同，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
（2）设准备购买m个A种书架，则购买B种书架（15﹣m）个，根据题意列出不等式并解答．
【解答】解：（1）设B种书架的单价为x元，根据题意，得．
解得x＝80．
经检验：x＝80是原分式方程的解．
∴x+20＝100．
答：购买A种书架需要100元，B种书架需要80元．

（2）设准备购买m个A种书架，根据题意，得100m+80（15﹣m）≤1400．
解得m≤10．
答：最多可购买10个A种书架．
25．（12分）已知：正方形ABCD中，∠MAN＝45°，∠MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB，DC（或它们的延长线）于点M，N．
（1）当∠MAN绕点A旋转到BM＝DN时（如图1），求证：BM+DN＝MN；
（2）当∠MAN绕点A旋转到BM≠DN时（如图2），则线段BM，DN和MN之间数量关系是 　BM+DN＝MN　；
（3）当∠MAN绕点A旋转到如图3的位置时，猜想线段BM，DN和MN之间又有怎样的数量关系呢？并对你的猜想加以说明．

【分析】（1）过A作AE⊥MN于E，根据全等求出AM＝AN，∠BAM＝∠DAN＝22.5°，求出∠EAN＝∠DAN＝22.5°，根据角平分线的性质求出DN＝EN，再求出答案即可；
（2）证法与（1）类似，延长CB到E，使BE＝DN，连接AE，根据SAS证△ABE≌△ADN，推出AE＝AN，∠DAN＝∠BAE，求出∠NAM＝∠MAE，根据SAS证出△NAM≌△EAM即可；
（3）在CD上截取DE＝BM，连接AE，根据SAS证△ADE≌△ABM，推出AE＝AM，∠DAE＝∠MAB，求出∠EAN＝∠MAN，根据SAS证出△MAN≌△EAN即可．
【解答】（1）证明：如图1，过A作AE⊥MN于E，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠D＝∠ABC＝90°，∠BAD＝90°，
∵∠MAN＝45°，
∴∠BAM+∠DAN＝90°﹣45°＝45°，
在△ABM和△ADN中
，
∴△ABM≌△ADN（SAS），
∴AM＝AN，∠BAM＝∠DAN＝45°＝22.5°，
∵AE⊥MN，
∴∠NAE＝MAN＝22.5°，MN＝2EN，
∴∠DAN＝∠NAE，
∵AE⊥MN，∠D＝90°，
∴DN＝NE，
即BM＝DN＝NE，
∴BM+DN＝MN；

（2）解：线段BM，DN和MN之间数量关系是BM+DN＝MN，理由如下：
延长CB至E，使得BE＝DN，连接AE，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠D＝∠ABC＝90°＝∠ABE，
在△ADN和△ABE中，
∵，
∴△ABE≌△ADN（SAS），
∴∠BAE＝∠DAN，AE＝AN，
∴∠EAN＝∠BAE+∠BAN＝∠DAN+∠BAN＝90°，
∵∠MAN＝45°，
∴∠EAM＝∠MAN，
∵在△EAM和△NAM中
，
∴△EAM≌△NAM，
∴MN＝ME，
∵ME＝BM+BE＝BM+DN，
∴BM+DN＝MN，
故答案为：BM+DN＝MN；

（3）DN﹣BM＝MN，理由如下：
如图3，在DC上截取DE＝BM，连接AE，
由（1）知△ADE≌△ABM（SAS），
∴∠DAE＝∠BAM，AE＝AM，
∴∠EAM＝∠BAM+∠BAE＝∠DAE+∠BAE＝90°，
∵∠MAN＝45°，
∴∠EAN＝∠MAN．
∵在△MAN和△EAN中，
，
∴△MAN≌△EAN（SAS），
∴EN＝MN，
即DN﹣DE＝MN，
∴DN﹣BM＝MN