专题06 函数动点之图形的存在性-2022-2023学年九年级数学上学期期末分类复习满分冲刺（苏科版）

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典例分析：
典例1
如图，抛物线y=12x2+bx+c与x轴相交于点A、B，与y轴相交于点C，其中B（6，0），C（0，﹣6）．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）点P（m，n）（0＜m＜6）在抛物线上，当m取何值时，△PBC的面积最大？并求出△PBC面积的最大值；
（3）在（2）中△PBC面积取最大值的条件下，点M是抛物线的对称轴上一点，在抛物线上确定一点N，使得以A、P、M、N为顶点的四边形是平行四边形，写出所有符合条件的点N的坐标，并写出求解点N的坐标的其中一种情况的过程．
解题思路：（1）把B（6，0），C（0，﹣6）代入y=12x2+bx+c，用待定系数法可得该抛物线的函数表达式为y=12x2−2x﹣6；
（2）过P作PQ∥y轴交BC于Q，由B（6，0），C（0，﹣6）可得直线BC解析式为y＝x﹣6，根据P（m，12m2﹣2m﹣6），Q（m，m﹣6），得PQ=−12m2+3m，即得S△PBC=12PQ•|xB﹣xC|=12（−12m2+3m）×6=−32（m﹣3）2+272，由二次函数性质得当m取3时，△PBC的面积最大，△PBC面积的最大值是272；
（3）由（2）知，m＝3，P（3，−152），由12x2−2x﹣6＝0可得A（﹣2，0），设M（2，p），N（q，12q2﹣2q﹣6），点分三种情况：①若PA，MN为对角线，则PA，MN的中点重合，有3−2=2+q−152+0=p+12q2−2q−6（线式）即中点重合，可得N（﹣1，−72），②若PM，AN为对角线，同理可得N（7，92），③若PN，AM为对角线，同理可得N（﹣3，3）．
答案详解：解：（1）把B（6，0），C（0，﹣6）代入y=12x2+bx+c得：
12×36+6b+c=0c=−6，
解得b=−2c=−6，
∴该抛物线的函数表达式为y=12x2−2x﹣6；
（2）过P作PQ∥y轴交BC于Q，如图：
由B（6，0），C（0，﹣6）可得直线BC解析式为y＝x﹣6，
∵n=12m2﹣2m﹣6，
∴P（m，12m2﹣2m﹣6），则Q（m，m﹣6），（点）
∴PQ＝（m﹣6）﹣（12m2﹣2m﹣6）=−12m2+3m，（线）
∴S△PBC=12PQ•|xB﹣xC|=12（−12m2+3m）×6=−32m2+9m=−32（m﹣3）2+272，（式）
∵−32＜0，
∴m＝3时，S△PBC取最大值，最大值为272，
∴当m＝3时，△PBC的面积最大，△PBC面积的最大值是272；
（3）由（2）知，m＝3，P（3，−152），
由12x2−2x﹣6＝0得x1＝﹣2，x2＝6，
∴A（﹣2，0），点
抛物线y=12x2−2x﹣6的对称轴是直线x=−−22×12=2，
设M（2，p），N（q，12q2﹣2q﹣6），点
若PA，MN为对角线，则PA，MN的中点重合，
∴3−2=2+q−152+0=p+12q2−2q−6，（线式）即中点重合
解得p=−4q=−1，
∴N（﹣1，−72），
②若PM，AN为对角线，同理可得p=12q=7，
∴N（7，92），
③若PN，AM为对角线，同理可得p=−3q=−3，
∴N（﹣3，3），
综上所述，点N的坐标为（﹣1，−72）或（7，92）或（﹣3，3）．
典例2
如图，已知直线y＝﹣2x+4与x轴、y轴分别相交于A、C两点，抛物线y＝﹣2x2+bx+c经过点A、C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）设抛物线的顶点为P，在抛物线上存在点Q，使△ABQ的面积等于△APC面积的4倍．求出点Q的坐标；
（3）点M是直线y＝﹣2x+4上的动点，过点M作ME垂直x轴于点E，在y轴（原点除外）上是否存在点F，使△MEF为等腰直角三角形？若存在，求出点F的坐标及对应的点M的坐标；若不存在，请说明理由．
试题分析：（1）根据直线y＝﹣2x+4求出点A、C的坐标，再利用待定系数法求二次函数解析式解答即可；
（2）根据抛物线解析式求出点P的坐标，过点P作PD⊥y轴于D，根据点P、C的坐标求出PD、CD，然后根据S△APC＝S梯形APDO﹣S△AOC﹣S△PCD，列式求出△APC的面积，再根据抛物线解析式求出点B的坐标，从而得到AB的长度，然后利用三角形的面积公式求出△ABQ的点Q的纵坐标的值，然后代入抛物线求解即可得到点Q的坐标；
（3）根据点E在x轴上，根据点M在直线y＝﹣2x+4上，设点M的坐标为（a，﹣2a+4），然后分①∠EMF＝90°时，利用点M到坐标轴的距离相等列式求解即可；②∠MFE＝90°时，根据等腰直角三角形的性质，点M的横坐标的长度等于纵坐标长度的一半，然后列式进行计算即可得解．
答案详解：解：（1）令x＝0，则y＝4，
令y＝0，则﹣2x+4＝0，解得x＝2，
所以，点A（2，0），C（0，4），
∵抛物线y＝﹣2x2+bx+c经过点A、C，
∴−2×4+2b+c=0c=4，
解得b=2c=4，
∴抛物线的解析式为：y＝﹣2x2+2x+4；
（2）∵y＝﹣2x2+2x+4＝﹣2（x−12）2+92，
∴点P的坐标为（12，92），
如图，过点P作PD⊥y轴于D，
又∵C（0，4），点
∴PD=12，CD=92−4=12，线
∴S△APC＝S梯形APDO﹣S△AOC﹣S△PCD
=12×（12+2）×92−12×2×4−12×12×12 式
=458−4−18
=32，
令y＝0，则﹣2x2+2x+4＝0，
解得x1＝﹣1，x2＝2，
∴点B的坐标为（﹣1，0），
∴AB＝2﹣（﹣1）＝3，
设△ABQ的边AB上的高为h，
∵△ABQ的面积等于△APC面积的4倍，
∴12×3h＝4×32，
解得h＝4，
∵4＜92，
∴点Q可以在x轴的上方也可以在x轴的下方，
即点Q的纵坐标为4或﹣4，
当点Q的纵坐标为4时，﹣2x2+2x+4＝4，
解得x1＝0，x2＝1，
此时，点Q的坐标为（0，4）或（1，4），
当点Q的纵坐标为﹣4时，﹣2x2+2x+4＝﹣4，
解得x1=1+172，x2=1−172，
此时点Q的坐标为（1+172，﹣4）或（1−172，﹣4），
综上所述，存在点Q（0，4）或（1，4）或（1+172，﹣4）或（1−172，﹣4）；
（3）存在．
理由如下：如图，∵点M在直线y＝﹣2x+4上，
∴设点M的坐标为（a，﹣2a+4），点
∠EMF＝90°时，∵△MEF是等腰直角三角形，
∴|a|＝|﹣2a+4|，线式
即a＝﹣2a+4或a＝﹣（﹣2a+4），
解得a=43或a＝4，
∴点F坐标为（0，43）时，点M的坐标为（43，43），
点F坐标为（0，﹣4）时，点M的坐标为（4，﹣4）；
∠MFE＝90°时，∵△MEF是等腰直角三角形，
∴|a|=12|﹣2a+4|，线式
即a=12（﹣2a+4），
解得a＝1，
﹣2a+4＝2×1＝2，
此时，点F坐标为（0，1），点M的坐标为（1，2），
或a=−12（﹣2a+4），
此时无解，
综上所述，点F坐标为（0，43）时，点M的坐标为（43，43），
点F坐标为（0，﹣4）时，点M的坐标为（4，﹣4）；
点F坐标为（0，1），点M的坐标为（1，2）．
实战训练
一．相似三角形的存在性
1．如图，O是坐标原点，过点A（﹣1，0）的抛物线y＝x2﹣bx﹣3与x轴的另一个交点为B，与y轴交于点C，其顶点为D点．
（1）求b的值以及点D的坐标；
（2）连接BC、BD、CD，在x轴上是否存在点P，使得以A、C、P为顶点的三角形与△BCD相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．
试题分析：（1）根据待定系数法，可得函数解析式，根据配方法，可得顶点坐标；
（2）根据相似三角形的性质，可得AP的长，根据线段的和差，可得P点坐标．
答案详解：解：（1）把A（﹣1，0）代入y＝x2﹣bx﹣3，得1+b﹣3＝0，
解得b＝2．y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴D（1，﹣4）．
（2）如图，当y＝0时，x2﹣2x﹣3＝0，
解得x1＝﹣1，x2＝3，即A（﹣1，0），B（3，0），D（1，﹣4）．
由勾股定理，得BC2＝18，CD2＝1+1＝2，BD2＝22+16＝20，BC2+CD2＝BD2，∠BCD＝90°，
①当△APC∽△DCB时，APCD=CPBC，即AP2=332，解得AP＝1，即P（0，0）．
②当△ACP∽△DCB时，APBD=ACCD，即AP25=102，解得AP＝10，即P′（9，0）．
综上所述：点P的坐标（0，0）（9，0）．
二．平行四边形的的存在性
2．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象交坐标轴于A（﹣1，0）、B（4，0）、C三点，且OB＝OC，点P是抛物线上的一个动点．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）若点P在直线BC下方，P运动到什么位置时，四边形PBOC面积最大？求出此时点P的坐标和四边形PBOC的最大面积；
（3）直线BC上是否存在一点Q，使得以点A、B、P、Q组成的四边形是平行四边形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
试题分析：（1）由B（4，0），且OB＝OC，得C（0，﹣4），设二次函数的解析式为y＝ax2+bx+c，用待定系数法可得二次函数的解析式为y＝x2﹣3x﹣4；
（2）设P（t，t2﹣3t﹣4），过P作PE⊥x轴于点E，交直线BC于点F，由B（4，0），C（0，﹣4），得直线BC解析式为y＝x﹣4，S△BOC=12OB•OC=12×4×4＝8，当S△PBC最大时，四边形PBOC的面积最大，而S△PBC＝S△PFC+S△PFB=12PF•OE+12PF•BE=12PF•（OE+BE）=12PF•OB＝﹣2（t﹣2）2+8，由二次函数性质得当P点坐标为（2，﹣6）时，四边形PBOC的最大面积为16；
（3）设P（m，m2﹣3m﹣4），Q（n，n﹣4），而A（﹣1，0），B（4，0），分三种情况：①若AB，PQ为平行四边形对角线，则AB，PQ的中点重合，m+n=−1+4m2−3m−4+n−4=0+0，得Q（﹣2，﹣6）；②AP，BQ为对角线，m−1=n+4m2−3m−4=n−4，方程组无实数解；③AQ，BP为对角线，n−1=m+4n−4=m2−3m−4，得Q（10，6）．
答案详解：解：（1）∵B（4，0），且OB＝OC，
∴C（0，﹣4），
设二次函数的解析式为y＝ax2+bx+c，把A（﹣1，0）、B（4，0）、C（0，﹣4）代入得：
a−b+c=016a+4b+c=0c=−4，
解得a=1b=−3c=−4，
∴二次函数的解析式为y＝x2﹣3x﹣4；
（2）∵点P在抛物线上，
∴可设P（t，t2﹣3t﹣4），
过P作PE⊥x轴于点E，交直线BC于点F，如图：
∵B（4，0），C（0，﹣4），
∴直线BC解析式为y＝x﹣4，S△BOC=12OB•OC=12×4×4＝8，
∴F（t，t﹣4），当S△PBC最大时，四边形PBOC的面积最大，
∴PF＝（t﹣4）﹣（t2﹣3t﹣4）＝﹣t2+4t，
∴S△PBC＝S△PFC+S△PFB=12PF•OE+12PF•BE=12PF•（OE+BE）=12PF•OB=12（﹣t2+4t）×4＝﹣2（t﹣2）2+8，
∴当t＝2时，S△PBC最大值为8，此时t2﹣3t﹣4＝﹣6，
∴当P点坐标为（2，﹣6）时，S△PBC＝8，
故此时四边形PBOC的最大面积，四边形PBOC的最大面积为S△BOC+S△PBC＝8+8＝16；
（3）直线BC上存在一点Q，使得以点A、B、P、Q组成的四边形是平行四边形，理由如下：
设P（m，m2﹣3m﹣4），Q（n，n﹣4），而A（﹣1，0），B（4，0），
①若AB，PQ为平行四边形对角线，则AB，PQ的中点重合，
∴m+n=−1+4m2−3m−4+n−4=0+0，
解得m=−1n=4（此时Q与B重合，舍去）或m=5n=−2，
∴Q（﹣2，﹣6）；
②AP，BQ为对角线，
m−1=n+4m2−3m−4=n−4，
方程组无实数解；
③AQ，BP为对角线，
n−1=m+4n−4=m2−3m−4，
解得m=−1n=4（此时P与A重合，舍去）或m=5n=10，
∴Q（10，6），
综上所述，Q的坐标为（﹣2，﹣6）或（10，6）．
3．如图，抛物线y＝ax2+2x﹣3a经过A（1，0），B（b，0），C（0，c）三点，交y轴于点C．
（1）求a、b的值；
（2）在抛物线对称轴上找一点P，使PA+PC的值最小时，求三角形OPC的面积；
（3）点M为轴上一动点，抛物线上是否存在一点N，使以A，C，M，N四点构成的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
试题分析：（1）将A（1，0）代入y＝ax2+2x﹣3a，求出a的值，确定函数的解析式后，再将B点和C点代入解析式即可求b、c的值；
（2）根据抛物线的对称轴可知当B、C、P三点共线时，PA+PC有最小值，直线BC与对称轴的交点即为P点，求出P点坐标再求△OPC 的面积即可；
（3）设M（x，0），N（t，t2+2t﹣3），分三种情况讨论：①当AC为平行四边形的对角线时；②当AM为平行四边形的对角线时；③当AN为平行四边形的对角线时；根据平行四边形的对角线互相平分，利用中点坐标公式求解即可．
答案详解：解：（1）将A（1，0）代入y＝ax2+2x﹣3a，
∴a+2﹣3a＝0，
解得a＝1，
∴y＝x2+2x﹣3，
将B（b，0）代入y＝x2+2x﹣3，
∴b2+2b﹣3＝0，
解得b＝1（舍）或b＝﹣3，
将C（0，c）代入y＝x2+2x﹣3，
∴c＝3；
（2）∵y＝x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4，
∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，
∵A点与B点关于对称轴对称，
∴PA＝PB，
∴PA+PC＝PB+PC≥BC，
∴当B、C、P三点共线时，PA+PC有最小值，
设BC的直线解析式为y＝kx+m，
∴−3k+m=0m=−3，
解得k=−1m=−3，
∴y＝﹣x﹣3，
∴P（﹣1，﹣2），
∴S△OPC=12×1×3=32；
（3）存在点N，使以A，C，M，N四点构成的四边形为平行四边形，理由如下：
设M（x，0），N（t，t2+2t﹣3），
①当AC为平行四边形的对角线时，
1=x+t−3=t2+2t−3，
解得x=1t=0（舍）或x=3t=−2，
∴N（﹣2，﹣3）；
②当AM为平行四边形的对角线时，
1+x=t−3+t2+2t−3=0，
解得x=−2+7t=−1+7或x=−2−7t=−1−7，
∴N（﹣1+7，7﹣47）或（﹣1−7，7+47）；
③当AN为平行四边形的对角线时，
1+t=xt2+2t−3=−3，
解得x=1t=0（舍）或x=−1t=−2，
∴N（﹣2，﹣3）；
综上所述：N点坐标为（﹣2，﹣3）或（﹣1+7，7﹣47）或（﹣1−7，7+47）．
三．等腰三角形的存在性
4．如图，已知抛物线y=12x2+3x﹣8的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的右侧），与y轴交于点C．
（1）求直线BC的解析式；
（2）点F是直线BC下方抛物线上的一点，当△BCF的面积最大时，在抛物线的对称轴上找一点P，使得△BFP的周长最小，请求出点F的坐标和点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，是否存在这样的点Q（0，m），使得△BFQ为等腰三角形？如果有，请直接写出点Q的坐标；如果没有，请说明理由．
试题分析：（1）利用待定系数法求出B、C两点坐标即可解决问题；
（2）如图1中，作FN∥y轴交BC于N．设F（m，12m2+3m﹣8），则N（m，﹣m﹣8），构建二次函数，利用二次函数的性质求出点F坐标，因为点B关于对称轴的对称点是A，连接AF交对称轴于P，此时△BFP的周长最小，求出直线AF的解析式即可解决问题；
（3）如图2中，分三种情形①当FQ1＝FB时，Q1（0，0）．②当BF＝BQ时，易知Q2（0，﹣46），Q3（0，46）．③当Q4B＝Q4F时，设Q（0，m），构建方程即可解决问题；
答案详解：解：（1）对于抛物线y=12x2+3x﹣8，
令y＝0，得到12x2+3x﹣8＝0，解得x＝﹣8或2，
∴B（﹣8，0），A（2，0），
令x＝0，得到y＝﹣8，
∴A（2，0），B（﹣8，0），C（0，﹣8），
设直线BC的解析式为y＝kx+b，则有b=−8−8k+b=0，
解得k=−1b=−8，
∴直线BC的解析式为y＝﹣x﹣8．
（2）如图1中，作FN∥y轴交BC于N．设F（m，12m2+3m﹣8），则N（m，﹣m﹣8）
∴S△FBC＝S△FNB+S△FNC=12•FN×8＝4FN＝4[（﹣m﹣8）﹣（12m2+3m﹣8）]＝﹣2m2﹣16m＝﹣2（m+4）2+32，
∴当m＝﹣4时，△FBC的面积有最大值，
此时F（﹣4，﹣12），
∵抛物线的对称轴x＝﹣3，
点B关于对称轴的对称点是A，连接AF交对称轴于P，此时△BFP的周长最小，
设直线AF的解析式为y＝ax+b，则有2a+b=0−4a+b=−12，
解得k=2b=−4，
∴直线AF的解析式为y＝2x﹣4，
∴P（﹣3，﹣10），
∴点F的坐标和点P的坐标分别是F（﹣4，﹣12），P（﹣3，﹣10）．
（3）如图2中，
∵B（﹣8，0），F（﹣4，﹣12），
∴BF=42+122=410，
①当FQ1＝FB时，Q1（0，0）或（0，﹣24）（虽然FB＝FQ，但是B、F、Q三点一线应该舍去）．
②当BF＝BQ时，易知Q2（0，﹣46），Q3（0，46）．
③当Q4B＝Q4F时，设Q4（0，m），
则有82+m2＝42+（m+12）2，
解得m＝﹣4，
∴Q4（0，﹣4），
∴Q点坐标为（0，0）或（0，46）或（0，﹣46）或（0，﹣4）．
5．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2+bx﹣8与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，直线l经过坐标原点O，与抛物线的一个交点为D，与抛物线的对称轴交于点E，连接CE，已知点A，D的坐标分别为（﹣2，0），（6，﹣8）．
（1）求抛物线的函数表达式，并分别求出点B和点E的坐标；
（2）试探究抛物线上是否存在点F（不与点C重合），使|FC﹣FE|的值最大，若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）若点P是y轴负半轴上的一个动点，设其坐标为（0，m），直线PB与直线l交于点Q．试探究：当m为何值时，△OPQ是等腰三角形．
试题分析：（1）根据待定系数法求出抛物线解析式即可求出点B坐标，求出直线OD解析式即可解决点E坐标；
（2）当点F为直线CE与抛物线交点时（不与点C重合），FC﹣FE＝CE，此时|FC﹣FE|值最大．求出直线CE解析式为y=43x﹣8，联立抛物线的表达式为y=12x2﹣3x﹣8，即可求解；
（3）①如图1中，当OP＝OQ时，△OPQ是等腰三角形，过点E作直线ME∥PB，交y轴于点M，交x轴于点H，求出点M、H的坐标即可解决问题．②如图2中，当QO＝QP时，△POQ是等腰三角形，先证明CE∥PQ，根据平行线的性质列出方程即可解决问题．
答案详解：解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx﹣8经过点A（﹣2，0），D（6，﹣8），
∴4a−2b−8=036a+6b−8=−8，解得a=12b=−3，
∴抛物线解析式为y=12x2﹣3x﹣8，
∵y=12x2﹣3x﹣8=12（x﹣3）2−252，
∴抛物线对称轴为直线x＝3，
又∵抛物线与x轴交于点A、B两点，点A坐标（﹣2，0），
∴点B坐标（8，0）．
设直线l的解析式为y＝kx，
∵经过点D（6，﹣8），
∴6k＝﹣8，
∴k=−43，
∴直线l的解析式为y=−43x，
∵点E为直线l与抛物线对称轴的交点，
∴点E的横坐标为3，纵坐标为−43×3＝﹣4，
∴点E坐标（3，﹣4）；
（2）抛物线上存在点F，连接FC，FE．则有|FC﹣FE|≤CE．
当点F为直线CE与抛物线交点时（不与点C重合），FC﹣FE＝CE，此时|FC﹣FE|值最大．
设直线CE解析式为y＝kx﹣8，点E的坐标为（3，﹣4），
∴3k﹣8＝﹣4，
∴k=43，
∴直线CE解析式为y=43x﹣8，
∵抛物线的表达式为y=12x2﹣3x﹣8，
联立解得，x1=0y1=−8（舍去），x2=263y2=329，
∴点F为直线CE与抛物线交点时（不与点C重合），|FC﹣FE|值最大．此时F(263，329)；
（3）①如图1，当OP＝OQ时，△OPQ是等腰三角形．
∵点E坐标（3，﹣4），
∴OE=32+42=5，过点E作直线ME∥PB，交y轴于点M，交x轴于点H．
∴OMOP=OEOQ，
∴OM＝OE＝5，
∴点M坐标（0，﹣5）．
设直线ME的解析式为y＝k1x﹣5，
∴3k1﹣5＝﹣4，
∴k1=13，
∴直线ME解析式为y=13x﹣5，
令y＝0，得13x﹣5＝0，解得x＝15，
∴点H坐标（15，0），
∵MH∥PB，
∴OPOM=OBOH，即−m5=815，
∴m=−83，
②如图2，当QO＝QP时，△POQ是等腰三角形．
∵当x＝0时，y=12x2﹣3x﹣8＝﹣8，
∴点C坐标（0，﹣8），
∴CE=32+(8−4)2=5，
∴OE＝CE，
∴∠1＝∠2，
∵QO＝QP，
∴∠1＝∠3，
∴∠2＝∠3，
∴CE∥PB，
设直线CE交x轴于N，解析式为y＝k2x﹣8，
∴3k2﹣8＝﹣4，
∴k2=43，
∴直线CE解析式为y=43x﹣8，
令y＝0，得43x﹣8＝0，
∴x＝6，
∴点N坐标（6，0），
∵CN∥PB，
∴OPOC=OBON，
∴−m8=86，
∴m=−323．
③OP＝PQ时，显然不可能，理由，
∵D（6，﹣8），
∴∠1＜∠BOD，
∵∠OQP＝∠BOQ+∠ABP，
∴∠PQO＞∠1，
∴OP≠PQ，
综上所述，当m=−83或−323时，△OPQ是等腰三角形．
四．等腰直角三角形的存在性
6．在平面直角坐标系中，直线y=12x﹣2与x轴交于点B，与y轴交于点C，二次函数y=12x2+bx+c的图象经过B，C两点，且与x轴的负半轴交于点A．
（1）直接写出：b的值为 −32 ；c的值为 ﹣2 ；点A的坐标为 （﹣1，0） ；
（2）点M是线段BC上的一动点，动点D在直线BC下方的二次函数图象上．设点D的横坐标为m．
①如图1，过点D作DM⊥BC于点M，求线段DM关于m的函数关系式，并求线段DM的最大值；
②若△CDM为等腰直角三角形，直接写出点M的坐标 1 ．
试题分析：（1）直线y=12x﹣2与x轴交于点B，与y轴交于点C，则点B、C的坐标为：（4，0）、（0，﹣2），即可求解；
（2）①MD＝DHcs∠MDH=55（12m﹣2−12m2+32m+2）=55（﹣m2+4m），即可求解；②分∠CDM＝90、∠MDC＝90°、∠MCD＝90°三种情况，分别求解即可．
答案详解：解：（1）直线y=12x﹣2与x轴交于点B，与y轴交于点C，
则点B、C的坐标为：（4，0）、（0，﹣2），
将点B、C的坐标代入抛物线表达式并解得：b=−32，c＝﹣2，
故抛物线的表达式为：y=12x2−32x﹣2…①，点A（﹣1，0）；
所以答案是：−32，﹣2，（﹣1，0）；
（2）①如图1，过点D作y轴的平行线交BC于点H，
设点D（m，12m2−32m﹣2），点H（m，12m﹣2），
则∠MDH＝∠OBC＝α，tan∠OBC=12=tanα，则csα=255；
MD＝DHcs∠MDH=255（12m﹣2−12m2+32m+2）=255（﹣m2+4m），
∵255＜0，故DM有最大值455；
设点M、D的坐标分别为：（s，12s﹣2），（m，n），n=12m2−32m﹣2；
②（Ⅰ）当∠CMD＝90°时，如图2左图，
过点M作x轴的平行线交过点D于x轴的垂线于点F，交y轴于点E，
则△MEC≌△DFM（AAS），
∴ME＝FD，MF＝CE，
即s=12s﹣2﹣n，m﹣s=12s﹣2+2，
解得：s=149，
故点M（149，−119）；
（Ⅱ）当∠MDC＝90°时，如图2右图，
同理可得：s=289，
故点M（289，−49）；
（Ⅲ）当∠MCD＝90°时，
则直线CD的表达式为：y＝﹣2x﹣2…②，
联立①②并解得：x＝0或﹣1，
故点D（﹣1，0），不在线段BC的下方，舍去；
综上，点M坐标为：（149，−119）或（289，−49）．
五．菱形的的存在性
7．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），B（3，0），与y轴交于点C，作直线BC，点P是抛物线在第四象限上一个动点（点P不与点B，C重合），连结PB，PC，以PB，PC为边作▱CPBD，点P的横坐标为m．
（1）求抛物线对应的函数表达式；
（2）当▱CPBD有两个顶点在x轴上时，点P的坐标为 （2，﹣3） ；
（3）当▱CPBD是菱形时，求m的值．
试题分析：（1）利用交点式求抛物线的解析式；
（2）先确定点D在x轴上，再利用平行四边形的性质可判断PC∥x轴，然后根据抛物线的对称性确定点P的坐标；
（3）根据菱形的性质得PB＝PC，利用勾股定理即可求解．
答案详解：解：（1）∵抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），B（3，0），
∴抛物线的解析式为y＝（x+1）（x﹣3），
即y＝x2﹣2x﹣3；
（2）∵抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3，
令x＝0，则y＝﹣3，
∴C（0，﹣3），
∵▱CPBD有两个顶点在x轴上，
∴点D在x轴上，
而BD∥PC，
∴点P和点C为抛物线上的对称点，
而抛物线的对称轴为直线x=−−22×1=1，
∴点P的坐标为（2，﹣3），
所以答案是：（2，﹣3）；
（3）∵抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3，点P的横坐标为m．
∴P（m，m2﹣2m﹣3），
∵▱CPBD是菱形，
∴PB＝PC，
∴m2+（m2﹣2m﹣3+3）2＝（3﹣m）2+（m2﹣2m﹣3）2，
整理得m2﹣m﹣3＝0，解得m=1±132，
∵点P是抛物线在第四象限上一个动点，
∴m＞0，
∴m的值1+132．
8．如图，已知抛物线y＝mx2+4x+n与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C．直线y＝x﹣3经过B，C两点．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）抛物线的顶点为M，在该抛物线的对称轴l上是否存在点P，使得以C，M，P为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
试题分析：（1）求出B、C点坐标，再由待定系数法求函数的解析式即可；
（2）设P（2，t），分别求出MP＝|t﹣1|，MC＝25，CP=4+(t+3)2，再分三种情况讨论：①当MP＝MC时，②当MP＝CP时，|③当MC＝CP时，分别求出t的值即可求解．
答案详解：解：（1）y＝x﹣3中，令x＝0，则y＝﹣3，
∴C（0，﹣3），
令y＝0，则x＝3，
∴B（3，0），
将C（0，﹣3），B（3，0）代入y＝mx2+4x+n中，
∴n=−39m+12+n=0，
解得m=−1n=−3，
∴y＝﹣x2+4x﹣3；
（2）存在点P，使得以C，M，P为顶点的三角形是等腰三角形，理由如下：
∵y＝﹣x2+4x﹣3＝﹣（x﹣2）2+1，
∴M（2，1），对称轴为直线x＝2，
设P（2，t），
∴MP＝|t﹣1|，MC＝25，CP=4+(t+3)2，
①当MP＝MC时，|t﹣1|＝25，
∴t＝25+1或t＝﹣25+1，
∴P（2，25+1）或（2，﹣25+1）；
②当MP＝CP时，|t﹣1|=4+(t+3)2，
解得t=−32，
∴P（2，−32）；
③当MC＝CP时，25=4+(t+3)2，
解得t＝1（舍）或t＝﹣7，
∴P（2，﹣7）；
综上所述：P点坐标为（2，25+1）或（2，﹣25+1）或（2，−32）或（2，﹣7）．
六．直角三角形的的存在性
9．已知抛物线y＝a（x﹣t﹣1）2+t2（a，t是常数，a≠0，t≠0）的顶点是A，抛物线y＝x2﹣2x+1的顶点是B．
（1）判断点A是否在抛物线y＝x2﹣2x+1上，为什么？
（2）如果抛物线y＝a（x﹣t﹣1）2+t2经过点B，
①求a的值；
②这条抛物线与x轴的两个交点和它的顶点A能否构成直角三角形？若能，求出t的值；若不能，请说明理由．
试题分析：（1）可将A点的坐标代入抛物线y＝x2﹣2x+1中，即可判断出A点是否在这条抛物线上．
（2）①先根据抛物线y＝x2﹣2x+1得出B点的坐标，然后将B点的坐标代入抛物线y＝a（x﹣t﹣1）2+t2中即可求出a的值．
②可先根据①得出的抛物线的解析式来求出抛物线与x轴两交点的坐标，然后求出这两点之间和这两点与A之间的线段的长度，由于A在这两交点的垂直平分线上，因此只有一种情况，即A为此等腰三角形的直角顶点，因此可根据勾股定理求出t的值．
答案详解：解：（1）由题意可知：A点的坐标为（t+1，t2），将A点的坐标代入抛物线y＝x2﹣2x+1中可得：（t+1）2﹣2（t+1）+1＝t2+2t+1﹣2t﹣2+1＝t2；
因此A点在抛物线y＝x2﹣2x+1上．
（2）①由题意可知：B点坐标为（1，0）．则有：
0＝a（1﹣t﹣1）2+t2，即at2+t2＝0，因此a＝﹣1．
②根据①可知：抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣t﹣1）2+t2；
当y＝0时，﹣（x﹣t﹣1）2+t2＝0，解得x＝1或x＝2t+1
设抛物线与x轴的交点为M，N，那么M点的坐标为（1，0），N点的坐标为（2t+1，0）
因此：AM2＝t2+t4，AN2＝t2+t4，MN2＝4t2
当△AMN是直角三角形时，AM2+AN2＝MN2
即（t2+t4）×2＝4t2
解得t1＝1或t2＝﹣1
因此能构成直角三角形，此时t的值为1或﹣1．
10．如图，已知二次函数y=49x2﹣4的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，⊙C的半径为5，P为⊙C上一动点．
（1）点B，C的坐标分别为B（ 3，0 ），C（ 0，﹣4 ）；
（2）是否存在点P，使得△PBC为直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）连接PB，若E为PB的中点，连接OE，则OE的最大值＝ 5+52 ．
试题分析：（1）在抛物线解析式中令y＝0可求得B点坐标，令x＝0可求得C点坐标；
（2）①当PB与⊙相切时，△PBC为直角三角形，如图1，连接BC，根据勾股定理得到BC＝5，BP2＝25，过P2作P2E⊥x轴于E，P2F⊥y轴于F，根据相似三角形的性质得到P2FP2E=CP2BP2=12，设OC＝P2E＝2x，FP2＝OE＝x，得到BE＝3﹣x，CF＝2x﹣4，于是得到FP2=115，EP2=225，求得P2（115，−225），过P1作P1G⊥x轴于G，P1H⊥y轴于H，同理求得P1（﹣1，﹣2），②当BC⊥PC时，△PBC为直角三角形，根据相似三角形的判定和性质即可得到结论；
（3）如图3中，连接AP，根据OB＝OA，BE＝EP，推出OE=12AP，可知当AP最大时，OE的值最大，
答案详解：解：（1）在y=49x2﹣4中，令y＝0，则x＝±3，令x＝0，则y＝﹣4，
∴B（3，0），C（0，﹣4）；
所以答案是：3，0；0，﹣4；
（2）存在点P，使得△PBC为直角三角形，
①当PB与⊙相切时，△PBC为直角三角形，如图（2）a，
连接BC，
∵OB＝3．OC＝4，
∴BC＝5，
∵CP2⊥BP2，CP2=5，
∴BP2＝25，
过P2作P2E⊥x轴于E，P2F⊥y轴于F，
则△CP2F∽△BP2E，
∴P2FP2E=CP2BP2=12，
设OF＝P2E＝2x，FP2＝OE＝x，
∴BE＝3﹣x，CF＝2x﹣4，
∴BECF=3−x2x−4=2，
∴x=115，2x=225，
∴FP2=115，EP2=225，
∴P2（115，−225），
过P1作P1G⊥x轴于G，P1H⊥y轴于H，
同理求得P1（﹣1，﹣2），
②当BC⊥PC时，△PBC为直角三角形，
过P4作P4H⊥y轴于H，
则△BOC∽△CHP4，
∴CHOB=P4HOC=P4CBC=55，
∴CH=355，P4H=455，
∴P4（455，−355−4）；
同理P3（−455，355−4）；
综上所述：点P的坐标为：（﹣1，﹣2）或（115，−225）或（455，−355−4）或（−455，355−4）；
（3）如图（3），连接AP，∵OB＝OA，BE＝EP，
∴OE=12AP，
∴当AP最大时，OE的值最大，
∵当P在AC的延长线上时，AP的值最大，最大值＝5+5，
∴OE的最大值为5+52
所以答案是：5+52．