四川省成都市天府新区太平中学2022-2023学年九年级上学期期中考试数学试题（含答案）

这是一份四川省成都市天府新区太平中学2022-2023学年九年级上学期期中考试数学试题（含答案），共22页。试卷主要包含了单选题，四象限，则一次函数的图象大致是，解答题，填空题等内容，欢迎下载使用。
太平中学初2020级九年级上期半期考试
数学试卷
一、单选题(每小题4分，共32分)
1．下列方程中，是一元二次方程的是（   ）
A． B．
C． D．
2．如图，这个几何体是将一个正方体中间挖出一个圆柱体后的剩余部分，该几何体的左视图是（　　　）

A． B． C． D．
3．若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+2x﹣2=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（　　）
A．k＞ B．k≥ C．k＞且k≠1 D．k≥且k≠1
4．如图，小明从路灯下A处，向前走了5米到达D处，在D处发现自己在地面上的影子长是2米，如果小明的身高为1.6米，那么路灯离地面的高度是（    ）米．

A．4.6 B．5.6 C．7.5 D．8.5
5．在一个不透明的袋子里装有两个黄球和一个白球，它们除颜色外都相同，随机从中摸出一个球，记下颜色后放回袋子中，充分摇匀后，再随机摸出一个球．两次都摸到黄球的概率是（　　）
A． B． C． D．
6．已知反比例函数的图象过二、四象限，则一次函数的图象大致是（    ）
A．B． C．D．
7．如图，在菱形ABCD中，E是AC的中点，EF∥CB，交AB于点F，如果EF=3，那么菱形ABCD的周长为（　　）

A．24 B．18 C．12 D．9
8．试验园的形状是长15米、宽8米的矩形，为便于管理，要在中间开辟一横两纵共三条等宽的小道，使种植面积为110平方米，则小道的宽为多少米？若设小道的宽为x米，则根据题意列方程为（　　）

A．（15+2x）（8+x）＝110 B．（15﹣2x）（8﹣x）＝110
C．（15+x）（8+2x）＝110 D．（15﹣x）（8﹣2x）＝110
二、填空题(每小题4分，共20分)
9．已知：，则 的值是_______.
10．反比例函数y=的图象经过点（-1，3），那么这个反比例函数的表达式为____．
11．已知P是线段的黄金分割点，且，则长为______（cm）．
12．为了估计池塘里有多少条鱼，先从湖里捕捞100条鱼记上标记，然后放回池塘去，经过一段时间，待有标记的鱼完全混合后，第二次再捕捞200条鱼，发现有5条鱼有标记，那么你估计池塘里大约有______条鱼．
13．如图，在矩形中，是边的中点，连接交对角线于点，若，，则的长为________．

三、解答题(共48分)
14．（每小题5分）解方程：
(1)；(2)；(3)．
15．（7分）如图，网格中每个小正方形的边长均为1，且点A，B，C，P均为格点．

(1)在网格中作图：以点P为位似中心，将△ABC的各边长放大为原来的两倍，A，B，C的对应点分别为A1，B1，C1；
(2)若点A的坐标为，点B的坐标为，则（1）中点C1的坐标为______；
(3)求三角形A1B1C1的周长．
16．（8分）为了调动同学们学习数学的积极性，班内组织开展了“数学小先生”讲题比赛，老师将四道备讲题的题号1，2，3，4，分别写在完全相同的4张卡片的正面，将卡片背面朝上洗匀．
(1)随机抽取一张卡片，卡片上的数字是“4”的概率是________；
(2)小明随机抽取两张卡片，用画树状图或列表的方法求两张卡片上的数字是“2”和“3”的概率．
17．（8分）新区某学校九年级一班进行课外实践活动，小王想利用太阳光测量楼高．他带着皮尺来到一栋楼下，发现对面墙上有这栋楼的影子，针对这种情况，他设计了一种测量方案，具体测量情况如下：如示意图，小王边移动边观察，发现站到点E处时，可以使自己落在墙上的影子与这栋楼落在墙上的影子重叠，且高度恰好相同．此时，测得王嘉落在墙上的影子高度CD＝1.2m，CE＝0.6m，CA＝30m（点A、E、C在同一直线上）．已知小王的身高EF是1.7m，请你帮王小求出楼高AB．

18．(10分)如图，四边形是正方形，点是边上动点(不与重合)．连接过点作交于点．

求证: ∽；
连接，试探究当点在什么位置时，，请证明你的结论．
（3）若BC=2，求BF的最大值。
B 卷
四、填空题(每小题4分，共20分)
19．一元二次方程的两根为和，则________．
20．如图，点是反比例函数的图象上的一点，点在轴的负半轴上且，若的面积为4，则的值为__________．

21．有正面分别标有数字-2、-1、0、1、2的五张不透明卡片，它们除数字不同外其余全部相同，现将它们背面朝上，洗匀后从中任取一张，将卡片上的数字记为m，则使关于x的方程+x－m=0有实数解且关于x的不等式组有整数解的的概率为_ ___．
22．如图，∠MON=90°，矩形ABCD的顶点A、B分别在边OM、ON上，当B在边ON上运动时，A随之在OM上运动，矩形ABCD的形状保持不变，其中AB=4，BC=2.运动过程中点D到点O的最大距离是______．

23．如图，是内一点，过点分别作直线平行于各边，形成三个小三角形面积分别为，则__________


二、解答题（24题8分共30分）
24．（8分）某商场于今年年初以每件40元的进价购进一批商品．当商品售价为60元时，一月份销售64件．二、三月该商品十分畅销．销售量持续走高．在售价不变的基础上，三月底的销售量达到100件．设二、三这两个月月平均增长率不变．
(1)求二、三这两个月的月平均增长率；
(2)从四月份起，商场决定采用降价促销，经调查发现，该商品每降价2元，销售量增加20件，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的几折出售，商场获利2240元?
25．（10分）关于x的一元二次方程x2﹣(2k﹣1)x+k2﹣2k+2＝0有两个不相等的实数根．
(1)求实数k的取值范围；
(2)设方程的两个实数根分别为x1，x2．是否存在这样的实数k，使得|x1|﹣|x2|＝？若存在，求出这样的k值；若不存在，说明理由．
26．（12分）在△ABC中，点D是BC上一点，点E是AD上一点，且ED＝BD，∠EBC＝∠BAC，BE的延长线交AC于点F．
  
(1)求证：△AEF ∽△BAF；
(2)如图2，若AD⊥BC，AE＝6，DE＝12，求AF的长；
(3)如图3，若AB＝AC，AD＝2BD，AF＝1，求CF的长
参考答案：
1．B
【分析】只含有一个未知数，且未知数的最高次数是的整式方程叫做一元二次方程．一元二次方程有三个特点：（1）只含有一个未知数；（2）未知数的最高次数是；（3）是整式方程．
【详解】解：A、该方程是一元一次方程，故本选项不符合题意；
B、该方程是一元二次方程，故本选项符合题意；
C、含有两个未知数，该方程不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
D、该方程是分式方程，故本选项不符合题意．
故选：B．
【点睛】此题主要考查了一元二次方程的定义，要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整式方程，若是，再对它进行整理．如果能整理为的形式，则这个方程就为一元二次方程．
2．D
【分析】左视图是从左边看得出的图形，结合所给图形及选项即可得出答案．
【详解】解：从左边看一个正方形被分成三部分，两条分线是虚线；
故选：．
【点睛】本题考查了简单几何体的三视图，掌握相关性质是解答本题的关键．
3．C
【详解】根据题意得：k-1≠0且△=22-4（k-1）×（-2）＞0，
解得：k＞且k≠1．
故选：C
【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2-4ac，关键是熟练掌握：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．
4．B
【分析】根据相似三角形对应边成比例可解．
【详解】解：∵AD=5，DE=2，
∴AE=7，
∵AB⊥AE，CD⊥AE，
∴△ABE∽△DCE，
∴ ，
∴（米）．
故选：B．
【点睛】此题主要考查了相似三角形的应用，正确得出相似三角形是解题关键．
5．A
【分析】首先根据题意画出树状图，由树状图求得所有等可能的结果与两次都摸到黄球的情况，然后利用概率公式求解即可求得答案．注意此题属于放回实验．
【详解】画树状图如下：

由树状图可知，共有9种等可能结果，其中两次都摸到黄球的有4种结果，
∴两次都摸到黄球的概率为，
故选A．
【点睛】此题考查的是用列表法或树状图法求概率的知识．注意画树状图与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．
6．B
【分析】先根据反比例函数的图象过二、四象限可知，再根据一次函数的性质进行判断即可．
【详解】解：反比例函数的图象过二、四象限，
，
一次函数中，，
此函数的图象过二、三、四象限．
故选：．
【点睛】本题考查的是反比例函数及一次函数的性质，根据反比例函数的图象判断出的取值范围是解答此题的关键．
7．A
【分析】易得BC长为EF长的2倍，那么菱形ABCD的周长=4BC问题得解．
【详解】∵E是AC中点，
∵EF∥BC，交AB于点F，
∴EF是△ABC的中位线，
∴BC=2EF=2×3=6，
∴菱形ABCD的周长是4×6=24，
故选A．
【点睛】本题考查了三角形中位线的性质及菱形的周长公式，熟练掌握相关知识是解题的关键．
8．B
【分析】设小道的宽为x米，则6个小矩形可合成长为(15-2x)米、宽为(8- x)米的矩形，利用种植的面积=合成大矩形的长×宽，即可得出关于x的一元二次方程．
【详解】设小道的宽为x米，则6个小矩形可合成长为(15-2x)米、宽为(8-x)米的大矩形，依题意得：．
故选：B．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
9．
【分析】根据已知等式设a=2k,b=3k,代入式子可求出答案.
【详解】解：由，可设a=2k，b=3k，(k≠0),
故：，
故答案：.
【点睛】此题主要考查比例的性质，a、b都用k表示是解题的关键.
10．
【解析】略
11．
【分析】根据黄金比值为写计算，即可得到答案．
【详解】解：∵P是线段AB的黄金分割点，且，
∴AP>BP，
∴BP=AB-AP=．
故答案为：．
【点睛】此题考查了黄金分割：把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，它们的比值叫做黄金比．
12．4000
【分析】捕捞200条鱼，发现其中5条有标记，即可求得有标记的所占比例，而这一比例也适用于整体，据此即可解答．
【详解】解：设湖中有x条鱼，
则200：5=x：100，
解得x=4000．
故答案为：4000．
【点睛】本题主要考查用样本估计总体，用样本去估计总体时，样本越具有代表性、容量越大，对总体的估计越精确．
13．
【分析】根据勾股定理求出，根据//，得到，即可求出的长．
【详解】解：∵四边形是矩形，
∴，//，，
在中，，
∴，
∵是中点，
∴，
∵//，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】考查矩形的性质，勾股定理，相似三角形的性质及判定，熟练掌握相似三角形的判定方法和性质是解题的关键．
14．(1)，
(2)，
(3)，

【分析】（1）利用直接开平方法解方程；
（2）利用公式法解方程；
（3）利用因式分解法解方程．
(1)
解：
∴，
解得：，；
(2)
，
∵，，，
∴，
∴，
∴，；
(3)
，
，
，
∴或，
∴，．
【点睛】此题考查了解一元二次方程，正确掌握解一元二次方程的解法及根据每个方程选择恰当的解法是解题的关键．
15．(1)见解析
(2)
(3)三角形A1B1C1的周长为

【分析】（1）找到各点的对应点，然后顺次连接即可；
（2）建立平面坐标系，使点A的坐标为（0，0），点B的坐标为（2，1），从坐标系中读出点C1的坐标；
（3）根据勾股定理分别求出A1B1，A1C1，B1C1的长，再求出周长即可．
（1）
如图

（2）
如图，建立平面直角坐标系，

由图可知C1
（3）
∵，
，
，
∴三角形A1B1C1的周长为：．
【点睛】本题考查了画位似图形，画位似图形的一般步骤为：①确定位似中心，②分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；③根据相似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形．
16．(1) (2)
【分析】（1）直接由概率公式求解即可；
（2）画树状图，共有12种等可能的结果，其中两张卡片上的数字是2和3的结果有2种，再由概率公式求解即可．
（1）解：随机抽取一张卡片，卡片上的数字是4的概率为，
故答案为：；
（2）解：画树状图如下：

共有12种等可能的结果，其中两张卡片上的数字是2和3的结果有2种，
∴两张卡片上的数字是2和3的概率为．
【点睛】此题考查的是用树状图或列表法求概率．树状图或列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．熟练掌握树状图或列表法是解决这类题的关键．
17．26.2米
【分析】过点D作DN⊥AB，垂足为N．交EF于M点，由四边形CDME、ACDN是矩形，得AN＝ME＝CD＝1.2（m），DN＝AC＝30（m），DM＝CE＝0.6（m），得MF＝EF﹣ME＝1.7﹣1.2＝0.5（m），依题意知，EF∥AB，则△DFM∽△DBN，解得BN＝25（m），即可AB＝BN+AN＝25+1.2＝26.2（m）．
【详解】解：过点D作DN⊥AB，垂足为N．交EF于M点，

∴四边形CDME、ACDN是矩形，
∴AN＝ME＝CD＝1.2（m），DN＝AC＝30（m），DM＝CE＝0.6（m），
∴MF＝EF﹣ME＝1.7﹣1.2＝0.5（m），
∴依题意知，EF∥AB，
∴△DFM∽△DBN，
∴，
即：，
∴BN＝25（m），
∴AB＝BN+AN＝25+1.2＝26.2（m）．
答：楼高为26.2m．
【点睛】本题只要是把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的相似比，列出方程，通过解方程求解即可，体现了转化的思想．
18．（1）证明见解析；（2）点在中点位置时，，证明见解析．
【分析】（1）先根据正方形的性质可得，再根据直角三角形的性质、角的和差可得，然后根据相似三角形的判定即可得证；
（2）如图（见解析），先根据正方形的性质、平行线的性质可得，再根据三角形全等的判定定理与性质可得，然后根据等腰三角形的判定与性质可得，最后根据等量代换即可得．
【详解】（1）四边形是正方形，
，
，
，
，
，
，
在和中，，
；
（2）点在中点位置时，，证明如下：
如图，连接，延长于的延长线相交于点H，
为中点，
，
四边形是正方形，
，
，
在和中，，
，
，
，
是等腰三角形，
，
，
故当点在中点位置时，．

【点睛】本题考查了相似三角形的判定、正方形的性质、三角形全等的判定定理与性质、等腰三角形的判定与性质等知识点，较难的是题（2），通过作辅助线，构造全等三角形和等腰三角形是解题关键．
19．2025
【分析】由题意可知-3+1=0,则=3-1,则+3+2017=3-1+3+2017=3(+)-1+2017,根据一元二次方程根与系数的关系,可得结果.
【详解】由题意-3+1=0,
则=3-1.
原式=3-1+3+2017
=3(+)-1+2017
=-1+2017
=2025
【点睛】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系,将转化为3-1是解决本题目的关键.
20．
【分析】过点A作AC⊥x轴，设点，可得出xy= k，再根据三角形的面积公式即可得出答案．
【详解】解：过点A作AC⊥x轴于点C，如图所示：

设（），
∵OA= AB，
∴OC = BC，
∴点B (2x，0)
∵点是反比例函数的图象上，
∴，
∵△OAB的面积为4，
∴，
即，
∴，
即，
故答案为：-4．
【点睛】本题考查了反比例函数系数k的几何意义以及等腰三角形的性质，反比例函数图象上的点(x，y)一定满足xy= k．熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．
21．
【分析】首先确定使关于x的方程x2＋x−m＝0有实数解且关于x的不等式组有整数解的m的个数，然后利用概率公式求解即可．
【详解】解：∵x2＋x−m＝0有实数解，
∴b2−4ac＝1＋4m≥0，
∴m≥−，
解不等式组，
得＜x＜1＋2m，
∵关于x的不等式组有整数解，
∴m＞0，
∴使关于x的方程x2＋x−m＝0有实数解且关于x的不等式组有整数解的m的值有1，2共2个，
∴P（使关于x的方程x2＋x−m＝0有实数解且关于x的不等式组有整数解）＝，
故答案为：．
【点睛】此题考查了不等式组的求解、一元二次方程根的判别式及概率公式；解题的关键是熟知概率＝所求情况数与总情况数之比．
22．+2
【分析】取AB的中点E，连接OE、DE、OD，根据三角形的任意两边之和大于第三边可知当O、D、E三点共线时，点D到点O的距离最大，再根据勾股定理列式求出DE的长，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出OE的长，两者相加即可得解．
【详解】如图，取AB的中点E，连接OE、DE、OD，
∵OD≤OE+DE，
∴当O、D、E三点共线时，点D到点O的距离最大，
此时，∵AB=4，BC=2，
∴OE=AE=AB=2，
DE==，
∴OD的最大值为：+2，
故答案为+2.

【点睛】本题考查了直角三角形斜边中线的性质，三角形的三边关系，矩形的性质，勾股定理，根据三角形的三边关系判断出点O、E、D三点共线时，点D到点O的距离最大是解题的关键．
23．108
【分析】根据平行可得三个三角形相似，再由它们的面积比得出相似比，再求出最小三角形的边与最大三角形边的比，从而得到它们的面积的比，求出结果即可．
【详解】解：过P作BC的平行线交AB、AC于点D、E，过P作AB的平行线交AB于点I、G，过P作AC的平行线交AC于点F、H，

∵DE//BC，IG//AB，FH//AC，
∴四边形AFPI、四边形PHCE、四边形DBGP均为平行四边形，
△FDP∽△IPE∽△PGH∽△ABC，
∵，
∴FP：IE：PH=1：2：3，
∴AI：IE：EC=1：2：3，
∴AI：IE：EC：AB=1：2：3：6，
S△ABC：S△FDP=36：1，
∴S△ABC=36×3=108．
故答案为:108．
【点睛】本题考查相似三角形的性质，相似三角形面积比等于相似比的平方．
24．(1)二、三这两个月的月平均增长率为25%
(2)该店应按原售价的九折出售

【分析】（1）设二、三这两个月的月平均增长率为a，根据增长率公式列方程解答；
（2）设商品应降价x元，根据售价乘以数量列一元二次方程解答．
（1）
解：设二、三这两个月的月平均增长率为a，根据题
意可得：，
解得：，（不合题意舍去）
答：二、三这两个月的月平均增长率为25%；
（2）
设商品应降价x元，
根据题意，得，
化简，得，解得，，
∵要尽可能让利于顾客，
∴每千克核桃应降价6元，
此时，售价为：（元），，
答：该店应按原售价的九折出售．
【点睛】此题考查了一元二次方程的实际应用，正确掌握增长率问题计算公式a（1+x）2=b，以及销售问题的计算公式是解题的关键．
25．(1)k＞；(2)k＝3．
【分析】(1)由方程有两个不相等的实数根知△＞0，列出关于k的不等式求解可得；
(2)由韦达定理知x1+x2＝2k﹣1，x1x2＝k2﹣2k+2＝(k﹣1)2+1＞0，将原式两边平方后把x1+x2、x1x2代入得到关于k的方程，求解可得．
【详解】(1)由题意知△＞0，
∴[﹣(2k﹣1)]2﹣4×1×(k2﹣2k+2)＞0，
整理，得：4k﹣7＞0，
解得：k＞；
(2)由题意知x1+x2＝2k﹣1，x1x2＝k2﹣2k+2＝(k+1)2+1＞0，
∵|x1|﹣|x2|＝，
∴x12﹣2x1x2+x22＝5，即(x1+x2)2﹣4x1x2＝5，
代入得：(2k﹣1)2﹣4(k2﹣2k+2)＝5，
整理，得：4k﹣12＝0，
解得：k＝3．
【点睛】本题主要考查根与系数的关系及根的判别式，熟练掌握判别式的值与方程的根之间的关系及韦达定理是解题的关键．
26．(1)见解析
(2)
(3)

【分析】（1）先根据等腰三角形的性质得到∠DBE=∠DEB，由∠DEB=∠AEF，∠DBE=∠BAC，推出∠AEF=∠BAF，再由∠BFA=∠AFE，即可证明△AEF∽△BAF；
（2）先求出BD=DE=12，AD=AE+DE=18，由勾股定理求出，，根据相似三角形的性质可得，则，设，则，，则，由此求解即可；
（3）如图所示，过点A作AG∥BC交BF延长线于G，先证明BC=BF，设，则，由（2）可知，则，，进而推出；证明△AFG∽△CFB，△AEG∽△DEB，得到，，推出，再证明AE=DE=BD=AG，得到，则，，得到；证明△ABC∽△BFC，推出，即可得到答案．
（1）
解：∵ED=BD，
∴∠DBE=∠DEB，
又∵∠DEB=∠AEF，∠DBE=∠BAC，
∴∠AEF=∠BAF，
∵∠BFA=∠AFE，
∴△AEF∽△BAF；
（2）
解：∵AE=6，DE=12，
∴BD=DE=12，AD=AE+DE=18，
∵AD⊥BC，
∴∠ADB=90°，
∴，
∵△AEF∽△BAF，
∴，
∴，
设，则，，
∴，
解得或（舍去），
∴；
（3）
解：如图所示，过点A作AG∥BC交BF延长线于G，
∵AB=AC，
∴∠C=∠ABC，
又∵∠FBC=∠BAC，
∴∠BFC=∠C，
∴BC=BF，
设，则，
由（2）可知，
∴，
∴，
∵△AEF∽△BAF，
∴，
∴，
∴，
∵AG∥BC，
∴△AFG∽△CFB，△AEG∽△DEB，
∴，，
∴，，
∴，
∵AD=2BD，BD=DE，
∴AE=DE=BD=AG，
∴即，
∴，
∴，
∴，
∵∠C=∠C，∠CBF=∠CAB，
∴△ABC∽△BFC，
∴，
∴，
∴，
∴或（舍去），
∴．

【点睛】本题主要考查了勾股定理，等腰三角形的性质，相似三角形的性质与判定，熟知相似三角形的性质与判定条件是解题的关键．