【期末满分冲刺】2022-2023学年 北师大版数学九年级上学期-专题06 反比例函数

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专题06 反比例函数
一、单选题
1．下列函数中，不是反比例函数的是（    ）
A．xy＝－5 B．y＝ C．y＝ D．y＝
【答案】C
【分析】根据反比例函数的三种形式判断即可．
【解析】解：∵反比例函数的三种形式为：
①（k为常数，k≠0），（k为常数，k≠0）
②xy=k（k为常数，k≠0）
③y=kx-1（k为常数，k≠0），
是正比例函数不是反比例函数
故选：C．
【点睛】本题考查了反比例函数的定义，熟练掌握反比例函数的三种形式是解题的关键．
2．若函数y＝x2m＋1为反比例函数，则m的值是(      )
A．1 B．0 C．0．5 D．－1
【答案】D
【解析】解：因为函数为反比例函数，


故选D．
【点睛】反比例函数有三种形式：
3．若函数的图象在其象限内y的值随x值的增大而增大，则m的取值范围是（　　）
A．m＞﹣2 B．m＜﹣2
C．m＞2 D．m＜2
【答案】B
【分析】根据反比例函数的性质，可得m+2＜0，从而得出m的取值范围．
【解析】∵函数的图象在其象限内y的值随x值的增大而增大，
∴m+2＜0，
解得m＜-2．
故选B．
4．已知点(x1，y1)，(x2，y2)，(x3，y3)在反比例函数y＝的图象上．当x1＜x2＜0＜x3时，y1，y2，y3的大小关系是（    ）
A．y1＜y3＜y2 B．y2＜y1＜y3 C．y3＜y1＜y2 D．y3＜y2＜y1
【答案】B
【分析】由，可知反比例函数图象在第一、第三象限，根据反比例函数的性质判断即可．
【解析】解：∵，
∴反比例函数图象在第一、第三象限，
∵时，随着的增大而减小，时，随着的增大而减小，且第一象限的函数值大于第三象限的函数值，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查了反比例函数的图象与性质．解题的关键在于熟练掌握反比例函数的图象与性质．
5．如图，点A为反比例函数 的图象上一点，过A作AB⊥x轴于点B，连接OA，已知△ABO的面积为3，则k值为(     ) ．


A．-3 B．3 C．-6 D．6
【答案】C
【分析】先设出A点的坐标，由△AOB的面积可求出xy的值，即xy＝﹣6，即可写出反比例函数的解析式．
【解析】解：设A点坐标为A（x，y），
由图可知A点在第二象限，
∴x＜0，y＞0．
又∵AB⊥x轴，
∴|AB|＝y，|OB|＝|x|，
∴S△AOB|AB|×|OB|y×|x|＝3，
∴﹣xy＝6，
∴k＝﹣6．
故选：C．
【点睛】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，解题的关键是掌握过双曲线上的任意一点分别向两条坐标轴作垂线，与坐标轴围成的矩形面积就等于|k|，本知识点是中考的重要考点，同学们应高度关注．
6．关于x的函数y＝k(x＋1)和y＝ (k≠0)在同一坐标系中的图象大致是(　  　)
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】试题分析：当k＞0时，函数y=的图像在一三象限，函数y=k（x+1）=kx+k的图像经过一二三象限，所以选项A、C错误；当k＜0时，函数y=的图像在二四象限，函数y=k（x+1）=kx+k的图像经过二三四象限，所以选项B错误，选项D正确，故选D.
考点：1.一次函数图像；2.反比例函数的图像.
7．对于反比例函数y=，下列说法正确的是（　　）
A．图象经过点（1，﹣1） B．图象关于y轴对称
C．图象位于第二、四象限 D．当x＜0时，y随x的增大而减小
【答案】D
【解析】A选项：∵1×（-1）=-1≠1，∴点（1，-1）不在反比例函数y=的图象上，故本选项错误；
B选项：反比例函数的图象关于原点中心对称，故本选项错误；
C选项：∵k=1＞0，∴图象位于一、三象限，故本选项错误；
D选项：∵k=1＞0，∴当x＜0时，y随x的增大而减小，故是正确的．
故选B．
8．如图，正比例函数与反比例函数的图象相交于A、C两点，过点A作x轴的垂线交x轴于点B，连接BC，则的面积等于（    ）

A．8 B．6 C．4 D．2
【答案】C
【分析】由于点A、C位于反比例函数图象上且关于原点对称，则，再根据反比例函数系数k的几何意义作答即可．
【解析】解：因为过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S是个定值，
即．
所以的面积等于．
故选C．
【点睛】考查了反比例函数中k的几何意义，即过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积为，是经常考查的一个知识点；这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解k的几何意义．图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S的关系即．
9．如图，一次函数y1=x+1的图象与反比例函数的图象交于A、B两点，过点A作AC⊥x轴于点C，过点B作BD⊥x轴于点D，连接AO、BO，下列说法正确的是【 】

A．点A和点B关于原点对称 B．当x＜1时，y1＞y2
C． D．当x＞0时，y1、y2都随x的增大而增大
【答案】C
【解析】求出两函数式组成的方程组的解，即可得出A、B的坐标，即可判断：
A、联立y=x+1和，
把y=x+1代入得：，解得：x1=﹣2，x2=1．
代入y=x+1得：y1=﹣1，y2=2，
∴B（﹣2，﹣1），A（1，2）．
∴A、B关于原点不对称，故本说法错误．
B、由图象知，当0＜x＜1时，一次函数y1=x+1的图象在反比例函数的图象下方，即
y1＜y2，故本说法错误．
C、∵，∴，故本说法正确．
D、当x＞0时，y1随x的增大而增大，y2随x的增大而减小，故本说法错误．
故选C．
10．春季是传染病多发的季节，积极预防传染病是学校高度重视的一项工作，为此，某校对学生宿舍采取喷洒药物进行消毒．在对某宿舍进行消毒的过程中，先经过的集中药物喷洒，再封闭宿舍，然后打开门窗进行通风，室内每立方米空气中含药量与药物在空气中的持续时间之间的函数关系，在打开门窗通风前分别满足两个一次函数，在通风后又成反比例，如图所示．下面四个选项中错误的是（   ）

A．经过集中喷洒药物，室内空气中的含药量最高达到
B．室内空气中的含药量不低于的持续时间达到了
C．当室内空气中的含药量不低于且持续时间不低于35分钟，才能有效杀灭某种传染病毒．此次消毒完全有效
D．当室内空气中的含药量低于时，对人体才是安全的，所以从室内空气中的含药量达到开始，需经过后，学生才能进入室内
【答案】C
【分析】利用图中信息一一判断即可．
【解析】解∶由图象可知，经过集中喷洒药物，室内空气中的含药量最高达到，故A选项正确．不符合题意．
设0时自变量的取值范围；
（3）如果点C与点A关于轴对称，求△ABC的面积．
【答案】（1）反比例函数的表达式为；一次函数的表达式为（2）0＜＜1；（3）12
【分析】（1）根据点A的坐标求出反比例函数的解析式为，再求出B的坐标是（－2，－2），利用待定系数法求一次函数的解析式．
（2）当一次函数的值小于反比例函数的值时，直线在双曲线的下方，直接根据图象写出当>0时，一次函数的值小于反比例函数的值x的取值范围或0＜x＜1．
（3）根据坐标与线段的转换可得出：AC、BD的长，然后根据三角形的面积公式即可求出答案．
【解析】解：（1）∵点A（1，4）在的图象上，∴＝1×4＝4．
∴反比例函数的表达式为
∵点B在的图象上，∴．∴点B（－2，－2）．
又∵点A、B在一次函数的图象上，
∴，解得．
∴一次函数的表达式为．
（2）由图象可知，当 0＜＜1时，＞成立
（3）∵点C与点A关于轴对称，∴C（1，－4）．
过点B作BD⊥AC，垂足为D，则D（1，－5）．   

∴△ABC的高BD＝1＝3，底为AC＝4＝8．
∴S△ABC=AC·BD=×8×3=12．
24．将油箱注满k升油后，轿车可行驶的总路程s(单位：千米)与平均耗油量a(单位：升/千米)之间是反比例函数关系s＝(k是常数，k≠0)．已知某轿车油箱注满油后，以平均耗油量为每千米耗油0.1升的速度行驶，可行驶700千米．
(1)求该轿车可行驶的总路程s与平均耗油量a之间的函数解析式；
(2)当平均耗油量为0.08升/千米时，该轿车可以行驶多少千米？
【答案】（1）s= （2）该轿车可以行驶875千米
【分析】（1）将a=0.1，S=700代入到函数的关系中即可求得k的值，从而确定解析式；
（2）将a=0.08代入求得的函数的解析式即可求得S的值．
【解析】（1）由题意得：a=0.1，S=700，
代入反比例函数关系中，
解得：k=Sa=70，
所以函数关系式为：；
（2）将a=0.08代入得：S==875千米，
故该矫车可以行驶875千米．
【点睛】本题考查了反比例函数的应用，解题的关键是利用反比例函数图象上的坐标特征求出k值．
25．为预防“流感病”，对教室进行“薰药消毒”．已知药物在燃烧及释放过程中，室内空气中每立方米含药量y（mg）与燃烧时间x（min）之间的关系如图所示（即图中线段OA和双曲线在A点及其右侧的部分），根据图象所示信息，解答下列问题：

(1)写出从药物释放开始，y与x之间的函数关系式及自变量的取值范围；
(2)据测定，当空气中每立方米的含药量低于2mg时，对人体无毒害作用，那么从消毒开始，至少在多长时间内，师生不能进入教室？
【答案】(1)y＝
(2)从消毒开始，师生至少在75min内不能进入教室

【分析】（1）根据题意，药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y（毫克）与时间x（分钟）成正比例；药物释放完毕后，y与x成反比例，将数据代入用待定系数法可得反比例函数的关系式；
（2）代入相关数据，进一步求解可得答案．
（1）
设反比例函数关系式为y＝．
将(25,6)代入关系式，得k＝25×6＝150，
则函数关系式为y＝．
将y＝10代入关系式，得10＝，
解得x＝15．
故A(15,10)．
∴反比例函数关系式为y＝ (x≥15)．
设正比例函数关系式为y＝nx，将A(15,10)代入上式，得n＝，
∴正比例函数关系式为y＝x(0≤x≤15)．
综上，y＝
（2）
当y＝2时，＝2，
解得x＝75．
答：从消毒开始，师生至少在75 min内不能进入教室．
【点睛】本题考查了反比例函数的应用，现实生活中存在大量成反比例函数的两个变量，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式．
26．已知反比例函数的图象经过点．
(1)试确定此反比例函数的解析式；
(2)点是坐标原点，将线段绕点顺时针旋转得到线段．判断点是否在此反比例函数的图象上，并说明理由；
(3)已知点也在此反比例函数的图象上（其中），过点作轴的垂线，交轴于点．若线段上存在一点，使得的面积是，设点的纵坐标为，求的值．
【答案】(1)
(2)点在反比例函数的图象上
(3)

【分析】（1）把点代入函数解析式，即可；
（2）过点作轴的垂线交轴于点，再根据勾股定理，求出的长，根据旋转的性质，得，，过点作轴的垂线交轴于点，求出点的坐标，代入解析式，判断点是否在此反比例函数的图象上；
（3）把点代入反比例函数的解析式，得到关于的一元二次方程；根据题意，可得点的坐标为，根据的面积是，根据三角形的面积公式及，得出的值，最后将所求的代数式变形，把的值代入，即可求出的值．
【解析】（1）∵反比例函数的图象经过点
∴
∴
∴反比例函数的解析式为：．
（2）过点作轴的垂线交轴于点
∵点
∴，
∴
∵线段绕点顺时针旋转得到线段
∴，
∵
∴
∴
∴
∴
∴
∴点
∵将代入中，得
∴点在反比例函数图象上．
（3）∵点在此反比例函数的图象上
∴
∴
∴
∵，点的纵坐标为
∴点
∵
∴
∴
∴
∵
∴
∴
∴
∴
∴
∴．

【点睛】本题考查了反比例函数与几何的综合应用，解题的关键是掌握待定系数法求解反比例函数解析式，旋转的性质，直角三角形中，所对的直角边等于斜边的一半，把看成一个整体，代入式子，进行计算．
27．直线与反比例函数图象交于A，B两点，C是第一象限内的反比例函数图象上A点右侧任意一点；

(1)如图1，求A，B两点坐标；
(2)如图2，连接，若，求点C的坐标；
(3)如图3，设直线分别与x轴相交于D，E两点，且，，求的值．
【答案】(1)；
(2)C；
(3)2

【分析】（1）当时，解方程可得点A、B的横坐标，从而得出答案；
（2）过点A作，交直线于D，过A作x轴的平行线，作于G，于H，利用证明，得，则D，利用待定系数法求出直线的解析式为，从而求出交点C的坐标；
（3）作轴于G，于H，，交的延长线于Q，设，利用平行线分线段成比例定理，即可得出答案．
【解析】（1）解：当时，
解得，
∴；
（2）解：过点A作，交直线BC于D，过A作x轴的平行线，作于G，于H，

∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴D，
∴直线的解析式为，
∴，
解得（舍去），
当时，，
∴C；
（3）解：作轴于G，于H，，交的延长线于Q，

设C，
∵，
∴，
同理得，，
∴．
【点睛】本题是反比例函数综合题，主要考查了反比例函数与一次函数交点问题，全等三角形的判定与性质，平行线分线段成比例定理等知识，利用平行线分线段成比例表示出m和n是解题的关键．
28．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与轴交于点．

(1)求，的值；
(2)直线过点，与反比例函数图象交于点，与轴交于点，，连接．求的面积；
(3)以线段为对角线做正方形（如图），点是线段（不与点、重合）上的一动点，是的中点，交于，当点在上运动时，请直接写出线段长度的取值范围．
【答案】(1)
(2)8
(3)
【分析】（1）先利用一次函数解析式求出点A的坐标，再把A的坐标代入反比例函数解析式即可得到答案；
（2）如图所示，过点C作轴于E交于F，根据中点坐标公式求出点C的纵坐标，进而求出点C的坐标和点F的坐标，再由进行求解即可；
（3）如图所示，过点A作轴于H，连接，证明，得到，求出点E的坐标为，同理可得点F的坐标为，求出直线的解析式为；证明，设， 利用勾股定理得到，推出则，求出，利用勾股定理得到，据此求解即可．
【解析】（1）解：∵一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，
∴对于函数，当时，，解得，
∴，
∴点A的坐标为，
∴；
（2）解：如图所示，过点C作轴于E交于F，
∵，
∴A为的中点，
∵点D在x轴上，点A的坐标为，
∴点C的纵坐标为6，
∴点C的横坐标为，
∴点C的坐标为，
∴点F的坐标为，
∴，
∴；

（3）解：如图所示，过点A作轴于H，连接，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，  
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵点A的坐标为，
∴点E的坐标为，  
∵直线与y轴交于B，
∴点B的坐标为，
同理可得点F的坐标为，
设直线的解析式为，
∴，
∴，
∴直线的解析式为；
∵，M是的中点，
∴是的垂直平分线，  
∴，
设，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵M是的中点，
∴，
∴


，
∵G在上（不包括B、F），  
∴，
∴，
∴，
∴．

【点睛】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，勾股定理，正方形的性质，全等三角形的性质与判定，垂直平分线的性质，正确作出辅助线是解题的关键．