【期末满分冲刺】2022-2023学年 北师大版数学九年级上学期-特训01 几何篇-选填题（第1、4章）

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特训01 几何篇-期中选填题（第1、4章）
基础特训练

特训第一阶——基础特训练
一、单选题
1．下列说法错误的是（　　）
A．平行四边形的对角相等 B．矩形的对角线平分一组对角
C．四条边都相等的四边形是菱形 D．有一角是直角的菱形是正方形
【答案】B
【分析】根据平行四边形的性质、矩形的性质、菱形的判定、正方形的判定定理判断即可．
【解析】解：A、平行四边形的对角相等，选项说法正确，不符合题意；
B、菱形的对角线平分一组对角，选项说法错误，符合题意；
C、四条边都相等的四边形是菱形，选项说法正确，故不符合题意；
D、有一角是直角的菱形是正方形，选项说法正确，故不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了正方形的判定、平行四边形的性质、菱形的判定及矩形的性质，解题的关键是能够熟练掌握有关的判定定理，难度不大．
2．如图，矩形ABCD中，AB＝2BC，点E在CD上，AE＝AB，则∠ABE的度数为（　　）

A．60° B．70° C．72° D．75°
【答案】D
【分析】根据已知和矩形性质可得∠D=90°，AD=BC，CD∥AB，进而证得∠BAE=∠AED=30°，根据等腰三角形的性质求解即可．
【解析】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D=90°，AD=BC，CD∥AB，
∵AB=2BC，AE=AB，
∴AE=2AD，
∴∠AED=30°，
∵CD∥AB，
∴∠BAE=∠AED=30°，又AE=AB，
∴∠ABE=（180°－∠BAE）÷2=（180°－30°）÷2=75°，
故选：D．
【点睛】本题考查矩形的性质、含30°角的直角三角形、等腰三角形的性质、平行线的性质，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键．
3．平行四边形、矩形、菱形、正方形共有的性质是（    ）
A．对角线互相平分 B．对角线相等 C．对角线互相垂直 D．对角线互相垂直平分
【答案】A
【分析】平行四边形、矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四边形，因而平行四边形的性质就是四个图形都具有的性质．
【解析】解：平行四边形的对角线互相平分，而对角线相等、平分一组对角、互相垂直不一定成立．
故平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的性质是：对角线互相平分．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了正方形、矩形、菱形、平行四边形的性质，理解四个图形之间的关系是解题关键．
4．如图，矩形ABCD中，DE⊥AC于E，若∠ADE＝2∠EDC，则∠BDE的度数为（    ）

A．36° B．30° C．27° D．18°
【答案】B
【分析】根据已知条件可得以及的度数，然后求出各角的度数便可求出．
【解析】解：在矩形ABCD中，，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
故选：B．
【点睛】题目主要考查矩形的性质，三角形内角和及等腰三角形的性质，理解题意，综合运用各个性质是解题关键．
5．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD的长分别为6和8，O为AC、BD的交点，H为AB上的中点，则OH的长度为（    ）

A．3 B．4 C．2.5 D．5
【答案】C
【分析】根据菱形的性质求得边长，进而根据三角形中位线定理求得的长度．
【解析】∵四边形ABCD是菱形，
∴AO＝OC，OB＝OD，AO⊥BO，
又∵点H是AD中点，
∴OH是△DAB的中位线，
在Rt△AOB中，AB5，
则OHAB=2.5
故选C
【点睛】本题考查了菱形的性质，三角形中位线定理，求得的长是解题的关键．
6．如图，点P是正方形ABCD的对角线BD上的一点，且BP＝BC，则∠PCD的度数是（　　）

A．22.5° B．45° C．60° D．67.5°
【答案】A
【分析】根据正方形的性质和等腰三角形的性质，以及三角形内角和定理即可求得
【解析】四边形ABCD是正方形
,
BP＝BC


故选A
【点睛】本题考查了正方形的性质和等腰三角形的性质，以及三角形内角和定理，是解题的关键．
7．如图，在△ABC中，点E、D、F分别在边AB、BC、CA上，且DE∥CA，DF∥BA．下列四个判断中，不正确的是（    ）

A．四边形AEDF是平行四边形
B．如果∠BAC＝90°，那么四边形AEDF是矩形
C．如果AD平分∠BAC，那么四边形AEDF是菱形
D．如果AD⊥BC且BD＝CD，那么四边形AEDF是正方形
【答案】D
【分析】由DE∥CA，DF∥BA，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可得四边形AEDF是平行四边形，据此可以判断A正确，又有∠BAC＝90°，根据有一角是直角的平行四边形是矩形，可得四边形AEDF是矩形；故可以判断B选项，如果AD平分∠BAC，那么∠EAD＝∠FAD，又有DF∥BA，可得∠EAD＝∠ADF，进而知∠FAD＝∠ADF，AF＝FD，那么根据邻边相等的平行四边形是菱形，可得四边形AEDF是菱形；如果AD⊥BC且当AB＝AC时，那么AD平分∠BAC，则可得四边形AEDF是菱形，故知D选项不正确．
【解析】解：由DE∥CA，DF∥BA，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可得四边形AEDF是平行四边形；
又有∠BAC＝90°，根据有一角是直角的平行四边形是矩形，可得四边形AEDF是矩形．故A、B正确；
如果AD平分∠BAC，那么∠EAD＝∠FAD，又有DF∥BA，可得∠EAD＝∠ADF，
∴∠FAD＝∠ADF，
∴AF＝FD，那么根据邻边相等的平行四边形是菱形，可得四边形AEDF是菱形，故C正确；
如果AD⊥BC且AB＝AC，那么AD平分∠BAC，可得四边形AEDF是菱形．只有AD⊥BC，不能判断四边形AEDF是正方形，故D选项错误．
故选：D．
【点睛】本题考查平行四边形、矩形及菱形的判定，具体选择哪种方法需要根据已知条件来确定，此题是道基础概念题，需要熟练掌握特殊四边形的判定定理．
8．如图，在正方形ABCD中，将边BC绕点B逆时针旋转至BC'，连接CC'，DC'，若∠CC'D = 90°，BC'=，则线段C'D的长度为（  ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】过点B作BE⊥CC'于点E，根据正方形的性质可得△BCE≌△CDC'，从而得到CE=C'D，BE=C C'，再由将边BC绕点B逆时针旋转至BC'，可得CE=C'E=C'D=CC'=BE，然后根据勾股定理，即可求解．
【解析】解：如图，过点B作BE⊥CC'于点E，

∵四边形ABCD是正方形，
∴BC=CD，∠BCD=90°，
∴∠BCE+∠C'CD=90°，
∵∠BCE+∠CBE=90°，
∴∠C'CD=∠CBE，
又∵∠BEC=∠CC'D=90°，
∴△BCE≌△CDC'（AAS），
∴CE=C'D，BE=C C'，
∵将边BC绕点B逆时针旋转至BC'，
∴BC=BC'，
又∵BE⊥CC'，
∴CE=C'E=C'D=CC'=BE，
∵BC'=，
∴，
解得：CE=2，
∴线段C'D的长度为2．
故选：B
【点睛】本题主要考查了正方形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，图形的旋转，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
9．如图，在正方形ABCD中，，E，F分别为边AB，BC的中点，连接AF，DE，点N，M分别为AF，DE的中点，连接MN，则MN的长为（    ）

A． B．1 C． D．2
【答案】B
【分析】连接AM，延长AM交CD于G，连接FG，由正方形ABCD推出AB=CD=BC=2，AB∥CD，∠C=90°，证得△AEM≌GDM，得到AM=MG，AE=DG=AB，根据三角形中位线定理得到MN=FG，由勾股定理求出FG即可得到MN．
【解析】解：连接AM，延长AM交CD于G，连接FG，

∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=CD=BC=2，AB∥CD，∠C=90°，
∴∠AEM=∠GDM，∠EAM=∠DGM，
∵M为DE的中点，
∴ME=MD，
在△AEM和GDM中，
，
∴△AEM≌△GDM（AAS），
∴AM=MG，AE=DG=AB=CD，
∴CG=CD=，
∵点N为AF的中点，
∴MN=FG，
∵F为BC的中点，
∴CF=BC=，
∴FG==2，
∴MN=1，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质和判定，勾股定理，三角形的中位线定理，正确作出辅助线且证出AM=MG是解决问题的关键．
10．下列四组线段中，是成比例线段的是（    ）
A．1cm，2cm，3cm，4cm B．4cm，6cm，3cm．5cm
C．5cm，15cm，2cm．6cm D．3cm，4cm，2cm，5cm
【答案】C
【分析】如果其中两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段．对选项一一分析，排除错误答案．
【解析】解：A、1×4≠2×3，故选项错误，该选项不符合题意；
B、3×6≠5×4，故选项错误，该选项不符合题意；
C、2×15=5×6，故选项正确，该选项符合题意；
D、2×5≠3×4，故选项错误，该选项不符合题意．
故选：C．
【点睛】此题考查了比例线段，根据成比例线段的概念，注意在相乘的时候，最小的和最大的相乘，另外两个相乘，看它们的积是否相等．同时注意单位要统一．
11．下列命题中，正确的是（     ）
A．所有的正方形都相似 B．所有的菱形都相似
C．边长相等的两个菱形都相似 D．对角线相等的两个矩形都相似
【答案】A
【分析】两个边数相同的多边形,如果它们的角分别相等,边成比例,那么这两个多边形叫做相似多边形，根据相似多边形的定义逐项判断即可．
【解析】解：A.所有的正方形都相似，故选项正确，符合题意；
B.菱形的边成比例，但角不一定相等，故选项错误，不符合题意；
C.边长相等的两个菱形都不一定相似，故选项错误，不符合题意；
D.对角线相等的两个矩形边不一定成比例，所以不一定相似，故选项错误，不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查命题、相似多边形的定义，解题的关键是熟练掌握相似多边形的概念．
12．如图， 中， 是 边上一点， 添加下列条件， 不能判定 的是（     ）

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据三角形相似的判定定理逐一分析判断即可．
【解析】解：A、∵，
∴
所以选项A不符合题意；
B、∵，
∴
所以选项B不符合题意；
C、∵，
∴
所以选项C不符合题意；
D、，对应边成比例，但是不确定是否与相等，所以不能判定，所以选项D符合题意．
故选：D
【点睛】本题考查三角形相似的判定定理，牢记定理的内容是解题的重点．
13．如图，AB∥CD∥EF，则下列结论正确的是（　　）

A．＝ B．＝ C．＝ D．＝
【答案】B
【分析】根据平行线分线段成比例定理，对各项进行分析即可．
【解析】解：∵AB∥CD∥EF，
∴＝，＝，
∴选项A、C、D不正确，选项B正确；
故选：B．
【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理，找准对应关系，避免错选其他答案．
14．如图，以点为位似中心，把的各边放大为原来的2倍得到，下列说法错误的是（    ）

A．// B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据位似的性质对各选项进行判断，如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，位似的两个图形必须是相似形，对应点的连线都经过同一点；对应边平行或共线．
【解析】以点为位似中心，把的各边放大为原来的2倍得到，
∴和是位似图形，
∴~，故C正确；
∴， 又
~
∴
∴//故A正确；
∵把的各边放大为原来的2倍得到，
∴
∴，故B选线说法错误；
∵，故D正确；
∴说法错误的是：B选项；
故选：B．
【点睛】本题考查了位似图形变换，正确掌握位似的性质是解题的关键．
15．如图，在中，DE∥BC，若，则的值为（  ）

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据相似三角形的判定与性质可得，由此即可得出答案．
【解析】解：，
，
，
，
，
，
，
故选：D．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键．
16．如图，P为线段AB上一点，AD与BC交与点E，∠CPD＝∠A＝∠B，BC交PD与点F，AD交PC于点G，则下列结论中错误的是（　　）

A．△CGE∽△CBP B．△APD∽△PGD
C．△APG∽△BFP D．△PCF∽△BCP
【答案】A
【分析】根据∠CPD＝∠A＝∠B，∠D=∠D，∠C=∠C即可得到△APD∽△PGD，△PCF∽△BCP，再根据∠APG=∠C+∠P，∠BFP=∠C+∠CPD，可以得到∠APG=∠BFP，即可证明△APG∽△BFP，由此即可求解．
【解析】解：∵∠CPD＝∠A＝∠B，∠D=∠D，∠C=∠C
∴△APD∽△PGD，△PCF∽△BCP
故B、D选项不符合题意，
∵∠APG=∠C+∠P，∠BFP=∠C+∠CPD，
∴∠APG=∠BFP，
∴△APG∽△BFP，故C选项不符合题意，
对于A选项不能得到两个三角形相似，
故选A．

【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定，三角形外角的性质，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.
17．如图，点G、F分别是的边、上的点，的延长线与的延长线相交于点A，交于点E，则下列结论错误的是（    ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用平行线分线段成比例定理即可得到答案．
【解析】解：∵交GA于点E，
，，，，
所以，A，B，D正确，
故选：C．
【点睛】本题主要考查平行线分线段成比例定理，找准对应关系是解答此题的关键．
18．如图，在ABC中，点D、F是边AB上的点，点E是边AC上的点，如果∠ACD=∠B，DEBC，EFCD，下列结论不成立的是（   ）

A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据相似三角形的判定及性质以及平行线分线段成比例对每个选项逐个证明即可．
【解析】解：∵DEBC，EFCD，
∴∠ADE=∠B，∠ACD=∠AEF，
又∵∠ACD=∠B，
∴∠ADE=∠AEF，
∵∠ADE=∠AEF，∠A=∠A，
∴AEF∽ADE，
∴，
∴，故选项A正确；
∵∠ACD=∠B，∠A=∠A，
∴ACD∽ABC，
∴，
∴，故选项B正确；
∵DEBC，
∴，
∵EFCD，
∴，
∴，
∴，故选项D正确；
∵EFCD，
∴，
∴，故选项C错误，
故选：C．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例以及相似三角形的判定及性质，熟练掌握相似三角形的判定及性质是解决本题的关键．
19．如图，点 是 的角平分线 的中点， 点 分别在 边上，线段 过点 ， 且 ，下列结论中， 错误的是（    ）

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据AG平分∠BAC，可得∠BAG=∠CAG，再由点 是 的中点，可得 ，然后根据，可得到△DAE∽△CAB，进而得到△EAF∽△BAG，△ADF∽△ACG，即可求解．
【解析】解：∵AG平分∠BAC，
∴∠BAG=∠CAG，
∵点 是 的中点，
∴ ，
∵，∠DAE=∠BAC，
∴△DAE∽△CAB，
∴ ，
∴∠AED=∠B，
∴△EAF∽△BAG，
∴ ，故C正确，不符合题意；
∵，∠BAG=∠CAG，
∴△ADF∽△ACG，
∴ ，故A正确，不符合题意；D错误，符合题意；
∴，故B正确，不符合题意；
故选：D
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质定理是解题的关键．
20．如图，在正方形ABCD中，△ABP是等边三角形，AP，BP的延长线分别交边CD于点E，F，连结AC，CP，AC与BF相交于点H，下列结论中错误的是（　　）

A．AE＝2DE B．△CFP∽△APH C．△CFP∽△ACP D．CP2＝PH•PB
【答案】C
【分析】由四边形ABCD是正方形，可得∠D=∠ABC=∠DAB=90°，AB∥CD，∠BAH=∠BCH=45°，AB=BC，由△ABP是等边三角形，可得∠PAB=∠PBA=∠APB=60°，AB=BP=AP，即可得到∠DAE=∠PBC=30°，BP=BC，由此即可判断A；由AB∥CD，可得∠CFP=∠ABP=∠APH=60°，再由BC=BP，∠PBC=30°，推出∠BPC=∠BCP=75°，则∠CPF=105°，即可推出∠PHA=∠CPF，证明△CFP∽△APH，即可判断B；由∠CPA=∠APB+∠BPC=135°≠∠CPF，即可判断C；证明△PCH∽△PBC，得到，即可判断D．
【解析】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠D=∠ABC=∠DAB=90°，AB∥CD，∠BAH=∠BCH=45°，AB=BC，
∵△ABP是等边三角形，
∴∠PAB=∠PBA=∠APB=60°，AB=BP=AP，
∴∠DAE=∠PBC=30°，BP=BC，
∴AE=2DE，故A不符合题意；
∵AB∥CD，
∴∠CFP=∠ABP=∠APH=60°，
∵BC=BP，∠PBC=30°，
∴∠BPC=∠BCP=75°，
∴∠CPF=105°，
又∵∠PHA=∠PBA+∠BAH=60°+45°=105°，
∴∠PHA=∠CPF，
又∵∠APB=∠CFP=60°，
∴△CFP∽△APH，故B不符合题意；
∵∠CPA=∠APB+∠BPC=135°≠∠CPF，
∴△PFC与△PCA不相似，故C符合题意；
∵∠PCH=∠PCB-∠BCH=75°-45°=30°，
∴∠PCH=∠PBC，
∵∠CPH=∠BPC，
∴△PCH∽△PBC，
∴，
∴PC2=PH•PB，故D不符合题意，
故选C．

【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，等边三角形的性质，正方形的性质，直角三角形30度角的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．

二、填空题
21．菱形的两条对角线的长分别为4和6，则它的面积为__________．
【答案】12
【分析】菱形的面积等于对角线乘积的一半．
【解析】解：∵菱形的面积等于对角线乘积的一半，
∴×4×6=12．
故答案为：12．
【点睛】此题考查菱形的面积计算方法，属基础题．菱形的面积=底×高=对角线乘积的一半．
22．菱形的面积是，一个内角是30°，则这个菱形的周长是 _____cm．
【答案】40
【分析】过点A作AE⊥BC交CB延长线于E，证明∠ABE=∠BAD=30°，，再根据菱形面积公式求出BC的长即可得到答案．
【解析】解：如图所示，在菱形ABCD中，∠ BAD=30°，过点A作AE⊥BC交CB延长线于E，
∵四边形ABCD是菱形，
∴，
∴∠ABE=∠BAD=30°，
∴，
∵菱形ABCD的面积为，
∴，
∴，
∴BC=10cm，
∴菱形的周长=4BC=40cm，
故答案为：40．

【点睛】本题主要考查了菱形的性质，含30度角的直角三角形的性质，熟知菱形的性质是解题的关键．
23．如图四边形ABCD是菱形，对角线AC=8，BD=6，DH⊥AB于点H，则DH的长为______．

【答案】4.8
【分析】根据菱形的面积等于对角线积的一半，可求得菱形的面积，又由菱形的对角线互相平分且垂直，可根据勾股定理得AB的长，根据菱形的面积的求解方法：底乘以高或对角线积的一半，即可得菱形的高．
【解析】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OA=OC=AC=4，OB=OD=3，
由勾股定理得：AB=5，
∴S菱形ABCD=AC•BD=AB•DH，
∴DH==4.8．
故答案为：4.8．
【点睛】此题考查了菱形的性质：菱形的对角线互相平分且垂直；菱形的面积的求解方法：底乘以高或对角线积的一半．
24．如图，在矩形ABCD中，，，点P在BC边上，点M在AD边上，，点Q为AP的中点，当为直角三角形时，AP的长为__________．

【答案】4或或
【分析】分当P为B重合时和当∠AQM=90°，当∠AMQ=90°时三种情况讨论求解即可．
【解析】解：当P为B重合时，Q为AB的中点，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠QAM=90°，满足△AMQ是直角三角形，
∴此时AP=AB=4；
当∠AQM=90°时，如图1所示，连接MP，过点M作MN⊥BC于N，则四边形ABNM是矩形，
∴MN=AB=4，∠MNP=90°，BN=AM=5，
∵Q为AP的中点，MQ⊥AP，
∴MQ是线段AP的垂直平分线，
∴AM=MP=5，
∴，
∴BP=2，
∴，

同理当∠AQM=90°时，如图2所示，求得PN=3，
∴BP=8，
∴；

当∠AMQ=90°时，如图3所示，
∵点P在BC上，
∴的最大值即为P与C点重合时AC的长，即，
∴长度的最大值为，
∵，
∴此种情况不成立；
综上所述，AP的长为4或或．

故答案为：4或或．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质与判定，线段垂直平分线的性质，勾股定理，利用分类讨论的思想求解是解题的关键．
25．如图，△ABC中，AC=，BC=4，AB=3，点D是AB的中点，EB∥CD，EC∥AB，则四边形CEBD的周长是___________．

【答案】
【分析】先证明四边形CEBD是平行四边形，然后利用勾股定理逆定理可得△ABC是直角三角形，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半证明四边形CEBD是菱形，进而可以解决问题．
【解析】解：∵EB∥CD，EC∥AB，
∴四边形CEBD是平行四边形，
在△ABC中，
∵AC=，BC=4，AB=3，
∴（）2+42=2+16=18=（3）2，
∴AC2+BC2=AB2，
∴△ABC是直角三角形，
∴∠ACB=90°，
∵点D是AB的中点，
∴DC=AD=DB=AB=，
∴四边形CEBD是菱形，
四边形CEBD的周长=4DB=4×=6．
故答案为：6．
【点睛】本题考查了菱形的判定与性质、勾股定理逆定理、直角三角形斜边上的中线，熟练掌握菱形的判定与性质，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解决本题的关键．
26．如图，菱形中，，，过作于点，则的长为__．

【答案】##4.8
【分析】根据菱形的性质（对角线互相垂直平分）及勾股定理可得BC的长，然后利用等面积法进行求解即可．
【解析】解：四边形是菱形，
，，，
，
，
，
故答案为：．
【点睛】题目主要考查菱形的基本性质、勾股定理、等面积计算方法等，理解菱形的性质是解题关键．
27．如图，在正方形ABCD中，点E为边长AB延长线上一点，且，则______．

【答案】
【分析】根据正方形的性质易得∠CAE=∠ACB =45°，然后根据等腰三角形的性质可求解．
【解析】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠CAE=∠ACB=45°，
∵，
∴，
∴；
故答案为．
【点睛】本题主要考查正方形的性质，熟练掌握正方形的性质是解题的关键．
28．已知，则＝_________
【答案】####
【分析】依据比例的性质，即可得到y＝x，再代入分式计算化简即可．
【解析】解：∵，
∴y＝x，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了比例的性质，解题时注意：内项之积等于外项之积．掌握比例的性质是解题关键．
29．在比例尺为的某市旅游地图上，某条道路的长为，则这条道路的实际长度为______．
【答案】
【分析】根据比例尺图上距离：实际距离，依题意列比例式直接求解即可．
【解析】解：设这条道路的实际长度为，则：
，
解得．
故答案是：．
【点睛】本题考查比例尺知识，能够根据比例尺正确进行计算，注意单位的转换．
30．若线段a＝4，b＝9，则线段a，b的比例中项为____________．
【答案】6
【分析】由四条线段a，x，x，b成比例，根据成比例线段的定义解答即可．
【解析】解：设线段a，b的比例中项为c,c>0,
根据比例中项原则：c2＝ab，
∴c2＝4×9，
∴c＝6
故答案：6．
【点睛】本题考查成比例线段、比例中项等知识，是基础考点，掌握相关知识是解题关键．
31．已知点P是线段MN上的黄金分割点，且，则较长线段PM的长为______cm．
【答案】##
【分析】根据黄金分割比为，根据PM为较长线段则，
【解析】解：∵点P是线段MN上的黄金分割点，且，
∴长线段PM的长为.
故答案为：
【点睛】本题考查了黄金分割比，牢记黄金分割比为是解题的关键．
32．如图，小明在打网球时，要使球恰好能打过网，且落点恰好在离网4米的位置上，已知网高为0.8米，击球点到网的水平距离为3米则球拍击球的高度h为_________米．

【答案】1.4
【分析】由于DBEC，可得△ADB∽△AEC，故可用相似三角形的性质求解．
【解析】解：如图，

∵DB//EC，
∴△ADB∽△AEC，
∴，即0.8×（4+3）=4h，
∴h=1.4 (m)．
故答案为1.4．
【点睛】本题主要考查相似三角形的应用，解答此题的关键是找出相似三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问题．
33．如图，点D在的边上，当______时，与相似．

【答案】
【分析】要使∽，由∠BAC=∠CAD共用，只要满足即可．
【解析】由∠BAC=∠CAD共用，
当时，
∽．
故答案为：．
【点睛】本题考查相似三角形判定问题，关键是掌握相似三角形的判定定理．
34．如图，以点O为位似中心，在点O的右侧将OAB按比例放大后得到OCD，已知OA＝2，AC＝3，则=________．

【答案】##
【分析】根据位似的性质：位似图形的对应线段的比等于相似比求解即可．
【解析】解：∵以点为位似中心，放大后得到，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了位似图形，解题的关键在于能够熟练掌握位似图形的性质．
35．如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，AD＝，DG＝2，H是AF的中点，那么CH的长是_____．

【答案】
【解析】连接AC、CF，根据正方形性质求出AC、CF，∠ACD＝∠GCF＝45°，再求出∠ACF＝90°，然后利用勾股定理列式求出AF，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答即可．
【解答】解：如图，连接AC、CF，
∵正方形ABCD和正方形CEFG中，AD＝，DG＝2，
∴AC＝2，CG＝3，
∴CF＝6，
∠ACD＝∠GCF＝45°，
∴∠ACF＝90°，
由勾股定理得，AF＝，
∵H是AF的中点，
∴CH＝AF＝×＝．
故答案为：．

【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，正方形的性质，勾股定理，熟记各性质并作辅助线构造出直角三角形是解题的关键．
36．如图，菱形中，，对角线相交于点，点、分别是边、上的点，且，连接、分别交对角线于点、，若，，则的面积为 __．

【答案】
【分析】根据菱形的性质可推导出，，，，再由可得：，根据相似三角形的性质列出式子，根据可以判定，故，再由，可得：，根据相似三角形的性质列出式子，即可得出答案．
【解析】解：四边形为菱形，，，
，，，，，
是等边三角形，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查菱形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．


培优特训练

特训第二阶——拓展培优练
一、单选题
1．如图，在中，，P为边上一动点，于E，于F，M为的中点，则的最小值是（    ）

A．4.8 B．4 C．3 D．2.4
【答案】D
【分析】根据矩形的性质就可以得出EF，AP互相平分，且EF＝AP，根据垂线段最短的性质就可以得出AP⊥BC时，AP的值最小，即AM的值最小，由勾股定理求出BC，根据面积关系建立等式求出其解即可．
【解析】解：连接AP，

∵PE⊥AB，PF⊥AC，∠BAC＝90°，
∴∠EAF＝∠AEP＝∠AFP＝90°，
∴四边形AEPF是矩形，
∴EF，AP互相平分，且EF＝AP，
又M为EF的中点，
∴EF，AP的交点就是M点，
∵当AP的值最小时，AM的值就最小，
∴当AP⊥BC时，AP的值最小，即AM的值最小．
在Rt△ABC中，AB＝6，AC＝8，
由勾股定理，得，
∵，
∴，
∴10AP＝6×8，
∴AP＝，
∴AM＝＝2.4，
故选：D．
【点睛】本题考查了矩形的性质的运用，勾股定理的运用，三角形的面积公式的运用，垂线段最短的性质的运用，解答时求出AP的最小值是关键．
2．如图，在正方形中，，E，F分别为边的中点，连接，点G，H分别为的中点，连接，则的长为（    ）

A． B．1 C． D．2
【答案】C
【分析】连接AG，延长AG交CD于M，连接FM，由正方形ABCD推出AB＝CD＝BC＝AD＝4，ABCD，∠C＝90°，证明△AEG≌△MDG，得到AG＝MG，AE＝DM＝AB＝CD，根据三角形中位线定理得到GH＝FM，由勾股定理求出FM即可得到GH．
【解析】解：连接AG，延长AG交CD于M，连接FM，

∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝CD＝BC＝AD＝4，ABCD，∠C＝90°，
∴∠AEG＝∠GDM，∠EAG＝∠DMG，
∵G为DE的中点，
∴GE＝GD，
∴△AEG≌△MDG（AAS），
∴AG＝MG，AE＝DM＝AB＝CD，
∴CM＝CD＝2，
∵点H为AF的中点，
∴GH＝FM，
∵F为BC的中点，
∴CF＝BC＝2，
∴FM＝，
∴GH＝FM＝，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，三角形的中位线定理等知识，正确作出辅助线，证出AG＝MG是解决问题的关键．
3．如图，在正方形ABCD中，AB＝4，点M在CD的边上，且DM＝1，△AEM与△ADM关于AM所在的直线对称，将△ADM按顺时针方向绕点A旋转90°得到△ABF，连接EF，则线段EF的长为（　　）

A．3 B．2 C．5 D．
【答案】C
【分析】连接．先判定，即可得到．再根据，，利用勾股定理即可得到，中，，进而得出的长．
【解析】解：如图，连接．
与关于所在的直线对称，
，．
按照顺时针方向绕点旋转得到，
，．
，
．
．
（SAS）．
．
四边形是正方形，
．
，
．
在中，，
，
故选：C．

【点睛】本题考查了正方形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质以及旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．
4．如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，DF垂直平分OC，交AC于点E，交BF于点F，连接AF，若，则AF的长为（    ）

A． B． C． D．3
【答案】B
【分析】由矩形的性质和垂直平分线的性质可证得是等边三角形，可得，由勾股定理可求出BC的长，由直角三角形的性质可求出，由勾股定理可求出AF的长.
【解析】解：∵四边形是矩形，
∴，
∵DF垂直平分OC
∴
∴
∴是等边三角形，
在中，由勾股定理可得，
∵
∴
∴
∵是等边三角形，，
∴
在中，，由勾股定理可得
∴
∴
∴
∴
故选B
【点睛】本题主要考查了矩形的性质，线段垂直平分线的性质和勾股定理，求出BF的长是本题的解题关键.
5．如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，折叠正方形ABCD，使AB边落在AC上，点B落在点H处，折痕AE交BC于点E，交BO于点F，连接FH，下列结论∶①AD=DF；② 四边形BEHF为菱形；③；④．其中正确的结论有 (       )           

A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】A
【分析】①利用折叠的性质得出，进而得出，利用三角形内角和得出，从而证明；②根据折叠得出，，只要再证明就能得出BEHF是菱形；③由题意得，根据角度得到为等腰直角三角形，得出与的数量关系，以及与的数量关系，最后根据等量关系进行比例化简即可；④利用角平分线的性质得出，再利用三角形面积公式得出．
【解析】解：①∵在正方形纸片ABCD中，折叠正方形纸片ABCD，使AB落在AC上，点B恰好与AC上的点H重合，
∴，
∴，
∵，
∴
∴，
故①正确；

②∵在正方形纸片ABCD中，折叠正方形纸片ABCD，使AB落在AC上，点B恰好与AC上的点H重合，
∴，，
又∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴四边形BEHF是菱形，故②正确；
③∵在正方形纸片ABCD中，折叠正方形纸片ABCD，使AB落在AC上，点B恰好与AC上的点H重合，
∴，，，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
故③正确；
④∵在正方形纸片ABCD中，折叠正方形纸片ABCD，使AB落在AC上，点B恰好与AC上的点H重合，
∴，
∴，
∴
故④正确；
综上所述①②③④正确；
故答案为：①②③④．
【点睛】本题考查了正方形的性质、菱形的判定、折叠的性质，勾股定理等等，解题的关键是根据折叠的性质得出边角相等．
6．如图，菱形ABCD和菱形EFGH，∠A＝∠E，它们的面积分别为9 cm 2和64 cm 2，CD落在EF上，若△BCF的面积为4cm2，则△BDH的面积是（    ）

A．8 cm 2 B．8.5 cm 2 C．9 cm 2 D．9.5 cm 2
【答案】B
【分析】先连接FH，求出，再将求的面积转化为求的面积即可．
【解析】解：如图，连接FH，
∵菱形ABCD和菱形EFGH，∠A＝∠E，
∴，
∴，
∴，
∴和同底等高，
∴，
∵菱形ABCD面积为9 cm2，△BCF的面积为4cm2，
∴（cm2），
∴（cm2）．
故选：B．

【点睛】本题考查了菱形性质及其应用，解决本题的关键是利用同底等高将求的面积转化为求的面积，考查了学生的分析和推理的能力，运用了转化的思想方法．
7．如图，在 ABCD中，CD=2AD，BE⊥AD于点E，F为DC的中点，连接EF、BF，下列结论：①∠ABC=2∠ABF；②EF=BF；③S四边形DEBC=2S△EFB；④∠CFE=3∠DEF,其中正确结论的个数共有（    ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【分析】如图延长EF交BC的延长线于G，取AB的中点H连接FH．证明△DFE≌△FCG 得EF=FG，BE⊥BG，四边形BCFH是菱形即可解决问题.
【解析】解：如图延长EF交BC的延长线于点G，取AB的中点H，连接FH．
∵CD=2AD，DF=FC，
∴CF=CB，
∴∠CFB=∠CBF，
∵CD∥AB，
∴∠CFB=∠FBH，
∴∠CBF=∠FBH，
∴∠ABC=2∠ABF．故①正确，
∵DE∥CG，
∴∠D=∠FCG，
∵DF=FC，∠DFE=∠CFG，
∴△DFE≌△FCG，
∴FE=FG，
∵BE⊥AD，
∴∠AEB=90°，
∵AD∥BC，
∴∠AEB=∠EBG=90°，
∴BF=EF=FG，故②正确，
∵，
∴，故③正确，
∵AH=HB，DF=CF，AB=CD，
∴CF=BH，∵CF∥BH，
∴四边形BCFH是平行四边形，
∵CF=BC，
∴四边形BCFH是菱形，
∴∠BFC=∠BFH，
∵FE=FB，FH∥AD，BE⊥AD，
∴FH⊥BE，
∴∠BFH=∠EFH=∠DEF，
∴∠EFC=3∠DEF，故④正确，
故选：D．

【点睛】本题考查平行四边形的性质和判定、菱形的判定和性质、直角三角形斜边中线的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
8．正方形ABCD的边长为8，点E、F分别在边AD、BC上，将正方形沿EF折叠，使点A落在处，点B落在处，交BC于G．下列结论错误的是（　　）

A．当为CD中点时，则＝
B．当时，则＝
C．连接，则
D．当（点不与C、D重合）在CD上移动时，周长随着位置变化而变化
【答案】D
【分析】当为CD中点时，设则，由勾股定理列方程求解，进一步求得的值，进而可判断A的正误；当三边之比为3：4：5时，设，，，由可求a 的值，进一步求得的值，进而可判断B的正误；过点E作EM⊥BC，垂足为M，连接交EM，EF于点N，Q，证明，进而可判断C的正误；D．过点A作，垂足为H，连接，AG，先证，可得，，再证，可得，由此证得周长＝16，进而可判断D的正误．
【解析】解：∵为CD中点，正方形ABCD的边长为8，
∴，
由折叠的性质，设则，
在中，由勾股定理得，即42+（8﹣x）2＝x2，
解得x＝5，
∴AE＝5，DE＝3，
∴，
故A正确；
当三边之比为3：4：5时，设，，，则，
∵，
∴，
解得：，
∴，，
故B正确；
如图，过点E作EM⊥BC，垂足为M，连接交EM，EF于点N，Q，

∴，
∴，
由翻折可知：EF垂直平分，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
，
∴，
故C正确；
过点A作，垂足为H，连接，AG，则，

由折叠的性质可知，
∴
∵
∴，
∵
∴，
∴
在和中

∴，
∴，
∵，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，

∴周长




∴当在CD上移动时，周长不变，
故D错误．
故选D．
【点睛】本题考查了正方形的性质，折叠的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
9．如图，正方形ABCD由四个全等的直角三角形拼接而成，连结HF交DE于点M．若，则的值为（    ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】过点H作交DE于点Q，HG交DE于点N，
【解析】解：如图所示，过点H作交DE于点Q，HG交DE于点N，设利用得到三角形相似，对应线段成比例，求出从而得到即可得出结果．

∵正方形ABCD由四个全等的直角三角形拼接而成，

设





即


即


即

故选：C．
【点睛】本题主要考查了三角形相似，得出对应线段成比例，由线段平行，得出三角形相似是解本题的关键．
10．如图，在矩形中，，，是上一点，沿折叠矩形，的对应边经过点，连接，与、分别交于点、，连接交于点下列结论：是等腰三角形；：：；平分；其中结论正确有（    ）

A．②④ B．②④ C．①②③ D．①②④
【答案】D
【分析】由折叠得，进而由互余的性质得，便可判断本结论正误；
过点作，与的延长线交于点，根据三角形的面积公式求得和，进而由相似三角形的性质得出结果，从而判断本结论的正误；
过点作，与的延长线交于点，由相似三角形的性质求得与，进而确定与的大小关系，便可判断本结论正误；
过作于点，则，由∽求得，进而求得的面积，便可判断本结论正误．
【解析】解：由折叠知，，，
，
，
，
，
，
是等腰三角形，
故正确；
过作于，与交于点，

，，，
，
，
，
，
，
，
，
由折叠知，，，
，
，，
∽，
，
设，则，，
，
，
解得舍去负根，
，，
：：，
故正确；
过点作，与的延长线交于点，
由折叠知，，
，
，
，
，
∽，
，
设，则，
，
解得，
，
，
∽，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
不平分，
故错误；
过作于点，则，
∽，
，
，
，
，
故正确；
故选D．
【点睛】本题是四边形综合题目，考查了矩形的性质、翻折变换的性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质、三角形的面积等知识；本题综合性强，有一定难度，构造辅助线和证明三角形相似是解题的关键．

二、填空题
11．如图，矩形ABCD中，AB＝12，BC＝10，点E是BC上一点且BE＝2，点F是CD上一点且CF＝4，将矩形ABCD折叠，使点E和点F重合，折痕分别与AD、BC交于点HG，则AH的长为____．

【答案】1
【分析】过点作于，设，根据已知条件，在中，勾股定理求得，根据折叠的性质可知垂直平分，则，建立方程，解方程求解即可求解．
【解析】解：如图，过点作于，设，

矩形ABCD中，AB＝12，BC＝10，BE＝2，CF＝4，
，
在中，，
将矩形ABCD折叠，使点E和点F重合，折痕分别与AD、BC交于点HG，
垂直平分，则，
，
即，
解得．
即．
故答案为：．
【点睛】本题考查了折叠的性质，垂直平分线的性质，勾股定理，矩形的性质，掌握勾股定理是解题的关键．
12．如图，菱形ABCD的边长为4，∠ADC=120°，点E是AD上一动点（不与点A，D重合），点F是CD上一动点，且AE+CF=4，则△BEF面积的最小值为______________.

【答案】
【分析】首先证明△BEF是等边三角形，当BE⊥AD时面积最小．
【解析】解：连接BD，
∵菱形ABCD边长为4，∠ADC=120°，
∴∠BAD=60°，
∴△ABD与△BCD都为等边三角形，
∴∠FDB=∠EAB=60°，
∵AE+CF=4，而DF+CF=4，
∴AE=DF，
∵AB=BD，
∴△BDF≌△BAE（SAS），
∴BE=BF，∠ABE=∠DBF，
∴∠EBF=∠ABD=60°，
∴△BEF是等边三角形，
∴当BE⊥AD时，△BEF的面积最小，
在Rt△ABE中，AE=AB=2，由勾股定理得BE=2，
同理可得等边△BEF的边BE上的高为×2=3，
△BEF面积的最小值=3．
故答案为：3．

【点睛】本题考查了菱形的性质、等边三角形的判定和性质、垂线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
13．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，点E是边AD的中点，点F是对角线BD上一动点，∠ADB＝30°，连接EF，作点D关于直线EF的对称点P．若PE⊥BD，则DF的长为 _____．

【答案】2或6##6或2
【分析】先求出，从而求出，然后分两种情况：当P点在BD的下方和P点在BD的上方，进行讨论求解即可．
【解析】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=90°，
又∵AB=4，∠ADB=30°，
∴BD=2AB=8，
∴，
∵E是AD的中点，
∴
如图1所示，设PE与BD交于点Q
∵PE⊥BD，∠EDQ=30°，
∴∠PED=60°，
∵P是D关于直线EF的对称点，
∴EF垂直平分PD，
∴∠DEF=∠PEF=∠EDF=30°，
∴EF=DF，，
∵，
∴，
∴；

如图2所示，
同理可求出，由对称性可知，PF=DF，PE=DE，
∵PQ⊥DF，
∴∠PQD=90°，
∴
又∵∠QDE=30°，
∴∠DEQ=60°，
∴∠EPD+∠EDP=60°，
∴∠EDP=∠EPD=30°，
∴∠PDQ=60°，
∴△PFD是等边三角形，
∴DF=2DQ=6，
故答案为：2或6．

【点睛】本题主要考查了矩形的性质，轴对称的性质，等边三角形的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理等等，熟知相关知识利用分类讨论的思想求解是解题的关键．
14．如图，正方形中，在的延长线上取点E，F，使，，连接分别交，于H，G．下列结论：①图中有8个等腰三角形；②；③；④．其中正确的有_________（填序号）．

【答案】③④
【分析】①根据正方形的性质及等腰三角形的判定，可得出图中共有9个等腰三角形；②根据正方形的性质和已知推出四边形DECB是平行四边形，得到BD=CE，BD∥CE，无法证出G为CE的中点；③由SAS可证明△GHC≌△DGE；④由上述推理可得，△DBG∽△GDE，再根据三角形的面积等于相似比的平方可得结论．
【解析】解：如图，在正方形中，
，，
和是等腰三角形；
，，
和是等腰三角形；
，，
，
，
和是等腰三角形；
，，
是等腰三角形，且，，
，，
和是等腰三角形，
综上，图中共有9个等腰三角形；故①不正确；
正方形，，
，，，
四边形是平行四边形，
，，
，
，
要使，只要为的中点即可，
且，，
，
即和不全等，
点不是中点，②错误
由①分析可知，
在和中，
，
；故③正确；
如图，过点作交的延长线于点，交AF于N，
设NG=x，则MG=1-x，
∵△CDE为等腰三角形，
∴∠DCE=∠DEC=45°，
可得△CGM为等腰直角三角形，
∴CM=1-x，
∴CG=，
设正方形ABCD的边长为1，
则BC=DE=1，BD=DF=CE=，
∵△BCG为等腰三角形，
∴，
解得：，
∴，故④正确；

综上，③④正确．
故答案为：③④．
【点睛】本题主要考查对三角形的内角和定理，等腰三角形的性质和判定，正方形的性质，平行四边形的性质与判定等知识点的理解和掌握，综合运用这些性质进行推理是解此题的关键．
15．如图，在矩形ABCD中，∠BCD的角平分线CE与边AD交于点E，∠AEC的角平分线与边CB的延长线交于点G，与边AB交于点F，如果AB=，AF=2BF，那么GB=______．

【答案】##
【分析】先说明三角形CDE为等腰直角三角形，并求得其斜边CE的长，然后再说明三角形CEG为等腰三角形，最后根据△EFA∽△BGF得出比例式，结合DF AF=2BF得出CG与DE的倍数关系，最后根据BG=BC+CG进行计算即可.
【解析】解：.∵矩形ABCD中，∠BCD的角平分线CE与AD交于E；
∴CD=AB=,∠DCE=∠BCE=45°，
∴CD=DE=，
∵直角三角形CDE，
∴CE= ，
又∵∠AEC的角平分线EG与AB交于点F，
∴∠AEG=∠CEG
∵AD//BC
∴∠G=∠AEG
∴∠CEG=∠G
∴CG=CE=6，
∵∠G=∠AEF，∠AFE=∠BFG，
∴△AEF∽△BGF
∴
设BG=x，AE=2x，则BC=AD=+2x
.∵CG=BC+BG
∴6=+2x+x，解得x=.
故答案为：.
【点睛】本题主要考查矩形的性质、相似三角形性质和判定以及等腰三角形的性质，证得三角形CEG为等腰三角形成为解答本题的关键.
16．从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把这条线段叫做这个三角形的最美分割线．在△ABC中，∠A＝50°，CD是△ABC的最美分割线．若△ACD为等腰三角形，则∠ACB的度数为________．
【答案】100°或115°
【分析】根据△ACD为等腰三角形，需要分三种情况讨论：①当AD＝CD时，②如当AD＝AC，③当AC＝CD，然后结合最美分割线的定义，可得△BDC∽△BCA，可以分别求出∠ACB的度数．
【解析】解：①当AD＝AC时，如图1，

∴∠ACD＝∠ADC＝（180°﹣50°）＝65°，
∵△BDC∽△BCA，
∴∠BCD＝∠A＝50°，
∴∠ACB＝∠ACD＋∠BCD＝65°＋50°＝115°．
②当AD＝CD时，如图2，∠ACD＝∠A＝50°，

∵△BDC∽△BCA，
∴∠BCD＝∠A＝50°，
∴∠ACB＝∠ACD＋∠BCD＝50°＋50°＝100°．
③当AC＝CD时，如图3，∠ADC＝∠A＝50°，

∵△BDC∽△BCA，
∴∠BCD＝∠A＝50°，
∴∠ADC＝∠BCD（不合题意）．
综上所述，∠ACB＝100°或115°．
故答案为： 100°或115°
【点睛】本题考查了相似三角形的性质以及等腰三角形的性质，理解最美分割线的定义是解决本题的关键．
17．如图，在正方形ABCD中，E、F分别为边AD、AB上的两点，AE＝BF，连BE、CF交于点H，当时，＝________．

【答案】##
【分析】可以正方形的边长为1，AE=BF=a，将本题转化成求BF的长．利用SAS证明△ABE≌△BCF，从而得出，继而得出，等面积法求出，再结合△HBC∽△BFC求出，最后利用关系式列出关于a的方程，从而解出a也就是．
【解析】解：设正方形的边长为1，AE=BF=a，
∴FC=．
在正方形ABCD中，AB=BC，∠A=∠ABC=90°，
在△ABE和△BCF中，
，
∴△ABE≌△BCF（SAS），
∴∠ABE=∠BCF，．
∵∠ABE+∠EBC=90°，
∴∠BCF+∠EBC=90°，.
∴∠BHC=90°，即.BH⊥CF．
∵，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵∠HCB=∠BCF，∠CHB=∠CBF=90°，
∴△HBC∽△BFC，
∴，
∴，
∴ ．
∵，
∴，
∴，
解得a=或a=（舍去），
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，等面积法，三角形的面积求法，解题技巧是设正方形的边长为1，从而将求比例问题转化成求线段长简化运算，灵活运用等面积法和三角形面积公式是解题关键．
18．如图，在等腰直角三角形ABC和等腰直角三角形ADE中，，点D在BC边上，DE与AC相交于点F，，垂足是G，交BC于点H．下列结论中：①；②；③若，，则；④，正确的是______．

【答案】②③##③②
【分析】先证明 再证明若 可得平分 与题干信息不符，可判断①不符合题意；再证明 可得 而 可判断②符合题意；如图，连接EH，求解 设 再建立方程组 可判断③符合题意；证明 可得 若，则 与题干信息不符，可判断④不符合题意；从而可得答案．
【解析】解：∵，
∴
∵等腰直角三角形ABC和等腰直角三角形ADE，
∴

∴
∵
∴

若

∴
∴平分 与题干信息不符，故①不符合题意；
∵
∴
∴
∴ 而
∴，故②符合题意；
如图，连接EH，

由
∴
∵
∴
设

解得： 即BD=3，故③符合题意；
∵



若，则 与题干信息不符，故④不符合题意；
故答案为：②③
【点睛】本题考查的是等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，相似三角形的判定与性质，作出适当的辅助线，构建直角三角形是解本题的关键．