2021-2022学年四川省成都市成华区石室中学北湖校区九年级上学期期中数学试题(解析版)

这是一份2021-2022学年四川省成都市成华区石室中学北湖校区九年级上学期期中数学试题(解析版)，共30页。试卷主要包含了单项选择题，四象限，解答题.，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2020-2021学年四川省成都市成华区石室中学北湖校区
九年级（上）期中数学试卷
一、单项选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1. 若斜坡AB的坡度i＝1：，那么坡角α＝（　　）
A. 30° B. 45° C. 60° D. 75°
【答案】A
【解析】
【分析】根据斜坡AB的坡度，可得，然后求出α的度数．
【详解】∵斜坡AB的坡度，
∴，
∴∠α＝30°．
故选：A．
【点睛】本题考查了坡度和坡角，把坡面与水平面的夹角α叫做坡角，坡度i与坡角α之间的关系为：．
2. 下列说法正确的是（　　）
①平行四边形的对角线互相平分；
②菱形的四个内角相等；
③矩形的对角线相等且互相垂直；
④正方形具有矩形和菱形的所有性质．
A. ①④ B. ①③ C. ②④ D. ③④
【答案】A
【解析】
【分析】平行四边形的对角线互相平分；菱形的四个内角不相等；矩形的对角线相等且互相平分；正方形具有矩形和菱形的所有性质．
【详解】解：平行四边形的对角线互相平分，故①正确．
菱形的四个内角不相等，故②错误．
矩形的对角线相等且互相平分，但不垂直，故③错误．
正方形具有矩形和菱形的所有性质，故④正确．
故选：A．
【点睛】本题考查了平行四边形，矩形，菱形，正方形，熟练掌握四种四边形的性质是解题的关键．
3. 点M（﹣sin60°，cos60°）关于x轴对称的点的坐标是（　　）
A. （） B. （﹣） C. （﹣） D. （﹣）
【答案】B
【解析】
【分析】先根据特殊三角函数值求出M点坐标，再根据对称性解答．
【详解】解：∵sin60°＝，cos60°＝，
∴点M（﹣）．
∵点P（m，n）关于x轴对称点的坐标P′（m，﹣n），
∴M关于x轴的对称点的坐标是（﹣）．
故选：B．
【点睛】本题考查了关于x轴对称的点的坐标，特殊角的三角函数值．解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．
4. 如图，AB∥CD，AD与BC交于点E，且＝，则为（　　）

A. B. 3 C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】证明△EAB∽△EDC，由相似三角形的性质得出，则可得出答案．
【详解】解：∵，
∴，
∵AB∥CD，
∴△EAB∽△EDC，
∴，
∴,
故选：C．
【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
5. 小华、小强和小彬三位同学随机地站成一排做游戏，小华站在排头的概率是（ ）
A. B. C. D. 1
【答案】B
【解析】
【分析】先利用树状图展示所有6种等可能的结果，小华站在排头的有2种，再根据概率公式求解即可.
详解】画树状图如下：

总共6种排列结果，小华站在排头的有2种，所以小华站在排头的概率.
【点睛】本题考查求概率，熟练掌握树状图法和列表法列举出所有等可能的情况数，再找到符合条件的情况数，是求概率的关键.
6. 关于的一元二次方程的一个根是，则的值是（ ）
A. 2 B. -2 C. 2或-2 D.
【答案】B
【解析】
【分析】把x=0代入方程可解得m,注意m-2≠0.
【详解】∵关于x的一元二次方程（m-2）x2+（2m-1）x+m2-4=0的一个根为0，
∴x=0满足该方程，
∴m2-4=0，且m-2≠0，
解得m=-2．
故选B
【点睛】本题考核知识点：一元二次方程的解法.解题关键点：理解方程的根的意义，会解方程.
7. 已知一次函数y=kx+5，y随x的增大而减小．下列关于反比例函数y的描述，其中正确的是（　　　）
A. 当x＞0时，y＞0 B. y随x的增大而增大
C. y随x的增大而减小 D. 图象在第二、四象限
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意，先判断出k的正负性，在判断k-2的正负性，即可确定反比例函数的大致图象，从而分析即可．
【详解】∵一次函数y=kx+5，y随x的增大而减小，
∴k＜0，k﹣2＜0，
∴反比例函数y的图象在第二、四象限，故选项D正确；
当x＞0时，反比例函数y的函数值y＜0，故选项A错误；
在每个象限内，y随x的增大而增大，故选项B错误、选项C错误；
故选：D．
【点睛】本题考查了一次函数的性质，以及反比例函数的性质，灵活根据一次函数的增减性推断出反比例函数的图象分布是解题关键．
8. 函数与在同一坐标系中的图象可能是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】首先知道直线经过定点（1，0），讨论a与0的关系，得到各自经过的象限，得到答案．
【详解】解：根据函数y=ax−a经过定点（1，0），a＞0时经过1，3，4象限，而在1，3象限；
a＜0时，函数y=ax−a经过定点（1，0），经过1，2，4象限，而在2，4象限；
故选：B．
【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数图象；正确从a的符号讨论图象的可能性是关键．
9. 如图，在菱形 ABCD 中，对角线 AC，BD 交于点 O，AO＝3，∠ABC＝60°，则菱形 ABCD 的面积是（ ）

A. 18 B. 18 C. 36 D. 36
【答案】B
【解析】
【分析】由菱形的性质可求AC，BD的长，由菱形的面积公式可求解．
【详解】∵四边形ABCD是菱形
∴AO=CO=3，BO=DO=3，AC⊥BD
∴AC=6，BD=6
∴菱形ABCD的面积=
故选B．
【点睛】本题考查了菱形的性质，熟练运用菱形面积公式是本题的关键．
10. 成都西站至成飞工业园之间在建的9号地铁，现有甲、乙两个工程队从两头开始施工，已知，每天甲队比乙队多修8米，甲施工150米所用的时间与乙施工120米所用的时间相等，设甲每天施工x米，下列方程正确的是（　　）
A. B. ＝
C. ＝ D. ＝
【答案】C
【解析】
【分析】根据工作时间＝工作总量÷工作效率结合甲队修筑150米与乙队修筑120米所用时间相等，即可得出关于x的分式方程．
【详解】解：根据题意得，＝，
故选：C．
【点睛】本题考查分式方程的实际应用，理解题意并找准数量关系是解题关键．
二．填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）
11. 若，则_____．
【答案】
【解析】
【分析】直接利用已知变形进而得出a，b之间的关系．
【详解】∵ ，
∴3（a+2b）＝7（b﹣a），
故3a+6b＝7b﹣7a，
∴10a＝b，
则．
故答案为 ．
【点睛】此题考查分式的化简求值，掌握运算法则是解题关键
12. 已知点A（2，y1），B（3，y2）在反比例函数y＝（k＞0）的图象上，用“＜”连接y1，y2：_____．
【答案】y2＜y1
【解析】
【分析】先根据函数解析式中的比例系数k确定函数图象所在的象限，再根据各象限内点的坐标特点解答．
【详解】∵反比例函数y＝（k＞0）中，k＞0，
∴此函数图象在一、三象限，在每个象限y随x的增大而减小，
∵2＜3，
∴y2＜y1．
故答案为：y2＜y1．
【点晴】考查的是反比例函数图象上点的坐标特点和其增减性，解题关键根据k的值得到反比例函数的图像和增减性．
13. 知为锐角，且满足，则________．
【答案】1
【解析】
【分析】先根据正弦三角函数值，求出的度数，进而即可求解．
【详解】∵，为锐角，
∴15°+=60°，
∴=45°，
∴1．
【点睛】本题主要考查锐角三角函数，熟练掌握特殊角锐角三角函数值，是解题的关键．
14. 如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，P是AD上不与A和D重合的一个动点，过点P分别作AC和BD的垂线，垂足分别为E、F．求PE+PF＝_____．

【答案】．
【解析】
【分析】连接OP，过点A作AG⊥BD于G，利用勾股定理列式求出BD，再利用三角形的面积求出AG，然后根据△AOD的面积求出PE+PF=AG即可．
【详解】解：如图所示，连接OP，过点A作AG⊥BD于G，
∵AB=3，AD=4，
∴BD=，S△ABD=AB•AD=BD•AG，
即×3×4=×5×AG，
解得：AG=，
在矩形ABCD中，OA=OD，
∵S△AOD=OA•PE+OD•PF=OD•AG，
∴PE+PF=AG=．
故PE+PF=．
故答案为：．

【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，三角形的面积；熟练掌握各性质并利用三角形的面积列出方程是解题的关键．
三、解答题.（本大题共6小题，共54分）
15. 完成下列小题．
（1）计算：|﹣2|+（sin36°﹣）0﹣+tan45°．
（2）用配方法解方程：4x2﹣12x﹣1＝0．
【答案】（1）2；（2）x1＝，x2＝．
【解析】
【分析】（1）根据绝对值的意义，零指数幂的定义，数的开方法则以及特殊角的三角函数的值代入计算即可；
（2）方程利用完全平方公式变形，开方即可求出解．
【详解】（1）原式＝2+1﹣2+1＝2
（2）4x2﹣12x﹣1＝0
方程两边同除以4，变形得：x2﹣3x＝
配方，得：x2﹣3x+＝+
即：（x﹣）2＝
开方得：x﹣＝±
解得：x1＝，x2＝
【点睛】本题主要考查了实数的运算、一元二次方程解法中的配方法，要求熟练掌握绝对值的意义、零指数幂的定义、数的开方法则、特殊角的三角函数值，对于配方法要注意的是，二次项系数必须化为1,再把常数项右移，两边加上一次项系数的一半的平方即完成了配方．
16. 先化简，再求值：（1﹣）÷，当x＝2019时，求代数式值．
【答案】，．
【解析】
【分析】根据分式的混合运算法则把原式化简，把x=2019代入计算，得到答案．
【详解】解：原式=
=
=，
当x=2019时，原式=．
【点睛】本题考查分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解题的关键．
17. 现有四张完全相同的不透明卡片，其正面分别写有数字﹣2，﹣1，0，2，把这四张卡片背面朝上洗匀后放在桌面上．
（1）随机的取一张卡片，求抽取的卡片上的数字为非负数的概率．
（2）先随机抽取一张卡片，其上的数字作为点A的横坐标；然后放回并洗匀，再随机抽取一张卡片，其上的数字作为点A的纵坐标，用列表的方法求出点A在直线y＝2x+2上的概率．
【答案】（1）随机的取一张卡片，求抽取的卡片上的数字为非负数的概率为；（2）点A在直线y＝2x+2上的概率为．
【解析】
【分析】（1）由概率公式即可得出结果；
（2）直接利用列表法列举出所有可能，找出点A在直线y=2x+2上的结果，进而得出答案．
【详解】解：（1）∵抽取的非负数可能为0，2，
∴抽取的卡片上的数字为非负数的概率为P=，
∴随机的取一张卡片，求抽取的卡片上的数字为非负数的概率为；
（2）列表如下

-2
-1
0
2
-2
（-2，-2）
（-2，-1）
（-2,0）
（-2,2）
-1
（-1，-2）
（-1，-1）
（-1,0）
（-1,2）
0
（0，-2）
（0，-1）
（0,0）
（0,2）
2
（2，-2）
（2，-1）
（2,0）
（2,2）
∵共有16种等可能结果，其中点A在直线y=2x+2上的结果有（-2，-2）、（-1，0）、（0，2）共3种，
∴点A在直线y=2x+2上的概率为，
∴点A在直线y＝2x+2上的概率为．
【点睛】本题主要考查了树状图法求概率、概率公式、一次函数图象上点的坐标特征，正确列举出所有可能是解题关键．
18. 石室联合中学金沙校区位于三环跨线桥旁边，为了不影响学生上课，市政在桥旁安装了隔音墙，交通局也对此路段设置了限速，九年级学生为了测量汽车速度做了如下实验：在桥上依次取B、C、D三点，再在桥外确定一点A，使得AB⊥BD，测得AB之间15米，使得∠ADC＝30°，∠ACB＝60°．
（1）求CD的长（精确到0.1，≈1.73，≈1.41）．
（2）交通局对该路段限速30千米/小时，汽车从C到D用时2秒，汽车是否超速？说明理由．

【答案】（1）17.3米；（2）超速，理由见解析
【解析】
【分析】（1）根据特殊角三角函数先求出BC和BD的长，进而可得CD的长；
（2）先进行单位换算，再用路程除以时间求出速度进行比较即可．
【详解】（1）在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝60°，AB＝15米，
∴BC＝＝＝5米，
在Rt△ABD中，∠ABD＝90°，∠ADB＝30°，
∴BD＝AB＝15米，
∴CD＝BD﹣BC＝10≈17.3米，
∴CD的长为17.3米；
（2）∵30千米/小时＝30000÷3600＝米/秒，
而10÷2≈8.66＞，
∴汽车超速．
【点睛】本题考查了解直角三角形在实际问题中的应用．在直角三角形中，已知一锐角和一边，利用三角函数求得其中一边，再用三角函数或勾股定理可求得第三边．
19. 如图，在平面直角坐标系中，函数y1＝（k1＞0，x＞0）的图象与等边△OAB的边OA，AB分别交于点M，N，且OM＝2MA，AM所在直线y2＝k2x，若AB＝3，求：
（1）求反比例函数及直线AM的解析式；
（2）直接写出当y1＞y2时x的范围；
（3）求△ONB的面积．

【答案】（1）y1＝，y2＝x；（2）0＜x＜1；（3）．
【解析】
【分析】（1）根据等边三角形的性质和已知条件，可求出OM，通过作垂线，利用解直角三角形，求出点M的坐标，进而确定反比例函数及直线AM的解析式；
（2）根据图象即可求得；
（3）设OC＝a，则BC＝3﹣a，NC＝，而在Rt△BCN中，NC＝BC，即可得出，求得a的值，即可求得N的坐标，然后根据三角形面积公式即可求得结果．
【详解】（1）如图所示

过点N、M分别作NC⊥OB，MD⊥OB，垂足为C、D，
∵△AOB是等边三角形，
∴AB＝OA＝OB＝3，∠AOB＝60°
∵又OM＝2MA，
∴OM＝2，MA＝1，
在Rt△MOD中，
OD＝OM＝1，MD＝＝＝，
∴M（1，），
把M（1，）代入y1＝得，k1＝1×＝
∴反比例函数的关系式为：y1＝，
把M（1，）代入y2＝k2x，得k2＝，
∴直线AM的解析式为y2＝x；
故答案为y1＝；y2＝x
（2）由图象可知，当y1＞y2时x的范围是0＜x＜1；
（3）设OC＝a，则BC＝3﹣a，NC＝，
在Rt△BCN中，NC＝BC，
∴＝（3﹣a），
解得：a＝或a＝（舍去）
∴，
∴N（，），
∵OA＝AB＝OB＝3，
∴S△ONB＝OB•yN＝×3×＝．
故答案为
【点睛】考查反比例函数与一次函数的交点问题，等边三角形的性质、待定系数法求函数的表达式、以及三角形面积，求得交点坐标是解题的关键．
20. 如图1，在矩形ABCD中，E是AD的中点，以点E为直角顶点的Rt△EFG的两边EF，EG分别过点B，C，∠F＝30°．
（1）求证：BE＝CE．
（2）如图2，将△EFG绕点E按顺时针方向旋转，当旋转到EF与AD重合时停止转动，若EF，EG分别与AB，BC相交于点M，N．
①求证：△BEM≌△CEN．
②若AB＝kCN，求当△BMN面积最大时，k的值．
③当旋转停止时，点B恰好在FG上（如图3），求sin∠EBG的值．

【答案】（1）见解析．（2）①见解析；②1；③．
【解析】
【分析】（1）利用SAS定理证明△BAE≌△CDE，根据全等三角形的性质证明结论；
（2）①根据等腰直角三角形的性质得到∠EBC＝∠ECB＝45°，进而得到∠BEM＝∠CEN，利用ASA定理证明△BEM≌△CEN；
②根据三角形的面积公式得到S△BMN＝﹣（x﹣a）2+，根据二次函数的性质解答；
③作EH⊥BG于H，设NG＝m，根据直角三角形的性质、勾股定理用m表示出BN、BG，根据三角形的面积公式用m表示出EH，根据正弦的定义计算，得到答案．
【详解】（1）证明：如图1，∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝DC，∠A＝∠D＝90°，
∵E是AD中点，
∴AE＝DE，
∴△BAE≌△CDE（SAS），
∴BE＝CE；
（2）①证明：如图2，由（1）可知，△EBC是等腰直角三角形，
∴∠EBC＝∠ECB＝45°，
∵∠ABC＝∠BCD＝90°（矩形的四个角都是90°），
∴∠EBM＝∠ECN＝45°，
∵∠MEN＝∠BEC＝90°，
∴∠MEN﹣∠BEN＝∠BEC﹣∠BEN，即∠BEM＝∠CEN，
∵EB＝EC，
在△BEM和△CEN中，
，
∴△BEM≌△CEN（ASA）；
②解：设AB＝a，
∵∠ABE＝45°，∠A＝90°，
∴AE＝AB＝a，
∴BC＝AD＝2a，
∵△BEM≌△CEN，
∴BM＝CN，
设BM＝CN＝x，则BN＝2a﹣x，
∴S△BMN＝•x（2a﹣x）
＝﹣（x﹣a）2+，
∵﹣＜0，
∴x＝a时，△BMN的面积最大，此时AB＝CN，即k＝1；
③解：如图3，作EH⊥BG于H，
∵EFBN，
∴∠GBN＝∠F＝30°，
设NG＝m，则BG＝2m，
由勾股定理得，BN＝EN＝＝m，
则EB＝EN＝m，
∴EG＝EN+NG＝（+1）m，
∵S△EBG＝×EG×BN＝×BG×EH，
∴×（+1）m×m＝×2m×EH，
解得，EH＝m，
在Rt△EBH中， ．

【点睛】本题考查的是全等三角形的判定和性质、正方形的性质、锐角三角函数的定义、二次函数的应用，掌握全等三角形的判定定理和性质定理、二次函数的性质是解题的关键．
四、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）
21. 已知，是一元二次方程的两实数根，则________．
【答案】3
【解析】
【分析】根据方程的系数结合根与系数的关系，可得出a+b=-，ab=-，将其代入中即可求出结论．
【详解】解：∵，是方程的两根，
，，
．
故答案为：3．
【点睛】本题考查了根与系数关系，牢记“两根之和等于-，两根之积等于”是解题的关键．
22. 对于实数a，b，定义运算“※”如下：a※b=a2﹣ab，例如，5※3=52﹣5×3=10．若（x+1）※（x﹣2）=6，则x的值为_____．
【答案】1
【解析】
【分析】根据新定义运算对式子进行变形得到关于x的方程，解方程即可得解.
【详解】由题意得，（x+1）2﹣（x+1）（x﹣2）=6，
整理得，3x+3=6，
解得，x=1，
故答案为1．
【点睛】本题考查了解方程，涉及完全平方公式、多项式乘法的运算等，根据题意正确得到方程是解题的关键．
23. 如图，在边长都为1的小正方形组成的网格中，点A，B，C，D都在这些小正方形的顶点上，AB，CD相交于点P，则tan∠APD的值是 ____________   ．

【答案】2
【解析】
【分析】首先连接BE，由题意易得BF＝CF，△ACP∽△BDP，然后由相似三角形的对应边成比例，易得DP：CP＝1：3，即可得PF：CF＝PF：BF＝1：2，在Rt△PBF中，即可求得tan∠BPF的值，继而求得答案．
【详解】解：如图，连接BE，

∵四边形BCED是正方形，
∴DF＝CF＝CD，BF＝BE，CD＝BE，BE⊥CD，
∴BF＝CF，
根据题意得：AC∥BD，
∴△ACP∽△BDP，
∴DP：CP＝BD：AC＝1：3，
∴DP：DF＝1：2，
∴DP＝PF＝CF＝BF，
在Rt△PBF中，tan∠BPF＝＝2，
∵∠APD＝∠BPF，
∴tan∠APD＝2．
故答案为：2．
【点睛】此题考查了相似三角形的判定与性质，三角函数的定义．此题难度适中，解题的关键是准确作出辅助线，注意转化思想与数形结合思想的应用．
24. 如图,菱形ABCD顶点A在例函数y=(x>0)的图象上，函数 y=(k>3，x>0)的图象关于直线AC对称，且经过点B、D两点，若AB＝2，∠DAB＝30°，则k的值为______.

【答案】6+2
【解析】
【分析】连接OC，AC过A作AE⊥x轴于点E，延长DA与x轴交于点F，过点D作DG⊥x轴于点G，得O、A、C在第一象限的角平分线上，求得A点坐标，进而求得D点坐标，便可求得结果．
【详解】解：连接OC，AC过A作AE⊥x轴于点E，延长DA与x轴交于点F，过点D作DG⊥x轴于点G，
∵函数y＝（k＞3，x＞0）的图象关于直线AC对称，
∴O、A、C三点在同一直线上，且∠COE＝45°，
∴OE＝AE，
不妨设OE＝AE＝a，则A（a，a），
∵点A在在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，
∴a2＝3，
∴a＝，
∴AE＝OE＝，
∵∠BAD＝30°，
∴∠OAF＝∠CAD＝∠BAD＝15°，
∵∠OAE＝∠AOE＝45°，
∴∠EAF＝30°，
∴AF＝＝2，EF＝AEtan30°＝1，
∵AB＝AD＝2，AE∥DG，
∴EF＝EG＝1，DG＝2AE＝2，
∴OG＝OE＋EG＝＋1，
∴D（＋1，2），
∴k=
故答案为．

【点睛】本题是一次函数图象与反比例函数图象的交点问题，主要考查了一次函数与反比例函数的性质，菱形的性质，解直角三角形，关键是确定A点第一象限的角平分线上．
25. 如图，正方形ABCD中，AB＝4，点E是对角线AC上的一点，连接DE．过点E作EF⊥ED，交AB于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接AG．①矩形DEFG是正方形；②△GAF∽△CED；③AE+AG＝AD；④若F为AB中点，连接DF交AC于点M，则EM＝，正确的有_____（填序号）．

【答案】①③④．
【解析】
【分析】①由“ASA”可证△EQD≌△ENF，可得ED=EF，可证矩形DEFG是正方形；
②由“SAS”可证△ADG≌△CDE，可得∠DAG=∠DCE=45°，进而可得∠GAF=135°，由三角形内角和定理可求∠DEC＜135°，则△GAF与△CED不相似；
③由全等三角形的性质可得AG=CE，由正方形的性质可求解；
④由勾股定理可求DF的长，通过证明△DCM∽△FAM，可求HM的长，由勾股定理可求EM的长．
【详解】解：如图，作EQ⊥AD于Q，EN⊥AB于N，

∵四边形BACD为正方形，
∴∠EAD=∠EAB，EQ=EN，
∵∠EQA=∠EQD=∠DAB=90°，
∴四边形ANEQ是矩形，
∴∠QEN=90°，
∵EF⊥ED，
∴∠DEF=90°，
∴∠DEQ=∠FEN，
在△EQD和△ENF中，，
∴△EQD≌△ENF（ASA），
∴ED=EF，
∵四边形DEFG是矩形，
∴四边形DEFG是正方形，
故①正确；
∵四边形DEFG是正方形，
∴DG=DE，
∵∠GDE=∠ADC=90°，
∴∠ADG=∠CDE，
又∵AD=DC，
∴△ADG≌△CDE（SAS），
∴∠DAG=∠DCE=45°，
∴∠GAF=∠DAG+∠DAB=135°，
∵∠DEC+∠DCE+∠CDE=180°，
∴∠DEC＜135°，
∴∠DAF≠∠DEC，
∴△GAF与△CED不相似，故②错误；
∵△ADG≌△CDE，
∴AG=CE，
∴AE+AG=AE+CE=AC，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AC=AD，
∴AE+AG=AD，故③正确；
如图，过点E作EH⊥DF于H，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD=4，AB∥CD，
∵点F是AB中点，
∴AF=FB，
∴DF=，
∵△DEF是等腰直角三角形，
∴DH=HF=EH=DF=，
∵AB∥CD，
∴△DCM∽△FAM，
∴，
∴MF=DM，
∴DM=，
∴HM=，
∴EM=，故④正确；
故答案为：①③④．
【点睛】本题考查正方形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质和勾股定理，解题的关键是熟练掌握相关判定和性质．
五、解答题（本大题共3小题，共30分）
26. 某专卖店为了清理商品库存，对原来平均每天可销售40件，每件盈利60元的商品，进行降价处理，现每件商品每降价1元，商场平均每天可多销售2件．
（1）每件商品降价多少元时，该商店日盈利可达到3150元？
（2）试问，商店日盈利能否达到3300元？若能请求出此时商品售价，若不能，请说明理由．
【答案】（1）每件商品降价25元时，商场日盈利可达到3150元；（2）商场日盈利不能达到3300元，理由见解析．
【解析】
【分析】（1）设每件商品降价x元时，商场日盈利可达到3150元，则商场每天多销售2x件，根据“某种商品平均每天可销售40件，每件盈利60元，每件商品每降价1元，商场平均每天可多销售2件”，列出关于x的一元二次方程，解之即可；
（2）设每件商品降价y元时，商场日盈利可达到3300元，则商场每天多销售2y件，根据“某种商品平均每天可销售40件，每件盈利60元，每件商品每降价1元，商场平均每天可多销售2件”，列出关于y的一元二次方程，结合判别式公式，判断该方程根的情况，即可得到答案．
【详解】解：（1）设每件商品降价x元时，商场日盈利可达到3150元，
则商场每天多销售2x件，
根据题意得：
（60﹣x）（40+2x）＝3150，
整理得：x2﹣40x+375＝0，
解得：x1＝15，x2＝25，
∵清理商品库存，
∴x＝25，
答：每件商品降价25元时，商场日盈利可达到3150元；
（2）设每件商品降价y元时，商场日盈利可达到3300元，
则商场每天多销售2y件，
根据题意得：
（60﹣y）（40+2y）＝3300，
整理得：y2﹣40y+450＝0，
∵△＝1600﹣1800
＝﹣200＜0，
∴该方程无实数根，
即商场日盈利不能达到3300元，
答：商场日盈利不能达到3300元．
【点睛】本题考查了一元二次方程的运用，正确假设未知数，找出等量关系，列出一元二次方程是解题的关键．
27. 如图1，在等腰Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，点D是线段AC上一点，连接BD过点C作CE⊥BD于点E，点F是AB垂直平分线上一点，连接BF、EF，BF与EC交于点G．
（1）当F在AC边上时，
①求证：△ADB≌△BGC．
②若AD＝2，AB＝6，求BE的长．
（2）如图2，若∠BDC＝75°，当∠AFB＝30°时，求（）2的值．

【答案】（1）①见解析；②；（2）．
【解析】
【分析】（1）①由“SAS”可证△ABD≌△CBE；②由全等三角形的性质可求AD＝BG＝2，BD＝CG，由勾股定理可求EG，BE的长；
（2）延长BD交AF于N，作EH⊥BF于H，连接NG，设BE＝a，则BN＝2a，CE＝，EH＝＝HG，NG＝BG＝，利用参数a表示出EF2，CE2，即可求解．
【详解】证明：（1）①∵CE⊥BD，
∴∠ABC＝∠BEC＝90°，
∴∠ABD+∠DBC＝90°，∠DBC+∠BCE＝90°，
∴∠ABD＝∠BCE，
∵∠ABC＝90°，AB＝BC，
∴∠BAC＝∠BCA＝45°，
∵点F是AB垂直平分线上一点，
∴AF＝BF，
∴∠ABF＝∠BAF＝∠FBC＝45°，
在△ABD和△CBE中，
，
∴△ABD≌△CBE（SAS）；
（2）∵△ABD≌△CBE，
∴AD＝BG＝2，BD＝CG，
∵BC＝AB＝，∠ABC＝90°，CE⊥BD，
∴AF＝BF＝CF＝6，
∴DF＝AF﹣AD＝4，
∴BD＝＝＝，
∴CG＝BD＝，
∵BE2+CE2＝BC2，BE2+EG2＝BG2，
∴72﹣（+EG）2＝4﹣EG2，
∴EG＝，
∴BE＝＝；
（3）如图2，延长BD交AF于N，作EH⊥BF于H，连接NG，

∵∠AFB＝30°，点F是AB垂直平分线上一点，
∴∠BAF＝∠ABF＝75°，
∵∠BDC＝75°＝∠ADN，∠DAN＝∠BAF﹣∠BAC＝30°，
∴∠ANB＝75°＝∠BAF，
∴AB＝NB，∠ABN＝180°﹣2×75°＝30°，
∴∠NBF＝∠ANB﹣∠AFB＝45°，∠NBC＝60°，
又∵CE⊥BE，
∴BE＝BC＝BN＝EN，
∴GE垂直平分BN，
∴BG＝GN，
∴∠BNG＝∠NBG＝45°，
∴NG⊥BF，
设BE＝a，则BN＝2a，CE＝，EH＝＝HG，NG＝BG＝a，
∵∠NFG＝30°，
∴GF＝GN＝，
∴HF＝+，
∴EF2＝EH2+HF2＝（）2+（ +）2＝（7+）a2，
∴＝．
【点睛】本题考查三角形的综合题，涉及到全等三角形的判定和性质、勾股定理的应用、等腰直角三角形的性质等知识点，综合性较强，难度较大，利用参数表示出线段的长度是解本题的关键．
28. 如图1，在矩形中，BC=3，动点从出发，以每秒1个单位的速度，沿射线方向移动，作关于直线的对称，设点的运动时间为
（1）若
①如图2，当点B’落在AC上时，显然△PCB’是直角三角形，求此时t的值
②是否存在异于图2的时刻，使得△PCB’是直角三角形？若存在，请直接写出所有符合题意的t的值？若不存在，请说明理由
（2）当P点不与C点重合时，若直线PB’与直线CD相交于点M，且当t＜3时存在某一时刻有结论∠PAM=45°成立，试探究：对于t＞3任意时刻，结论∠PAM=45°是否总是成立？请说明理由.

【答案】（1）①；②t=2或t=6或t=2（2）见解析.
【解析】
【分析】(1)①先利用勾股定理求出AC长，再根据△APB≌△APB′，继而根据全等三角形的性质推导得出∠B=∠PB′C=90°，B′C= ，再证明，根据相似三角形的性质求出PB′=2-4，由此即可求得答案；
②根据题意分三种情况，分别画出图形，结合图形分别讨论求解即可；
(2)如图，根据∠PAM=45°以及翻折的性质可以证明得到△DAM≌△B′AM，从而可得AD=AB′=AB，证得四边形ABCD是正方形，继而根据题意画出图形，根据翻折的性质以及全等三角形的知识进行推导即可求得答案.
【详解】(1)①∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B=90°，
∴AC=，
∵△APB≌△APB′，
∴∠AB′P=∠B=90°，AB′=AB=2，BP=B′P，
∴∠B=∠PB′C=90°，B′C=AC-AB′=，
又∵∠PCB′=∠ACB，
∴，
∴，
即，
∴PB′=2-4，
∴PB=2-4，
即t=2-4；
②如图，当∠PCB′=90 °时，此时点B′落在BC上，
在Rt△AB′D中，∠D=90°，∴B′D=，
∴B′C=，
在△PCB′中，由勾股定理得：，
解得t=2；

如图，当∠PCB′=90 °时，此时点B′在CD的延长线上，
在Rt△AB′D中，∠ADB′=90°，∴B′D=，
∴B′C=3，
在△PCB′中，由勾股定理得：，解得t=6；

当∠CPB′=90 °时，易得四边形ABPB′为正方形，
∴BP=AB=2，
解得t=2；

综上，t=2或t=6或t=2；
(2)如图

∵∠PAM=45°，
∴∠2+∠3=45°，∠1+∠4=45°，
又∵翻折，
∴∠1=∠2，∠3=∠4，
又∵∠ADM=∠AB′M=90°，AM=AM，
∴△DAM≌△B′AM，
∴AD=AB′=AB，
∴四边形ABCD是正方形，
如图，

设∠APB=x，
∴∠PAB=90°-x，
∴∠DAP=x，
∵AD=AB′，AM=AM，∠ADM=∠AB′M=90°，
∴Rt△MDA≌Rt△B′AM(HL)，
∴∠B′AM=∠DAM，
∵翻折，
∴∠PAB=∠PAB′=90°-x，
∴∠DAB′=∠PAB′-∠DAP=90°-2x，
∴∠DAM=∠DAB′=45°-x，
∴∠MAP=∠DAM+∠PAD=45°.
【点睛】本题是四边形综合题，涉及了矩形的性质，正方形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理的应用，翻折的性质等，综合性较强，有一定的难度，正确画出符合题意的图形，熟练运用相关知识是解题的关键.